第 28 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
第八章 稳恒电流的磁场
§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一． 磁的基本现象 二． 磁场
三． 磁感应强度矢量 四． 毕—萨定律
五． 毕——萨定律的应用 目的要求：
1．理解电流产生磁场的规律：毕奥——萨伐尔定律，了解低速匀速运动点电荷产生磁场的规律。
2．掌握描述磁场的场参量：磁感应强度。
3．掌握场量叠加原理，能计算一些简单问题中的场量。 重点与难点:
1.毕——萨定律的理解；
2.能用毕—萨定律求一些简单问题的B
教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1． 毕奥——萨伐尔定律是电流产生磁场的基本规律，是矢量积分。
2． 直线电流的磁场和圆电流在轴线上的磁场是用毕奥——萨伐尔定律计算电流产生磁场
的典型例题。其结论不仅可以计算折线电流和圆电流在圆心处的磁场，还可以计算以此结论为基础的电流的磁场，例如例题1的计算。
3． 低速运动电荷的磁场是以电流的磁场计算公式为基础的。应重点介绍其电流强度为：qnvs I
教学内容：
§8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一．磁的基本现象
1． 两个永久磁铁的磁极间的相互作用 2． 电流和电流间的相互作用
磁现象的本质都是由运动的带电粒子所产生的，例如，根据安培的分子电流假设，磁铁的磁现象来源于分子电流。 二．磁场
1。磁的相互作用是通过场来实现的， 磁铁 磁场 磁铁 电流 磁场 电流 磁场的物质性：
磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体有磁力的作用，说明磁场具有动量； 磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体能做做功，说明磁场具有能量。 三． 磁感应强度矢量
1.B 的引入
磁场的存在是通过对运动电荷或电流的作用显示的。为了定量地描述磁场，如同电场，类
似地引入磁感应强度作为磁场的描述参量，它可以通过磁场对作探测用的运动正点电荷
0q (试验电荷)或载流小线圈(试验线圈)的力作用来确定。磁感应强度常用字母B 表示，不
难理解，它是一个矢量，是位置坐标的函数。
2.以下通过磁场对试验电荷的作用来定义磁感应强度B 。
实验表明：以速度v 相对磁场运动的试验电荷0q (0q ＞0)，在磁场中某位置处的受力不
仅与电荷的电量
0q 有关，还与它在该处相对磁场运动的方向和大小有关。若仅改变0q 在此
处的运动方向，发现存在两个特定方向，在其中一个方向上受力最大，记为m F ；在另一个
方向上不受力，且这两个特定方向相互垂直。
洛伦兹力的一般表达式： B v q F
qvB F m 因此定义磁场中该位置处的磁感应强度B 的大小为 qv
F B m
在实验室中，常采用磁场对试验线圈产生的力矩作用来测定磁场，相应也可以用类似方法来定义磁感应强度。 3.在国际单位制(SI)中，磁感应强度的单位称为特斯拉，用字母T 表示。有时也用高斯 (G)作单位，G T 4
101 四．毕—萨定律 运动电荷激发磁场，最通常和有实际意义的是稳恒电流所激发的磁场，叫做稳恒电流的磁场，简称稳恒磁场。稳恒电流总是闭合的，又是多种多样的。
为求任意电流的磁场，先将电流分成许多小元段，称为电流元Id l
。毕—萨定律是关于
电流元Id l
与其所产生的磁场d B 间关系的实验定律。其数学表达式如下：
304r r l Id B d
304r r
l Id B （矢量积分），
式中积分范围是线电流的分布区域。
五．毕——萨定律的应用
方法:（1）.304r r l Id B d
20sin 4r Idl dB
（2）．建立坐标系，求x dB ，y dB ，z dB
（3）．利用几何关系统一积分变量，积分求出
z
y x B B B ,,
（4）．求大小：2
2
2z y x B B B B ，并判断其方向。
1．直线电流的磁场。如图，设直线电流长为L ，在它周围任一场点P 到直线电流的距离为r ，P 的位置由r 和角度1 和2 确定。
在线电流上不同位置处的电流元在P 点产生的d B 是不相同的，故求解时首先必须取微元(电流元)，再求关于d B 的矢量积分。这在思路上与静电场中运用点电荷的电场和场叠加原理求解带电体的电场是一致的。
20sin 4r Idl dB
利用几何关系统一积分变量:
cos sin ， cos a r ， atg l
2
cos ad dl d a I a Iad dB cos 4cos cos cos 402
220
)
sin (sin 4cos 412002
1
a
I
d a I dB B
或者：
)cos (cos 4210
a I
B
特例：无限长载流直导线：
)
2(1
，
22
得：a I B 20
上述结论的意义：
(1)可直接计算载流直导线、无限长载流直导线及折线电流的磁场； (2)可计算以长直电流为基础的其它电流的磁场。
例1 已知电流强度为I ，宽度为a 的无限长面电流，求与之共面且相距为a 的一点的B
。 解：由无限长载流直导线的B ： )2(2200x a dI dB a I
B
因为
dx
a I dI ， 所以2
ln 2)2(2000a I dx a x a I B a
圆电流轴线上的磁场
设圆半径为R ，所载电流为I 。在圆电流上
任取一电流元Id l ，它在轴上任一场点P 的d B (教材图6.4)：
20
),sin(4r r l d Idl dB
分解dB ： dB 和
px
dB 。
由于 dB 互相抵消，
所以 ： sin 4sin 2
0r Idl
dB dB px
2322203
030)(2244x R I
R R r IR dl r IR B B px 特例：圆心处，0 x ，
R I B 20 ； N 匝，R I N B 20
例题2.一塑料圆盘半径为R ，均匀带电q ，以角速度 转动，求圆心处的B
解：
dI x dB 20 ， 2)
2(2xdx R q dI
R q B dx R q dB 220
20 三． 载流直螺线管轴线上的磁场。
导线均匀地密绕在圆柱面上形成的螺形线圈(如图)称为螺线管。设螺线管长为L ，半径为R ，电流强度为I ，沿轴线单位长度线圈匝数为n 。因为线圈是密绕的，所以可把它看成是由许多匝圆形线圈紧挨密排组成，载流后则视为密挨的一组圆电流。
)
cos (cos 2
120
nI B
由上式结果知，在载流螺线管轴线上 任一点的B 值与该点的位置及螺线管的 长度有关。图6.6给出了B 沿轴线的值 分布以及磁感线的分布示意图。
对于无限长螺线管：
由于
＝0，2
＝π，得
nI B 0 。
4．低速运动电荷的磁场 电流实质上是由相对观察者有宏观定向运动的电荷形成，因此电流产生磁场，实质是运动电荷产生磁场。以下从电流元与其磁场关系的毕——萨定律出发，导出运动电荷与其所激发的磁场的关系，严格说应是低速运动电荷的磁场，因为载流导体中自由电子的定向漂移速度仅为4
10 米／秒的数量级。
定义：n ----单位体积内的带电粒子数， q ----每个粒子的电量， s ----截面积， v ----粒子的速度
电流强度：qnvs I ，电流元与其所激发的磁场关系为
20
),sin()(4r r v dl qnvs dB
因为在电流元l Id
内，有带电粒子数为：nsdl dN ，
所以每个带电粒子的20)
,sin(4r r v qv dN dB B
矢量表达式：
304r r
v q B
第 29 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§8.2 磁场定理 一．磁通量
二．磁场的高斯定理 三．安培环路定理 四．安培环路定理的应用 目的要求：
理解磁场定理：磁场的高斯定理和安培环路定理，掌握用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。 重点与难点:
1.m
的计算：
ds
B ds B s d B s
n s
s m cos
2.安培环路定理的理解
3.求B
的第二种方法（
i
i
I l d B 0 ）
教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1． 1． 磁场的高斯定理说明磁场是无源场。用磁力线的术语来说，就是磁力线是无头无尾
的闭合曲线。
2． 2． 环路上的磁感应强度B 是环路内、外所有电流所产生的磁场，但B 的环流由式 i
i
I l d B 0
知仅与环路所包围的电流的代数和有关。即没有穿过回路的电流对总
场有贡献，但对环流没有贡献。
3． 3． 利用安培环路定理也可以方便地计算出某些具有对称性的载流体的磁场分布。与利
用高斯定理求解电场一样，利用安培环路定理求磁场分布一般也包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取合适的闭合路径(又称安培环路)，再利用安培环路定理计算B 。
