贝塞尔曲线及插值
这里主要讲一下如何在excel及vb中实现贝塞尔曲线插值，程序来源于互联网（程序作者: 海底眼(Mr. Dragon Pan在excel中用宏实现)，本文作为少量修改，方便在vb中调用，经运行证明是没错的，下面程序可作成一个模块放到vb或vba中调用：
' Excel的平滑线散点图，可以根据两组分别代表X-Y坐标的散点数值产生曲线图
' 但是，却没有提供这个曲线图的公式，所以无法查找曲线上的点坐标
' 后来我在以下这个网页找到了详细的说明和示例程序
' ............................................................... ...............
' https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/Smooth_curve_bezier_example_file.zip
' ............................................................... ...............
' 根据其中采用的算法，进一步增添根据X坐标求Y坐标，或根据Y坐标求X坐标，更切合实际需求
' 这个自定义函数按照Excel的曲线算法(三次贝塞尔分段插值),计算平滑曲线上任意一点的点坐标
'
' Excel的平滑曲线的大致算法是:
' 给出了两组X-Y数值以后，每一对X-Y坐标称为节点，然后在每两个节点之间画出三次贝塞尔曲线(下面简称曲线)
' 贝塞尔曲线的算法网上有很多资源，这里不介绍了，只作简单说明
' 每条曲线都由四个节点开始，计算出四个贝塞尔控制点，然后根据控制点画出唯一一条曲线
' 假设曲线的源数据是节点1,节点2,节点3,节点4(Dot1,Dot2,Dot3,Dot4) ' 那么贝塞尔控制点的计算如下
' Dot2是第一个控制点,也是曲点的起点，Dot3是第四个控制点也是曲线的终点
'
' 第二个控制点的位置是:
' 过第一个控制点(Dot2,起点)，与Dot1, Dot3的连线平行，且与Dot2距离为 1/6 * 线段Dot1_Dot3的长度
' 假如是图形的第一段曲线，取节点1,1,2,3进行计算,即 Dot2 = Dot1
' 且第二个控制点与第一控制点距离取 1/3 * |Dot1_Dot3|,而不是1/6 * |Dot1_Dot3|
' 假如 1/2 * |Dot2_Dot3| < 1/6 * |Dot1_Dot3|
' 那么第二个控制点与第一控制点距离取 1/2 * |Dot2_Dot3|,而不是1/6 * |Dot1_Dot3|
'
' 第三个控制点的位置是:
' 过第四个控制点(Dot3,终点)，与Dot2, Dot4的连线平行，且与Dot3距离为 1/6 * |Dot2_Dot4|
' 假如是图形的最后一段曲线，取节点Last-2,Last-1,Last,Last 进行计算,即 Dot4 = Dot3
' 且第三个控制点与第四控制点距离取 1/3 * |Dot2_Dot4|,而不是1/6 * |Dot2_Dot4|
' 假如 1/2 * |Dot2_Dot3| < 1/6 * |Dot2_Dot4|
' 那么第二个控制点与第一控制点距离取 1/2 * |Dot2_Dot4|,而不是1/6 * |Dot2_Dot4| '.................................................................... ...........................
' 这个自定义函数的计算流程是
' Step1: 检查输入的X-Y数值是否有错误，如(输入不够三个点，X-Y的数量不一致,起始搜索节点超过范围等等)
' Step2: 从参数指定的节点开始，计算出四个贝塞尔控制点，得到贝塞尔插值多项式方程，
' 然后代入已知的待求数值，看它能不能满足 f(t)=0 有解 (即曲线包含待查数值)
' Step3: 如果 f(t)=0 有解，根据解出来的 t 值计算X-Y坐标，退出程序,否则继续检查下一段曲线
' Step4: 如果所有分段曲线都不包含待查数值，退出程序'.................................................................... ...........................
Option Explicit
Option Base 1 '所有数组的第一个元素编号为1(默认为0)
Type Vector '自定义数据结构(用二维向量代表坐标系里面的点坐标)
x As Double
y As Double
End Type
Const NoError = "No error" '错误提示信息
Const Error1 = "Error: The size of known_x must equal to size of known_y" Const Error2 = "Error: The size of known_x must equal to or greater than 3"
Const Error3 = "Error: StartKnot must be >=1 and <=count(known_x)-1" Const Error4 = "Error: known_value_type must be ""x"",""y"",or ""t"" " Const Error5 = "Error: When known_value_type is ""t"" , known_value must >=0 and <=1"
Const Error10 = "Error: known_value is not on the curve (defined by given known_x and known_y)"
Const NoRoot = "No Root"
Const MaxErr = 0.00000001
Const MaxLoop = 1000
Dim SizeX, SizeY As Long '输入区域的大小
Dim Dot1 As Vector '输入区域里面，用作计算贝塞尔控制点的四个节点
Dim Dot2 As Vector
Dim Dot3 As Vector
Dim Dot4 As Vector
Dim BezierPt1 As Vector '生成贝塞尔曲线的四个贝塞尔控制点
Dim BezierPt2 As Vector
Dim BezierPt3 As Vector
Dim BezierPt4 As Vector
Dim OffsetTo2 As Vector '第二,三个贝塞尔控制点跟起点，终点的距离关系
Dim OffsetTo3 As Vector
Dim ValueType As Variant '输入待查数值的类型,"x"代表输入的是X坐标，求对应的Y坐标
Dim Interpol_here As Boolean '当前分段曲线是否包含待查数值
Dim key_value, a, b, c, d As Double '贝塞尔曲线插值多项式的系数
Dim t1, t2, t3 As Variant '贝塞尔曲线插值多项式的根
Dim a3, a2, a1, a0 As Double
Dim size%
Public Sub befit(ByRef known_x() As Double, ByRef known_y() As Double, size As Integer, known_value As Double, result() As Variant, Optional StartKnot As Long = 1, Optional known_value_type As Variant = "x")
'
'--------------------------------------子过程方便VB中调用
-----------------------------------------------------------
'主程序开始，至少要输入五个参数，第一个是X坐标系列，然后是Y坐标系列，第三个是坐标点数，第四个是待查数值，第五个是返回值
'第六个参数是从哪一段曲线开始查找，如果曲线可以返回多个值，那么分别指定起始节点就可以找出全部合要求的点
'第七个参数是待查数值的类型,"x"代表输入x坐标求对应y坐标，"y"则相反,"t"是直接输入贝塞尔插值多项式的参数
'-------------------------------------------------------------------------------------------------
Dim j As Long
Dim x1Value, y1Value, x2Value, y2Value, x3Value, y3Value As Variant Dim ErrorMsg As Variant
ValueType = LCase(known_value_type) '待查数值的类型转化为小写，并赋值到全局变量ValueType
key_value = known_value '待查数值赋值到全局变量key_value
ErrorMsg = ErrorCheck(known_x, known_y, StartKnot) '检查输入错误
If ErrorMsg <> NoError
Then '有错误就返回错误信息，退出程序
result = Array(ErrorMsg, ErrorMsg, ErrorMsg, ErrorMsg, ErrorMsg, ErrorMsg)
Exit Sub
End If
'SizeX = UBound(known_x)
For j = StartKnot To size 'SizeX - 1 '从指定的节点开始，没有指定节点就从1开始
Call FindFourDots(known_x, known_y, j) '找出输入X-Y点坐标里面，应该用于计算的四个结点
Call FindFourBezierPoints(Dot1, Dot2, Dot3, Dot4) '根据四个结点计算四个贝塞尔控制点
Call
FindABCD '根据待查数值的类型，和贝塞尔控制点,计算贝塞尔插值多项式的系数
Call
Find_t '检查贝塞尔曲线是否包含待查数值
If Interpol_here = True Then Exit For
Next j
If Interpol_here = True Then '计算点坐标，并返回
'以下是由四个贝塞尔控制点决定的,贝塞尔曲线的参数方程
