【易错题解析】浙教版九年级数学下册第一章解直角三角形单元测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.在中，°, °，AB=5，则BC的长为( )
A. 5tan40°
B. 5cos40°
C. 5sin40°
D.
【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴cosB= ，
∵AB=5，∠B=40°，
∴BC=AB·cosB=5cos40°.
故答案为：B.
【分析】根据余弦函数的定义得出cosB=，故BC=AB·cosB=5cos40°.
2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，sinA=，
∴sinA==，
设AB=5x，BC=3x，
∴AC=4x，
∴tanB ==.
故答案为：A.
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则tanB的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，
根据正切的定义知：
tanB=.
故选A.
4.如图所示,热气球探测器在A点处,点B为楼顶,点C为楼底,AD为水平线,EF为经过点A的铅垂线,则下列说法正确的有( )
①∠1为仰角; ②∠2为仰角; ③∠3为俯角; ④∠4为俯角.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：正确的说法是②∠2为仰角，③∠3为俯角；
故答案为：B
【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判定。
5.在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且sinB= ，则∠C的正弦值等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，
∵sinB= ，
∴= ，
∵AB=5，
∴AD=3，
∴BD==4，
∵BC=6，
∴CD=2，
∴AC== ，
∴sinC=== ，
故选C．
【分析】过点A作AD⊥BC，根据三角函数的定义得出AD的长，再求得BD、CD，根据勾股定理得出AC，再由三角函数的定义得出答案即可．
6.如图，C岛在A岛的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东70°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是（）
A. 95°
B. 85°
C. 60°
D. 40°
【答案】A
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵C岛在A岛的南偏东15°方向，∴∠FAC=15°，
∵C岛在B岛的北偏东70°方向，
∴∠CBD=∠BCE=70°，
∵FA∥CE，
∴∠FAC+∠ACB+∠BCE=180°，
∴15°+∠ACB+70°=180°，
∴∠ACB=95°，
故选A．
【分析】根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解．
7.等腰三角形的底边长10m，周长为36cm，则底角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD=BC=5，
在Rt△ABD中，∵AB=13，BD=5，
∴AD==12，
∴tanB== ．
故选D．
【分析】先画出几何图形，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm，则AB=AC=13cm，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=BC=5，则利用勾股定理可计算出AD=12，然后根据正弦的定义求解．
8.（2017?益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）
A. B. C. D. h?cosα
【答案】B
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD= ，
∴BC= = ，
故选：B．
【分析】根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD，由cos∠BCD= 知BC= = ．
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC= ，则BC的长是（）
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8，
∵cos∠BDC= ，
∴，
解得：CD=3，BD=5，
∴BC=4．
故选A．
【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC=，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．
10.（2017?广元）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD= ；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（）
A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④
【答案】C
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴= ，
∵AE= AD= BC，
∴= ，
∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有= ，即b= a，
∴tan∠CAD= = = ．故②不正确；
正确的有①③④，
故答案为：C．
【分析】只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可判断①正误；由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可判断④正误；只要证明DM垂直平分CF，即可证明③；设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a和b的关系，可得tan∠CAD的值即可判断②的正误，于是得到四个结论中正确结论.
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是________.
