1989年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)
(1) 曲线2sin y x x =+在点122,π
π??+ ???处的切线方程是__ _ .
(2)
幂级数n
n ∞
=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组
1231231
230,0,0
x x x x x x x x x λλ++=??
++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为
()00sin 0212
,x ,F x A x,
x ,,x ,
π
π
?
?
=≤≤???>
??
则A =__________,6P X π?
?<=???
? .
(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不
等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当0x →时 ( )
(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )
(A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =?
(C)
()()d
f x dx f x dx =?
(D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )
(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例
(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0 (4) 设A 和B 均为n n ?矩阵,则必有 ( )
(A) A B A B +=+ (B)AB BA =
(C) AB BA = (D) ()1
11A B A B ---+=+
(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )
(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销” (C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
三、计算题(本题满分15分,每小题5分)
(1) 求极限1
1lim sin cos x
x .x x →∞??+ ???
(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2z
x y ???.
(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.
设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
2
()10x P P x e -
==,
且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.
(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)
(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)
已知函数
,
01,()2,1 2.
x x f x x x ≤≤?=?
-≤≤? 试计算下列各题：
(1) 2
00
();x S f x e dx -=?(4分) (2) 4
12
(2);x S f x e dx -=-?(2分)
(3) 22
2(2)(2,3,);n x
n n
S f x n e dx n +-=-=?(1分) (4) 0
n n S S ∞
==∑.(2分)
假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记
1
()(),x a F x f t dt x a
=
-? 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.
七、(本题满分5分)
已知X AX B,=+其中010111101A ,????=-????--??112053B ,-????=??
??-??
求矩阵X .
设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===.
(1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)
(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)
九、(本题满分5分)
设12
2212221A .-????=--??
??--??
(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)
(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)
已知随机变量X 和Y 的联合密度为
(),,,
(,)0,
x y e x y f x y -+?<<+∞<<+∞=?? 00其它.
试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)
十一、(本题满分8分)
设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.
1989年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题答案
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)答案：1y x =+
解：对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2
x π
=
得2
12sin
cos
12
2x y .ππ
π
='=+=所以该曲线在点12
2,π
π??+ ???处的切线的斜率为1, 所以 切线方程是122y x ,ππ??
-+=- ???
即1y x =+为所求.
(2)答案：[1,1)-
解：因系数1n n a a +=
=
从而
1lim
1,n n n n a a +→∞
== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-
时得交错级数n n ∞
=(条件收敛)；当1x =
时得正项级数0
n ∞
=(发散).
于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)答案：1λ≠
解：n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.
而 2111
0011010(1),111
1
1
1
A λλλλλ-==
-=-
所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)答案：1,
12
解：由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有
()(0)F x F x =+.
对于2x π
=
,有()sin ,(0) 1.222
F A A F πππ
==+= 令 ()2F π=(0)2
F π
+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 66
6P X P X ,ππ
π????<=-<
因()F x 在6x π
=
处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π?
?==???
? 所以 666P X P X πππ????<=-<≤????????66F F ππ????
=-- ? ?????
162sin .π==
(5)答案：1
9
解：由切比雪夫不等式2
{}DX
P X EX εε-≥≤
,有
221
{3}(3)9
P X σμσσ-≥≤=
.
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)答案：(B)
解：由洛必达法则有
()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31
x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)答案：(C)
解：由不定积分的概念和性质可知,
()()()()d
f x dx f x dx f x .dx
'==??
()()()f x dx df x f x C,'==+??C 为常数.
()()d f x dx f x dx.=?
故应选(C).
(3)答案：(C)
解：本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要. 因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了
||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.
以3阶矩阵为例,若 112123134A ??
?
= ? ???
,
条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、
(B)不满足题意,不可选.
若123124125A ??
?
= ? ???
,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.
这样用排除法可知应选(C). (4)答案：(C)
解：当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.
因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n 个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.
若1010,0102A B ????==????
????
,则 ()1
1
11
1
1
02
0020102,1310301000
223A B A B ----??