x1Value = (1 - t1) ^ 3 * BezierPt1.x + 3 * t1 * (1 - t1) ^ 2 * BezierPt2.x + 3 * t1 ^ 2 * (1 - t1) * BezierPt3.x + t1 ^ 3 * BezierPt4.x y1Value = (1 - t1) ^ 3 * BezierPt1.y + 3 * t1 * (1 - t1) ^ 2 * BezierPt2.y + 3 * t1 ^ 2 * (1 - t1) * BezierPt3.y + t1 ^ 3 * BezierPt4.y x2Value = (1 - t2) ^ 3 * BezierPt1.x + 3 * t2 * (1 - t2) ^ 2 * BezierPt2.x + 3 * t2 ^ 2 * (1 - t2) * BezierPt3.x + t2 ^ 3 * BezierPt4.x y2Value = (1 - t2) ^ 3 * BezierPt1.y + 3 * t2 * (1 - t2) ^ 2 * BezierPt2.y + 3 * t2 ^ 2 * (1 - t2) * BezierPt3.y + t2 ^ 3 * BezierPt4.y x3Value = (1 - t3) ^ 3 * BezierPt1.x + 3 * t3 * (1 - t3) ^ 2 * BezierPt2.x + 3 * t3 ^ 2 * (1 - t3) * BezierPt3.x + t3 ^ 3 * BezierPt4.x y3Value = (1 - t3) ^ 3 * BezierPt1.y + 3 * t3 * (1 - t3) ^ 2 * BezierPt2.y + 3 * t3 ^ 2 * (1 - t3) * BezierPt3.y + t3 ^ 3 * BezierPt4.y
result = Array(x1Value, y1Value, x2Value, y2Value, x3Value,
y3Value)
Else
result = Array(Error10, Error10, Error10, Error10, Error10, Error10)
End If
End Sub
//******************************************************************* ********************
Function ErrorCheck(ByRef known_x() As Double, ByRef known_y() As Double, StartKnot) As Variant
ErrorCheck = NoError
SizeX = UBound(known_x) 'known_x.Count
SizeY = UBound(known_y) 'known_y.Count
If SizeX <> SizeY Then '假如输入的X坐标数目不等于Y坐标数目ErrorCheck = Error1
Exit Function
End If
If SizeX < 3 Then '输入的X-Y坐标对少于三个
ErrorCheck = Error2
Exit Function
End If
If (StartKnot < 1 Or StartKnot >= SizeX) Then '指定的起始节点超出范围
ErrorCheck = Error3
Exit Function
End If
If (ValueType <> "x" And ValueType <> "y" And ValueType <> "t")
Then '输入的待查数值类型不是x, y, t
ErrorCheck = Error4
Exit Function
End If
If ((ValueType = "t" And key_value > 1) Or (ValueType = "t" And key_value < 0)) Then ' t 类型的范围是0-1
ErrorCheck = Error5
Exit Function
End If
End Function
//******************************************************************* ********************
Sub FindFourDots(ByRef known_x() As Double, ByRef known_y() As Double, j) '根据X-Y数值，及起始节点，找出用于计算的四个结点坐标 If j = 1 Then '第一个结点 Dot2 = Dot1
Dot1.x = known_x(1)
Dot1.y = known_y(1)
Else
Dot1.x = known_x(j - 1)
Dot1.y = known_y(j - 1)
End If
Dot2.x = known_x(j)
Dot2.y = known_y(j)
Dot3.x = known_x(j + 1)
Dot3.y = known_y(j + 1)
If j = SizeX - 1 Then '最后一个结点Dot4 = Dot3
Dot4.x = Dot3.x
Dot4.y = Dot3.y
Else
Dot4.x = known_x(j + 2)
Dot4.y = known_y(j + 2)
End If
End Sub
//******************************************************************* ********************
Sub FindFourBezierPoints(Dot1 As Vector, Dot2 As Vector, Dot3 As Vector, Dot4 As Vector)
Dim d12, d23, d34, d13, d14, d24 As Double
d12 = DistAtoB(Dot1, Dot2) '计算平面坐标系上的两点距离
d23 = DistAtoB(Dot2, Dot3)
d34 = DistAtoB(Dot3, Dot4)
d13 = DistAtoB(Dot1, Dot3)
d14 = DistAtoB(Dot1, Dot4)
d24 = DistAtoB(Dot2, Dot4)
BezierPt1 = Dot2
BezierPt4 = Dot3
OffsetTo2 = AsubB(Dot3, Dot1) '向量减法
OffsetTo3 = AsubB(Dot2, Dot4)
If ((d13 / 6 < d23 / 2) And (d24 / 6 < d23 / 2)) Then
If (Dot1.x <> Dot2.x Or Dot1.y <> Dot2.y) Then OffsetTo2 = AmultiF(OffsetTo2, 1 / 6)
If (Dot1.x = Dot2.x And Dot1.y = Dot2.y) Then OffsetTo2 = AmultiF(OffsetTo2, 1 / 3)
If (Dot3.x <> Dot4.x Or Dot3.y <> Dot4.y) Then OffsetTo3 = AmultiF(OffsetTo3, 1 / 6)
If (Dot3.x = Dot4.x And Dot3.y = Dot4.y) Then OffsetTo3 = AmultiF(OffsetTo3, 1 / 3)
ElseIf ((d13 / 6 >= d23 / 2) And (d24 / 6 >= d23 / 2)) Then OffsetTo2 = AmultiF(OffsetTo2, d23 / 12)
OffsetTo3 = AmultiF(OffsetTo3, d23 / 12)
ElseIf (d13 / 6 >= d23 / 2) Then
OffsetTo2 = AmultiF(OffsetTo2, d23 / 2 / d13)
OffsetTo3 = AmultiF(OffsetTo3, d23 / 2 / d13)
ElseIf (d24 / 6 >= d23 / 2) Then
OffsetTo2 = AmultiF(OffsetTo2, d23 / 2 / d24)
OffsetTo3 = AmultiF(OffsetTo3, d23 / 2 / d24)
End If
BezierPt2 = AaddB(BezierPt1, OffsetTo2) '向量加法
BezierPt3 = AaddB(BezierPt4, OffsetTo3)
End Sub
//******************************************************************* ********************
Function DistAtoB(dota As Vector, dotb As Vector) As Double
DistAtoB = ((dota.x - dotb.x) ^ 2 + (dota.y - dotb.y) ^ 2) ^ 0.5 End Function
Function AaddB(dota As Vector, dotb As Vector) As Vector
AaddB.x = dota.x + dotb.x
AaddB.y = dota.y + dotb.y
End Function
Function AsubB(dota As Vector, dotb As Vector) As Vector
AsubB.x = dota.x - dotb.x
AsubB.y = dota.y - dotb.y
End Function
Function AmultiF(dota As Vector, MultiFactor As Double) As Vector
AmultiF.x = dota.x * MultiFactor
AmultiF.y = dota.y * MultiFactor
End Function
//******************************************************************* ********************
Sub FindABCD()
If ValueType = "x" Then '参数类型是x, 需要解参数方程 f(t) = x，这里设定参数方程的系数
a = -BezierPt1.x + 3 * BezierPt2.x - 3 * BezierPt3.x + BezierPt4.x
b = 3 * BezierPt1.x - 6 * BezierPt2.x + 3 * BezierPt3.x
c = -3 * BezierPt1.x + 3 * BezierPt2.x
d = BezierPt1.x - key_value
End If
