综合评价的多目标决策灰色关联投影法
一、 综合评价法
综合评价法(Comprehensive Evaluation Method) 是指运用多个指标对多个参评对象（单位）进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，或简称综合评价方法。其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。如不同国家经济实力，不同地区社会发展水平，小康生活水平达标进程，企业经济效益评价等，都可以应用这种方法。多目标决策灰色关联投影法是综合评价的一种。
二、综合评价法的特点
综合评价法的特点是评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的；在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理；评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位"综合状况"的排序。
三、综合评价法的步骤
1、确定综合评价指标体系，这是综合评价的基础和依据。
2、收集数据，并对不同计量单位的指标数据进行同度量处理。
3、确定指标体系中各指标的权数，以保证评价的科学性。
4、对经过处理后的指标在进行汇总计算出综合评价指数或综合评价分值。
5、根据评价指数或分值对参评单位进行排序，并由此得出结论。 四、综合评价的灰色关联投影法概念及原理
由于一个待评价的系统本身就是一个灰色系统，因为系统中既有已被了解的的白色信息，又有尚未发现的黑色信息，而更多的是一般定性了解的灰色信息。对这样的系统进行综合评价实际上是一个灰色多目标决策问题。有关灰色多目标决策与评价理论，已有不少的研究成果。下面介绍灰色关联投影法，它是从矢量投影的角度出发，解决多目标决策与评价问题。 1、属性值（指标值）
多指标决策域集合：=A {方案1，方案2，...，方案n}{}n 21,,A A A = 因素指标的集合：=V {指标1，指标2，...，指标m}{}m 21,,V V V = 方案i A 对指标j V 的属性值（指标值）为ij y ),,2,1;,,2,1(m j n i ==
方案
指标
1V
2V
m V
1A 11y 12y
m y 1 2A 21y 22y m y 2
n A 1n y 2n y
nm y
2、指标的分类 （1）“效益”型指标：属性值越大越好的指标。如资金值率，劳动生产率等。 （2）“成本”型指标：属性值越小越好的指标。如流动资金占用率，流动资金的周转天数等。
2、最佳决策方案0A 的因素指标j y 0与决策矩阵Y 的确定 当因素指标j V 为效益型时，取{}nj 210,max y y y y j j j ， = 当因素指标j V 为成本型时，取{}nj 210,min y y y y j j j ， =
方案集A 对指标集V 的决策矩阵m n ij y Y ?+=)1()(，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
，即 ??
?
?
?
?
?
??=nm n n m m y y y y y y y y y Y 2111211
00201
3、指标值的初值化处理
为了消除量纲和量纲单位不同所带来的的不可公度性，决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理。
初值化处理：对一个数列的所有数据均除以它的第一个数据，从而得到新数据列的方法叫做初值化处理。该数列有共同的起点，无量纲，其数据均大于零。
决策矩阵m n ij y Y ?+=)1()(，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
进行初值化生成Y ' )(ij
y Y '='。 当指标为效益型时：0ij ij
j y y y '=，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
， 当指标为成本型时：0j ij ij
y y y '=，),,2,1;,,2,10(m j n i ==，
， 显然，理想方案),,2,1(10
m j y j =='。 4、其它方案与理想方案的关联度
每一个方案是由m 个因素指标所确定的，它构成m 维因素指标空间V 中的一个离散的方案点，进行多目标决策，就是比较空间V 中各方案点与理想方案点
的关联度。以j y 0
'为母因素，以ij y '),,2,1;,,2,1(m j n i ==为子因素，就可以得到其他方案与理想方案的关联度。记ij r 为子因素ij
y '),,2,1;,,2,1(m j n i ==关于
母因素),,2,1(10
m j y j =='的关联度，则 ij j m
n
ij j ij j m
n
ij j m
n
ij y y y y y y y y r '-'+'-''-'+'-'=
00
00
max max max max min min λλ， 通常5.0=λ
5、灰色关联度判断矩阵F
由m n ?+)1(个数r 组成的矩阵为多目标灰色关联度判断矩阵F
???????