4． 4． 无限长直均匀载流圆柱体外、无限长直均匀载流圆柱面外任一点的B
等于把这些电
流全部集中在轴线上无限长直均匀载流直导线所产生的B
。
教学内容： §8.2 磁场定理 一.磁通量
同于电场中电通量的定义，在磁场中若面元S 处的磁感应强度为B ，则定义
ds B s d B d m cos
为面元的磁感应通量，简称磁通量。 对任意有限曲面S ，其磁通量为
ds
B ds B s d B s
n s
s m cos
积分遍及整个曲面。
在国际单位制(SI)中，磁通的单位为特斯拉·米，又称为韦伯(
b W )。
例1如图所示，两根平行长直线电流1、2，相距为h ，分别载电流为1I 和2I ， 求：(a) 两线电流所在平面内与它们等距的点A 处的磁感应强度； (b) 通过图斜线所示面积的磁通量。
解：(a) 无限长载流直导线的磁感应强度：
h I B 101
，h I
B 2
02 )
(2102121I I h B B B B B B
(b) ldr
r h I
r I s d B d m )(2210
))(ln ln (2)(2211
2
1211021021
1
r r h r h I r r r I l dr r h I r I l d r r r s m m
二．磁场的高斯定理
在电场中，由于有独立的电荷存在，因此电力线是从正电荷出发，到负电荷终止，因此电场中有高斯定理
s e q
s d E 0
由毕—萨定律，已经知道电流元激发的磁场的磁感应线是自行封闭的曲线，那么对于任何闭合的空间曲面(高斯面)，无论它是否包含电流元在内，都将得到通过高斯面的磁通量恒等于零。由叠加原理不难理解由电流元所组成的任意电流，在它们激发的磁场中，通过任意高斯面的磁通量也恒等于零，用数学式表示为
s m s d B
上式的含义是：在任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量总等于零。这就是磁场的高斯定理，又叫磁通连续原理。与电场的高斯定理比较，可知磁通连续反映了自然界中没有与电荷相对应的磁荷(或叫单独的磁极，简称磁单极)存在。近代关于基本粒子的理论研究预言有“磁单极”存在，如：1931年英国物理学家狄拉克把量子力学和宏观电磁理论结合起来研究时提出：电荷的量子化是与磁单极子存在有关。在八十年代，又有人根据大统一理论提出磁单极子应当存在。但事到如今，除了个别事件可作例证外，还没有实验可以证明它的存在，因此磁单极是否存在还是有待探索的，尚不能给出定论。
将式0
s m s d B
与电场中的高斯定理进行比较，可知电、磁场是具有不同性质
的两个场。
三．安培环路定理
用毕—萨定律表示的电流和它的磁场的关系，可以用另一种形式表示出来，这就是安培环路定理，即磁场中的环流定理。它的表述是： 在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B 沿任意闭合路径L 的线积分(环流)等于通过这个环路
包围面积的所有电流强度的代数和I 的
0 倍。用数学形式表示为
i i
I l d B 0
以下以长直线电流的磁场为例证明上述关系。 (1) (1)
(2) 任一闭合曲线L 包围一长直线电流(如图所示)。在垂直于线电流的平面上任取一包围
线电流的闭合曲线L(如图)，计算B 沿此曲线的线积分(环流)。因为由毕—萨定律已导出长直线电流的B 大小为
r
I B 20
方向沿以I 为中心，r 为半径的圆周切线方向。
I dl r
I dl B 002
上式在电流正方向与环路绕行方向成右手螺旋关系时成立。若当电流方向相反时，环路绕行 方向不变，则B 沿L 的环流应为
I dl r
I dl B 002
(2)如果闭合曲线不包围长直线电流，可见环路不包围线电流时， B 的环流等于零。 (3)闭合曲线包围多根长直线电流。 设空间有n 根长直线电流，其中的m 根线电流被闭合曲线L 包围，由磁场的叠加原理有
i i
I l d B 0
这就是要证明的安培环路定理。
上述的证明是以长直线电流的磁场为例进行的，在电动力学中可证明，式
s
m s d B
对于在任意稳恒电流的磁场中的任意闭合曲线都正确。
在准确理解安培环路定理时应注意下面几点： （1）安培环路定理仅适用于稳恒电流，稳恒电流一定形成闭合的回路，对于非稳恒电流（电流元、有限长载流直导线等），安培环路定理不适用。
(2) 环路上的磁感应强度B 是环路内、外所有电流所产生的磁场，但B 的环流由式
i
i
I l d B 0
知仅与环路所包围的电流的代数和有关。即没有穿过回路的电流对总场
有贡献，但对环流没有贡献。
(3) 由式 i i
I l d B 0
知， B 的环流一般地不等于零，比较静电场中E 的环流总是
恒等于零，知对于磁场不存在类似静电场那样的标量函数(势)来描述磁场。由于磁场的环流不等于零，因此又把具有这种特性质的场称为涡旋场。
(4)式
i
i
I l d B 0
中右侧的电流I 为环路L 包围的所有电流的代数和，电流I 与回
路成右手螺旋时，电流为正。那么环路怎样才算包围了电流呢?所谓被环路包围的电流是指穿过以该环路为边界的任一曲面的电流。 四．安培环路定理的应用
安培环路定理以B 的环流表示了磁场与它的场源电流间的关系，是对任意稳恒电流产生的任意磁场都适用的。正如利用电场的高斯定理可以方便地计算某些具有对称性的带电体的电场分布一样，利用安培环路定理也可以方便地计算出某些具有对称性的载流体的磁场分布。 与利用高斯定理求解电场一样，利用安培环路定理求磁场分布一般也包含两步：首先依据电流的对称性分析磁场分布的对称性，然后选取合适的闭合路径(又称安培环路)，再利用安培环路定理计算B 。计算的关键是要使B 从环路积分∮B ·d l 中提出来，注意由下列例题体会这一点。例如，对于无限长载流（直导线、圆拄面、圆拄体），安培环路取垂直于载流直导线的圆面
例1 求无限长直均匀载流圆柱体的磁场。设圆柱体的半径为R ，电流强度为I 。 解：安培环路取垂直于载流圆柱体轴线、半径为r 的圆面
柱体外任一点：R r r I
B I l d B 200 柱体内任一点：R
r 2002R r I B I l d B
特例：1.无限长直均匀载流圆柱面外任一点：
r I B I l d B 200 无限长直均匀载流圆柱面内任一点：0 B
2．无限长直均匀载流直导线：
r I B I l d B 200 结论：无限长直均匀载流圆柱体外、无限长直均匀载流圆柱面外任一点的B
等于把这
些电流全部集中在轴线无限长直均匀载流直导线所产生的B
。
例2 求无限长直载流密绕螺线管内的B 解：安培环路如图
nI
ab ab B Bdl l d B l d B l d B l d B l d B ab
ab
bc
cd da 0_
所以；
nI B 0
例3求载流密绕螺绕环内的磁场。设环管的轴线半径为R ，R ＝（21R R ）/2，21,R R 为环的内外半径。环上均匀密绕N 匝线圈，通有的电流为I 。 解：安培环路取载流密绕螺绕环内的圆面（圆周长为l ）
l NI B NI bl l B 00 如果螺绕环的截面积很小，则l 可以视为螺绕环的平均周长，所以n
l N
由此得到：
nI B 0
此结论与无限长直载流密绕螺线管内的 B 相同。这不是偶然的，因为无限长直载流密绕螺线管可以看作螺绕环 R 时的极限情况。 比较以上三例利用安培环路定理求解B 时，如何根据磁场分布的对称性对环路的选择：在例1、2、3中环路上B 大小处处相等，且与回路绕向夹角处处相同(θ＝0）；而在例2中部分路上B 处处相同,在另一些支路上使其关于B 的路积分为零。
第 30 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§8.3 磁场对运动电荷和电流的作用 一．磁场对运动电荷的作用（运流电流）
洛伦兹力；带电粒子在电场和磁场中的运动 二．霍尔效应
三． 三． 磁场对电流的作用--安培力公式
安培定理；均匀磁场中一段载流直导线所受的安培力；均匀磁场对载流导线圈的磁力矩 目的要求：
理解磁场对电流和运动电荷的作用；了解磁偶极子及它在磁场中所受的作用。 重点与难点:
1．如果0v 与B 斜交 时，带电粒子在匀强磁场中的运动；
2．安培定理的理解和应用；
3．均匀磁场对载流导线圈的磁力矩。 教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1. 洛伦兹力和安培力的公式可以互推，其关键点在于其电流强度为：qnvs I
2. 安培力的计算公式仍然是矢量积分，应充分重视。
3. 均匀磁场对载流导线圈的磁力矩的计算也应该充分注意。
4．在均匀磁场中，任意形状的平面载流导线所受的磁力与导线的形状无关，等于导线两端点的连线通以同方向电流时所受的磁力。 教学内容：
一． 一． 磁场对运动电荷的作用（运流电流） 1．1．洛伦兹力
实验表明，在磁场中一个以速度v 运动的电荷q 所受的磁力
B v q F m
式中的电量q 是代数量，有正、负之分，又称为洛仑兹力。应注意的是，洛仑兹力m F 与运