If ValueType = "y" Then '参数类型是x, 需要解参数方程 f(t) = y，这里设定参数方程的系数
a = -BezierPt1.y + 3 * BezierPt2.y - 3 * BezierPt3.y + BezierPt4.y
b = 3 * BezierPt1.y - 6 * BezierPt2.y + 3 * BezierPt3.y
c = -3 * BezierPt1.y + 3 * BezierPt2.y
d = BezierPt1.y - key_value
End If
End Sub
//******************************************************************* ********************
Sub Find_t() '计算当 f(t) = 待查数值时, t应该是什么数值
Dim tArr As Variant
Interpol_here = True
If ValueType = "t" Then '待查数值类型为t,那么无需计算 t1 = key_value
t2 = key_value
t3 = key_value
Exit Sub
End If
tArr = Solve_Order3_Equation(a, b, c, d) '否则，解三次贝塞尔参数方程 f(t) = 待查数值
t1 =
tArr(1)
'解得方程的三个根
t2 = tArr(2)
t3 = tArr(3)
If (t1 > 1 Or t1 < 0) Then '参数方程的 t 值范围应该是 0-1
t1 = NoRoot
End If
If (t2 > 1 Or t2 < 0) Then
t2 = NoRoot
End If
If (t3 > 1 Or t3 < 0) Then
t3 = NoRoot
End If
If (IsNumeric(t1) = False And IsNumeric(t2) = False And IsNumeric(t3) = False) Then
Interpol_here = False
End If ' 三个根都不合要求，代表曲线上没有包含待查数值的点
If (t1 = NoRoot And t2 <> NoRoot) Then '至少有一个根，则用它代替NoRoot 的结果,方便Excel画图
t1 = t2
End If
If (t1 = NoRoot And t3 <> NoRoot) Then
t1 = t3
End If
If (t2 = NoRoot) Then t2 = t1
If (t3 = NoRoot) Then t3 = t1
End Sub
//******************************************************************* ********************
'.................................................................... ............................
' 牛顿法解三次方程，先求解方程的导函数，得到方程的拐点(导数等于0的点)
' 然后分三段用迭代法分别求三个根'.................................................................... ............................
Public Function Solve_Order3_Equation(p3, p2, p1, P0, Optional Starting As Double = -10000000000#, Optional Ending As Double = 10000000000#) As Variant
Dim Two_X, TurningPoint, x1, x2, x3 As Variant
Dim x As Double
a3 = p3
a2 = p2
a1 = p1
a0 = P0
x1 = NoRoot
x2 = NoRoot
x3 = NoRoot
x1 = Newton_Solve(Starting)
If a3 = 0
Then
' 如果三次方程没有三次项
Two_X = Solve_Order2_Equation(a2, a1, a0) ' 解释法直接求二次方程的解
x1 = Two_X(1)
x2 = Two_X(2)
Else
TurningPoint = Solve_Order2_Equation(3 * a3, 2 * a2, 1 *
a1) ' 求解 f'(t) = 0
If (TurningPoint(1) = NoRoot And TurningPoint(2) = NoRoot)
Then ' 分段求根
x = 0
x1 = Newton_Solve(x)
ElseIf (TurningPoint(1) <> NoRoot And TurningPoint(2) = NoRoot) Then
If f_x(Starting) * f_x(TurningPoint(1)) < 0 Then
x = (Starting + TurningPoint(1)) / 2
x1 = Newton_Solve(x)
End If
If f_x(TurningPoint(2)) * f_x(Ending) < 0 Then
x = (TurningPoint(2) + Ending) / 2
x3 = Newton_Solve(x)
End If
ElseIf (TurningPoint(1) <> NoRoot And TurningPoint(2) <> NoRoot) Then
If f_x(Starting) * f_x(TurningPoint(1)) < 0 Then
x = (Starting + TurningPoint(1)) / 2
x1 = Newton_Solve(x)
End If
If f_x(TurningPoint(1)) * f_x(TurningPoint(2)) < 0 Then
x = (TurningPoint(1) + TurningPoint(2)) / 2
x2 = Newton_Solve(x)
End If
If f_x(TurningPoint(2)) * f_x(Ending) < 0 Then
x = (TurningPoint(2) + Ending) / 2
x3 = Newton_Solve(x)
End If
End If
End If
Solve_Order3_Equation = Array(x1, x2, x3)
End Function
//******************************************************************* ********************
Function f_x(xValue) As Double ' f_x = f(x) 求贝塞尔参数方程 f(t)的值
f_x = a3 * xValue ^ 3 + a2 * xValue ^ 2 + a1 * xValue + a0
End Function
Function Df_x(xValue As Double) As Double ' Df_x = f'(x) ' f_x = f(x) 求贝塞尔参数方程导函数 f'(t)的值
Df_x = 3 * a3 * xValue ^ 2 + 2 * a2 * xValue + a1
End Function
Function Solve_Order2_Equation(k2, k1, k0 As Double) As Variant
Dim b2SUB4ac As Double
If (k2 = 0) Then
If k1 = 0 Then
Solve_Order2_Equation = Array(NoRoot, NoRoot)
Exit Function
ElseIf (k1 <> 0 And k0 = 0) Then
Solve_Order2_Equation = Array(0, 0)
Exit Function
ElseIf (k1 <> 0 And k0 <> 0) Then
Solve_Order2_Equation = Array(-k0 / k1, -k0 / k1)
Exit Function
End If
End If
b2SUB4ac = (k1) ^ 2 - 4 * k2 * k0 ' 二次方程可以直接用公式求解,b^2-4*a*c
If b2SUB4ac < 0 Then
Solve_Order2_Equation = Array(NoRoot, NoRoot)
End If
If b2SUB4ac = 0 Then
Solve_Order2_Equation = Array(-k1 / 2 / k2, -k1 / 2 / k2)
End If
If b2SUB4ac > 0 Then
If (-k1 + b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2 < (-k1 - b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2 Then
Solve_Order2_Equation = Array((-k1 + b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2, (-k1 - b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2)
Else
Solve_Order2_Equation = Array((-k1 - b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2, (-k1 + b2SUB4ac ^ 0.5) / 2 / k2)
End If
End If
End Function
//******************************************************************* ********************
Function Newton_Solve(x0 As Double) As Variant
Dim i, eps As Double
i = 0
eps = Abs(f_x(x0))
Do While (eps > MaxErr) '如果取初值，函数的绝对值大于允许误差
If (Df_x(x0) <> 0 And i < MaxLoop) Then '而且分子不等于０，没有超出最大迭代次数
x0 = x0 - f_x(x0) / Df_x(x0) '牛顿法求下一个值 x' = x0 - f(x0) /
