一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难)
1.已知整式P=x2+x﹣1,Q=x2﹣x+1,R=﹣x2+x+1,若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR(其中a,b,c为常数).则可以进行如下分类
①若a≠0,b=c=0,则称该整式为P类整式;
②若a≠0,b≠0,c=0,则称该整式为PQ类整式;
③若a≠0,b≠0,c≠0.则称该整式为PQR类整式;
(1)模仿上面的分类方式,请给出R类整式和QR类整式的定义,若,则称该整式为“R类整式”,若,则称该整式为“QR类整式”;
(2)说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式;
(3)x2+x+1是哪一类整式?说明理由.
【答案】(1)解:若a=b=0,c≠0,则称该整式为“R类整式”.
若a=0,b≠0,c≠0,则称该整式为“QR类整式”.
故答案是:a=b=0,c≠0;a=0,b≠0,c≠0
(2)解:因为﹣2P+3Q=﹣2(x2+x﹣1)+3(x2﹣x+1)
=﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3=x2﹣5x+5.
即x2﹣5x+5=﹣2P+3Q,所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”
(3)解:∵x2+x+1=(x2+x﹣1)+(x2﹣x+1)+(﹣x2+x+1),
∴该整式为PQR类整式.
【解析】【分析】(1)根据题干条件,可得若a=b=0,c≠0,则称该整式为“R类整式”;若a=0,b≠0,c≠0,则称该整式为“QR类整式”.
(2)根据"PQ类整式"定义,由x2﹣5x+5=﹣2(x2+x﹣1)+3(x2﹣x+1) = ﹣2P+3Q,据此求出结论.
(3)由x2+x+1=(x2+x﹣1)+(x2﹣x+1)+(﹣x2+x+1)= PQR,据此判断即可.
2.为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段达到节水的目的,该市自来水收贵的价目表如下(注:水费按月份结算,m3表示立方米)
5m3和8m3,则应收水费分别是________元和________元.
(2)若该户居民3月份用水量am3(其中6<a≤10),则应收水费多少元?(用含a的式子表示,并化简)
(3)若该户层民4、5两个月共用水14m3(5月份用水量超过4月份),设4月份用水xm3,求该户居民4、5两个月共交水费多少元?(用含x的式子表示,并化简)
【答案】(1)10;20
(2)解:由依题意得:6×2+(a﹣6)×4=4a﹣12(元)
答:应收水费(4a﹣12)元。
(3)解:当0<x≤4时,该户居民4、5两个月共缴水费=2x+12+4×4+6(14﹣x﹣10)=52﹣4x;
当4<x≤6,该户居民4、5两个月共缴水费=2x+12+4(14﹣x﹣6)=﹣2x+44;
当6<x<7时,该户居民4、5两个月共缴水费=12+4(x﹣6)+12+4(14﹣x﹣6)=32.【解析】【解答】(1)解:该户居民1月份用水5m3,应缴水费=5×2=10(元);
2月份用水8m3,应缴水费=6×2+2×4=20(元);
故答案是:10;20
【分析】(1)①按照价目表可知,不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解;
②按照价目表可知,超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解;
(2)由题意知,用水量属于第二档,按照(1)中②的方法可求解;
(3)结合(1)的方法,分类可求解.
3.从2开始,连续的偶数相加时,它们的和的情况如下表:
S和n之间有什么关系?用公式表示出来,并计算以下两题:
(1)2a+4a+6a+…+100a;
(2)126a+128a+130a+…+300a.
【答案】(1)解:依题可得:S=n(n+1).
2a+4a+6a+…+100a,
=a×(2+4+6+…+100),
=a×50×51,
=2550a.
(2)解:∵2a+4a+6a+…+126a+128a+130a+…+300a,
=a×(2+4+6+…+300),
=a×150×151,
=22650a.
又∵2a+4a+6a+…+124a,
=a×(2+4+6+…+124),
=a×62×63,
=3906a,
∴126a+128a+130a+…+300a,
=22650a-3906a,
=18744a.
【解析】【分析】(1)根据表中规律可得出当n个连续偶数相加时,它们的和S=n(n+1);由此计算即可得出答案.