?
?
?=????????
??=nm n n n m m nm n n n m m m f f f f f f f f f f f f f f f f
f f f f f f f f f f f f F
32
1
223222111312113212232221113121100302011111 6、加权灰色关联决策矩阵
设评价指标间的加权向量为()T
m w w w W ,,21=,
?????
?? ?????????
?
??
=?='m nm n n n m m w w w f f f f f f f f f f f f W F F
2132
12232221113121111
11 ??????
?
?
??=nm m n n n m m m m m f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w f w w w w w
3
32
21
1223322
221
11133122111321
7、灰色关联投影角
将每个决策方案看成一个行向量（矢量），则称每个决策方案i A 与理想方案
*A 之间的夹角i θ为灰色关联投影角。夹角余弦越大，表明决策方案i A 与理想方
案*A 之间的变化方向愈一致。夹角余弦为
∑∑∑
∑∑∑======?
?=
?
?=??=m
j ij j
m
j j
m
j j
ij m
j ij j
m
j j
m
j j
ij j i i i f w
w
w f f w
w
w f w A
A A A 1
2
1
212
1
2
1
21
*
*)()(cos θ，n i ,2,1=
8、灰色关联投影值
将模的大小与夹角余弦的大小综合考虑，就可以全面准确的反应各个决策方
案i A 与理想方案*A 之间的接近程度。称决策方案i A 在理想方案*A 上的投影值为灰色关联投影值i D ，则有
i i i A D θcos ?=∑∑
==?=???=m
j j
m
j j
ij i i i w
w f A
A A A A 1
21
2
*
*
∑∑==??????
?
?
??=m
j m
j j j ij w w f 1
122
9、灰色关联投影权值矢量
灰色关联投影值i D 综合的反映了决策方案i A 与理想方案*A 之间的接近程
度。称∑==m
j j
j
j
w w w 1
2
2
~),2,1(m j =为灰色关联投影权值，则灰色关联投影值
为j
m
j ij i w f D ~1
?=∑=，n i ,2,1=。根据这些投影值的大小，就可以对多目标做出科学的排序。
五、应用灰色关联投影法进行多目标决策的一般步骤 根据评价目的确定评价指标体系后，计算步骤如下
第一步：根据已知的方案集A 和指标集V ，首先找出最佳方案0A 的因素指标j y 0，然后列出方案集A 和指标集V 的决策矩阵Y . 第二步：对决策矩阵Y 进行初值化处理得到Y '. 第三步：计算出子因素与母因素的关联度。
第四步：由关联度，构造多目标灰色关联判断矩阵F 。
第五步：由原有评价指标间的权向量构造灰色关联投影权值j
w ~ 第六步：计算各个决策方案i A 在理想方案*A 上的投影值为灰色关联投影值
i D 。
第七步：根据灰色关联投影值i D 的大小进行排序。
六、应用举例
下面以《中国经济年鉴》的统计资料为基础，进行综合经济效益评价比较。
资金利润率 销售利润率 全员劳动生产率 综合能耗 物耗 技改占固定资产投
资比例
北京 29.09 24.05 1.94 4.55 67.40
67.6
上海 36.97 22.90 2.60 2.43 67.90
54.55
天津 29.13 20.40 1.97 3.60 68.70
64.00
云南 23.92 27020 1.17 7.92 58.10
55.20
方案集A ={北京，上海，天津，云南}，
指标集V ={资金利润率，销售利润率，全员劳动生产率，综合能耗，物耗，技改占固定资产投资比例}。
1）根据上表数据，最佳方案0A 的因素指标
）
（6.67,1.58,43.2,60.2,20.27,97.360=A 则方案集A 和指标集V 的决策矩阵.
???
???
?
?
?