f'(x0)
eps = Abs(f_x(x0))
i = i + 1
Else
Newton_Solve = NoRoot
Exit Function
End If Loop
Newton_Solve = x0 End Function
点之间的控制点来决定的。一条贝塞尔样条由4个定义点定义：两个端点和两个控制点。 2曲线的绘制方法 2.1PolyBezier函数 PolyBezier函数用于画贝赛尔样条曲线，原型：BOOL PolyBezier（HDC,hdc,CONST POINT *lppt,DWORD cPoints）;参数：hdc:指定的设备环境句柄。Lppt:POINT结构数组的指针，包括了样条端点和控制点的坐标、其顺序是起点的坐标、起点的控制点的坐标、终点的控制点的坐标和终点的坐标。cPoints：指明数组中的点的个数。本文中绘制曲线主要用到这个函数。 2.2一阶连续性 图1所示为一段Bezier曲线经过p0、p1两个端点，要绘制经过它们的曲线需要再确定k1、K2两个控制点，这条曲线最终是由p0、k1、k2、p1四个点决定。图2为经过p0、p1（p2）、p3的一段连续曲线，可以看出，它是由p0-p1及p2-p3两段曲线组成，连续的贝塞尔曲线会把前一个终止点当作起始点：即p1=p2。 要绘制如图2所示曲线，关键在于确定k0、k1、k2、k3四个控制点方法，一般是根据两段曲线连续（即一阶连续性：两个相邻曲线段在交点处有相同的一阶导数）条件来得出。总的来说，就是k0p0 连线即为曲线在p0处切线，k1p1连
Bezier曲线原理及实现代码（c++） 一、原理： 贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。 线性贝塞尔曲线 给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值。 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪： 。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。 P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。 曲线的参数形式为： 。 现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。 一般化
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即 。 例如： 。 如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则 用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。 一些关于参数曲线的术语，有 即多项式 又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。 点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线及插值 2010-07-01 21:41 贝塞尔曲线介绍可参考中文维基百科，图文并茂，这里就不啰嗦了 https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/zh-cn/%E8%B2%9D%E8%8C%B2%E6%9B%B2%E7%B7%9A 这里主要讲一下如何在excel及vb中实现贝塞尔曲线插值，程序来源于互联网（程序作者: 海底眼(Mr. Dragon Pan在excel中用宏实现)，本文作为少量修改，方便在vb中调用，经运行证明是没错的，下面程序可作成一个模块放到vb或vba中调用： ------------------------------------------------------------------------------------- ' Excel的平滑线散点图，可以根据两组分别代表X-Y坐标的散点数值产生曲线图 ' 但是，却没有提供这个曲线图的公式，所以无法查找曲线上的点坐标 ' 后来我在以下这个网页找到了详细的说明和示例程序 ' ........................................................................... ... ' https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/Smooth_curve_bezier_example_file.zip ' ........................................................................... ... ' 根据其中采用的算法，进一步增添根据X坐标求Y坐标，或根据Y坐标求X坐标，更切合实际需求 ' 这个自定义函数按照Excel的曲线算法(三次贝塞尔分段插值),计算平滑曲线上任意一点的点坐标 ' ' Excel的平滑曲线的大致算法是: ' 给出了两组X-Y数值以后，每一对X-Y坐标称为节点，然后在每两个节点之间画出三次贝塞尔曲线(下面简称曲线) ' 贝塞尔曲线的算法网上有很多资源，这里不介绍了，只作简单说明 ' 每条曲线都由四个节点开始，计算出四个贝塞尔控制点，然后根据控制点画出唯一一条曲线 ' 假设曲线的源数据是节点1,节点2,节点3,节点4(Dot1,Dot2,Dot3,Dot4) ' 那么贝塞尔控制点的计算如下 ' Dot2是第一个控制点,也是曲点的起点，Dot3是第四个控制点也是曲线的终点 ' ' 第二个控制点的位置是: ' 过第一个控制点(Dot2,起点)，与Dot1, Dot3的连线平行，且与Dot2距离为 1/6 * 线段Dot1_Dot3的长度 ' 假如是图形的第一段曲线，取节点1,1,2,3进行计算,即 Dot2 = Dot1 ' 且第二个控制点与第一控制点距离取 1/3 * |Dot1_Dot3|,而不是1/6 * |Dot1_Dot3| ' 假如 1/2 * |Dot2_Dot3| < 1/6 * |Dot1_Dot3| ' 那么第二个控制点与第一控制点距离取 1/2 * |Dot2_Dot3|,而不是1/6 *
附录A ：量子力学中常用的数学工具 1. 常用数学符号 1.1 克雷内克符号 克雷内克（Kronecker ）符号i j δ在物理中有广泛应用，其定义为 1,0,i j i j i j δ=?=? ≠? （A1-1） 可以用来简洁地表示基矢量或本征函数之间的正交归一性关系 *i j i j dx ψψδ=? （A1-2） 1.2 列维·西维塔符号 列维·西维塔（Levi-Civita ）符号i j k ε又称为三阶反对称张量，其定义为 1,123,231,312 1,132,213,3210,i j k i jk i jk ε+=?? =-=??? 其它 （A1-3） 可以用来简洁地表示矢量积的分量关系 ,,,(), k i j k i j i j k i j k i j i j k A B A B A B C A B C εε?=??=∑∑v v v v v （A1-4） 1.3. 微分算符 在坐标表象下，动量对应梯度算符，梯度算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 11 sin x y z r e e e e e e x y z r r r θ?θθ? ???????=++=++??????v v v v v v （A1-5） 利用球坐标表达式r r re =v v ，得到 1sin r e e ?θθθ? ????=-??v v v （A1-6） 上式决定了角动量在球坐标中的表示形式。 （A1-6）式的平方为球面拉普拉斯算符 2 22 11sin sin sin θθθθθ?Ω????=+ ??? （A1-7） 与角动量平方相对应。拉普拉斯算符在直角坐标和球坐标中的表示形式为 22222 22222 11 r x y z r r r Ω?????=?=++=+????? （A1-8） 与动能相对应。
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线 在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。 针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。 一、 贝塞尔曲线 贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。 1.数学表达式 n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为： )()(0,t B p t p n i n i i ∑== 10≤≤t ),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数 i n i n i t t n i n t B ---= )1()! 1(!! )(, 2.二次贝塞尔曲线 需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式： 2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=
220202,021)1() 1()! 02(!0! 2t t t t t B +-=-=--= - 21212,122)1(2)1()! 12(!1! 2t t t t t t B -=-=--= - 22222,2)1()! 22(!2! 2t t t B =--= - 221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-= [ ] ?? ?? ? ???????????????--=2102 0010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=' )(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p = )(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p = 当2 1 = t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+?-?++?-=?? ? ?? )](2 1 [21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=?+?-+-=?? ? ??'
