第1课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标
1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．
3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点
根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
课时安排
3课时.
教案A
第1课时
教学内容
21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．
教学目标
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．
2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．
教学重点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学难点
用“倍数关系”建立数学模型．
教学过程
一、导入新课
师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？
生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．
试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．
二、新课教学
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，
第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．
列方程
1＋x＋x(x＋1)＝121，
整理，得
x2＋2x－120＝0．
解方程，得
x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．
思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
121＋121×10＝1331（人）
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．
三、巩固练习
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，则
1＋x＋xx＝91，
即
x2＋x－90＝0．
解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）
答：每个支干长出9个小分支．
四、课堂小结
本节课应掌握：
1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．
2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．
五、布置作业
习题21.3 第6题．
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
第二十一章二次根式 1.二次根式:式子 a≥0叫做二次根式。 2.最简二次根式:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式; (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式,因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,又如 , ,..都不是最简二次根式,而 , ,5 , 都是最简二次根式。 3.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式,因为 2 , 3 ,它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,则说这两个代数式互为有理化因式。如与 ,a+ 与a- , - 与 + ,互为有理化因式。 二次根式的性质: 1. a≥0是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数,即: 2aa≥0; 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值,即 |a| 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积,即 ? (a ≥0,b≥0)。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,即 (a≥0,b0)。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,即(≥0,≥0)。
说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,、都是非负数; (2)(≥0,≥0)可以推广为(≥0,≥0); (≥0,≥0,≥0,≥0)。 (3)等式(≥0,≥0)也可以倒过来使用,即(≥0,≥0)。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合,可以对一些二次根式进行化简。2. 二次根式的除法 两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,即(≥0,>0)。 说明:(1)法则中、可以是单项式,也可以是多项式,要注意它们的取值范围,≥0,在分母中,因此>0; (2)(≥0,>0)可以推广为(≥0,>0,≠0); (3)等式(≥0,>0)也可以倒过来使用,即(≥0,>0)。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合,可以对一些二次根式进行化简。? 3. 最简二次根式 (1)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式; (2)被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式? 注:判断几个二次根式是否为同类二次根式,关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式,再观察它们的被开方数是否相同。? (2)合并同类二次根式:合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似,系数相加减,二次根号及被开方数不变。? 2. 二次根式的加减? (1)二次根式的加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再将同类二次根式分别合并。? (2)二次根式的加减法与多项式的加减法类似,首先是化简,在化简的基础上去括号再合并同类二次根式,同类二次根式相当于同类项。? 一般地,二次根
第二十六章反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。
四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成x k y = （k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式 例2．（补充）当m 取什么值时，函数23)2(m x m y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数x k y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。 解得m ＝－2
解直角三角形综合练习题 一、选择题： 1、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是( ) A．2 B．C．D． 2、下列说法中，正确的是( ) A.sin600+cos300=1. B.若为锐角，则﹦1﹣sin. C.对于锐角，必有. D.在Rt△ABC中,∠C=90，则有. 3、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是( ) A．B．C．D． 4、计算：的值等于（） A．4 B．C．3 D．2 5、如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( ) A．B．C．D． 6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（） A. B. C. D.