动速度v 垂直，因此不做功。
若有一匀强磁场B ，一质量为m ，带电量为q 的粒子以速度0v 进入磁场中运动。则
（1）（1）如果0v 与B 同向，m F =0，带电粒子仍以速度0v
作匀速直线运动； （2）（2）如果0v 与B 垂直，qvB F m
，带电粒子作圆周运动
圆周运动的半径R ：
R v m
qvB 2
qB mv R 0 周期： 02v R T ， T 与0v
无关，这一点被用在回旋加速器中来加速带电粒子。
思考题：两个电子同时由电子枪射出，它们的初速度均与磁场垂直，速度分别为v 和
v 2。经磁场偏转后，那个电子先回到出发点。
解：它们在洛仑兹力的作用下做圆周运动。02v R
T
与初速度无关，所以它们同时回
到出发点。
（3）如果0v 与B 斜交 ，
平行于B 的方向： cos 00v v x ， 带电粒子仍以速度x v 0 作匀速直线运动；
垂直于B 的方向：
sin 00v v y ， 带电粒子作匀速圆周运动，
匀速圆周运动的半径：
sin 0
0qB mv qB mv R y
螺距：
cos 220
000qB mv v R v T v h y x
x
2．2．带电粒子在电场和磁场中的运动
仅有电场：E q F e
仅有磁场： B v q F m
带电粒子在电场和磁场中的运动：
B v q E q F F F m e
。在一般情况下，求
解这个方程是比较复杂的。
例1． 如图所示为滤速器原理图，K 为电子枪，从枪中沿 KA 方向互相垂直的均匀电
场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进通个过小孔 S 。设匀强电场为
E ，方向如图所示，匀强磁场为B 。问：B
的方向？速率多大的电子才能通过
小孔S ？
解：)(B v e f B ， E e f E
若要求两力平衡，则有 eE evB
所以
B E
v
，B
的方向如图所示。
二．霍尔效应
在匀强磁场B 中放一板状金属导体，金属板的宽度为a ，厚度为b(教材图6.16a)。在金属板中沿着与磁场B 垂直的方向通以电流I 时，在金属板上下两表面间会出现横向电势差
H U ，这种现象叫霍尔效应， H U 叫霍尔电势差。实验还指出有如下定量关系：
b IB
R U H
H
式中H R 是仅与载流导体材料有关的系数，叫霍尔系数。下面应用运动带电粒子在电、磁场
中受力作用解释这一现象。
金属中的电流是自由电子的宏观定向运动。运动的电子在磁场中要受磁力作用，将向上偏移(教材图6.18b)，结果使导体上表面有剩余的电子累积，相对地，下表面表现出正电性，
从而在内部形成方向向上的电场E ，随着电荷的累积，电场增强。当导体内电子所受的电场力与洛仑兹力相平衡，则达到稳定状态，上下两底面间电势差H U 恒定，因此有 evB eE
Ea U U U H 21
上式中的v 为电子宏观定向运动平均速率。由电流强度I 定义有 nevab I
式中n 为载流导体内自由电子数密度。由以上三式得
)(1b IB ne U H
比较上两式知霍尔系数H R ＝－1/(ne)。
霍尔效应不仅在载流的金属导体中会发生，在半导体和导电流体(如等离子体)中也会发生，所不同的是金属导体中形成电流的是电子(又称载流子是电子)，而在半导体中的载流子可为电子或空穴(正电性)，在等离子体中的载流子可为正离子或负离子，因此霍尔系数H R 一般记为H R ＝１/(nq)。由此可知H R 有正负之分。在实验中可通过测定H R 确定载流材料中载流子的浓度n ，以及载流子的电性(q ＞0或q ＜0）。 霍尔效应广泛应用于半导体材料的测试和研究中。如半导体内载流子的浓度受温度、杂质以及其它因素的影响很大，霍尔效应为研究半导体载流子浓度的变化提供了测试方法。又如用霍尔效应确定半导体是电子型(n 型)，还是空穴型(P 型)。在传感器技术中，利用霍尔效
应可制成磁敏传感器，由式
)(1b IB ne U H
知，霍尔电势差H U 正比于磁场B ，因此可利用测定H U ，从而测定磁场B ，由式
)
(1b IB
ne U H 还知，可利用霍尔效应测定电流强度。从霍尔效应产生的物理机制，还可以利用它把直流电流转换成交流电流并对它进行调制，实现
转换信号等。总之，霍尔效应在工程技术中得到了相当广泛的应用。 三．磁场对电流的作用--安培力公式 1． 安培定理
导体中的电流是由内部的载流子的定向运动形成的。当把载流导体置于磁场中时，导体内运动的载流子将受到洛仑兹力作用，其结果将表现为载流导体受磁力的作用，这个力又称安培力。
设该电流元的导线元段长为dl 、横截面积为S 、单位体积内的载流子数n 、每个载流子的电量为q(设q ＞0）。若电流元所在位置处的磁场为B ，那么每个载流子受的洛仑兹力为
V q ×B
，其中v 为载流子的定向运动速度。由于电流元内的载流子数为nSd l ，因此电流元
内所有载流子受的总磁力，即安培力F d 为：
B v qnsdl B v dNq F d 由电流元的定义知，
v nsdlq l Id 所以，安培力dF 为：B l Id F
由此可知载流子所受的洛仑兹力是宏观安培力的微观机制。安培力公式最初是由安培根据实验归纳分析得出的。上式原则上可求得任意形状载流导线L 受的磁力为
B
l Id F
（矢量积分）
例1． 求平行电流间单位长度上的相互作用力。设两根平行长直线电流分别载流为1I 和2I ，相距为d 。
解： 因为：B l Id f d
，两根平行长直线电流分别载流为1I 和2I ，所以每单位长度上
导线受力：
a I I IB dl
df
22
10 由上式可得到国际单位制(SI)中，电流强度的单位 “安培”的规定：设在真空中两根平
行长直载流导线，相距为1m ，载流大小相同，若导线每米长度受力为2×7
10 N ，则每根导
线载流即为1“安培”(A)。
例2． 一匀强磁场B 内，有一任意形状的载流导线L ，其所在平面垂直于B(如图所示) 两端ab 相距为2R ，载流I ，求该载流导线所受的磁力。 此题结果告诉我们：在均匀磁场中，任意形 状的平面载流导线所受的磁力与导线的形状无 关，就等于导线两端点的连线通以同方向电流 时所受的磁力。
由这个结果可以马上判断出：任一闭合载流 平面线圈，在均匀磁场中所受的合力等于零。 这一结论在讨论载流线圈受磁场作用时将直 接用上。 2． 均匀磁场中一段载流直导线所受的安培力
sin sin 0IlB IdlB F d F l
3． 均匀磁场对载流导线圈的磁力矩
首先讨论载流矩形线圈在均匀磁场中所受的力矩(如图)。由例6.10已知该载流线圈在均
匀磁场中受的合力为零。但由图a 的俯视图b 可看出2F 和4F 虽然大小相等、方向相反，但力作用线不在同一直线上，是一对力偶，将产生相对OO ′轴的力偶矩M ， M 的大小等于 sin 12l F M
其中θ为载流线圈的法向n 与 磁场B 间夹角，242BIl F F ， 所以有
sin sin 2
1BIs l l BI M
其中S 为线圈平面面积。由载流线 圈的磁矩的定义及磁力矩M 的方向， 上式用矢量叉乘表示为
B P M m
其中，s NI P m
，为载流线圈的磁矩。
虽然上式是由均匀磁场中的矩形载流线圈得到，但不难证明，它对于任意形状的平面载流
线圈，上式仍然成立。因此上式是在匀强磁场中任意平面载流线圈所受的磁力矩公式，在该力矩作用下线圈将发生转动，且此力矩总是力图使线圈的磁矩转至沿磁场B 的方向。 综上所述，匀强磁场中的刚性平面载流线圈，整体不受力作用，但受有磁力矩的作用，因此它将发生转动而不发生整个线圈的平动。在非均匀磁场中，载流线圈所受的合力和合力矩一般都不会等于零，所以线圈除转动外还要平动。可以证明，合力的大小与线圈的磁矩和磁 感应强度的梯度成正比，在合力作用下，载流线圈将向磁场较强处移动。 磁场对载流线圈作用力矩的规律是制成各种电动机和电流计的基本原理。
例3． 求图示的长度为l ，电流为2I 的载流导线在无限长直电流1I 所产生的磁场中所受的安培力。
解：因为；B l d I f d
22
所以：
cos 21
02x a I dx
I df a l a I I x a dx I I f l cos ln
cos 2cos 22100210
特例：若0
90 ，则
a l a I I f ln 2210 例题4在玻尔氢原子模型中，电子绕原子核作圆轨道运动，在常态下电子与核的距离(玻
尔半径)为r=5.3×11
10 m ，其轨道运动速率υ＝2.2×6
10m/s 。 求：(1) 作圆运动的电子在轨道中心处引起的B 值有多大? (2) 作圆运动的电子的等效磁矩有多大? 解：（1） 电子绕核作圆轨道运动，可视为等效圆电流，其等效电流强度I 为
r ev
v r e I 22
T r ev
r I
B 4.12422
00
（2）由磁矩的定义(6。8)式可得电子的轨道等效磁矩值为
2
2321093.0Am r I P m
第 31 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
§8.4 磁介质对磁场的影响 一。磁介质的磁化和磁化强度矢量 磁介质的磁化；磁化强度矢量J