菜鸟学习Cocos2d-x 3.x——浅谈动作Action 动作类概述 一款游戏，设计的再NB的游戏，如果都是一堆静态的图片，没有任何动作，那也只能“呵呵”了。动作体系对于一款游戏的成功与否，有着非常重要的影响。所以，这篇文章就对Cocos2d-x中的动作进行总结。先来看看Cocos2d-x中的与动作相关的类。 与动作相关的类图如下图所示：现在就对这些类进行简单的介绍，在后续的小节中还会进行详细的分析的。 ?Ref和Clonable：这里不说，在总结Cocos2d-x内存管理的时候再进行详细总结； ?Action：所有动作的父类，定义了公共的操作； ?FiniteTimeAction：瞬时动作和延时动作的父类，可以定义动作的时间变化； ?Follow：跟随节点的动作； ?Speed：改变一个动作的时间，比如实现慢动作回放或者快进； ?ActionInstant：瞬间完成动作，中间没有任何动画效果； ?ActionInterval：动作会在指定的时间内完成，中间会有动画效果； ?FlipX：X轴方向翻转； ?MoveTo：移动动作； ?…… 下面就对上面说的这些类进行通过实际的代码进行总结。 Action类的主要成员函数 以下是Action类的主要成员函数： /** * 返回一个新的Action对象，表示原动作的相反的动作 */
virtual Action* reverse()const=0; // 如果动作已经完成了，就返回true virtualbool isDone()const; // 在动作开始之前被调用，设置动作作用的对象 virtualvoid startWithTarget(Node*target); /** * 在动作完成以后会被调用，它会设置"target"对象为空 * 注：请永远不要手动调用该函数，而是调用对应的"target->stopAction(a ction);" */ virtualvoid stop(); /** * 每帧都会调用的方法，如果你需要在每帧控制动作，则需要重写，时间间隔为动作间隔时间 * 最好不要重写该函数，除非你真的知道怎么做 */ virtualvoid step(float dt); /** * 每一帧都会调用一次该函数，参数time取值为0和1之间的任意值，例如：
计算机图形学课程设计报告Bezier曲线的算法实现 学号：201005070214 姓名：赵凯 学院：信息科学与技术学院 指导教师：邓飞 学校：成都理工大学
一、选题的意义及目的： 贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。1962年，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名是为贝塞尔曲线。 由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。 贝塞尔曲线 贝塞尔曲线是计算机图形图像造型的基本工具，是图形造型运用得最多的基本线条之一。它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。注意，贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。这种“智能化”的矢量线条为艺术家提供了一种理想的图形编辑与创造的工具。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。 通过本次课程设计使我们对贝塞尔曲线更加熟悉！ 二、方法原理及关键技术： （1）原理： 贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。线性贝塞尔曲线 给定点 P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值。 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点 P0、P1、P2 的函数 B(t) 追踪：
贝塞尔曲线 20世纪70年代，雷诺汽车公司的Pierre Bezier 和雪铁龙汽车公司的Paul de Casteljau 各自独立地推导出了CAD/CAM 中广泛应用的贝塞尔曲线，这些参数多项式是一类逼近样条。 与贝塞尔曲线紧密相关的是伯恩斯坦多项式，这里将Bernstein 多项式记作,()i n B x ，该多项式定义如下： ,()(1),01i n n i i n B x x x x i -??=-≤≤ ??? (1.1) 其中i=0,1,2,…n 。 在Mathematica 中构造该函数可以使用语句： Bernstein[x_,i_,n_]:=ExpandAll[Binomial[n,i]?x^i ?(1?x)^(n ?i)] Casteljau 最开始是使用递归方法隐式地定义的，该递推关系如下： 0,0,,11,1()1 ()(1)()()i n i n i n B x B x x B x xB x ---==-+ (1.2) 其中i=1,2,3,…n-1。 通常，n 阶伯恩斯坦多项式一共有(n+1)个，例如四阶的伯恩斯坦多项式为： 234 0,4234 1,4234 2,434 3,444,4()1464()412124()6126()44()B x x x x x B x x x x x B x x x x B x x x B x x =-+-+=-+-=-+=-= (1.3) 除此之外，还有其他一些性质： 非负性 多项式在[0,1]上是非负的，这个结论是显然的，对于四阶伯恩斯坦多项式，函数图形如下： 规范性
,0()1n i n i B x ==∑ (1.4) 原因很简单，对于二项式： 0()n n i n i i n x y x y i -=??+= ???∑ (1.5) 令x=x ，y=1-x ，代入得证。 导数 ,1,1,1()(()())i n i n i n d B x n B x B x dx ---=- (1.6) 基 n 阶伯恩斯坦多项式组成阶数小于等于n 的所有多项式的一个基空间。 根据该性质，所有n 阶多项式都可以被n 阶伯恩斯坦多项式线性表示。如果给定一个控制点集P ，其中P i =(x i ,y i )，则贝塞尔曲线被定义为： ,0()()n i i n i P x PB x ==∑ (1.7) 该公式中的控制点是表示平面中的x 和y 坐标的有序对。x 坐标和y 坐标可单独由该式推导出。 例如求控制点(1,2)、(2,-3)、(3,1)、(4,-2)所表出的贝塞尔曲线，则： 0,31,32,33,30,31,32,33,31*()2*()3*()4*()2*()3*()1*()2*() Px B t B t B t B t Py B t B t B t B t =+++=-+- (1.8) 展开有： 2321521361710Py t Px t t t t =++≤=-≤-其中 (1.9) 在Mathematica 中绘制图形命令： ls = ListLinePlot[{{1, 2}, {2, -3}, {3, 1}, {4, -2}}, Axes -> False]; g = ParametricPlot[{1 + 3 t, 2 - 15 t + 27 t^2 - 16 t^3}, {t, 0, 1}]; Show[ls, g] 绘制图形如下：
