山西省忻州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U =R ，{|lg 0}A x x =<，则U
A
（ ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|0x x ≤或1}x ≥
C ．{|0 x x <或1}x >
D ．{|0}x x ≤
2．若向量(2,1),(1,1)a b =-=-，则a b ?=（ ） A ．3-
B ．1-
C ．2
D ．5
3．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位
D ．y 平均减少2个单位
4．已知函数(),0
43,0
x e a x f x ax x ?-≤=?->?，若()()10f f <，则a 的取值范围是( )
A ．4,
5??-∞ ???
B ．40,5?? ???
C ．3,5??-∞ ???
D ．3,5??+∞ ???
5．若在区间[]0,2019上任取一实数，则此实数大于1的概率是( ) A ．
1
2019
B ．
2017
2018
C ．
2018
2019
D ．
1
2018
6．已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人
B ．3人
C ．5人
D ．4人
7．已知函数2()log (1)3f x x x m =+++的零点在区间(0,1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．(4,0)-
B ．(,4)
(0,)-∞-+∞C ．(,4](0,)-∞-+∞ D ．[4,0)-
8．若执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）
A ．7
B ．13
C ．21
D ．31
9．函数y =
-的值域为（ ）
A ．[
B ．
C ．(-∞
D ．[)+∞
10．若从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列为互斥的两个事件是( )
A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B ．“一个红球也没有”与“都是黑球”
C ．“至少有一个红球”与“都是红球”
D ．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
11．函数()2
21
1ln x
f x x -=-的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数2
(
2)
2
()log x
f x ax +=+，若对任意(1,3]t ∈-，任意x ∈R ，不等式
()()1f x f x kt +-≥+恒成立，则k 的最大值为
A ．1-
B ．1
C ．13
-
D ．
13
二、填空题 13．若幂函数()
a f x x 的图象经过点1(3)9
，，则2a -=__________.
14．已知在某次数学考试中甲?乙两班各抽取10名学生的成绩（单位：分）如茎叶图所示，则乙班这10名学生成绩数据的中位数是__________.
15．已知样本9、10、11、x 、y 的平均数是10，方差是2，则xy =______.
16．已知函数()()2
2,03,0
x x f x x x ?+≤?=?->??，则关于x 的方程()()()()
2
00,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______.
三、解答题
17．已知集合{1}A a a =-，
，{2}B y =，，{|114}C x x =<-<. （1）若A B =，求y 的值； （2）若A C ?，求a 的取值范围.
18．【最新】3月30日，联合国粮农组织、联合国世界粮食计划署联合发布的《全国粮食危机报告》称全国粮食危机依然十分严峻，某地最近五年粮食需求量如表：
（1）若最近五年的粮食需求量年平均数为260万吨，且粮食年需求量y 与年份x 之间
的线性回归方程为??2y
x a =+，求实数?a 的值； （2）利用（1）中所求出的回归方程预测该地【最新】粮食需求量.
19．已知一个不透明的袋子里有30个小球，其中10个是白球，20个是黑球. （1）若从袋子里随机抽取一个球，求“抽取到白球”的概率；
（2）若从袋子里一次抽取两个球，求“抽取到两个球颜色不相同”的概率.
20．已知函数31()log 1
a m x
f x x -=-（0a >，且1a ≠）的图象关于坐标原点对称．
（1）求实数m 的值；
（2）比较()2f 与()3f 的大小，并请说明理由．
21．某企业经过短短几年的发展，员工近百人.不知何因，人员虽然多了，但员工的实际工作效率还不如从前.2019年6月初，企业领导按员工年龄从企业抽选20位员工交流，并将被抽取的员工按年龄（单位：岁）分为四组:第一组[
)20,30，第二组[)30,40，第三组[)40,50，第四组[]50,60，且得到如下频率分布直方图：
（1）求实数a 的值；
（2）若用简单随机抽样方法从第二组、第三组中再随机抽取2人作进一步交流，求“被抽取得2人均来自第二组”的概率.
22．已知函数())
2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.