?=20.5510.5892.717.120.2792.2300.6470.6860.397.140.2013.2955.5490.6743.260
.290.2297.3660.6740.6755.494.105.2409.2960.6710.5843.260.220.2797.36Y
2）利用公式j
ij
ij
y y y 0='，对决策矩阵Y 进行初值化处理得到Y '.
???????
? ??='8166.013068.04500.016470.09467.08458.06750.07577.07500.07879.08070.08557.0118419.0118620.05341.07462.08842.07869.0111111
Y
3）根据公式ij j m
n
ij j ij j m
n
ij j m
n
ij y y y y y y y y r '-'+'-''-'+'-'=
00
00
max max max max min min λλ，得到灰色关联判断矩阵
F .
??????
?
? ??=6539.013333.03866.014954.08668.06920.05161.05885.05810.06204.06423.07060.0116868.0117153
.04265.05772.07495.06192.0111111F
4）根据专家的评价，可以得到一组加权系数
0.04,0.14,0.15,0.16,0.128,0.112W =（）
5）根据公式∑==m
j j
j
j
w
w w 1
22
~，得到灰色关联投影权值
)0398.0,0520.0,0813.0,0714.0,0413.0,0293.0(~
=W
6）根据公式j
m
j ij i w f D ~1?=∑=，得到各个决策方案的投影值。 )1885.0,1966.0,2726.0,2019.0(=j D
7）根据投影值，得到排序：上海 北京 天津 云南
七、灰色关联投影法优点
1、从计算可以看出，灰色关联投影法本质上是一种简单加性加数方法，该方法中的加权系数是与原加权系数的平方成正比的一组新的加权系数，通过新的算法，使重要的指标的加权系数得到进一步加强，使该方法与简单的加性加权方法具有完全不同的内涵。
2、灰色关联投影法中，把模的大小和夹角余弦的大小结合起来，全面而准确的反映出了个决策方案与理想方案之间的接近程度。
灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。 灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。 [2] 关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。[2] 灰色关联分析的步骤[2] 灰色关联分析的具体计算步骤如下： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k) | k = 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。
科技信息 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第17期 1关联度的概念 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它定量地描述 了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的 相对性。如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间 的关联度较大，反之，关联度较小。对事物或因素之间的这种关联关 系，虽然用回归、相关等统计分析方法也可以做出一定程度的回答，但 往往要求数据量较大、数据的分布特征也要求比较明显。而且对于多 因素非典型分布特征的现象，回归相关分析的难度常常很大。相对来 说，灰色关联度分析所需数据较少，对数据的要求较低，原理简单，易 于理解和掌握，对上述不足有所克服和弥补。 2关联度的计算 灰色关联度分析的核心是计算关联度。一般说来，关联度的计算 首先要对原始数据进行处理，然后计算关联系数，由此就可计算出关 联度。 2.1原始数据的处理 由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量 级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出 正确结论。因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化 处理。其方法包括初值化、均值化等。 2.1.1初值化。即用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得 到一个各个数据相对于第一个数据的倍数数列，即初值化数列。一般 地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样 的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明 显。