jsPlumb介绍 ShenBY 沈本义(qq:1617309239)2011-11-07 以下jsPlumb介绍基于jsPlubm1.3.3版本，并且基础库是用jQuery1.3.x或以上，与其他版本基础库或jsPlumb的比较或后期版本升级，本文档不做介绍。 本人英文水平有限，有疑惑请自行到官网对照翻译。 摘要 Jsplumb是Jquery的一个插件，它能够让你用动态的或静态的链接来连接html界面上行的元素，并且从1.1.0版本开始，提供用鼠标拖动来链接。目前该插件支持三个javascript 库，有Jquery、MooToos、Yui3，jsplumb代码是开源的，并且是麻省理工学院许可，由google 进行代码托管。 官方示例：https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/jsPlumb/html/demo.html 代码地址：https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/p/jsplumb/ Jsplumb介绍地址：https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/ JsPlumb允许您使用SVG、Canvas 或者VML链接屏幕上的元素，这些取决于您使用的浏览器的能力。 浏览器的兼容性 jsPlumb 1.3.3 已经在以下浏览器测试： IE 6 on Windows XP IE 7 on Windows XP IE 8 on Windows XP Firefox 3.5.8 on Windows XP IE 9 on Windows 7 Chrome 12 on Windows 7 Firefox 3.5.8 on Windows 7 Firefox 3.6.3 on Ubuntu 10.04 Chrome on Ubuntu 10.04 Safari 4 on Mac Tiger Safari 4 on Windows Vista Safari 5.0.5 on Windows 7 Opera 10.54 on Windows XP
在C环境下编程实现：由4个控制点生成3次贝塞尔曲线 #include
制作步骤： 1、画杯身。 用矩形工具画出如下矩形，用形状工具选中，ctrl+Q转换为曲线后调节为如下形状。选择工具菜单中的交互式填充工具(快捷键为G)，从左到右拉出一个渐变，颜色为从K: 20到白色再到K: 10（可以直接灰白渐变），形成立体的效果。 2、画杯口。 用椭圆工具画一个椭圆，放在杯身顶部，渐变填充为从K: 20到白色再到K: 20（同上）。
ctrl+D复制出一个椭圆，缩小一点，改变一下渐变填充的方向，使它与大椭圆明暗交错形成杯口的立体效果。 3、加上眼睛和眉毛。 用椭圆工具画出一大一小两个椭圆，大的填充白色，小的填充黑色，轮廓宽度设为0.176mm，再画一个小椭圆填充白色放在眼珠上形成高光，完成左眼。ctrl+D复制出一个，水平翻转后挪到右边形成右眼。 用贝塞尔工具画出一个向上弯曲的四边形，填充黑色，复制一份，水平翻转后移到右边，形成一对飞扬的眉毛。
4、加上嘴和吐出的舌头。 用贝塞尔工具画一条长弧线形成嘴，再画两条短弧线形成微笑的嘴角，轮廓宽度均为0.176mm。画一个半
圆形的舌头填充红色，再画一个小三角形填充黑色作为舌头中间的阴影，做出伸出舌头的调皮表情。 5、加上手臂。 用贝塞尔工具分别画出两条手臂的形状，用交互式填充工具拉出如下渐变，左臂为从白色到K: 20，右臂为从K: 20到白色再到K: 20。
6、加上拳头。 用贝塞尔工具画出拳头的形状，用交互式填充工具拉出从白色到K: 10的渐变，渐变方式为射线。 7、加上吸管。 用矩形工具画出一个细长的矩形，用交互式填充工具从左到右拉出一个线性渐变，颜色为从白色到K: 10再到白色，形成立体的管子效果，中间是放大的渐变图。
练习45 三次贝塞尔曲线 一、练习具体要求 本例制作二维图形三次贝塞尔曲线。效果如图45-1所示。执行本例实例后，将创建一个绘有三次贝塞尔曲线的帧。本实例的知识点有：Graphics2D 类和Rectangular 类的应用，曲线绘制的方法。 二、程序及注释 （1）编程思路： java2中Graphics2D 中绘图的第一步是用setColor()，setFont()，setPointMode ，setXORMODE()之类的方法制定绘图属性，第二步生成一个shape 接口的对象，指定要画的形体，第三步是绘图。绘制形体是用三个Graphics2D 方法完成的。Chip()方法将绘图区缩小到指定形体与当前剪接区的交接部分，影响后面的绘图操作。Draw()方法用当前Stroke 绘制Shape 的外形。Fill()方法用当前Point 模式填充Shape 。CubicCurve2D 类生成三次曲线，他与其他曲线类不同，不是描述闭合形体，而是描述曲线。曲线类用贝塞尔曲线定义曲线上的实际点。生成曲线后，应用Draw()或Fill()方法，可以把起点和终点看成相连接的，从而得到闭合区域。 (2) 程序实现及注释： //ExitableJFrame.java import javax.swing.*; public class ExitableJFrame extends JFrame{ //构造函数 public ExitableJFrame(){ } //带窗口标题的构造函数 public ExitableJFrame(String title){ super(title); } //窗口的初始化 本例 知识 点 一句话讲解新学 知识编写Graphics2D 类 绘制图形使用CubicCurve2D 类 绘制图形已学 知识使用Graphics 类 画屏幕图像使用String 类管理字符串
《多媒体应用技术基础》复习习题 一、单选题 1、以下不属于多媒体动态图像文件格式的是______。 A：A VI B：A VS C：MPG D：BMP 2、可方便实现图像的移动，缩放和旋转等变换的是______。 A：模拟视频 B：数字视频 C：矢量图 D：位图 3、以下选项中不属于存储媒体的是______。 A：硬盘 B：光盘 C：键盘 D：软盘 4、以下的采样频率中哪个是目前音频卡所不支持的______。 A：44kHz B：22kHz C：100kHz D：11kHz 5、在数字音频信息获取与处理过程中，下述顺序哪个是正确的______。 A：采样、A/D变换、压缩、存储、解压缩、D/A变换 B：A/D变换、采样、压缩、存储、解压缩、D/A变换 C：采样、D/A变换、压缩、存储、解压缩、A/D变换 D：采样、压缩、A/D变换、存储、解压缩、D/A变换 6、Windows媒体播放器能播放的声音文件有______。 ①W A V ②MP3 ③WMA ④MIDI ⑤A VI A：①②③④ B：②③④ C：①②③ D：全部 7、当利用扫描仪输入图像数据时，扫描仪可以把所扫描的照片转化为______。A：三维图 B：矢量图