（1）求a 的值；
（2）记()f x 在3
,24??-????上的最大值为M ，若对任意的3,24x ??∈-????
，()M g x ≤恒
成立，求t 的取值范围.
参考答案
1．B 【解析】 【分析】
首先利用对数函数的性质求出集合A ，然后再利用集合的补集运算即可求解. 【详解】
R U =.{|lg 0}{|01}A x x x x =<=<<，
{|0U
A x x ∴
=≤或1}x ≥
故选：B. 【点睛】
本题考查了集合的补集运算以及对数函数的性质，属于基础题. 2．A 【分析】
直接根据向量数量积的坐标计算公式计算可得. 【详解】
解：因为向量(2,1)a =-，(1,1)b =-， 所以()()21113a b ?-+-?=?=-； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算问题，属于基础题． 3．C 【解析】 【分析】
细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】
因为回归直线方程是2 1.5?y
x =-，
当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C. 【点睛】
本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目. 4．A 【分析】
根据函数()y f x =的解析式结合条件()()10f f <可得出关于实数a 的不等式，解出即可. 【详解】
(),043,0
x e a x f x ax x ?-≤=?->?，由()()10f f <，可得431a a -<-，解得45a <.
因此，实数a 的取值范围是4,5?
?-∞ ???
. 故选：A. 【点睛】
本题考查分段函数值相关的计算，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题. 5．C 【分析】
利用长度型的几何概型概率公式能计算出所求事件的概率. 【详解】
据题设知，所求的概率201912018
20192019
p -==
. 故选：C. 【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题. 6．D 【分析】
根据题设求得中年人所占的比例，进而求得中年人抽取的人数，得到答案. 【详解】
根据题设知，中年人所占的比例为
561
2856843
=++，所以在抽取的一个容量为12的样本
中，中年人中应抽取1
1243
?=人. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查了分层抽样的概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 7．D 【分析】
利用函数的单调性，以及函数的零点判断定理，列出不等式组求解即可． 【详解】
解：因为2()log (1)3f x x x m =+++在区间(0,1]上是单调递增，要使函数
2()log (1)3f x x x m =+++的零点在区间(0,1]，
所以(0)0(1)0
f f
g 230m m
故选：D 【点睛】
本题考查函数的零点判断定理的应用，属于基础题． 8．C 【分析】
列出循环的每一步，根据条件5k <不成立，循环结束，可得出输出结果. 【详解】 程序运行如下：
1k =，1s =，5k <成立，1213s =+?=，112k =+=； 5k <成立，3227s =+?=，213k =+=； 5k <成立，72313s =+?=，314k =+=； 5k <成立，132421s =+?=，415k =+=； 5k <不成立，循环结束，输出s 的值是21.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s 、k 的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 9．A 【分析】
先求定义域，再判断函数的单调性，最后求最值得值域． 【详解】
解：要使函数()y f x ==
10
10x x +??-?
，解得：11x -，
所以函数的定义域为[]1,1-，
根据函数的解析式，x y 增大，即该函数为增函数，
所以最小值为()1f -=()1f =
所以值域为??，
故选：A ． 【点睛】
本题考查非基本初等函数值域求解，要先求定义域，再判断函数的单调性，最后求最值得值域．因此题是选择题，所以函数的单调性可以直接从解析式中观察得到，以节约时间． 10．D 【分析】
列举出每个选项中两个事件所包含的基本情况，利用互斥事件的定义判断即可. 【详解】
互斥的两个事件是指不能同时发生的两个事件，
对于A 选项，“至少有一个黑球”包含“一黑一红和两个球都是黑球”，A 选项中的两个事件不是互斥事件；
对于B 选项，“一个红球也没有”表示“两球都是黑球”，B 选项中的两个事件是相等事件； 对于C 选项，“至少有一个红球”包含“一黑一红和两个球都是红球”，C 选项中的两个事件不是互斥事件；
对于D 选项，“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不可能同时发生，这两个事件为互斥事件. 故选：D. 【点睛】
本题考查互斥事件的判断，考查互斥事件定义的理解，属于基础题. 11．B 【解析】 【分析】
根据函数的解析式，求得函数为偶函数，排除C 、D ，再根据函数值的取值情况，即可得到答案. 【详解】
由题意，函数()2
21
1ln x
f x x
-=-满足()()22212111ln()ln x x
f x f x x x ----=-=-=-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，即()f x 的图象关于y 轴对称，排除C ，D ；
当01x <<时，2
ln 0x <，210x
->，所以()21
10ln x
f x x
-=->，排除A ，故选B .
