1.函数迭代
⑴ 函数迭代的定义
设:f D D '→(其中D D '?)是一个函数,对任意x D ∈,记(0)()f x x =,(1)()()f x f x =,
(2)
()(())f
x f f x =,(3)
((()))f
f f f x =,……,(1)()()(())n n f x f f x +=,……,
则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代,并称n 是()()n f x 的迭代指数.
如果()()n f x 有反函数,则记为()()n f x -,于是,迭代指数可取所有整数. ⑵ 简单的函数迭代
求一个函数的n 次迭代,是数学竞赛中的一种基本题型.对于一些简单的函数,它的n 次迭代是容易得到的.
若()f x x c =+,则()n f x nc =+,(1)()f x x c -=-,()()n f x x nc -=-. 若3
()f x x =,则()
3()n
n f
x x =,1(1)
3
()f
x x -=,1
()
3()n
n f
x x -=.
若()f x ax b =+,则()()11n n b b f x a x a a ??=-+ ?--?
?,(1)
1()11b b f x x a a a -??=-+ ?
--??, ()1()11n n b b
f x x a a a
-??=-+
?--??. ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法
这里用到的是先猜后证的想法,即先对函数()f x 迭代几次,观察出其规律,然后猜测出
()()n f x 的表达式,最后用数学归纳法证之.这种方法只适用于一些较为简单的函数.
②递归法
设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数,由此定义数列{}n a :0a 已知,且0a D ∈, 1()n n a f a -=,1≥n .一方面,若已求得()()()n f x g x =,则(2)()120()()()n n n n a f a f a f a --====L , 即{}n a 通项公式;另一方面,如果已求得{}n a 的通项公式0()n a g a =,则取0a x =,()n a g x =,而()()10()()()n n n n a f a f a f x -====L ,从而()()()n f x g x =,即()()n f x 的表达式.
由上述知,函数的n 次迭代可以通过构造数列的方法来解,其步骤为 第一步,设0a x =,()()n n a f x =;
第二步,由()()n n a f x =1()n f a -=,求出0()n a g a =;
第三步,()0()()()n f x g a g x ==. ③相似法
相似法是求函数()f x 的n 次迭代的一个重要方法.若存在一个函数()x ?以及它的反函数
1()x ?-,使得1()((()))f x g x ??-=,我们就称()f x 通过()x ?和()g x 相似,简称()f x 和()g x 相似,记为~()f g ?,其中()x ?称为桥函数. 相似关系是一个等价关系,也就是说它满足: 自身性,~f f ;
对称性,若~f g ,则~g f ;
传递性,若~f g ,~g h ,则~f h .
如果()f x 与()g x 相似,即1()(()))(f x g x ??-
=, 那么()1()()((()))n n f x g x ??-=, 1()((()))g x f x ??-=,()()1()((()))n n g x f x ??-=.
这样一来,我们便把f 的迭代问题转化为g 的迭代问题. ④不动点法
关于x 的方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.不动点法的基本思想是根据函数的不动点得
2
函数迭代与函数方程
出桥函数的一个性质,进而确定桥函数的形状,然后利用相似法求出函数的n 次迭代. 函数的不动点具有如下的性质:
若0x 是()f x 的不动点,则()00()n f x x =,即0x 也是()()n f x 的不动点.
设1()((()))f x g x ??-=,因此有(())(())f x g x ??=,若00()f x x =,则有00()(())x g x ??=,即
0()x ?是()g x 的不动点.
对于一些简单的函数,利用不动点,把函数变形后再迭代,最后用数学归纳法证之,会使计算简单些.
利用不动点找桥函数的方法:由不动点的性质知,桥函数?具有下列性质:它将f 的不动点
0x 映成g 的不动点0()x ?,通常为了便于求解()()n g x ,()g x 通常为ax ,x a +,2ax ,3ax 等.