??????????????+==+=+=????
?????????????
???
???
?
. 而且()1
A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =?=?=知(C)正确.
注意,行列式是数,故恒有A B B A ?=?.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)答案：D
解：设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则
_____
A BC
B
C ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).
三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)解：这是1∞型未定式求极限.
设1
u x
=
,则当x →∞时,0u →.于是 1
011lim(sin cos )lim(sin cos )x
u x u u u x x
→∞→+=+ 1sin cos 1
sin cos 10
lim(1sin cos 1)
u u u u u
u u u +-?
+-→=++-,
令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 1
1sin cos 1
lim(1sin cos 1)
lim(1)u u t
u t u u t e +-→→++-=+=,
所以 01sin cos 1
sin cos 1
sin cos 1lim
sin cos 10
lim(1sin cos 1)
lim u u u u u u u u u u
u
u u u u u e
e
→+-+-+-?
+-→→++-==,
由洛必达法则得
00sin cos 1cos sin lim
lim 11
u u u u u u
u →→+--==,
所以 111
lim(sin cos )x x e e x x
→∞+==.
(2)解：方法一：先求z x ??,再求2z
x y
???.由复合函数求导法则,
z f u f v f f y ,x u x v x u v
???????=+=+??????? 故 2()z f f
y x y y u v
????=+?????
222222f u f v f
f u f v y u y u v y v v u y v y ???????????=++++ ??????????????
222222f f f f f
x
y xy u u v v u v v ?????=++++??????? 22222()
f f f f
x y xy u u v v v
????=++++?????.
方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得
1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++ 1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.
于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得
122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++ 11
12222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【知识点】：复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数
(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处
的偏导数存在,且
,z f u f v z f u f v
x u x v x y u y v y
??????????=+=+
??????????. (3)解：微分方程562x y y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为
2560r r ++=,
特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312x x C e C e --+.
设所给非齐次方程的特解为*()x y x Ae -=,代入方程562x y y y e -'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为
231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.
【知识点】：关于微分方程特解的求法:如果()()x m f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如 *()k x m y x Q x e λ=
的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.
四、(本题满分9分) 解：(1)收益函数
2
()10,06x R x xP xe x -
==≤≤.
边际收益函数
2
5(2)x dR MR x e dx
-==-.
(2)由 25(2)0x dR
x e dx
-=-=,得2x =. 又 22
2
2
2
5
5
(4)02
x x x d R
x e dx
e
-===-=-<.
因此()R x 在2x =取极大值.
又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e
=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为
20e .而相应的价格为10e
. (3) 由以上分析可列下表,并画出收益函数的图形.
五、(本题满分9分)
解：(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质,
2
1
2
00
1
()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+???
1
2
1
(2)x
x xe dx x e dx --=+-??
12
1
(2)x x xde x de --=-+-??
1
2
1
2
1
1
(2)x x x x xe e dx x e e dx ----????=-++--??????
12201
11101()x x e e e e e
--????=+---=-+--+???? 212
1e e
=-+.
(2)用定积分换元法,
令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 4
2
2
(2)
2
12
(2)()()x
t t S f x e dx f t e
dt e f t e dt --+--=-==????,
而 2
02012
()1x S f x e dx e e
-==
-+?, 故 22
221020
12
()(1)t S e f t e dt S e e e e
----=?==-+?. (3) 用定积分换元法,
令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 22
22
(2)220
(2)()()n x t n n t n n S f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==??
??
而 2
020
12
()1x S f x e dx e e
-==
-+?, 故 222202
12
()(1)n t n n n S e f t e dt S e e e e
----=?==-+?. (4)利用以上结果,有
20020
01n
n
n n n n S S S e
S e ∞∞
∞
-===??=== ???
∑∑∑
()2
200222
11
1111e S e S e e e e e
--====
--+-.
六、(本题满分6分) 解：对1()()x
a F x f t dt x a
=
-?两边对x 求导,得 2
2
()()()()()
()()
()
x
x
a
a f t dt
x a f x f t dt
f x F x x a x a
x a ---'=
+
=---??.