比如，社会经济统计中常见的定基发展指数就属于初值化数列。 2.1.2均值化。先分别求出各个原始数列的平均数，再用数列的所有 数据除以该数列的平均数，就得到一个各个数据相对于其平均数的倍 数数列，即均值化数列。一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升 降趋势现象的数据处理。 2.2计算关联系数 设经过数据处理后的参考数列为： {x0(t)}＝{x01，x02，…，x0n} 与参考数列作关联程度比较的p个数列(常称为比较数列)为： {x1(t)，x2(t)，…，x p(t)}＝ x11x12…x1n x21x22…x2n ………… x p1x p2…x pn 上式中，n为数列的数据长度，即数据的个数。 从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。 将第k个比较数列(k＝1，2，…，p)各期的数值与参考数列对应期的差值的绝对值记为： Δok(t)=x0(t)-x k(t)t＝1，2，…，n 对于第k个比较数列，分别记n个Δok(t)中的最小数和最大数为Δok(min)和Δok(max)。对p个比较数列，又记p个Δok(min)中的最小者为Δ(min)，p个Δok(max)中的最大者为Δ(max)。这样Δ(min)和Δ(max)分别是所有p个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。于是，第k个比较数列与参考数列在t时期的关联程度(常称为关联系数)可通过下式计算： ζok(t)=Δ(min)+ρΔ(max) ok 式中ρ为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。0＜ρ＜1。 可见，关联系数反映了两个数列在某一时期的紧密程度。例如，在使Δok(t)＝Δ(min)的时期，ζok(t)＝1，关联系数最大；而在使Δok(t)＝Δ(max)的时期，关联系数最小。由此可知，关联系数变化范围为0＜ζok(t)≤1。 显然，当参考数列的长度为n时，由p个比较数列共可计算出n×p个关联系数。 2.3求关联度 由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n个关联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为： r ok=1 n n i=1 Σζok(t) 式中，r ok为第k个比较数列与参考数列的关联度。 不难看出，关联度与比较数列、参考数列及其长度有关。而且，原始数据的无量纲化方法和分辩系数的选取不同，关联度也会有变化。 2.4排关联度 由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡量因素间密切程度的相对大小，其数值的绝对大小常常意义不大，关键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。 当比较数列有p个时，相应的关联度就有p个。按其数值的大小顺序排列，便组成关联序。它反映了各比较数列对于同一参考数列的“主次”、“优劣”关系。 灰色关联度分析方法的运用之一，就是因素分析。在实际工作中，影响一个经济变量的因素很多。但由于客观事物很复杂，人们对事物的认识有信息不完全性和不确定性，各个因素对经济总量的影响作用不是一下子就能够看清楚的，需要进行深入的研究，这就是经济变量的因素分析。运用灰色关联度进行因素分析是非常有效的，而且特别适用于各个影响因素和总量之间不存在严格数学关系的情况。 例1：利用关联度分析方法研究某公路施工企业工资序列（表1）。 表1某公路施工企业工资序列表单位：千元 根据表1中数据，以工资总额为参考数列x0(t)，以计时工资x1(t)、档案工资x2(t)和承包工资x3(t)为比较数列，计算三种工资对于工资总额的关联度。 第一步，对各数列作均值化处理。 工资总额和三种工资的均值分别为： 浅议灰色关联度分析方法及其应用 孙芳芳 (濮阳市公路管理局河南濮阳457000) 【摘要】灰色关联度是灰色数学中的一种方法，用来研究事物相互关联、相互作用的复杂因素的影响作用，确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的“灰色”关系清晰化。本文介绍了灰色关联度在实际工作中的分析方法和步骤，为定量描述事物或因素之间相互变化的情况提供了理论依据。 【关键词】灰色关联度；分析方法；综合评价；应用 年份工资总额计时工资档案工资承包工资 200313974.23831.06587.23556.0 200415997.64228.07278.04491.6 200517681.35017.07717.44946.9 200620188.35288.69102.25797.5 200724020.35744.011575.26701.0 x i軃18372.34821.78450.05098.6○公路与管理○ 880
|||||| 文章编号$ 指万方数据 6收稿日期$!"""%#!%".