2.函数方程
⑴ 函数方程的定义
解为函数的方程为函数方程.例如()()(5)(),f x f x f x f x -=-+=等都是函数方程. ⑵ 函数方程解法
寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫作解函数方程,一般有以下几种方法: ①代换法
代换法是解函数方程的常用手段,其基本思想是:将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(当然在代换时应特别注意函数的定义域不能发生变化),得到一个新的函数方程,然
后设法求得未知数.如2(21)()f x x x x -=+∈R ,令21y x =-,则1
(1)2
x y =+,于是
211()(1)(1)42f y y y =+++,即213
()44
f x x x =++,经检验它是函数方程的解.
代换法在单变量函数方程中尤为多用. ②赋值法
所谓赋值法,就是对自变量赋予某些特殊的数值,从而挖掘出题中隐含的条件,并且通过这些新条件简化函数方程,逼近最终目标.
如函数:f →R R 满足()()
()0,,,f x f y f xy x y x y x y
+=∈+≠+R ,求()f x .
令1y =,得()(1)
()(1)1
f x f f x x x +=≠-+,由此()(1)xf x f =.令0x =则(1)0f =,从而可知
()0(01),f x x =≠-.令20,x y ==易得(0)(2)0f f ==;令10,x y =-=易知(1)(0)0f f -==.综上可知()0f x =. ③递归法
函数方程的递归解法,是一种借助于数列对函数方程加以研究的方法.
设()f n 是定义在正整数集+N 上的函数,如果存在一个递推关系S 和初始条件1(1)f a =,当知道(1)f ,(2)f ,…,()f n 的值后,由S 可以惟一地确定(1)f n +的值,我们就称()f n 为递归函数,递归法主要解决递归函数.
板块一 函数的迭代
【例 1】 已知()f n 是定义在+N 上的函数,并且满足
①(())49f f n n =+,n +∈N , ②1(2)23k k f +=+,k ∈N .
求(1789)f 的值.
【例 2】 ⑴设()f x ax b =+,求()()n f x ;
⑵设()x
f x ax b
=+,求()()n f x ;
⑶设()1f x x =+,求()()n f x .
【例 3】 ⑴设2
()21x f x x =-,求()()n f x ;
⑵设1
()43x f x x -=-,求()()n f x ;
⑶设42
()1
x f x x -=+,求()()n f x .
板块二 函数方程
【例 4】 ⑴定义在+R 上的函数()f x 满足关系式1()lg 1f x f x x ??
=+ ???
,求()f x .
⑵求解函数方程1()11f x f x x ??
+-=+ ??
?,0x ≠,1.
⑶已知函数()f x 对任意x 、y 有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,求()f x .
【例 5】 求所有满足下列条件的函数:f ++→N N ,使得
⑴(2)2f =;
⑵()()()f mn f m f n =?对所有m ,n 成立; ⑶若m n <,则()()f m f n <.
【例 6】 已知函数()f x 满足2()()1f x f x -=,0x >.求满足条件的一个()f x .
习题1. 设()f x ax b =+,其中,a b 为实数,1()()f x f x =,1()(())n n f x f f x +=,123,,,n =L ,若
7()128381f x x =+,则a b += .
习题2. 某同学从换乘中心出发坐车去第一家商店,在店里花了剩余的钱的一半,然后坐车返回换乘
中心.之后又坐车去第二家商店,在店里花了剩余钱的一半,然后坐车返回换乘中心.接着他用同样的方式进出第三家和第四家商店,当他返回换乘中心时候,发现身上只剩一元钱.若无论从换乘中心到商店还是从商店到换乘中心的车费都是一元钱,问:他在四家商店总共花了多少钱?
习题3. 设2()42f x x x =++,求()()n f x .
习题4. 求解函数方程(写出一个符合方程的解即可),⑴⑵⑶小题中x ,y ∈R ,⑷小题中m ,n +∈N :
⑴()()()f x y f x f y +=+;
⑵()()()
+=?;
f x y f x f y
⑶()()()
=+;
f xy f x f y
⑷()()()()
+=+?-.
f m f n f m n f m n
习题5.已知:f→
Z Z,求满足下述条件的所有函数f:
⑴对一切正数n,(())
=;
f f n n
⑵对一切整数n,((2)2)
f f n n
++=;
⑶(0)1
f=