(2)根据(1)中公式分别计算出2a+4a+……+300a和2a+4a+……+124a的值,再用前面代数式的值减去后面代数式的值即可得出答案.,
4.糖业是我省重要的生物资源产业.我省某糖业集团今年4月收购甘蔗后入榨甘蔗250万吨,榨糖率为12%.经市场调查知5月份糖的销售价为2940/吨,若糖业集团在5月销售4月生产的糖,产销率为60%;又知糖业集团若在6月、7月两个月内销售4月生产的糖,销售价将在5月的基础上每月比上月降低6%、糖销量将在5月的基础上每月比上月增加9%.
(1)问2005年4月糖业集团生产了多少吨糖?
(2)若糖业集团计划只在7月销售4月生产的糖,请求出该糖业集团7月销售4月生产的糖的销售额是多少?(精确到万元)(注:榨糖率=(产糖量/入榨甘蔗量)×100%,产销率=(糖销量/产糖量)×100%,销售额=销售单价×销售数量).
【答案】(1)解:2005年4月糖业集团产糖250×12%=30(万吨)=300000(吨)
(2)解:设7月份的糖价为x元/吨,
则据已知条件有x=2597.784(元/吨);
设7月份的糖销量为y吨,
则据已知条件得:y=30×0.60×(1+9%)2=21.3858(万吨)
设7月份销售4月份产糖的销售额为w元,
则据题意得:w=2597.784×21.3858≈55556(万元).
答:糖业集团7月份销售4月份产糖的销售额约为55556万元.
【解析】【分析】(1)根据产糖量等于入搾甘蔗量乘以搾糖率即可求解;
(2)由题意先求出7月份的糖价=2940(1-6%)2=2597.784元/吨,再求出7月份的糖销量=30×0.60×(1+9%)2=21.3858(万吨),最后根据销售额等于销售单价乘以销售量即可解
答。
5.已知x1, x2, x3,…x2016都是不等于0的有理数,若y1= ,求y1的值.
当x1>0时,y1= = =1;当x1<0时,y1= = =﹣1,所以y1=±1
(1)若y2= + ,求y2的值
(2)若y3= + + ,则y3的值为________;
(3)由以上探究猜想,y2016= + + +…+ 共有________个不同的值,在y2016这些不同的值中,最大的值和最小的值的差等于________.
【答案】(1)解:∵ =±1, =±1,
∴y2= + =±2或0
(2)±1或±3
(3)2017;4032
【解析】【解答】解:(2)∵ =±1, =±1, =±1,
∴y3= + + =±1或±3.
故答案为±1或±3,
( 3 )由(1)(2)可知,
y1有两个值,y2有三个值,y3有四个值,…,
由此规律可知,y2016有2017个值,
最大值为2016,最小值为﹣2016,
最大值与最小值的差为4032.
故答案分别为2017,4032.
【分析】(1)根据题意先求出=±1,=±1,就可求出y2的3个值。
(2)根据题意先求出=±1,=±1,=±1,分情况讨论求出y3的4个值。
(3)根据(1)(2)的规律,可知y2016就有2017个不同的值,最大值的和是2016个1相加,最小值的和是2016个-1相加,再求出它们的差即可。
6.阅读:将代数式x2+2x+3转化为(x+m)2+k的形式(其中m,k为常数),则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=(x+1)2+2,其中m=1,k=2.
(1)仿照此法将代数式x2+6x+15化为(x+m)2+k的形式,并指出m,k的值.
(2)若代数式x2﹣6x+a可化为(x﹣b)2﹣1的形式,求b﹣a的值.
【答案】(1)解:∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=(x+3)2+6,
∴m=3.k=6;
(2)解:∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=(x﹣3)2+a﹣9=(x﹣b)2﹣1,
∴b=3,a﹣9=﹣1,即a=8,b=3,
∴b﹣a=﹣5.
【解析】【分析】(1)根据完全平方公式的结构,按照要求x2+6x+15=x2+6x+32+6=(x+3)2+6,可知m=3.k=6,从而得出答案.
(2)根据完全平方公式的结构,按照要求x2-6x+a=x2-6x+9-9+a=(x-3)2+a-9=(x-b)2-1,即可知b=3,a-9=-1,然后将求得的a、b的值代入b-a,并求值即可.注意完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2
7.将连续的偶数2,4,6,8……,排成如下表:
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系?