；磁化电流（安培表面电流）、磁介质和磁场相互作用
的图象。
二．磁场强度矢量H 和H
的环路定理
H 的引入；J B H ,,的关系；H 的环路定理。
三 磁介质的磁化规律和磁介质的分类
磁介质的磁化规律：
H J m
m ----磁化率；磁介质的分类：
目的要求：
1． 了解磁介质的磁化规律和磁介质的分类；
2． 了解H
的环路定理；
3． 了解磁介质的磁化规律及分类 重点与难点:
1．磁介质和磁场相互作用的图象； 2．H 的引入，H
的环路定理及其应用。
教学思路及实施方案： 本次课应强调：
1. 对于线性磁介质，只要将真空中的公式的 0，即可得到磁介质中的相应公式。
例如：（1）磁场的安培环路环流定理：
真空中： I
l d B 0.
磁介质中：
I l d H
（2）磁场的高斯定理： 0
s s d B
2.在磁介质的问题中先讨论磁场强度矢量较为方便。例如：在某些问题（能用安培环路定理
求出H ）中，我们可以先由磁介质中的安培环路定理求出H ，再由H B 求出B ，得到
B
后即可以计算其它的物理量。
教学内容：
§8.4 磁介质对磁场的影响
在前几节中讨论了物质与电场间的相互作用。我们知道了由于构成物质的分子、原子是由带电粒子组成的，因此在电场作用下不同物质将表现出相应的电效应状态，同时它们也将影响原电场的分布。同样地，由于组成原子（或分子）的带电粒子在永无休止地运动，所以当物质放到磁场中时，这些运动的电荷将受到磁场力的作用而使物质处于一种特殊的状态（磁化状态）中，反过来处于磁化状态的物质又将影响磁场的分布。 一． 一． 磁介质的磁化和磁化强度矢量 1。磁介质的磁化
在原子内，核外电子有绕核的圆周运动，同时还有自旋，核也有自旋运动。这些带电粒子的旋转运动形成微小的圆电流，可视为磁偶极子，它的磁特性可以用它的磁偶极矩（简称磁矩)来描述。在外磁场中，分子磁矩就在不同程度上沿外磁场方向排列起来，我们就说磁介质被磁化了。
2 2 磁化强度矢量J
V P J m
3 3 磁化电流（安培表面电流）、磁介质和磁场相互作用的图象 (1)磁化电流（磁化面电流、磁化体电流） (2)磁介质和磁场相互作用的图象
J B B B i I J B s s
00
)( (3)磁化强度矢量J 和磁化电流的关系
s
L I l d J
s i n J
二．磁场强度矢量H 和H
的环路定理
1．H 的引入 2．J B H
,,的关系
J
B H 0
3．H 的环路定理
I l d H
， 其中
r 0 ， r -----磁介质的相对磁导率。
三． 磁介质的磁化规律和磁介质的分类
1．磁介质的磁化规律：
H J m
m ----磁化率
2．磁介质的分类：
在考虑物质受磁场的作用或它对磁场的影响时，将它们统称为磁介质。若以磁介质对磁场的影响程度而划分，可分为三类：一类是磁介质内的磁场较之原磁场有所减弱，这种磁介质叫抗磁质，如铋、铜、汞等；二类是磁介质内的磁场较之原磁场有所增强，这种磁介质叫顺磁质，如氧、铝、铂等；另一类是磁介质内的磁场极大地增强，这种磁介质叫铁磁质，如铁、钴、镍及它们的合金。铁磁质对磁场影响很大，在现代技术中有广泛应用。 抗磁质:1 r 如铋、铜、汞等。 顺磁质:1 r 如氧、铝、铂等。
铁磁质:1 r （而且r 一般不是常数），它的磁化规律常用磁滞回线表示（J —H 线）。如铁、钴、镍及它们的合金。
（1）硬磁材料：矫顽力大，剩磁也大，适于制造永久磁铁，例如，磁钢。
（2）软磁材料：兹导率大，矫顽力小，磁滞损耗低，适于制造变压器、交流电机的铁芯，例如软铁，硅钢。
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场 一 选择题 1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ） A. l I μπ420 B. l I μπ20 C . l I μπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由 )cos (cos π4210θθμ-= d I B ，可得 l I l I B B C π82)2πcos 4π(cos π400μμ=-= ，方向垂直纸面向里 l I l I B CD π82)2π cos 4π(cos π400μμ=-=，方向垂直纸面向里 合磁感应强度 l I B B B CD B C π420μ=+= 所以选（A ） 2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的 地方是：( ) A. x =2的直线上 B. 在x >2的区域 C. 在x <1的区域 D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ） 3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ， 区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向 纸内的磁通量最大？( ) A. Ⅰ区域 B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域 D ．Ⅳ区域 E ．最大不止一个 解：本题选（B ） 选择题2图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图 选择题1图
4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ） A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0 B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0 C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0 D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量 解：本题选（B ） 5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r
稳恒电流的磁场 一、判断题 3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元l d I 0放在空间任 意一点都不受力，则该空间不存在磁场。 × 4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用nI 0μ表示。 √ 5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。 × 6、对于长度为L 的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B 。 × 7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。 × 8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。 √ 9、安培环路定理I l d B C 0μ=?? 中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。 × 10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。 √ 二、选择题 1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A 和B ，如果A 点和B 点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小 （A ）一定相等 （B ）一定不相等 （C ）不一定相等 （D ）A 、B 、C 都不正确 C 2、半径为R 的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是： （A ）均匀的 （B ）中心处比边缘处强 （C ）边缘处比中心处强 （D ）距中心1/2处最强。 C 3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的 （A ）磁力相等，最大磁力矩相等 （B ）磁力不相等，最大磁力矩相等 （C ）磁力相等，最大磁力矩不相等 （D ）磁力不相等，最大磁力矩不相等 A 4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I ，其四条边分别为ab 、bc 、cd 、da 如图所示，设4321B B B B 及、、分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是：