【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数值的取值范围，合理排除是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 12．D 【分析】
化简不等式可得，()()()
2
22log 22f x f x x +-=+≥，根据不等式恒成立的转化关系可得，
()()1f x f x kt +-≥+等价于()()min []1f x f x kt +-≥+，等价于12kt +≤，其中1
kt +为关于t 的一次函数，故分别代入1t =-和3t =即可求出k 的最大值 【详解】
因为()()
2
2log 2f x x ax =++，所以()()()
2
22log 22f x f x x +-=+≥，则不等式
()()1f x f x kt +-≥+恒成立等价于12kt +≤，设()1g t kt =+，则()()112
3312g k g k ?-=-+≤??=+≤??
，
解得1
13
k -≤≤.答案选D. 【点睛】
本题考查不等式恒成立的转化，以及利用函数的单调性求参数最值，难点在于对不等式恒成立进行转化，属于难题. 13．
1
4
【解析】 由题意有：1
3,29a
a =∴=-， 则：()2
2
124
a
--=-=.
14．83 【分析】
将乙班这10名学生的成绩从小到大排列，由中位数的定义可得出这10名学生成绩数据的中位数. 【详解】
将乙班这10名学生的成绩从小到大排列为：62、74、76、78、82、84、85、86、88、
92，则这组数据的中位数是
8284
832
+=. 因此，乙班这10名学生成绩数据的中位数是83. 故答案为：83. 【点睛】
本题考查茎叶图中中位数的计算，一般将数据由小到大或由大到小依次排列，利用中位数的定义计算，考查数据处理能力，属于基础题.. 15．96 【分析】
利用平均数公式和方差公式能求出x y +和2
2x
y +的值，然后利用完全平方公式能计算出
xy 的值.
【详解】 由平均数公式得
91011105
x y
++++=，即20x y +=，
()()()()()
22222
91010101110101025
x y -+-+-+-+-=，
即()()22
10108x y -+-=， 即()2
2
202008x y x y +-++=，可得()2
2
208200208x y x y +=++-=，
()2
2222022082x y x y xy xy =+=++=+，解得96xy =.
故答案为：96. 【点睛】
本题考查利用平均数和方差公式求参数值，考方程思想的应用，属于基础题. 16．3 【分析】 由()()2
0f
x af x -=可得出()0f x =和()()()0,3f x a a =∈，作出函数()y f x =的图
象，由图象可得出方程()0f x =的根，将方程()()()
0,3f x a a =∈的根视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()
0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】
()()()2003f x af x a -=<<，()0f x ∴=或()()03f x a a =<<.
方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：
由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.
由于函数()2
2y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，
关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示，
且
12
22+=-x x ，3432
x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】
本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 17．(1) 1或3；(2) 35a <<. 【解析】
试题分析：
(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：y 的值为1或3. (2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得 35a <<. 试题解析：
（1）若2a =，则{}12A =，
，∴1y =. 若12a -=，则3a =，{}23A =，
，∴3y =. 综上，y 的值为1或3. （2）∵{|25}C x x =<<，
∴25215a a ，<
∴35a <<.