7、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是（） A.2 B. C. D. 8、在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（） A.45°B．60°C．75°D．105° 9、刘红同学遇到了这样一道题：tan(α＋20o)＝1，你认为锐角α的度数应是( ) A．40o B．30o C．20o D．10o 10、如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,若AC＝2,AB＝4,则tan∠BCD的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题: 11、“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 . 12、如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于． 13、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA是方程5-14x+8=0的一个根，则sin A ，tan A ． 14、如图，的正切值等于_______．
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
第一章特殊平行四边形 总分120分120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分） 1．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5 2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．不能判断四边形ABCD是矩形的是（0为对角线的交点）（） A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=OD C．ABCD，AC=BD D．ABCD，OA=OC，OB=OD 4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加适当的条件使四边形ABCD成为菱形．下列添加的条件不正确的是（） A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO 5．能判定四边形ABCD是菱形的条件是（） A．对角线AC平分对角线BD，且AC⊥BD B．对角线AC平分对角线BD，且∠A=∠C C．对角线AC平分对角线BD，且平分∠A和∠C D．对角线AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C 6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1 7．矩形各内角的平分线能围成一个（） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形 8．如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（） A．对角线互相垂直且相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等D．对角线互相平分 二．填空题（共6小题，每题3分） 9．如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为_________ ． 10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO； ④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________ A、①④?⑥； B、①③?⑤； C、①②?⑥； D、②③?④11．_________ 的矩形是正方形，_________ 的菱形是正方形．
九年级数学第一周周清 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. －2的倒数是( ) A. －2 B. 2 C. －12 D. 1 2 2. 柳絮纤维的直径约是0.00000105 m ．数据“0.00000105”用科学记数法表示为( ) A. 1.05×106 B. 0.105×10－6 C. 1.05×10－6 D. 105×10－8 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 4. 下列运算准确的是( ) A. a 2＋a 2＝a 4 B. a 3·a 2＝a 6 C. (3a )2＝6a 2 D. 2a 4÷a 2＝2a 2 5. 如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，那么在原正方体中，与汉字“智”相对的面上的汉字是( ) 第5题图 A. 义 B. 仁 C. 信 D. 礼 6. 不等式组???2x >3x －1 14x ≤1 的解集在数轴上表示准确的是( )
7. 如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P 是反比例函数y ＝k x (k ≠0)图象上的一点，过点P 作P A ⊥x 轴于点A ，点B 为AO 的中点，若△P AB 的面积为3，则k 的值为( ) 第7题图 A. 6 B. －6 C. 12 D. －12 8. 某校有47名同学参加学校举行的科技创新比赛，预赛分数各不相同，取前24名同学参加决赛，其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这47名同学分数的( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 9. 如图，四边形OABC 是矩形，A (2，1)，B (0，5)，点C 在第二象限，则点C 的坐标是( ) A. (－1，3) B. (－1，2) C. (－2，3) D. (－2，4) 第9题图
解码专训三：思想方法荟萃 分类讨论思想 名师点金：在解某些数学问题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物的各种情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想．在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”．在化简二次根式时，有些时候题目中没有给出字母的取值范围，这时候就要对字母进行分类，在不同的范围中化简二次根式． 1．已知a是实数，求（a＋2）2－（a－1）2的值． 数形结合思想 名师点金：数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，使问题得到解决．在进行二次根式的化简时，可以借助数轴确定字母的取值范围，然后对式子进行化简． 2．已知实数m，n在数轴上的位置如图，化简：m2＋n2＋（m－n）2＋n2＋2n＋1－（m－1）2. (第2题) 类比思想 名师点金：类比是一种在不同对象之间，或者在事物之间，根据某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出在其他方面也可能有相似之处，从而建立猜想和发现真理的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有知识来认识新知识．本章中二次根式的运算方法和顺序类比于整式的运算方法和顺算，运算公式和运算律同样适用．
3．计算：(72＋26－3)(26－72＋3)． 转化思想 名师点金：解数学问题时，碰到陌生的问题常设法把它转化成熟悉的问题，碰到复杂的问题常设法把它转化成简单的问题，从而使问题获得解决，这就是转化思想． 4．计算：(3＋2)2 015·(3－2)2 016. 解码专训三 1．解：（a＋2）2－（a－1）2＝|a＋2|－|a－1|，分三种情况讨论： 当a≤－2时，原式＝(－a－2)－[－(a－1)]＝－a－2＋a－1＝－3； 当－2＜a≤1时，原式＝(a＋2)＋(a－1)＝2a＋1； 当a＞1时，原式＝(a＋2)－(a－1)＝3. 点拨：求含字母的两个绝对值的和或差时，要分类讨论．本题也可以通过解不等式来确定各分界点． 2．解：由m，n在数轴上的位置可知：m＞n，0＜m＜1，n＜－1. ∴m－n＞0，m－1＜0，n＋1＜0. ∴原式＝|m|＋|n|＋|m－n|＋|n＋1|－|m－1|＝m－n＋m－n－1－n－(1－m)＝m－n＋m－n－1－n－1＋m＝3m－3n－2. 方法点拨：在利用a2＝|a|化简时，一定要结合具体问题，先确定出绝对值号里面式子的符号，再进行化简． 3．解：(72＋26－3)(26－72＋3) ＝[26＋(72－3)][26－(72－3)] ＝(26)2－(72－3)2