(2)设中间的数为x,用代数式表示十字框中的五个数的和,
(3)若将十字框上下左右移动,可框住另外的五个数,其它五个数的和能等于2010吗?如能,写出这五个数,如不能,说明理由.
【答案】(1)解:十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5,即是16的5倍(2)解:设中间的数为x,则十字框中的五个数的和为:
(x﹣10)+(x+10)+(x﹣2)+(x+2)+x=5x,所以五个数的和为5x
(3)解:假设能够框出满足条件的五个数,设中间的数为x,由(2)得
5x=2010,所以x=402,但402位于第41行的第一个数,在这个数的左边没有数,所以不能框住五个数,使它们的和等于2010
【解析】【分析】(1)按有理数的加法法则计算出十字框中的五个数的和,再将这个和除以最中间的数16,即可发现关系;
(2)设中间的数为x,则左边的数是(x-2),右边的数是(x+2),上边的数是(x-10),下边的数是(x+10),将这5个数相加,再合并同类项即可得出答案;
(3)假设能够框出满足条件的五个数,设中间的数为x,由(2)得这五个数的和是5x,由五个数的和等于2010,列出方程,求解,得出x的值,由于所得的x的值位于第41行的第一个数,在这个数的左边没有数,所以不能框住五个数,使它们的和等于2010。
8.如图所示,数轴上有A、B、C、D四个点,分别对应的数为a、b、c、d,且满足a=﹣2,|b|=0,(c﹣12)2与|d﹣18|互为相反数.
(1)b=________;c=________;d=________.
(2)若A、B两点以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动,同时C、D两点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动,并设运动时间为t秒,问t为多少时,A、C两点相遇?
(3)在(2)的条件下,A、B、C、D四点继续运动,当点B运动到点D的右侧时,问是否存在时间t,使得B与D的距离是C与D的距离的3倍?若存在,求时间t;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)0;12;18
(2)解:当运动时间为t秒时,点A对应的数为2t﹣2,点C对应的数为12﹣t,
根据题意得:2t﹣2=12﹣t,
解得:t= .
答:t为时,A、C两点相遇
(3)解:假设存在,当运动时间为t秒时,点B对应的数为2t,点C对应的数为12﹣t,点D对应的数为18﹣t,
∵点B在点D的右侧,且B与D的距离是C与D的距离的3倍,
∴2t﹣(18﹣t)=3[(18﹣t)﹣(12﹣t)],
解得:t=12.
答:存在时间t,使得B与D的距离是C与D的距离的3倍,此时t的值为12
【解析】【分析】(1)∵|b|=0,(c﹣12)2与|d﹣18|互为相反数∴(c﹣12)2+|d﹣
18|=0,∴b=0,c=12,d=18.
故答案为:0;12;18;
(2)左减右加,t秒后A表示的数是-2+2t,即2t-2,类似的,C点t秒后表示的数为12-t,相遇时即两个点重合,表示同一个数,即2t﹣2=12﹣t;
(3)两点之间的距离等于表示点的数的差(大减小).
9.观察下表:
我们把表格中字母的和所得的多项式称为"'特征多项式",例如:第1格的“特征多项式”为4x+y,第 2 格的“特征多项式”为 8x+4y, 回答下列问题:
(1)第 3 格的“特征多项式”为________第 4 格的“待征多项式”为________, 第 n 格的“特征多项式”为________.
(2)若第 m 格的“特征多项式”与多项式-24x+2y-5 的和不含有 x 项,求此“特征多项式”. 【答案】(1)12x+9y;16x+16y;4nx+n2y
(2)解:由(1)可得,第m格的“特征多项式”是4mx+m2y,
∴(4mx+m2y)+(?24x+2y?5)=4mx+m2y?24x+2y?5=(4m?24)x+(m2+2)y?5,
∵第m格的“特征多项式”与多项式?24x+2y?5的和不含有x项,
∴4m?24=0,解得m=6,
∴此“特征多项式”是24x+36y.
【解析】【解答】解:(1)由表格可得:第3格的“特征多项式”为12x+9y,第4格的“特征多项式”为16x+16y,第n格的“特征多项式”为4nx+n2y,
故答案为:12x+9y, 16x+16y, 4nx+n2y;
【分析】(1)根据表格中的数据找出规律即可解答本题;(2)根据(1)中的结果可以写出第m格的“特征多项式”,然后根据“和不含有x项”可以求得m的值,从而可以写出此“特征多项式”.