稳恒电流的磁场 1、边长为 a 的正方形线圈载有电流 I ，试求在正方形中心点的磁感应强度B ？ 分析：正方形四边产生的磁感应强度大小相等，方向相同，与电流方向符合右手螺旋定则。每一边产生的磁感应强度为 )cos (cos 2 4210θθπμ-a I 其中4 1π θ= ，πθ4 3 2= 。 解：由分析得 a I a I B πμππ πμ428)43 cos 4(cos 2 4400=-= 2、如图所示的无限长载流导线，通以电流 I ，求图中圆心O 分析：根据磁感应强度的叠加原理，本题可以看作无限长直导线在O 点的磁感应强度B 1减去弦直导线在O 点的磁感应强度B 2再加上弧形导线在O 点的磁感应强度B 3。 解：由分析得 B = B 1 - B 2 + B 3 = r I r I r I 231)65cos 6(cos 2 42 2000μππ πμπμ+ -- r I 021 .0μ= 3、如图所示，两条无限长载流直导线垂直而不相交，其间最近距离为d=2.0cm ，电流分别为I 1=4.0A ，I 2 =6.0A ，一点P 到两导线距离都是 d ，求点P 的磁感应强度的大小？ 分析：电流I 1在P 点产生的磁感应强度B 1大小为d I πμ21 0，方向垂直纸面向里，电流I 2在P 点产生的磁感应强度B 2大小为 d I πμ22 0，方向向右。两矢量求和即可。 解：T d I B 57101100.402.020 .41042--?=???==πππμ T d I B 57202100.602 .020 .61042--?=???== πππμ T B B B 52 2211021.7-?=+= 4、一边长为 b=0.15m 的立方体如图放置，有一均匀磁场 B =(6i +3j +1.5k )T 通过立方体所在区域，试计算：（1）通过立方体上阴影面积的磁通量？（2）通过立方体六面的总磁通量？ 分析：磁感应线是闭合曲线，故通过任一闭合曲面的磁通量为零。对于闭合曲面，通常规定外表面的法线方向为正，所以阴影面的正法线方向沿x 轴正向。 解：（1）Wb i k j i S B 135.0?)15.0()?5.1?3?6(2=?++=?= φ （2）0=?=??S B s φ 5、一密绕的圆形线圈，直径为0.4m ，线圈中通有电流2.5A 时，在线圈中心处的B=1.26×10 -4T ，问线圈有多少匝？ o 题2图
第四章 稳恒电流的磁场 一、判断题 1、在安培定律的表达式中，若∞→→21021aF r ，则。 2、真空中两个电流元之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元l d I 0放在空间任 意一点都不受力，则该空间不存在磁场。 4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用nI 0μ表示。 5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。 6、对于长度为L 的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B 。 7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。 8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。 9、安培环路定理I l d B C 0μ=?? 中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。 10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。 二、选择题 1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A 和B ，如果A 点和B 点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小 （A ）一定相等 （B ）一定不相等 （C ）不一定相等 （D ）A 、B 、C 都不正确 2、半径为R 的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是： （A ）均匀的 （B ）中心处比边缘处强 （C ）边缘处比中心处强 （D ）距中心1/2处最强。 3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的 （A ）磁力相等，最大磁力矩相等 （B ）磁力不相等，最大磁力矩相等 （C ）磁力相等，最大磁力矩不相等 （D ）磁力不相等，最大磁力矩不相等 4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I ，其四条边分别为ab 、bc 、cd 、da 如图所示，设4321B B B B 及、、分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是： () () 1 2 1 101111 2 3400 0C C C A B dl I B B dl C B B dl D B B B B dl I μμ?=?=+?=+++?=?? ?? （）（）（）（） 5、两个载流回路，电流分别为121I I I 设电流和单独产生的磁场为1B ,电流2I 单独产生的磁 场为2B ,下列各式中正确的是：
习题三 一、选择题 1．如图3-1所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流I 1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流I 2 =2A ，方向垂直纸面向内，则P 点的磁感应强度B 的方向与x 轴的夹角为[ ] （A ）30?； （B ）60?； （C ）120?； （D ）210?。 答案：A 解：如图，电流I 1，I 2在P 点产生的磁场大小分别为 1212,222I I B B d d ππ==，又由题意知12B B =； 再由图中几何关系容易得出，B 与x 轴的夹角为30o。 2．如图3-2所示，一半径为R 的载流圆柱体，电流I 均匀流过截面。设柱体内（r < R ）的磁感应强度为B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为B 2，则 [ ] （A ）B 1、B 2都与r 成正比； （B ）B 1、B 2都与r 成反比； （C ）B 1与r 成反比，B 2与r 成正比； （D ）B 1与r 成正比，B 2与r 成反比。 答案：D 解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。 3．关于稳恒电流磁场的磁场强度H ，下列几种说法中正确的是 [ ] （A ）H 仅与传导电流有关。 （B ）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 必为零。 （C ）若闭合曲线上各点H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 （D ）以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H 通量均相等。 答案：C 解：若闭合曲线上各点H 均为零，则沿着闭合曲线H 环流也为零，根据安培环路定理，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 4．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为σ，在外力矩的作用下，这圆筒从t=0时刻开始以匀角加速度α绕轴转动，在t 时刻圆筒内离轴为r 处的磁感应强度 B 的大小为 [ ] 图3-1 2 I 1 I
第^一章稳恒电流和稳 恒磁场 选择题 1. 边长为I的正方形线圈中通 有电流I，此线圈在A点（如 图）产生的磁感 应强度B的大小为（） A 72 2丨 4 n C P2 Mo1 n 解：设线圈四个端点为 点产生的磁感应强度为零， 强度由 所以选（A） 2. 如图所示， i2 的点，且平行于y轴，则磁感应强度 地方是：（） A. x=2的直线上 B. 在x>2的区域 C. 在x<1的区域 D. 不在x、y平面上B等于零的 y 1 11 」L I 1 2 3x B 必（cos i cos 4 n d 垂直纸面向里2), 可得B BC cos -) 2 2 0I 旨，方向 o I(cos- 4 合磁感应强度B BC B CD 、、 2。1 8n 2 ，方向垂直纸面向里 01 4 n D. 0 ABCD ,贝U AB、AD线段在A BC、CD在A点产生的磁感应 B 选择题1图
解：本题选（A） 3?图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为区域 I、n、川、w均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁 通量最大？（） A. I区域 B. n区域 C.m区域 D .W区域E.最大不止一个 选择题3图解：本题选（B）