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
人教版九年级（全一册）数学学科试题及答案 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分：卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题. 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 卷Ⅰ（选择题，共42分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，答在试卷上无效. 一、选择题（本大题共16个小题.1－10小题，每小题2分，11－16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.32)1 (-的立方根是（） A．－1 B．0 C．1 D．±1 2. 下列标志中不是中心对称图形的是（） 中国移动中国银行中国人民银行方正集团 A．B．C．D．3.下列实数中是无理数的是（） A． 7 22B．2-2C．?? 51.5D．sin45° 4. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体是（） 左视图 俯视图 A．B． C．D．
5.若代数式 2 ) 3(1-+x x 有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ≥－1 B ．x ≥－1 且x ≠3 C ．x ＞－1 D ．x ＞－1且x ≠3 6.观察图3中尺规作图痕迹，下列结论错误．．的是（ ） A ．PQ 为∠APB 的平分线 B ．PA =PB C ．点A ，B 到PQ 的距离不相等 D ．∠APQ =∠BPQ 7.如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E =36°，则∠ADC 的度数是（ ） A ．44° B ．54° C ．72° D ．53° 8. 若不等式组? ? ?->-≥+2210 x x a x 无解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥－1 B ．a ＜－1 C ．a ≤1 D ．a ≤－1 9. 如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点， AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ，设BE =x ，FC =y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是（ ） 图3 B E
山东省临沂市九年级上学期数学第一周考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题（每题4分，共32分） (共8题；共32分) 1. （4分） (2019九上·平顶山期中) 下列方程是一元二次方程的是（） A . 2（x﹣1）＝4 B . C . D . x+y＝0 2. （4分） (2015八上·大石桥期末) 无论x、y取任何值，多边形x2+y2﹣2x﹣4y+6的值总是（） A . 正数 B . 负数 C . 非正数 D . 非负数 3. （4分）若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（） A . a≥2 B . a≤2 C . a＞2 D . a＜2 4. （4分）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值为（） A . B . C . D . 5. （4分）(2019·广西模拟) 已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=-2，则b与c 的值分别是（） A . b=-1，C=2 B . b=1，C=-2 C . b=1，c=2 D . b=-1，c=-2
6. （4分） (2019九上·武汉开学考) 为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依次类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（） A . 9 B . 10 C . 11 D . 12 7. （4分） (2019九上·河东期中) 在下列方程中，一元二次方程是（） A . B . C . D . 8. （4分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（） A . x=2 B . x1=2，x2=0 C . x2=0 C．x=0 D . x1=2，x2=1 二、填空题（每题3分，共18分） (共6题；共18分) 9. （3分）(2017·内江) 设α、β是方程（x+1）（x﹣4）=﹣5的两实数根，则 =________． 10. （3分）一元二次方程3x（x﹣3）=2x2+1化为一般形式为________． 11. （3分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：________，二次项为________，一次项系数为________，常数项为________． 12. （3分）若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是________． 13. （3分） (2019九上·简阳期末) 已知0是关于x的方程mx 2+5x+m2-2m=0的根，则m=________． 14. （3分）(2013·遵义) 已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是________． 三、计算（每题5分，共20分） (共1题；共20分) 15. （20分） (2020九上·兴化月考) 解下列方程： （1） （2）
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即5322要写成538 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0,b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ±或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2=h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有两个相
人教版九年级数学上册第一学期第一周周考卷（无答案） 1 / 2 第一周周考卷 满分：100分 时间：60分钟 一、选择、填空部分（每题3分，共52分） 1. 下列各式中,y 是x 的二次函数的是（ ） x x y A += -21. 05.22=-+y x B 1.2=+x xy C 34.2 =-x y D 2. 下列说法不正确的是（ ） .A 在二次函数2x y -=中,当0=x 时,y 有最大值是0 .B 在二次函数25x y =中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大 .C 无论a 是正数还是负数,抛物线2ax y =的顶点都是坐标原点 .D 抛物线2226 1,,4x y x y x y -=-==中,抛物线24x y =开口最大 3. 若二次函数2ax y =的图象经过点()5,2--,则该图象必经过（ ） ()5,2.-A ()5,2.B ()5,2.-C ()2,5.-D 4. 若点()()()321,2,,3,,5y C y B y A --在二次函数2x y =的图象上,则321,,y y y 的大小关系是（ ） 231.y y y A << 123.y y y B << 312.y y y C << 321.y y y D << 5. 