【答案】
【考点】直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中,∵CD是斜边AB上的中线,
∴AB=2CD=4，
则sinB=
故答案为：【分析】根据直角三角形斜边上的中线长是斜边的一半，可得AB=2CD=4；而sin B的值为∠B
所对的边AC与斜边AB长的比值。
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，如果sinA：sinB=2：3，那么a：b等于
________．
【答案】2：3
【考点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b分别是∠A、∠B的对边，c为∠C对的边，∴sinA= ，sinB= ，
∵sinA：sinB=2：3，
∴：=2：3，
∴a：b=2：3．
故答案为2：3．
【分析】根据正弦的定义得到sinA= ，sinB= ，再由sinA：sinB=2：3得到：=2：3，然后利用比例性质化简即可．
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，tanA=2，则BC=________．
【答案】10
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵tanA= ，
∴BC=AC?tanA=5×2=10．
故答案是：10．
【分析】根据已知条件tanA=2=可求BC的长。
14.（2016?西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC
的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为________米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）
【答案】60
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，
∴BD= ，CD= ，
∴+ =100，
解得，AD≈60，
故答案为：60．
【分析】根据题意和图形可以分别表示出AD和CD的长，从而可以求得AD的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15.（2016?黔南州）为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出
________个这样的停车位．（取=1.4，结果保留整数）
【答案】19
【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵CE=2，DE=5，且∠BCE=∠CBE=∠ABD=∠ADB=45°，
∴BE=CE=2，BD=DE﹣BE=3，
∴BC=2÷sin45°=2 ，AB=（5﹣2）×sin45°=（5﹣2）× = ，
设至多可划x个车位，依题意可列不等式
2 x+ ≤56，
将=1.4代入不等式，化简整理得，28x≤539，
解得x≤19 ，因为是正整数，所以x=19，
所以这个路段最多可以划出19个这样的停车位．
故答案为：19．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，AB，设至多可划x个车位，依题意可列不等式2 x+（5﹣2）× ≤56，解不等式即可求解．考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tanA=________.
【答案】
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可计算得到tanA=．
故答案是．
【分析】锐角三角函数的定义．
17.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA= ，则BC=________．
【答案】6
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：sinA=CB：AB=CB：10= ，CB=6．
故答案为：6．
【分析】根据正弦定义：对边：斜边=正弦可得答案．
18.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为________ 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）
【答案】137
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD= ，
∴x=（x+100），
∴x=50（+1）≈137，
即山高AD为137米．
故答案为137．
【分析】根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD 的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=（x+100），解得x=50（+1），再进行近似计算即可．
19.如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=100m，则河宽AB为________m（结果保留根号）．
【答案】50
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠ACB=30°，∠ADB=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=CD=100m，
在Rt△ABD中，
AB=AD?sin∠ADB=100× =50 （m）．
故答案是：50 ．
【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到AB=AD?sin∠ADB的值.
20.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km ，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________km ．
【答案】2
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，过点A作AD⊥OB于D.
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km ，
∴AD= OA=2km ．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=2km ，
∴AB= AD=2 km ．
即该船航行的距离（即AB的长）为2 km ．
故答案为2 km ．
【分析】过点A作AD⊥OB于D.先解Rt△AOD ，得出AD= OA=2km ，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km ，则AB= AD=2 km ．
三、解答题（共10题；共60分）
21.（2016?丹东）计算：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0．
【答案】解：4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0
=4× +2 ﹣3﹣2+1
=2 +2 ﹣4
=4 ﹣4
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60°+|3﹣|﹣（）﹣1+（π﹣2016）0的值是多少即可．（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= （a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
22.如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100 米，风筝线与水平线的夹角α=37°，小王拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE（精确到0.1米）．
【答案】解：∵AB=100米，α=37°，
∴BC=AB?sinα=100sin37°，
∵AD=CE=1.5米，
∴BE=BC+CE=100×sin37°+1.5≈100×0.60+1.5=61.5（米），
答：风筝离地面的高度BE为：61.5米
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由BC=AB?sinα得出BC的长，根据矩形的性质得出AD=CE，根据线段的和差即可得出答案。
23.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）
【答案】解：作PC⊥AB交于C点，
由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．
在Rt△APC中，PC=PA?cos∠APC=40 （海里）．
在Rt△PCB中，PB= ≈98（海里）．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，作PC⊥AB交于C点；由方位角易知∠APC=30°，∠BPC=45°，则根据解直角三角形的知识解答即可．
24.如图，小明到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200 m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D 的行驶路线与水平夹角∠β=42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）
【答案】解：如图，
在Rt 中，斜边AB=200米，∠α=16°，
（m），
在Rt 中，斜边BD=200米，∠β=42°，
因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=186（米）．
答：缆车垂直上升了186米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用正弦函数的定义由BC=AB·sinα得出BC的长，在Rt △BDF 中，利用正弦函数的定义由DF=BD·sinβ得出BC的长，根据线段的和差即可得出答案。
25.我校的北大门是由相同菱形框架组成的伸缩电动推拉门，如图是大门关闭时的示意图，此时菱形的边长为0.5m，锐角都是50°.求大门的宽（结果精确到0.01，参考数据：sin25°≈0.422 6，cos25°≈0.906 3）.