证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()x a
f t dt f x a ξ=-?, 所以 22()()()()()()()()()
()()
()x
a x a f x f t dt
x a f x f x a f x f F x x a x a x a
ξξ------'=
=
=
---?. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()x
a g x x a f x f t dt =--?,则
()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.
因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤,
即()()()()x
a g x x a f x f t dt =--?在(,)a
b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,
所以 2
()
()0()g x F x x a '=≤-.
七、(本题满分5分)
解：方法一：本题可采用一般的解法如下： 由X AX B,=+得()E A X B.-=
因为 ()1
111002111013213102011E A ,---????????-=-=-???
?????-???? 所以 ()102111311321202030115311X E A B .---??????
??????=-=-=?????????
???---?????? 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.
()11011101
20102
53E A B --??
??-=-????-??
, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得
110
1101111003
33--??
??-????-??
第三行自乘1
3
,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100
3101020001
11-??
??????-??
, 所以312011X .-??
??=????-??
八、(本题满分6分)
解：m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.
()1212
0m m x x x ααα????
??=??????
有非零解.
特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.
由于
123111
,,123513t t
ααα==-,
故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有
12121
21,23,3 5.
x x x x x x +=??
+=??+=?解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.
九、(本题满分5分) 解：(1) 矩阵A 的特征方程为
1
222
1
22
2
1
E A λλλλ+---=-+-+,
经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有
12
21
2211
2
03
4
2
10
2
1
E A λλλλλλλλ-------=-+=
+++
()
()()2
3
4115021
λλλλλ+=-=-+=+, 故矩阵A 的特征值为：115,,-.
(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.
因为0α≠,故0λ≠,于是有11
A ααλ
-=
.按特征值定义知
1
λ
是1A -的特征值.
由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1
115,,.-又因为
()1
1(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4
225
,,.
【知识点】：矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
十 、(本题满分7分)
解：(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分
()0
{}(,)y
x y x y
P X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<=
=????
y y x e dy e dx +∞--=??0
()
x y y x x e e dy +∞=--==-?
20
1(1)2y
y
y y e e dy e e +∞
+∞
----??
=-=-+ ????
1.2=
(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得
()0
()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞
+∞
+∞
+∞
-+-∞
-∞==?
?
?
?
x
y xe dx ye dy +∞
+∞--=?
?
.
因为由分部积分法有
00
y
y
y
y
ye dy yde
ye
e dy +∞
+∞
+∞----+∞=-=-+?
?
? 00
y
y ye e
--+∞+∞=--, 由洛必达法则,对∞∞
型极限,有1
lim lim 0y y y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =
十一、(本题满分8分)
解：以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为
1
,25,
()3
0,
x f x ?≤≤?=???其它. 因此 53
12(){3}.33
P A P X dx p =>==?
设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件
A 出现的次数).显然, Y 服从参数2
3,3
n p ==
的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220
()()()33327
C =+=
. 【知识点】：二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则
{}(1)k k
n k n P Y k C p p -==-, 0,1,
,k n =.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim a n a, 且a 0, 则当n 充分大时有（） （A）a （B）a 1 （C）a n a n 1 （D）a n a n （2）下列曲线有渐近线的是（） （A）y x s in x （B）y x2 s in x （A）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （B）当f '(x) 0时，f x( ) g x( )
（C）当f '(x) 0时，f x( ) g x( ) （D）当 f '(x) 0时，f x( ) g x( ) 0 a a 0 （5）行列式0 c c 0b d b 0 d （A）(ad bc)2 （B） (ad bc)2 （C）a d22 b c2 2 （D）b c2 2 a d2 2 （6）设a a1,2,a3 均为3 维向量，则对任意常数k,l ，向量组 1 k 3, 2 l 3 线性无关是向量组 1, 2, 3 线性无关的（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 （8）设X X X1, , 为来自正态总体N (0, 2) 的简单随机样本，则统计量X 1 X 2 服从的分布为 2 3 2 X （A）F（1,1） （B）F（2,1） （C）t(1） （D）t(2) 二、填空题：9 14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为Q 40 2P （P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D是由曲线xy 10 与直线y x 0及y=2 围成的有界区域，则D 的面积为_________。 a (11)设xe2x dx ，则a _____. 2
2014年考研数一真题与答案解析
数学一试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. （1）B （2）D （3）D （4）B （5）B （6）A （7）（B） （8）（D）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）012=---z y x （10）11=-)(f （11）12+=x x y ln （12）π （13）[-2,2] （14）25n 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．． 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】 2 1211111111102 0221 121 2112=-=--=--=--=--=+ --++→→+∞→+∞ →+∞→+∞→???u e lim u u e lim x )e (x lim ,x u x )e (x lim x tdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x x x x x x x 则令 （16）【答案】 20 20 2232222=+=+='++'?++')x y (y xy y y x xy y y x y y y x y )(y 20-==或舍。 x y 2-=时，