标!"成本型#指标的区别$所谓效益型指标!是指属性值愈大愈好的指标!如资金值率!资金利税率!全员劳动生产率等%所谓成本型指标!是指属性值愈小愈好的指标!如流动资金占用率!流动资金的周转天数等& 定义’记最佳决策方案()的因素指标为*)+ !且满足,当因素指标-+为效益型指标时!*)+./012*3+!*4+!5!* 6+7!当因素指标-+为成本型指标时!*)+./892*3+!* 4+!5!*6+7$则称矩阵*.2* :+726;37<=2:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=7为方案集(对指标集-的决策矩阵$为了消除量纲和量纲单位不同所带来的不可公度性!决策之前首先应将评价指标进行无量纲化处理$定义>初值化处理对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除!从而得到一个新数列的方法叫初始化处理$该数列有共同的起点!无量纲!其数据值均大于)$ 记*? 为*的生成序列!*.2*:+726;37<=!: .)!3!4!5!6%+.3!4!5!=*?.2*? :+ 726;37<=!:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=若满足 *?:+.*:+@*)+ !:.)!3!4!5!6%+.3!4!5!=237 则称*? 为*的初始化序列$记初值化生成为A BC D ,E **?经过初值化处理以后!很显然*?)+.32+ .3!4!5!=7&这里*?)+即为理想方案$以*?)+为母因素!以*? :+2:.3!5!6%+.3!4!5!=7 为子因素!就可以得到其他方案与理想方案的关联度$定理’记2F !G 7为灰色关联空间!H 为特定关联映射!I :+为子因素*? :+2: .3!5!6%+.3!4!5!=7关于母因素*?)+.32+.3!4!5!=7的关联度!I :+.H 2*?)+!* ? :+7!则有I :+. /896 /89= J *?)+K *?:+J ;L /016/01= J *?)+K *? :+ J J *?)+ K *? :+ J ;L /016 /01= J *?)+K *? :+ J 247 值得注意的是!在I :+.H 2*? )+ !*? :+ 7 中!常数L 称为分辨系数&它的作用在于调整比较环境的大小!即将比较环境缩小改变&当L .)时!环境消失%L .3时!环境"原封不动#地保持着&通常!取L .)&M & 定义N 称由26;37=个I 组成的矩阵为多目标灰色关联度判断矩阵O O. O )3O )45O )=O 33O 34 5O 3=O 43O 44 5O 4= P O 63O 645O Q R S T 6= 灰色关联度判断矩阵之所以要这样建立是鉴于这样的考虑!即一个设计方案是由=个因素指标所确定的!它构成=维因素指标空间-中的一个离散的方案点!进行多目标决策!就是比较空间-中各方案点与理想方案点的关联度$ 很显然!在这里O )3.O )4.5.O )=.3& 设评价指标间的加权向量为U .2U 3!U 4!5!U =7V W)!U 的确定方法有主客观赋权法两大类!本文不再详述& 定义X 设在加权向量U 的作用下构造而成的增广型矩阵为加权灰色关联决策矩阵O ?! 且满足%O ?.OYU .2O ?3!O ?4!5!O ? =7 O ?. U 3 U 45 U =U 3O 33U 4O 345U =O 3=U 3O 43U 4O 44 5U =O 4= P U 3O 63U 4O 645U =O Q R S T 6= Z )3系统工程理论与实践 4))4年3月 万方数据
2 灰色关联分析方法 在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法。 一、灰色关联分析概述 我们知道，统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。但是，我们也注意到相关系数具这样的性质： xy yx r r =，即因素y 对因素x 的相关程度与因素x 对因素y 的相关程度相等。暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的。譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗？其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关系数比较精确地度量其相关程度的客观大小。为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。 灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。 设x 1，x 2，…，x N 为N 个因素，反映各因素变化特性的数据列分别为｛x 1(t)｝，｛x 2(t)｝，…｛x N (t)｝，t=1，2，…，M 。因素j x 对i x 的关联系数定义为 min max max ()1,2,3,,(1)()ij ij k t t M t k ξ?+?= =?+? (5)式中，ξij (t)为因素j x 对i x 在t 时刻的关联系数； max min ()|()()|,max max (),min min ();ij i j ij ij j j j j t x t x t t t ?=-?=??=?k 为介于[0，1]区 间上的灰数。不难看出，△ij (t)的最小值是min ?，