10.已知(其中是各项的系数,是常数项),我们规定的伴随多项式是,且
. 如
,则它的伴随多项式
.
请根据上面的材料,完成下列问题:
(1)已知,则它的伴随多项式 ________.
(2)已知,则它的伴随多项式 ________;若,x=________
(3)已知二次多项式,并且它的伴随多项式是,若关于的方程有正整数解,求的整数值.
【答案】(1)5x4
(2)10x-27;x=4;
(3)解:∵
∴g(x)=2(a+3)x+16=(2a+6)x+16,
由g(x)=-2x,得(2a+6)x+16=-2x,
化简整理得:(2a+8)x=-16,
∵方程有正整数解,
,
∴,
∵a为整数,
∴a+4=-1或-2或-4或-8,
∴a=-5或-6或-8或-12.
【解析】【解答】解:(1)∵,
∴g(x)=5x4;
故答案为:5x4;
( 2 )解:∵ = ,
∴g(x)=10x-27,
由g(x)=13,得10x-27=13,
解得:x=4;
故答案为:10x-27;x=4;
【分析】(1)由题意可知n=5,根据题中的新定义确定出g(x)即可;(2)先变形为 = ,再根据题中的新定义确定出g(x),并求出所求x的值即可;
(3)确定出f(x)的伴随多项式g(x)=(2a+6)x+16,由g(x)=-2x得,再根据方程有正整数解,确定出整数a的值即可.
11.将7张相同的长方形纸片(如图1)按图2所示的方式不重叠地放在长方形ABCD内,未
被覆盖的部分恰好可以分割为两个长方形,面积分别为S1和S2.已知小长方形纸片的长为a,宽为b,且a>b.
(1)当a=9,b=2,AD=30时,S1-S2=________.
(2)当AD=30时,用含a,b的式子表示S1-S2.
(3)若AB长度不变,AD变长,将这7张小长方形纸片按照同样的方式放在新的长方形ABCD内,而且S1-S2的值总保持不变,则a,b满足的关系是________.
【答案】(1)48
(2)解:S1-S2
=a(30-3b)-4b(30-a)
=30a-120b+ab
(3)a=4b
【解析】【解答】(1)解:当a=9,b=2,AD=30时,S1=a(30-3b)=9×(30-3×2)=216
S2=4b(30-a)=4×2×(30-9)=168
S1-S2=216-168=48
3)解:设AD=m,
S1-S2
=(am-3ab)-(4bm-4ab)
=am-4bm+ab
若S1-S2的值总保持不变,则S1-S2的值与m的取值无关,所以有am-4bm=0
则a=4b.
【分析】(1)观察图形,分别求出S1和S2的面积,再求差即可;(2)用含a、b的代数式分别表示S1和S2的面积,再求差即可;(3)设AD=m, 用含a、b、m的代数式分别表示S1和S2的面积差,再去括号合并同类项,根据题意S1-S2的值总保持不变,即可解答.
12.某服装厂生产一种围巾和手套,每条围巾的定价为50 元,每双手套的定价为20 元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:
方案①:买一条围巾送一双手套;
方案②:围巾和手套都按定价的 80%付款.
现某客户要到该服装厂购买围巾 20 条,手套双( >20)
(1)若该客户按方案①购买,则需付款________元(用含的代数式表示);
若该客户按方案②购买,则需付款________元(用含的代数式表示);
(2)若 =30,则通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
【答案】(1)();()
(2)解:∵x=30,
∴方案①费用:600+20x=600+20×30,
=600+600,
=1200(元).
方案②费用:800+16x=800+16×30,
=800+480,
=1280(元).
∵1200<1280,
∴方案①购买较为合算.
【解析】【解答】解:(1)依题可得:
方案①需付款:50×20+20×(x-20),
=1000+20x-400,
=600+20x(元);
方案②需付款:(50×20+20x)×0.8,
=(1000+20x)×0.8,
=800+16x(元).
故答案为:(600+20x);(800+16x).
【分析】(1)根据题意分别列出两个方案费用的代数式.
(2)将x=30分别代入(1)中所得代数式,算出结果,比较大小,从而得出答案.