C：矢量图形 D：位图图像 8、视频卡的种类繁多，主要包括____。 ①视频压缩卡②视频合成卡③视频捕捉卡④视频转换卡 A：①②③ B：①② C：仅③ D：全部 9、下列选项不属于Windows自带的多媒体应用程序的是______。 A：Winamp B：写字板 C：媒体播放器 D：画图 10、将舞台上的对象转换为元件的步骤是：______ A：1.选定舞台上的元素,并将选定元素拖到库面板上；2.单击"修改> 转换为元件"，打开转换为元件对话框；3.填写转换为元件对话框，并点击确定 B：1. 单击"修改> 转换为元件"，打开转换为元件对话框；2.选定舞台上的元素；3.填写转换为元件对话框，并点击确定 C：1.选定舞台上的元素；2.单击"修改> 转换为元件"，打开转换为元件对话框；3.填写转换为元件对话框，并点击确定 D：1.单击"修改> 转换为元件"，打开转换为元件对话框；2.选定舞台上的元素,并将选定元素拖到库面板上；3.填写转换为元件对话框，并点击确定 11、假设舞台上有同一个元件的两个实例，如果将其中一个的颜色改为#FF0000，大小改为原来的200%，那么另外一个实例将会发生什么变化？______ A：没有变化 B：大小也变为原来的200%，但颜色不变 C：颜色变为#FF0000，大小变为原来的200% D：颜色也变为#FF0000，但大小不变 12、以下关于按钮元件时间轴的叙述，正确的是：______ A：按钮元件时间轴上的帧都可以被赋予帧动作脚本 B：按钮元件中包含了4帧，分别是弹起、按下、移过和点击帧 C：按钮元件的时间轴与主电影的时间轴是一样的，而且它会通过跳转到不同的帧来响应鼠标指针的移动和动作 D：按钮元件的时间轴里只能包含4帧的内容 13、色彩深度是指在一个图像中什么的数量：______ A：饱和度 B：颜色 C：亮度
·在节点上双击，可以合节点变成尖角 ·按C键可以改变下一线段的切线方向 ·按S键可以改变上下两线段的切线方向 ·按ALT键且不松开左键可以移动节点 ·按CTRL这，切点方向可以根据预设空间的限制角度值任意放置。 ·要连续画不封闭且不连接的曲线按ESC键 还可以一边画一边对之前的节点进行任意移动。 体会 A、初学时很爱使用“独臂”节点，但现在很少用了。因为很多情况下，这样做麻烦，且不精确。提倡使用尖角节点，曲线光滑度要求不高时，只要两“臂”大致成一直线就行，光滑度要求高时，则使用平滑节点，对称节点一般也用不着。 B、提倡尽量在PHOTOSHOP里勾边，既方便又精确。调到Illustrator中时，复制粘贴即可；调到CD中，可先导出路径。 C、论曲线编辑功能，应是CD最好，而绘制功能，还是PS最好。其实绝大多数情况下，勾边都是一次性绘制完成的，根本用不着再编辑。 如何边画线边修改 给形状工具和贝塞尔工具都定义一个快捷键，比如Alt+Shift+D和Alt+D，这样就可以使用热键在两个工具之间快速切换了。从形状工具换回来时，要先点一下最后画的那个节点，然后继续。 最后一个节点 鼠标点在最后一个节点上时不要立即松开，此时按（住）C键，可使该节点成尖角节点，S键则成平滑型的，当然也可以不按任何键，只是往外拉，则可以拉出对称节点。从形状工具切换回来时，也可以这么做。 补充几点： 1、在任意工具情况下，在曲线上双击都可以换为形状工具对曲线进行编辑； 2、在曲线上用形状工具双击可以增加一个节点； 3、在曲线的节点上双击形状工具可以删除一个节点； 4、位图可以用形状工具点击再拖动某一点可以进行任意形状的编辑； 5、用形状工具同时选中几个节点可以进行移动； 6、在微调距离中设定一个数值再用形状工具选中曲线的某一节点敲方向箭头可以进行精确位移； 7、将某一个汉字或字母转换为曲线就可以用形状工具进行修理如将“下”的右边的点拿掉等； Coreldraw中的贝赛尔工具为何不能象PS、AI中一样画M形曲线？却老是只能画S形呢！ 答：不是不可以，只是你的操作方法可能不对。 单击开始点后拖弧线，在第二个节点上用鼠标双击（和PS里直接在节点上Alt+鼠标单击的功能完全一样}，接着就可画出任意方向的弧线了（也可S形也可m形），这样你在导入位图后用贝塞尔曲线工具也完全可以象PS里用路径抠图那样一次直接描绘出图象的轮廓了。
曲线之美（一）贝塞尔曲线 收藏 在图形图像编程时，我们常常需要根据一系列已知点坐标来确定一条光滑曲线。其中有些曲线需要严格地通过所有的已知点，而有些曲线却不一定需要。在后者中，比较有代表性的一类曲线是贝塞尔曲线（Bézier Splines）。 网友们可能注意到，贝塞尔曲线广泛地应用于很多图形图像软件中，例如Flash、Illstrator、CoralDRAW和Photoshop等等。什么是贝塞尔曲线呢？你先来看看这个： 哼~一条很普通的曲线，好像真的无法给我们带来什么特殊感觉哦~那把这条曲线和绘制它所根据的点重叠地放在一起再瞧瞧吧： Hoho，原来呀~贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。我们不妨把这四对已知点坐标依次定义成(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)。贝塞尔曲线必定通过首尾两个点，称为端点；中间两个点虽然未必要通过，但却起到牵制曲线形状路径的作用，称作控制点。 在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。涕淌为了向大家介绍贝塞尔曲线的公式，也故意把问题的已知和所求颠倒了一下位置：如果已知一条曲线的参数方程，系数都已知，并且两个方程里都含有一个参数t，它的值介于0、1之间，表现形式如下所示： x(t) = ax * t ^ 3 + bx * t ^ 2 + cx * t + x0 y(t) = ay * t ^ 3 + by * t ^ 2 + cy * t + y0 由于这条曲线的起点(x0,y0)是已知的，我们可以用以下的公式来求得剩余三个点的坐标： x1 = x0 + cx / 3 x2 = x1 + ( cx + bx ) / 3 x3 = x0 + cx + bx + ax
这篇教程像飞特的cdr爱好者们介绍cdr贝塞尔曲线的功能作用和使用方法，希望飞特的朋友们喜欢这篇教程。“贝塞尔工具” 是所有绘图类软件中最为重要的工具之一。“贝塞尔工具”可以创建比手绘工具更为精确的直线和对称流畅的曲线。对于大多数用户而言，“贝塞尔工具”提供了最佳的绘图控制和最高的绘图准确度。为使广大图形软件初学用户能了解“贝塞尔工具”的应用，本人这里以coreldraw这款软件为例，详细地剖析“贝塞尔工具”的使用方法。“贝塞尔”是coreldraw中的称谓，在photoshop、illustrator、indesign、quarkxpress等软件中，称之为“钢笔工具”，虽然名称不一样，但作用是一致的，大家可以触类旁通，参照了解。1、绘制线段利用“贝塞尔工具”绘制线段的方式和“手绘工具”一样，能绘制直线、斜线。按住ctrl键即限制水平、垂直或呈角度绘制线段，不同的是“贝塞尔工具”可以连续地绘制多段线段。以图01为例：先在屏幕某个位置单击鼠标以指定起始点，然后将鼠标移向（不必要按住不放）红圈1处单击指定第一个线段的终止点（在绘制多段线时，此终止点同时也为下一线段的起始点），然后继续将鼠标移向经圈2处单击，完成第二线段的绘制；以此类推， 鼠标不断地在新的位置点击，就不断地产生新的线段。图片如下： fev te编注：更多cdr教程讨论和作业提交请到飞特论坛coredraw交流区：https://www.doczj.com/doc/7e15933780.html,/forum-53-1.html 如果是绘制封闭的对象，“贝塞尔工具”的绘制过程是：如图02所示，在红圈1处单击鼠标以指定起始点，然后移动鼠标在红圈2处单击，即绘制出一条线段；保持工具不变，继续将鼠标移向红圈3、红圈4、红圈5处单击，最后移向红圈1处，在起始点上单击鼠标完成闭合操作，一个多边形就完成了。图片如下： 2、认识贝塞尔曲线“贝塞尔曲线”由节点连接而成的线段组成的直线或曲线，每个节点都有控制点，允许修改线条的形状。贝塞尔曲线由一个或多个直线段或曲线段组成，如图03，以节点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的节点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置决定曲线段的大小和形状，移动这些因素将改变曲线的形状。图片如下：