灰色关联分析法原理及解题步骤
灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵
（2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻
题目灰色关联分析及其应用 学生姓名魏婧学号 1109014115 所在学院数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学数教1101班 指导教师马引弟 完成地点陕西理工学院 2015年06月08日
灰色关联分析及其应用 魏婧 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学（师范类)专业数教1101班,陕西汉中 723000） 指导教师：马引弟 [摘要] 本文对灰色关联分析相关理论进行研究和总结,通过建立教师教育教学的评价指标体系,用灰色关联度模型进行决策,将定性与定量方法有机结合,使决策简单清晰,计算简单,便于实用. [关键词] 灰色关联分析;教育教学;评价;决策 1 引言 灰色系统理论是20世纪80年代,由中国华中理工大学邓聚龙教授首次在“含未知数系统的控制问题”的学术报告中提出“灰色系统”一词,它是以数学理论为基础的系统工程学科,为灰色系统理论鉴定基础[1].自灰色系统理论诞生以来,灰色关联分析理论作为其中最重要 的一部分就受到学术界的广泛关注.它不仅是灰色系统理论的重要组成部分,也是灰色系统、预测和决策的基石. 随着灰色系统在各个方面的推广、应用,对灰色关联分析的关注也越来越多,同时也存在一些不足.因此,为了更好的将灰色关联应用到实际生活中,对灰色关联分析理论探讨及实际应用进行研究是十分必要的. 党的十八大明确提出深化教育领域综合改革,努力办好人民满意的教育,要坚持教育优先发展,全面贯彻党的教育方针,对教师进行教育教学评价是十分有必要的.由于影响教师教育教学评价的因素很多,如何建立灰色关联模型进行合理的评价,是灰色关联分析应用实际教育教学评价体系的重点. 2 灰色关联分析概述 灰色关联分析理论的基本思想就是根据描述所研究系统指标序列曲线的几何形状与所选的标准系统指标序列曲线的相似程度来判断它们的关联程度是否紧密[1].曲线形状越接近,说明相对应的指标序列关联程度越大;曲线形状差异越大,说明相对应的指标序列的关联程度越小. 由此可以看出,对于如何定义关联度以及关联度的计算方法是灰色关联分析理论的重要组成部分[2].同时在进行关联分析时,必须先确定参考序列,然后比较其他序列的接近程度, 这样才能对其他序列进行比较,进而做出判断. 2.1灰色关联主要基本概念 X为表征系统特征行为的量,其在序号k上的观测数据为定义1[1]:设
灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵
（2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线
2灰色关联分析
精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2 灰色关联分析方法 在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法。 一、灰色关联分析概述 我们知道，统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。但是，我们也注意到相关系数具这样的性质： xy yx r r =，即因素y 对因 素x 的相关程度与因素x 对因素y 的相关程度相等。暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的。譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗？其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关系数比较精确地度量其相关程度的客观大小。为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。 灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。 设x 1，x 2，…，x N 为N 个因素，反映各因素变化特性的数据列分别为 ｛x 1(t)｝，｛x 2(t)｝，…｛x N (t)｝，t=1，2，…，M 。因素j x 对i x 的关联系数定义为 min max max ()1,2,3,,(1)()ij ij k t t M t k ξ?+?==?+? (5)式中，ξij (t)为因素j x 对i x 在t 时刻的关联系数； max min ()|()()|,max max (),min min ();ij i j ij ij j j j j t x t x t t t ?=-?=??=?k 为介于[0，1]区间上的灰数。不难看出，△ij (t)的最小值是min ?，