【答案】解：如图，取其中一个菱形ABCD．
根据题意，得∠BAD=50°，AB=0.5米．
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∠BAO=25°，
∴在Rt△ABO中，BO=sin∠BAO?AB=sin25°×0.5 =0.2113（米）．
∴大门的宽是：0.2113×30≈6.34（米）．
答：大门的宽大约是6.34米．
【考点】菱形的性质，解直角三角形的应用
【解析】【分析】由菱形对角线的性质知AC⊥BD，从而在Rt△ABO中根据三角函数知识求出BO的长，大门的长也就得以求出。
26.如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测点，B在A的正东方向，AB＝4km．从A测得灯塔C在北偏东60°的方向，从B测得灯塔C在北偏西27°的方向，求灯塔C与观测点A的距离（精确到0.1km）．(参考数据:sin27°≈0.45，cos27°≈0.90，tan27°≈0.50，≈1.73)
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，
在Rt△BDC中，由tan∠BCD= ，
∴BD=CDtan27°=0．5CD．
在Rt△ADC中，由tan∠ACD=
∴AD=CD?tan60°= CD．
∵AD+BD= CD+0．5CD=4，
∴CD= ．
在Rt△ADC中，∵∠ACD=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AC=2CD= ≈3．6．
∴灯塔C与观测点A的距离为3．6km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则∠BCD=27°，∠ACD=60°，在Rt△BDC中，根据正切函数的定义，由tan∠BCD=,得出BD=CDtan27°=0．5CD，在Rt△ADC中，根据正切函数的定义，由tan∠ACD=得出
AD=CD?tan60°= CD．根据AD+BD=4列出方程，求解得出CD的长，在Rt△ADC中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AC的长。
27.小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，36°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：tan36°≈0.73．
【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，
设AD为xm，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=36°．
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=xm．在Rt△ADC中，∠ACD=36°，
∴tan∠ACD= ，
∴=0.73，
解得：x≈270.4．
答：热气球离地面的高度约为270.4m．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作AD⊥BC交CB的延长线于D，根据题意可得出△ADB是等腰直角三角形，可得出DB=AD=x，则DC=x+100，再在Rt△ADC中，利用锐角三角形函数的定义，可求出AD的长。
28.如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，≈1.7）
【答案】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，
则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD= = =
在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，
∴325+x=?tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数解直角三角形，做CD⊥AB，垂足为点D，因为海平面与AC的夹角为，所以∠CAD=，即DC= AD，设AD=x，在Rt△BCD中，BD=1000+x，因为∠BCD=，用∠BCD的正切可求出x 的值，即AD的值.
29.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中=1.732，=4.583）
【答案】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D．在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，
∴BC=3cm．
当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm．
在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°，
∴A′D= A′C′=2cm，C′D= A′D=2 cm．
在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，
∴BD= = cm，
∴CC′=C′D+BD﹣BC=2 + ﹣3，
∵=1.732，=4.583，
∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5．
故移动的距离即CC′的长约为5cm．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD= cm，然后根据CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长．
30.（2014?葫芦岛）油井A位于油库P南偏东75°方向，主输油管道AP=12km，一新建油井B位于点P的北偏东75°方向，且位于点A的北偏西15°方向．
（1）求∠PBA；
（2）求A，B间的距离；
（3）要在AP上选择一个支管道连接点C，使从点B到点C处的支输油管道最短，求这时BC的长．（结果保留根号）
【答案】解：如图：（1）∵∠BPA=15°×2=30°，
∠BAP=75°﹣15°=60°，
∴∠PBA=180°﹣30°﹣60°=90°；
（2）AB=APsin30°=12×=6km；
（3）过B作BC⊥AP，
BC=AB?sin60°=6×=3．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）根据方向角进行解答；（2）利用三角函数解答；
（3）作出AP上的垂线解答．