18．（1）?3772a =- （2）268 【分析】
（1）求出年份的平均数代入线性回归方程中，可得a 的值；
（2）根据（1）求出的值，可知线性回归方程，再将2020x =代入方程中可得结果 【详解】 解：（1）1
(20142015201620172018)20165
x =
++++=, 由题意得，26020162?a
=?+，解得?3772a =-, （2）由（1）可知线性回归方程为?23772x y
=-, 当2020x =时，220203772268y =?-= ,
所以预测该地【最新】粮食需求量约为268万吨. 【点睛】
此题考查线性回归方程及其性质，线性回归方程的应用，属于基础题. 19．（1）
13
；（2）40
87. 【分析】
（1）利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；
（2）计算出所有的抽法总数，以及 “抽取到两个球颜色不相同”的抽法总数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“抽取到两个球颜色不相同”的概率. 【详解】
（1）若从袋子里随机抽取一个球，则抽到白球的概率101
303=； （2）若从袋子里随机抽取两个球，则不同的抽法数2930
4352
?=（种）， 其中抽到两球颜色不相同的方法数为1020200?=（种）， 因此，“抽取到两个球颜色不相同”的概率为20040
43587
=
. 【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，在计算时也要注意乘法计数原理和组合计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.
20．（1）1m =-；（2）当1a >时， ()()23f f >；当01a <<时， ()()23f f <，理由见解析 【分析】
（1）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有()()f x f x -=-在函数的定义域内恒成立，进而求得m 的值，再进行检验； （2）根所在（1）中求得的m 值，得到1
()log 1
a
x f x x +=-，再求得()()2,3f f 的值，对 a 分两种情况讨论，从而得到()()2,3f f 的大小关系.
【详解】 解：（1）
31()log 1a
m x f x x -=-，31()
()log 1
a m x f x x -?-∴-=--． 又
函数()f x 的图象关于坐标原点对称，()f x ∴为奇函数，
()()f x f x ∴-=-在函数的定义域内恒成立，
331()1log log 11a a
m x m x
x x -?--∴=----， 331()1111
m x m x
x x -?--∴?=---，
()6210m x ∴-=在函数的定义域内恒成立，
1m ∴=-或1m =．
当1m =时，函数的真数为1-，不成立，
1m ∴=-．
（2）据（1）求解知，1
()log 1
a
x f x x +=-， (2)log 3a f ∴=，(3)log 2a f =．
当1a >时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增，
23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴
当01a <<时，函数()log a g x x =在(0,)+∞上单调递减，
23<，log 2log 3(3)(2)a a f f ∴>?>．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结合思想、分类讨论思想的运用，在比较大小时，注意对a 分1a >和01a <<两种情况讨论. 21．（1）0.03a =；（2）15
91
. 【分析】
（1）利用频率分布直方图所有矩形的面积和为1可求出实数a 的值；
（2）可知第二组的人数为6人，第三组的人数为8人，利用组合计数原理计算出抽取2人的方法种数，以及抽取的2人均来自第二组的方法种数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
（1）据题意得()0.010.040.02101a +++?=，解得0.03a =；
（2）据（1）求解知0.03a =，
∴第二组中人数200.03106??=（人）又第三组人数200.04108??=（人）， ∴用简单随机抽样方法从第二组、第三组中抽取2人的方法数
()
13131912
?+=（种）
其中2人均来自第二组的方法数()551152
?+=（种）
，因此，所求的概率15
91
p =. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，以及古典概型概率的计算，在基本事件较多时，可以采用一些基本的计数原理来计算基本事件数，考查计算能力，属于中等题.. 22．(1) 1a = (2) [
)4,+∞ 【分析】
（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；
（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解. 【详解】
（1）因为(
))
2
log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，
即log 0=，解得1a =. （2）由（1）可得(
))
2
log f x x =，
()212121x t g x t x x t -++?=--=?+-? 1
,2
1,2
x x ≥
< .
因为奇函数(
)
)
2
2
log log f x x ==所以()f x 在3,24??
-????
上是减函数，则()f x 在3,24??-????
上的最大值为233log 144M f ?????
?=-=-= ? ???????
，
因为()2121x t g x x t -++?=?+-? 1
,21
,2
x x ≥
<，所以()g x 在31,42??-????上是增函数，在1,22??????上是减函
数，
则()g x 的最小值为34g ??
-
???
和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ????
-
=?-+-=- ? ?????
，()22213g t t =-?++=-， 所以()()min 23g x g t ==-，
因为对任意的3,24x ??
∈-????
，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.
故t 的取值范围为[
)4,+∞. 【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.