第五章灰色关联度分析 目录 壹、何谓灰色关联度分析 ------------------------- 5-2 贰、灰色联度分析实例详说与练习 ----------------- 5-8 第五章灰色关联度分析 壹、何谓灰色关联度分析 一.关联度分析 灰色系统分析方法针对不同问题性质有几种不同做法，灰色关联度分析(Grey Relational Analysis)是其中的一种。基 本上灰色关联度分析是依据各因素数列曲线形状的接近程度 做发展态势的分析。 灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统(或因素) 之间的数值关系。简言之，灰色关联度分析的意义是指在系统
发展过程中，如果两个因素变化的态势是一致的，即同步变化程度较高，则可以认为两者关联较大；反之，则两者关联度较小。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态(Dynamic)的历程分析。 灰色关联度可分成「局部性灰色关联度」与「整体性灰色关联度」两类。主要的差别在于「局部性灰色关联度」有一参考序列，而「整体性灰色关联度」是任一序列均可为参考序列。 二.直观分析 依据因素数列绘制曲线图，由曲线图直接观察因素列间的接近程度及数值关系，表一某老师给学生的评分表数据数据为例，绘制曲线图如图一所示，由曲线图大约可直接观察出该老师给分总成绩主要与考试成绩关联度较高。 表一某一老师给学生的评分表单位：分/ %
由曲线图直观分析，是可大略分析因素数列关联度，可看出考试成绩与总成绩曲线形状较接近，故较具关联度，但若能以量化分析予以左证，将使分析结果更具有说服力。 三.量化分析 量化分析四步曲： 1.标准化(无量纲化)：以参照数列(取最大数的数列)为 基准点，将各数据标准化成介于0至1之间的数据最 佳。 2.应公式需要值，产生对应差数列表，内容包括：与参 考数列值差(绝对值)、最大差、最小差、ζ（Zeta） 为分辨系数，0＜ζ＜1，可设ζ = 0.5(采取数字最终 务必使关联系数计算：ξi（k）小于1为原则，至于
1.地梭梭生长量与气候因子的关联分析 下表为1995年3年梭梭逐月生长量（X0）、月平均气温（X1）、月降水量（X2）、月日照（X3）时数和月平均相对湿度（X4）的原始数据，试排出影响梭梭生长的关联序，并找出主要的影响因子。 灰色系统理论提出了灰色关联度的概念，它是提系统中两个因素关联性大小的量度，关联度的大小直接反映系统中的各因素对目标值的影响程度。运用灰色关联分析法进行因素分析的一般步骤为： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。（Y）设参考数列（又称母序列）为Y = {Y （k）| k = 1，2，Λ，n}；影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。（X）比较数列（又称子序列）Xi = {Xi（k）| k = 1,2,Λ,n}，i = 1，2，Λ，m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此为了保证结果的可靠性，在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 第三步，计算关联系数。X 0（k）与x i （k）的关联系数 记，则 ，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体
取值可视情况而定。当时，分辨力最好，通常取ρ = 。 ξi（k）继比较数列xi的第k个元素与参考数列xo的第k个元素之间的关联系数。 第四步，计算关联度 因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下： 第五步，关联度排序 关联度按大小排序，如果r1 < r2，则参考数列y与比较数列x2更相似。 在算出Xi（k）序列与Y（k）序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y（k）与Xi（k）的关联度。 本题解答过程： 第一步：数据处理 X 0（k）= {，，，，13，，18，，，，8，1 } X 1（k）= {，，10，，，，，，22，18，， } X 2（k）= {17，，，，，，，，，，， } X 3（k）= {，，，137，，，，，，84，， } X 4（k）= {81，79，75，75，77，79，83，86，83，82，81，82}