贝塞尔曲线运用技巧 一、无处不在的贝塞尔曲线 说到Photoshop、Fireworks、CorelDraw这些设计软件里的“贝赛尔”工具，大家不一定很熟悉，也不一定了解它的重要性。所以很多朋友感觉这个东西有些深奥，操控起来也不是那么方便。也许你看了这篇文章之后，要掌握它就不会觉得太难了。 由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径（好的手写板实在价格不菲），与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。 “贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bezier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。 都是称谓惹的祸！“贝赛尔”工具在PhotoShop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。它是用来画线的一种专业工具。当然还有很多工具也可以完成画线的工作，例如大家常用的Photoshop里的直线、喷枪、画笔工具，Fireworks里的直线、铅笔和笔刷工具，CorelDraw 里的自由笔，手绘工具等等。 用“贝塞尔”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这些元素将改变路径中曲线的形状，可以看下图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。
. .. Bzeier曲线和BSpline曲线的插值拟合问题 目录 一、问题重述 (1) 二、Bezier曲线的插值和拟合 (1) 2.1 Bezier曲线的定义 (1) 2.2 Bezier曲线的性质 (2) 2.3 三次Bezier曲线的插值 (2) 2.3.1 工程应用中常用的三次Bezier插值的算法 (2) 2.3.2 改进的三次Bezier插值的算法 (3) 2.3.3 两种Bezier插值的算法比较 (4) 2.4 Bezier曲线的拟合 (4) 三、BSpline曲线的插值和拟合 (4) 3.1 BSpline曲线的定义 (4) 3.2 B样条性质 (5) 3.3 均匀B样条 (5) 3.4 三次B样条插值算法 (6) 3.4 结合实际情况的三次样条插值算法改进 (7) 3.5 两种BSpline插值的比较 (8) 四、Bezier曲线与BSpline曲线的区别和联系 (8) 五、上述算法在实际血管提取中的应用 (9)
一、问题重述 在图像中任意点两个点，软件能自动提取出以这两点为端点的一段血管，要求提取到的血管必须经过客户所点的两点作为提取血管的两个端点。 在OnGetEdge()的函数里，首先通过自动增长获取血管两条边缘的采样点数据，接下来的问题就是要拟合这些采样点，生成两条比较光滑的血管边缘曲线。得到的拟合（插值）曲线有以下4点要求： 1、精确插入客户所点的起始点终点，作为曲线的两个端点； 2、拟合的曲线具有较好的光滑性 3、具有较高的拟合精度和较快的拟合速度 4、要求拟合曲线点八连通 上述的实际问题转化为有序离散点的插值拟合问题。所谓插值拟合，就是通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合。这个过程叫做拟合。插值是曲线必须通过已知点的拟合。常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条函数插值等。 其中，样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。三次B 样条插值不仅运行速度较快，而且因为其分段连续带来的特有的卓越的性能，有效提高了血管边缘的平滑程度，锯齿状的现象大大减少。本文接下来将主要介绍Bezier 曲线和B 样条的插值拟合。 二、Bezier 曲线的插值和拟合 2.1 Bezier 曲线的定义 【定义1】n 次Bezier 曲线是由n+1个控制点和以Bernstein 多项式为基底共同生成的参数曲线，其数学表达式为：，其中， 0()(),[0,1]n n i i i B t d b t t ==∈∑为控制点，为Bernstein 基。 (0,...,)i d i n =()(1),0,...,n n i i i n b t t t i n i -??=-= ???Fig.1是一条三次的Bezier 曲线，有四个控制点。工程应用上常使用二次或三次Bezier 曲线做采样点的插值拟合以及制图设计。
Coreldraw教程：贝塞尔曲线完全解析 1、绘制线段 利用“贝塞尔工具”绘制线段的方式和“手绘工具”一样，能绘制直线、斜线。按住Ctrl键即限制水平、垂直或呈角度绘制线段，不同的是“贝塞尔工具”可以连续地绘制多段线段。以图01为例：先在屏幕某个位置单击鼠标以指定起始点，然后将鼠标移向（不必要按住不放）红圈1处单击指定第一个线段的终止点（在绘制多段线时，此终止点同时也为下一线段的起始点），然后继续将鼠标移向经圈2处单击，完成第二线段的绘制；以此类推，鼠标不断地在新的位置点击，就不断地产生新的线段。 图片如下： 如果是绘制封闭的对象，“贝塞尔工具”的绘制过程是：如图02所示，在红圈1处单击鼠标以指定起始点，然后移动鼠标在红圈2处单击，即绘制出一条线段；保持工具不变，继续将鼠标移向红圈3、红圈4、红圈5处单击，最后移向红圈1处，在起始点上单击鼠标完成闭合操作，一个多边形就完成了。 图片如下：
2、认识贝塞尔曲线 “贝塞尔曲线”由节点连接而成的线段组成的直线或曲线，每个节点都有控制点，允许修改线条的形状。 贝塞尔曲线由一个或多个直线段或曲线段组成，如图03，以节点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的节点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置决定曲线段的大小和形状，移动这些因素将改变曲线的形状。 图片如下： 贝塞尔曲线包括对称曲线和尖突曲线：对称曲线由名为对称点的节点连接，
尖突曲线由角点连接，如图04。图片如 下： 当 在对称了点上移动方向线时，将同时调整对称节点两侧的曲线段；相比之下，当在角点上移动方向线时，只调整与方向线同侧的曲线段，如图05。 图片如下： 贝塞尔曲线可以是闭合的，没有起点或终点（例如圆），也可以是开放的，有明显的终点（例如波浪线）。 利用“贝塞尔工具”配合“形状工具”，可以创造任意复杂程度的图形对