4?如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L , 由安培环路定理可知：（ ） A. / L B ?d l=0，且环路上任意 亠占 八、、 B-0 B. 莎L B （1-0，且环路上任意 亠占 八、、 B 工0 C. 爭L B ?d l 丰0,且环路上任意- 占 八、、 B M 0 D. 莎L B ?d l 丰0,且环路上任意 占 八、、 B-常量 解: 本题选（B ） 5.无限长直圆柱体，半径为 的磁感应强度为 B i ,圆柱体外（r>R ） A. C. B t 、B e 均与r 成正比 B i 与r 成反比，B e 与r 成正比 R ,沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（ 的磁感应强度为 B e ，则有：（ B. B i 、B e 均与r 成反比 D. B i 与r 成正比，B e 与r 成反比 r
第十一章 稳恒电流的磁场（一） 一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ μ220? =R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I === 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 () 8 2,,22135cos 45cos 2 44, 2212 000201 02121ππμπμμ=== -?? ? == a a B B a I a I B a I B o o o o 得 由【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ． 解法： b b a a I r dr a I r r dI dB dr a I dI a b b +===== =???+ln 222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：
稳恒电流的磁场解读
第五章稳恒电流的磁场 一稳恒电流的磁场教学内容1．磁的基本现象 （1）磁铁的性质 （2）磁电联系 （3）磁场 （4）磁性起源 2．磁感应强度 （1）磁感应强度矢量 （2）磁感应线 3．毕奥一萨伐尔定律 （1）毕奥一萨伐尔定律 （2）磁感应强度叠加原理 （3）毕奥一萨伐尔定律的应用4．磁场的高斯定理 （1）磁通量 （2）磁场的高斯定理 5．安培环路定理 （1）安培环路定理 （2）安培环路定理应用 6．磁场对运动电荷的作用 （1）洛仑兹力
（2）带电粒子在磁场中的运动 （3）回旋加速器 （4）汤姆逊实验质谱仪 （5）霍尔效应 7．磁场对载流导线的作用 （1）安培力公式 （2）均匀磁场对平面载流线圈的作用 （3）平行无限长直导线间的相互作用 说明与要求： 1．本章主要研究电流激发磁场和磁场对电流及运动电荷的作用两部分内容。 2．本章重点是2、3、5节，难点是磁感应强度的概念及安培环路定理的物理意义及应用。3．本章研究问题的方法与第一章类似，故在教学中应加强它们的比较。 二、稳恒电流的磁场教学目标 节次内容目标层次 1．基本磁现象1．磁铁的性质 2．磁电联系 3．磁场 4．磁性起源知识： 1．磁铁的性质2．磁现象与电现象的联系 理解：
1．磁场 2．物质磁性的起源 2．磁感应强度磁感应线1．B 的定义 2．B 线 知识： 1．B 线的定义 2．B 线的特点 3．B 的单位 理解： 1．B 的定义及 意义 2．B 的定义与E 的定义的区别 及原因 3．毕奥一萨伐尔定律1．毕一萨定律 2．B 的叠加原 理 3．毕一萨定律 的应用 知识： 1．电流元 2．矢量矢积的 表示及方向确 定 3．0 的数值及 单位 理解： 1．毕一萨定律
第五章稳恒电流的磁场 一稳恒电流的磁场教学内容 1．磁的基本现象 （1）磁铁的性质 （2）磁电联系 （3）磁场 （4）磁性起源 2．磁感应强度 （1）磁感应强度矢量 （2）磁感应线 3．毕奥一萨伐尔定律 （1）毕奥一萨伐尔定律 （2）磁感应强度叠加原理 （3）毕奥一萨伐尔定律的应用 4．磁场的高斯定理 （1）磁通量 （2）磁场的高斯定理 5．安培环路定理 （1）安培环路定理 （2）安培环路定理应用 6．磁场对运动电荷的作用 （1）洛仑兹力 （2）带电粒子在磁场中的运动 （3）回旋加速器 （4）汤姆逊实验质谱仪 （5）霍尔效应 7．磁场对载流导线的作用 （1）安培力公式 （2）均匀磁场对平面载流线圈的作用 （3）平行无限长直导线间的相互作用 说明与要求： 1．本章主要研究电流激发磁场和磁场对电流及运动电荷的作用两部分内容。 2．本章重点是2、3、5节，难点是磁感应强度的概念及安培环路定理的物理意义及应用。3．本章研究问题的方法与第一章类似，故在教学中应加强它们的比较。 二、稳恒电流的磁场教学目标 节次内容目标层次 1．基本磁现象1．磁铁的性质 2．磁电联系 3．磁场 4．磁性起源知识： 1．磁铁的性质 2．磁现象与电现象的联系理解：
1．磁场 2．物质磁性的起源 2．磁感应强度磁感应线 1．B 的定义 2．B 线 知识： 1．B 线的定义 2．B 线的特点 3．B 的单位 理解： 1．B 的定义及意义 2．B 的定义与E 的定义的 区别及原因 3．毕奥一萨伐尔定律 1．毕一萨定律 2．B 的叠加原理 3．毕一萨定律的应用 知识： 1．电流元 2．矢量矢积的表示及方向确定 3．0 的数值及单位 理解： 1．毕一萨定律的数学表示式 2．毕一萨定律得到的方法 3．毕一萨定律中各量的意义 4．B 的叠加原理的含义 综合应用： 根据毕一萨定律和磁场叠加原理，通过求积或求和的方法，计算电流产生的磁场 4．磁通量磁场的高斯定理 1．磁通量 2．磁场的高斯定理 知识： 1．B 的单位 2．B 是代数量 理解： 1．B 的定义及意义 2．磁场的高斯定理的内容及意义 3．磁场高斯定理与电场高斯定理的区别 简单应用：
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场2 3222 0)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθμ220?=R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I = == 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) ) 2(0b a I +πμ． 解法： 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：
第 28 次课 日期 周次 星期 学时：2 内容提要： 第八章 稳恒电流的磁场 §8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一． 磁的基本现象 二． 磁场 三． 磁感应强度矢量 四． 毕—萨定律 五． 毕——萨定律的应用 目的要求： 1．理解电流产生磁场的规律：毕奥——萨伐尔定律，了解低速匀速运动点电荷产生磁场的规律。 2．掌握描述磁场的场参量：磁感应强度。 3．掌握场量叠加原理，能计算一些简单问题中的场量。 重点与难点: 1.毕——萨定律的理解； 2.能用毕—萨定律求一些简单问题的B 教学思路及实施方案： 本次课应强调： 1． 毕奥——萨伐尔定律是电流产生磁场的基本规律，是矢量积分。 2． 直线电流的磁场和圆电流在轴线上的磁场是用毕奥——萨伐尔定律计算电流产生磁场 的典型例题。其结论不仅可以计算折线电流和圆电流在圆心处的磁场，还可以计算以此结论为基础的电流的磁场，例如例题1的计算。 3． 低速运动电荷的磁场是以电流的磁场计算公式为基础的。应重点介绍其电流强度为：qnvs I 教学内容： §8.1 毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律 一．磁的基本现象 1． 两个永久磁铁的磁极间的相互作用 2． 电流和电流间的相互作用 磁现象的本质都是由运动的带电粒子所产生的，例如，根据安培的分子电流假设，磁铁的磁现象来源于分子电流。 二．磁场 1。磁的相互作用是通过场来实现的， 磁铁 磁场 磁铁 电流 磁场 电流 磁场的物质性： 磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体有磁力的作用，说明磁场具有动量； 磁场对磁场中的其它运动电荷或载流导体能做做功，说明磁场具有能量。 三． 磁感应强度矢量 1.B 的引入 磁场的存在是通过对运动电荷或电流的作用显示的。为了定量地描述磁场，如同电场，类 似地引入磁感应强度作为磁场的描述参量，它可以通过磁场对作探测用的运动正点电荷 0q (试验电荷)或载流小线圈(试验线圈)的力作用来确定。磁感应强度常用字母B 表示，不 难理解，它是一个矢量，是位置坐标的函数。 2.以下通过磁场对试验电荷的作用来定义磁感应强度B 。