如果将抛物线22+=x y 向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式为（ ） ()21.2+-=x y A ()21.2++=x y B 1.2+=x y C 3.2+=x y D 6. 抛物线()322-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到,则下列平移过程正确的是（ ） .A 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 7. 二次函数12+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式是_____________________. 8. 若点()()2211,,,y x y x 在函数()为任意实数k k x y 25 12 +=的图象上,且021>>x x ,则.__21y y 9. 二次函数4322-+=x x a y 的图象经过点()6,2,则.________=a 10. 抛物线①,22 x y -=②,3 22 x y = ③237x y -=的开口大小次序为__________________. （用“>”将序号连接起来） 11. 将抛物线()1352 +-=x y 向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的 表达式为_____________________. 12. 将二次函数()322 +-=x y 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得二次函数 的解析式为_____________________. 13. 一幅长20cm ,宽12cm 的图案,如图（单位:cm ）,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为,2:3设竖彩条的宽度为x cm ,图中三条彩条所占面积为y 2cm ,则y 与x 之间的函数解析式是_______________________. 14. 如图,平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线()02 1≥=x x y 与()08 122≥=x x y 于C B 、两点, 过点C 作y 轴的平行线交1y 于点D ,直线,//AC DE 交2y 于点,E 则 ._________=AB DE 二、解答部分（15、18题每题10分，16、17题每题8分，19题12分）
2016-2017学年度第二学期第三次教学检测 九年级数学试卷 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A B C D 2.下列运算正确的是 （ ） A. 933)(x x = B ．xy y x 532=+ C. 3 36)2(x x -=- D .2 36x x x =÷ 3.陇西中药材会议在县委县政府的精心部署下胜利闭幕，中药材会议期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 （ ） A ．96.01110? B ．9 60.1110? C ．106 .01110? D ．11 0.601110? 4.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的 度数为 ( ) A.125° B ．120° C.140° D .130° 5.如果两个相似三角的面积比是1:9，那么它们的周长比是 （ ） A.1:81 B.1:3 C.1:18 D.1:6 6.下列命题是假命题的是 ( ) A.平行四边形的对边相等 B. 菱形的四条边相等 C.矩形的对边平行且相等 D.对角线垂直的平行四边形是正方形 7.如果点P （2x+6，x-4）在平面直角坐标系的第四象限内，那么x 的取值范围在数轴上可表 示为 （ ） A B C D 8、如图,是由相同小正方体组成的立体图形,它的主视图为（ ） 9.某工程队准备修建一条长1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务.若设原计划每天修建道路x m,则根据题意可列方程为： ( ) A ．21200%)201(1200=--x x B. 2 1200 %)201(1200=-+x x C. 2 %)201(1200 1200=+-x x D. 2%)201(12001200=--x x 10.如图所示，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高h ＝4，D 为BC 上一点，EF ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B 点），设E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为图中的（ ）． A B C D 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案写在横线上。） 11．分解因式：2 69m n m n m ++= _________ ． 12.分式方程 1 12 x x =+的解是 _________ ． 13．已知()()x y y y x 411222--+=+，则代数式 14．Rt △ABC 中，∠C=90°AB=6 BC=3，则． 第16题图 1 2 = A B C D (第8题图)
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
第二十一章二次根式 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。 二次根式的性质： 1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 21.2 二次根式的乘除 1. 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值围，、都是非负数； （2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。 （3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。 2. 二次根式的除法 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。 说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值围，≥0，在分母中，因此＞0； （2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）； （3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。也称“商的算术平方根”。它与二根式的除法结合，可以对一些二次根式进行化简。 3. 最简二次根式 （1）被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母。 21.3 二次根式的加减 1. 同类二次根式 注：判断几个二次根式是否为同类二次根式，关键是先把二次根式准确地化成最简二次根式，再观察它们的被开方数是否相同。 （2）合并同类二次根式：合并同类二次根式的方法与合并同类项的方法类似，系数相加减，二次根号及被开方数不变。 2. 二次根式的加减 （1）二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。 （2）二次根式的加减法与多项式的加减法类似，首先是化简，在化简的基础上去括号再合并同类二次根式，同类二次根式相当于同类项。 一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行： i）将每一个二次根式都化简成最简二次根式 ii）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组 iii）合并同类二次根式 3. 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算可以说是二次根式乘法、除法、加、减法则的综合应用，在进行二次根式的混合运算时
第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