2 110 660 62480 62480 633333223223-==?==+-=+-+-=+-?+?+-=+++y ,x x x x x x )x (x )x (x x y x xy y 04914 190 141411202222222362222>=''=''=''+-''-''=''+'+'++''?+'?+'+'+''+')(y )(y )(y )(y )(y y x y x y x y y y x )y (x y y y y y y y )y ( 所以21-=)(y 为极小值。 （17）【答案】 y cos e )y cos e (f x E x x '=?? )y cos (e )y cos e (f y sin e )y cos e (f y E )y sin (e )y cos e (f y E y cos e )y cos e (f y cos e )y cos e (f x E x x x x x x x x x x -'+''=??-'=??'+''=??22222222 y cos e )y cos e (f )y cos e (f e )y cos e E (e )y cos e (f y E x E x x x x x x x +=''+=''=??+??44222 222 令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4， 故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214 -+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得 4 161622u e e )u (f u u --=- （18）【答案】 补{}∑=1 1z )z ,y ,x (:的下侧，使之与∑围成闭合的区域Ω，
2014年考研数学三真题 一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设且≠0，则当充分大时有 (A) (B) (C)(D) 【答案】A。 【解析】 【方法1】直接法： 由且≠0，则当充分大时有 【方法2】排除法： 若取显然,且(B)和(D)都不正确； 取显然，且(C)不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法1】
由于 所以曲线有斜渐近线，故应选(C) 解法2 考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限 则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设当时，若是比 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当时，知，的泰勒公式为 又 则
显然，， 由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。 故 综上所述，本题正确答案是(D)。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间 [0,1]上 (A)当时， (B)当时， (C)当时， (D)当时， 【答案】D。 【解析】 【方法1】 由于则直线过点和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即
令,则 ,, 当时，。则曲线在区间上是凹的，又， 从而，当时，,即 【方法3】 令, 则, = 当时,单调增，，从而，当时，,即 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明 (5)行列式 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】灵活使用拉普拉斯公式
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则=? ?---y y dy y x f dy 1110 2 ),(（ ） （A ）? ?? ?---+2 100 11 010 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）? ?? ? ----+0 101 1 10 1 2 x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ）? ?? ? +++θθππθθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1 2 10 20 dr r r f d dr r r f d （D ）? ?? ? +++θθππ θθπ θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10 2 10 20rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{ } ??-∈---=--π π ππ dx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000 000 0等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3） （A ） （B ） （C ） （D ） （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2 2 22 a d b c - （D ）22 2 2 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ 服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a = (12)二次积分2 21 1 0( )________.x y y e dy e dx x -=?? （13）设二次型22 123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是_________
2014年考研数学三真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设0≠=∞ →a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > (D)n a a n 1+< 【详解】因为0≠=∞ →a a n n lim ，所以0>?ε，N ?，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ， εε+≤<-a a a n ，取2 a = ε，则知2 a a n > ，所以选择（A ） 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1 sin += （D ）x x y 12 sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设3 2 dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3 x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 = d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++ =，显然3 1 010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两
2014年考研数学三真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)设limn→∞an=a,且a≠0，则当n充分大时有 (A)an>a2 (B) an
由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=a limx→∞fx-ax=limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0=b 所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C) 解法2 考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限limx→∞x+sin1x-x=limx→∞sin1x=0 则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C) 综上所述，本题正确答案是(C) 【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线 (3)设px=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若px-tanx是比x3高阶的无 穷小，则下列选项中错误的是 (A)a=0 (B)b=1 (C)c=0 (D)d=16 【答案】D。 【解析】 【方法1】 当x→0时，tanx-x ~ 13x3知，tanx的泰勒公式为 tanx=x+ 13x3+o(x3) 又limx→0px-tanxx3=limx→0a+b-1x+cx2+d-13x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13 【方法2】