第1页共4页 习题三 稳恒电流的磁场 习题册-下-3 学院 班 序号___________姓名 习题三（第十九章） 一、选择题 1．如图3-1所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流I 1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流I 2 =2A ，方向垂直纸面向内，则P 点的磁 感应强度B 的方向与x 轴的夹角为 [ ] （A ）30?； （B ）60?； （C ）120?； （D ）210?。 2．如图3-2所示，一半径为R 的载流圆柱体，电流I 均匀流过截面。设柱体内（r < R ）的 磁感应强度为B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为B 2，则 [ ] （A ）B 1、B 2都与r 成正比； （B ）B 1、B 2都与r 成反比； （C ）B 1与r 成反比，B 2与r 成正比； （D ）B 1与r 成正比，B 2与r 成反比。 3．如图所示，实线为载流导线，通以电流I ，A 、B 各伸延到无限远处，在园心O 处是磁感应强度为：（ ） A ．R I R I 4200μπμ+； B ．R I R I 8400μπμ+； C ．R I R I 8200μπμ+ ； D ．R I R I 4400μπμ+ 4．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为σ，在外力矩的作用下，这圆筒从t=0时刻开始以匀角加速度α绕轴转动，在t 时刻圆筒内离轴为r 处的磁感应强度B 的大小为 [ ] （A ）0； （B ）0R t μσα； （C ）0R t r μσα； （D ）0r t R μσ。 图3-1 2 I 1 I
5．能否用安培环路定律，直接求出下列各种截面的长直载流导线各自所产生的磁感应强度B 。（1）圆形截面；（2）半圆形截面；（3）正方形截面 [ ] （A ）第（1）种可以，第（2）（3）种不行； （B ）第（1）（2）种可以，第（3）种不行； （C ）第（1）（3）种可以，第（2）种不行； （D ）第（1）（2）（3）种都可以。 二、填空题 1．如图3-3所示，一无限长扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布。求 铜片外与铜片共面、离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感应强度B 的大小 。 2．在真空中，电流I 由长直导线1沿垂直bc 边方向经a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b 点沿平行ac 边方向流出，经长直导线2返回电源，如图3-4所示。三角形框每边长为l ，则在该正三角框中心O 点处磁感应强度的大小B = 。 3．在一根通有电流I 的长直导线旁，与之共面地放着一个长、宽各为a 和b 的矩形线框，线框的长边与载流长直导线平行，且二者相距为b ，如图3-5所示。在此情形中，线框内的磁通量 Φ=______________。 4．电子在磁感应强度为 B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆周运动，电子运动所形成的等效 圆电流I =______________；等效圆电流的磁矩m P =______________。(已知电子电量的大小为e ，电子的质量为m )。 5．如图3-6所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R 的圆，当通以电流I 时，则在圆心O 点的磁感强度大小等于 ；方向 。 2图3-4 图3-3 P 图3-6
第十一章 稳恒电流和稳恒磁场 一 选择题 1. 边长为l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点（如图）产生的磁感应强度B 的大小为（ ） A. l I μπ420 B. l I μπ20 C . l I μπ20 D. 0 解：设线圈四个端点为ABCD ，则AB 、AD 线段在A 点产生的磁感应强度为零，BC 、CD 在A 点产生的磁感应强度由 )cos (cos π4210θθμ-= d I B ，可得 l I l I B B C π82)2π cos 4π(cos π400μμ= -= ，方向垂直纸面向里 l I l I B CD π82)2π cos 4π(cos π400μμ= -= ，方向垂直纸面向里 合磁感应强度 l I B B B CD B C π420μ=+= 所以选（A ） 2. 如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x 1=1、x 2=3的点，且平行于y 轴，则磁感应强度B 等于零的 地方是：( ) A. x =2的直线上 B. 在x >2的区域 C. 在x <1的区域 D. 不在x 、y 平面上 解：本题选（A ） 3. 图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I ， 区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向 纸内的磁通量最大？( ) A. Ⅰ区域 B. Ⅱ区域 C ．Ⅲ区域 D ．Ⅳ区域 E ．最大不止一个 选择题2图 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 选择题3图 选择题1图
解：本题选（B ） 4. 如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ ） A. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B =0 B. ∮L B ·d l =0，且环路上任意一点B ≠0 C. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B ≠0 D. ∮L B ·d l ≠0，且环路上任意一点B =常量 解：本题选（B ） 5. 无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流，设圆柱体内（r
第6章稳恒电流的磁场 一 基本要求 1. 掌握磁感应强度B 的概念。 2. 掌握毕奥－萨伐尔定律，并能用该定律计算一些简单问题中的磁感应强度。 3. 掌握用安培环路定律计算磁感应强度的条件及方法，并能熟练应用。 4. 理解磁场高斯定理。 5. 了解运动电荷的磁场。 6. 理解安培定律，能用安培定律计算简单几何形状的载流导体所受到的磁场力。 7. 理解磁矩的概念，能计算平面载流线圈在均匀磁场中所受到的磁力矩，了解磁力矩所作的功。 8. 理解并能运用洛伦兹力公式分析点电荷在均匀磁场（包括纯电场、纯磁场）中的受力和运动的简单情况。 9. 了解霍耳效应。 10. 了解磁化现象及其微观解释。 11. 了解磁介质的高斯定理和安培环路定理，能用安培环路定理处理较简单的介质中的磁场问题。 12. 了解各向同性介质中H 与B 的联系与区别。 13. 了解铁磁质的特性。 二 内容提要 1. 毕奥－萨伐尔定律 电流元Id l 在真空中某一场点产生的磁感应强度d B 的大小与 电流元的大小、电流元到该点的位矢r 与电流元的夹角 的正弦的乘积成正比，与位矢大小的平方成反比，即 2 04r l I B sin d d dB 的方向与r l I d 相同，其矢量式为 3 04r r l I B d d 2. 几种载流导体的磁场 利用毕奥－萨伐尔定律可以导出几种载流导体磁场的分布，这些结果均可作公式应用。 （1）有限长直载流导线的磁感应强度的大小 )cos (cos π2104 a I B 方向与电流成右手螺旋关系。式中，a 为场点到载流直导线的距离，21 、分别为直导线始末两端到场点的连线与电场方向的夹角。 （2）长载流直导线（无限长载流直导线）的磁感应强度的大小
