第二讲配套习题及答案
1.若效用函数现为：
其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。
计划者目标函数为：
代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：
一阶条件为：
求解可得：
代n*进生产函数可得：
企业利润函数为：
企业利润最大化的一阶条件为：
利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：
2.假设行为人的效用函数如下：，其中c是行为人的消费，l 是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为，其中ns为用于自己工作的时间。如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为w（当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。
代约束条件进目标函数，分别对l和ns两个变量求一阶导数，并令其为零，有：
求解上述联立方程，可得：
3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：
其中，c是消费，l是闲暇，且消费者拥有一单位的时间禀赋和k0单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：
其中，y是产出，A是全要素生产率，k是资本投入，n是劳动投入，且记w为市场的实际工资，r为资本的租金率。
a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。
b.试分析全要素生产率A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。
解：a.第一步，分析消费者行为：
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。
对l求一阶导数，并令其为零，可得：
第二步，分析企业的行为：
根据市场出清条件，可得如下方程组：
求解得：
第三步，全部均衡解：
或者，考虑计划经济情形：
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：
对l求一阶导数，并令其为零，可得：
解得：
b.
说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。
4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：
这里，c是消费；l是闲暇；g是政府购买，θ,γ＞0；消费者拥有一单位的时
间禀赋。私人消费品的生产技术如下：
这里，y是产出，n是劳动投入，z＞0，假设政府通过向消费者征收一个总额税τ来为自己的购买融资。
（1）对于一个给定的g，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量是帕累托最优的。
（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。
（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g。也就是说，政府将选
择一个合适的g去最大化代表性行为人的福利。试求解
最优水平的政府购买数量。
解：（1）在给定g, τ＞0时，消费者的最优规划问题可以表述如下：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数：
可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。也可以注意到，闲暇和消费都随w的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。
从企业的利润最大化问题中，我们能得到：
w=z
竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：
g=τ
代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争
均衡数量：
注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时
候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，n=1-l。利用或者商品市场出清条件，c+g=y，或者生产函数，y=zn，并与上述均衡数量相结合，可以求
得均衡产量：
给定时，g＞0我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得
帕累托最优的均衡数量：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量：
因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些
均衡解对g求全导数，就可以得到结论：
可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。因为θ＜
1+θ，所以，
（回忆：政府预算约束τ=g必须成立，因而，g的任何一个变化一定对应着的一个τ的相同变化：dτ=dg。因此，我们有“平衡
预算乘数”这一名词。）也可以注意到，挤出是不完全的：
因为θ>0，所以
（3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府
在给定行为人对g变化的最优反应的基础上通
过选择一个合适的g来最大化代表性行为人的福利。我们可以把在题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个g的函数：c=c(g)和l=l(g)。这些函数告诉我们行为人的最优选择c和l是如何随着g的变化而变化的。政府的最优化问题可以描述如下：
或者，等价地：
一阶条件如下：
或者
注意，方程（1）的左边代表的是政府购买的边际成本。这些成本是借助纯财富效应通过减
少消费和闲暇的形式实现的。方程（1）的右边代表的是政府购买的
边际收益。因此，最优的g平衡着政府购买的边际收益和边际成本。
注意到边际成本随着g的增加而增加，而边际收益则随着g的增加而减少。求解（1）式可以得到最优的政府购买水平：
5.考虑一个具有和题1相同的偏好和生产技术的代表性行为人经济。假设现在政府通过向消
费者的劳动收入征收比例税来为自己的
购买进行融资。让t代表税率，因而政府的总税收收入等于tw(1-l)，这里， w是实际工资。
（1）写出政府的预算约束。
（2）对于给定的g，试求竞争均衡中的消费、产出和就业。讨
论这一均衡是否是帕累托最优均衡。
（3）证明竞争均衡的最优数量将随着g的变化而变化。
（4）求解实现福利最大化的政府购买g的水平。这里的答案为什么与在题1
中征总额税时的答案不同？请解释之。
解：
（1）政府的预算约束是政府购买等于税收收入：
（2）由于税收扭曲的存在，我们不能用社会计划者的最优问题去求解竞
争均衡。在给定g, τ>0时，消费者的最优规划问题可描述如下：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
可以注意到该表达式与税后实际工资无关。在这种情形下，替代效应在数值上等于收入效应，因此正好相互抵消。代闲暇的需求函数进预算约束方程，我们可以进一步求得消费者的消费需求函数：
可以注意到消费与税后收入成正比关系。因此，消费将随税率的提高而下降。从企业的最大化问题中，我们可以得到：w=z
市场出清条件是：n=1-l,c+g=y(=zn)
因此，竞争均衡的数量解将由如下的表达式给出：
我们在第一题的（1）部分已经求得帕累托最优的数量解。通过对比，可以发现只有在g=0
时两个解才一致。只要g>0，竞争
均衡分配将总是次优的。
（3）
注意，在这种情况下，
挤出效应是完全的：（4）政府的最优化问题能描述如下：
这里，c(g)和l(g)代表了竞争均衡的数量（我们已经在（2）中求得）。
代入c(g)和l(g)的表达式，可以得到政府的最优化问题：
或者，更简洁地：
一阶条件如下：
再一次，可以注意到，方程（3）的左边代表的是政府购买的边际成本。方程（3）的右边代表
的是政府购买的边际收益。求解（3）式可以得到最优的政府购买水平：
比较表达式（4）和第一题中的表达式（2），我
们可以看到在目前的情形下，政府的购买水平
更小（因为θγ>0）。也就是说，最优水平的 g 在征总额税时要比在征比例税时来得大。因为，在征比例税时，税收将对劳动供给和消费需求产生一个扭曲效应。而这些额外的成本是伴随着政府的行为而产生的，因此，
g自然会下降。比较（1）和（3）式可以发现，在g给定时，在征比例税时，政府活动的边
际成本更大，而边际收益两者却是一样的。
第三讲配套习题及答案
1.在我们的讲义的实例中曾描述了一个两期模型，现在，若在这个两期模型中的期效用函数成为：
（1）.试推导出欧拉方程。
（2）.试求代表性消费者的最优消费组合（c*1,c*2,b*1）
（3）.试求均衡的利率r*。
（1）欧拉方程为
因为所以因而有：
（2）我们有三个未知数，但相应的也有三个方程，一个是欧拉方程，另两个就是约束条件。
求解得：
（3）在均衡时，b*1=0，因此：
2.假设玛丽只生活两期。在每一期里她都可以不劳而获地得到
一些消费品：第一期记为