2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1）当0x →时，用()o x 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）2 3 ()()x o x o x ?= （B ）23 ()()()o x o x o x ?= （C ）2 2 2 ()()()o x o x o x += （D ）2 2 ()()()o x o x o x += （2）函数||1()(1)ln || x x f x x x x -=+的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （3）设k D 是圆域2 2 {(,)|1}D x y x y =+≤位于第k 象限的部分，记()k k D I y x dxdy =-??()1,2,3,4k =， 则（ ） （A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （4）设{}n a 为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A ）若1 11 ,(1) n n n n n a a a ∞ -+=>-∑则 收敛 （B ）1 1 (1) n n n a ∞ -=-∑若 收敛，则1n n a a +>
（C ）1 n n a ∞ =∑若 收敛，则存在常数1P >,使lim P n n n a →∞ 存在 （D ）若存在常数1P >，使lim P n n n a →∞ 存在，则 1 n n a ∞ =∑收敛 （5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 （6）矩阵1a 1a b a 1a 1?? ? ? ???与2000b 0000?? ? ? ??? 相似的充分必要条件为 （A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a （D ）为任意常数b a ,2= （7）设123X X X ，，是随机变量，且22 123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X , {22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ） （A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> （8）设随机变量X 和Y 相互独立，则X 和Y 的概率分布分别为， 则{2}P X Y +== ( )
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2 阶无穷小，由题意可知?? ? ??>>121αα 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞ →x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
2000年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 1 20 2x x dx -? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当 a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑
2014硕士研究生入学考试 数学一 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12sin += 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 3．设)(x f 是连续函数，则 =??---y y dy y x f dy 11102),(（ ） （A ） ????---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ） ????----+010*******x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （C ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d （D ） ????+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d 4．若函数{} ??-∈---=--πππ πdx x b x a x dx x b x a x R b a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（ ） （A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π2 5．行列式d c d c b a b a 000000 00等于（ ） （A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +- 6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（ ） （A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分非必要条件 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三） 若a a n n =∞ →lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ） （A ）2 a a n > （B ）2 a a n < （C ）n a a n 1- > （D ）n a a n 1 +< （2）（数二） 当0x +→时，若ln (12)x α +，1 (1cos )x α -均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2 （3）（数一、二、三） 下列曲线中有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2 sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x =+ （4）（数三） 设2 3 ()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3 x 高阶的无穷小，则下 列选项中错误．． 的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）6 1 =d
（5）（数一、二、三） 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二） 曲线22 7,41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A （B （C ）（D ） （7）（数二） 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2 2 lim x x ξ→=（ ） （A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13
2014年考研数三真题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a > （B ）2 n a a < （C ）1 n a a n >- （D ）1 n a a n <+ （2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2 1sin y x x =+ （3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16 d = （4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥
（5）行列式 00000000a b a b c d c d = （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222 b c a d - （6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的 （A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4 （8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量12 3 2X X X -服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2) 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。 (10)设D 是由曲线10xy +=与直线0y x +=及y=2围成的有界区域，则D 的面积为_________。 (11)设 20 1 4 a x xe dx = ? ，则_____.a =
推荐：考研数字题库和资料 2014年考研数学二真题和分析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．当+→0x 时，若)(ln x 21+α ，α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ） （A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是 （A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ） 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹 的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当