第14章 稳恒电流的磁场 一、选择题 1(B)，2(B)，3(B)，4(C)，5(A) 二、填空题 (1). 最大磁力矩，磁矩 ; (2). πR 2c ； (3). μ0i ，沿轴线方向朝右. ； (4). )/(lB mg ； (5). 正，负. 三 计算题 1. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流，在导线内部作一平面S ，S 的一个边是导线的中心轴线，另一边是S 平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通 过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量． (真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T ·m/A ，铜的相对磁导率μr ≈1) 解：在距离导线中心轴线为x 与x x d +处，作一个单位长窄条， 其面积为 x S d 1d ?=．窄条处的磁感强度 2 02R Ix B r π= μμ 所以通过d S 的磁通量为 x R Ix S B r d 2d d 2 0π= =μμΦ 通过１m 长的一段S 平面的磁通量为 ? π=R r x R Ix 2 0d 2μμΦ60104-=π = I r μμ Wb 2. 计算如图所示的平面载流线圈在P 点产生的磁感强度，设线圈中的电流强度为I ． 解：如图，CD 、AF 在P 点产生的 B = 0 EF DE BC AB B B B B B ? ????+++= )sin (sin 4120ββμ-π=a I B AB ， 方向? 其中 2/1)2/(sin 2==a a β，0sin 1=β ∴ a I B AB π=240μ， 同理, a I B B C π=240μ，方向?． 同样 )28/(0a I B B EF DE π==μ，方向⊙． ∴ a I B π= 2420μa I π- 240μa I π= 820μ 方向?． S S R x d x 2a 2a a a I P I P A B C D E I I I
第十四章 稳恒电流的磁场习题解答（仅作参考） 14．1 通有电流I 的导线形状如图所示，图中ACDO 是边长为b 的正方形．求圆心O 处的磁感应强度B 。 [解答] 电流在O 点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向 里的．根据毕-萨定律： 002 d d 4I r μπ?= l r B ， 圆弧上的电流元与到O 点的矢径垂直，在O 点产生的磁场大小为 012 d d 4I l B a μπ= ， 由于 d l = a d φ， 积分得 11d L B B =?3/2 00 d 4I a πμ?π= ? 038I a μ=． OA 和OD 方向的直线在O 点产生的磁场为零．在AC 段，电流元在 O 点产生的磁场为 22 d sin d 4I l B r μθ π=， 由于 l = b cot(π - θ) = -b cot θ， 所以 d l = b d θ/sin 2θ； 又由于 r = b /sin(π - θ) = b /sin θ， 可得 02sin d d 4I B b μθθ π=， 积分得 同理可得CD 段在O 点产生的磁场B 3 = B 2． O 点总磁感应强度为 00123384I I B B B B a b μπ=++= + ． 14．6 在半径为R = 1.0cm 的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I =5.0A ，如图所 示．求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？ [解答] 取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR ， 电流线密度为 i = I/C = IπR ． 在半圆上取一线元d l = R d φ代表无限长直导线的截面， 电流元为 d I = i d l = I d φ/π， 在轴线上产生的磁感应强度为 002d d d 22I I B R R μμ?ππ==， 方向与径向垂直．d B 的两个分量为 d B x = d B cos φ，d B y = d B sin φ． 图14.1
3-2 习题三 一、选择题 1．如图3-1所示，两根长直载流导线垂直纸面放置，电流I 1 =1A ，方向垂直纸面向外；电流I 2 =2A ，方向垂直纸面向内，则P 点的磁感应强度B 的方向与x 轴的夹角为[ ] （A ）30?； （B ）60?； （C ）120?； （D ）210?。 答案：A 解：如图，电流I 1，I 2在P 点产生的磁场大小分别为 12 12,222I I B B d d ππ= =，又由题意知12B B =； 再由图中几何关系容易得出，B 与x 轴的夹角为30o 。 2．如图3-2所示，一半径为R 的载流圆柱体，电流I 均匀流过截面。设柱体内（r < R ）的磁感应强度为B 1，柱体外（r > R ）的磁感应强度为B 2，则 [ ] （A ）B 1、B 2都与r 成正比； （B ）B 1、B 2都与r 成反比； （C ）B 1与r 成反比，B 2与r 成正比； （D ）B 1与r 成正比，B 2与r 成反比。 答案：D 解：无限长均匀载流圆柱体，其内部磁场与截面半径成正比，而外部场等效于电流集中于其轴线上的直线电流磁场，所以外部磁场与半径成反比。 3．关于稳恒电流磁场的磁场强度H ，下列几种说法中正确的是 [ ] （A ） H 仅与传导电流有关。 图3-1 2I 1 I
（B ）若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H 必为零。 （C ）若闭合曲线上各点H 均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 （D ）以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H 通量均相等。 答案：C 解：若闭合曲线上各点H 均为零，则沿着闭合曲线H 环流也为零，根据安培环路定理，则该曲线所包围传导电流的代数和为零。 4．一无限长直圆筒，半径为R ，表面带有一层均匀电荷，面密度为σ，在外力矩的作用下，这圆筒从t=0时刻开始以匀角加速度α绕轴转动，在t 时刻圆筒内离轴为r 处的磁感应强度B 的大小为 [ ] （A ）0； （B ）0R t μσα； （C ）0R t r μσα； （D ）0r t R μσα。 答案：B 解：圆筒转动时形成电流，单位长度圆筒的电流强度为 ωσπ ω πσR R I =??=22 在t 时刻圆筒转动的角速度为 t ωα= 所以，t 时刻单位长度圆筒的电流强度为 I R t σα= 则，圆筒转动形成圆电流在内部的磁感应强度为 0B R t μσα= 5．能否用安培环路定律，直接求出下列各种截面的长直载流导线各自所产生的磁感应强度B 。（1）圆形截面；（2）半圆形截面；（3）正方形截面 [ ] （A ）第（1）种可以，第（2）（3）种不行； （B ）第（1）（2）种可以，第（3）种不行； （C ）第（1）（3）种可以，第（2）种不行； （D ）第（1）（2）（3）种都可以。 答案：A 解：利用安培环路定理时，必须要求所选环路上磁感应强度具有对称性，
第五章 稳恒电流的磁场 一. 磁感应强度B 的定义 1.从运动电荷受的力(洛仑兹力)： B V q f 洛 2.从电流元受的力（安培力）: B l I F d d 安 3.从磁矩受的力矩: S I p m B p M m B 的物理意义（例如从安培力的角度）： l I F B d d max 安 单位电流元在该处 所受的最大安培力。 二. 磁力线 磁通量 磁力线的特征: 1.闭合曲线 2.与电流相互套连 3.方向与电流的方向服从右手螺旋定则 磁通量的定义: S B m d d S B m d d B 也叫磁通密度。 S B s m d I S
三. 磁场的基本规律 1.基本实验规律 （1） 毕奥－萨伐尔定律 真空磁导率 A m T o /1047 （2）叠加原理 B B B B i i d 利用毕奥－萨伐尔定律和叠加原理，原则上可以求任意电流的磁场。 2.基本定理 （1）B 的高斯定理 (磁通连续方程)： s s B 0 d B 的高斯定理在分析一些问题时很有用。 （2 它只适用于稳恒电流。 I 内 有正、负, 与L 成右手螺旋关系为正。 B 是全空间电流的贡献,但只有I 内 对环流 L l B d 有贡献。一般 L o l B d ,说明B 为非保守场（称为涡旋场）。安培环路定理 在计算具有对称性分布的磁场时很有用。 四. B 的计算方法 “毕奥－萨伐尔定律 + 叠加原理”法
例. 已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B= 0nI , 试证:管内为均匀磁场,管外无磁场。 【证】先分析B 的方向： 设场点P 处 z B B r B B z r ??? 过场点P 作轴对称的圆形环路L (如图所示)，由安培环路定理 内I l B L o d 有 L z L L L r l B l B l B l B d d d d 00200 r B 所以 B = 0 。 过场点P ，作一个轴对称的圆柱面为高斯面，长为 l ,半径为r (如图所示)， 由高斯定律 0 d s S B 2d d 2d d d d d d rl B S B S B rl B S B S B S B S B S B S B r z z r z z r s s z r s 左 右 左 右 侧 所以 B r = 0。 P P ’’P P ’’P ’ ’ B r P B (?)B z B r L l I a b c d c'd ’P ’’ P ’z I 内=nabI