综合评价的多目标决策灰色关联投影法 一、 综合评价法 综合评价法(Comprehensive Evaluation Method) 是指运用多个指标对多个参评对象（单位）进行评价的方法，称为多变量综合评价方法，或简称综合评价方法。其基本思想是将多个指标转化为一个能够反映综合情况的指标来进行评价。如不同国家经济实力，不同地区社会发展水平，小康生活水平达标进程，企业经济效益评价等，都可以应用这种方法。多目标决策灰色关联投影法是综合评价的一种。 二、综合评价法的特点 综合评价法的特点是评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的；在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理；评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位"综合状况"的排序。 三、综合评价法的步骤 1、确定综合评价指标体系，这是综合评价的基础和依据。 2、收集数据，并对不同计量单位的指标数据进行同度量处理。 3、确定指标体系中各指标的权数，以保证评价的科学性。 4、对经过处理后的指标在进行汇总计算出综合评价指数或综合评价分值。 5、根据评价指数或分值对参评单位进行排序，并由此得出结论。 四、综合评价的灰色关联投影法概念及原理 由于一个待评价的系统本身就是一个灰色系统，因为系统中既有已被了解的的白色信息，又有尚未发现的黑色信息，而更多的是一般定性了解的灰色信息。对这样的系统进行综合评价实际上是一个灰色多目标决策问题。有关灰色多目标决策与评价理论，已有不少的研究成果。下面介绍灰色关联投影法，它是从矢量投影的角度出发，解决多目标决策与评价问题。 1、属性值（指标值） 多指标决策域集合：=A {方案1，方案2，...，方案n}{}n 21,,A A A = 因素指标的集合：=V {指标1，指标2，...，指标m}{}m 21,,V V V = 方案i A 对指标j V 的属性值（指标值）为ij y ),,2,1;,,2,1(m j n i == 方案 指标 1V 2V m V 1A 11y 12y m y 1 2A 21y 22y m y 2 n A 1n y 2n y nm y
-1- 基于直觉模糊集多属性决策的灰色关联分析法 卫贵武1,2 1. 西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031） 2. 川北医学院数学系，四川南充（637007 E-mail ： 摘要：基于直觉模糊集理论, 提出了一种新的灰色关联分析方法来研究模糊多属性决策问题。首先, 根据直觉模糊集的几何意义, 引入了两个直觉模糊集之间的距离, 且每个备选方案的评价值用直觉模糊值表示。其次, 依据传统灰色关联分析方法的基本思想, 通过计算每个方案对直觉模糊正、负理想方案的灰色关联度。然后计算备选方案对直觉模糊正理想方案的相对关联度, 来确定备选方案的综合评价指数, 最终确定最优方案, 使该方案对正理想方案具有最大的灰色关联度和对负理想方案具有最小的灰色关联度。最后, 通过一个具体实例说明该方法的有效性和具体应用过程。 关键词：模糊多属性决；灰色关联分析；直觉模糊集；直觉模糊距离中图分类号: C934 文献标志码: A 1. 引言 自从1965年Zadeh 教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。1986年保加利亚学者Atanassov 进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。1993年Gau 和Buehrer 定义了Vague 集[4]，Bustince 和Burillo 指出Vague 集的概念与Atanassov 的直觉模糊集是
相同的[5]。由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文献[6]基于直觉模糊集的理论，把直觉模糊集与TOPSIS 方法结合起来用于研究模糊多属性决策问题。 灰色关联分析法由邓聚龙教授首先提出[7]，并在多属性决策中得到了广泛的应用。文献[8-10]进一步将灰色关联分析方法推广到区间数环境，给出了区间数多属性决策的灰色关联分析法。本文将利用直觉模糊集的理论，把直觉模糊集与灰色关联分析方法结合起来用于研究模糊多属性决策问题。 2. 直觉模糊集基本理论 直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets由Atanassov 提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。 定义1 设X 是一个非空经典集合，(12, , , n X x x x =L ，X 上形如 (( {}, , A A A x x x x X μ ν= ∈的三重组称为 X 上的一个直觉模糊集。其中
基于组合权重的灰色关联度方案 决策模型及其应用 王广月刘健 (山东大学土建学院济南250061) 摘要:分析了岩土工程方案决策中存在的问题,提出了组合权重的概念,建立了基于信息熵和层次分析法确定权重的灰色关联度决策模型,既考虑了主观因素的影响,又考虑了方案指标体系固有信息的重要性,并通过实例验证了该方法的合理性,为岩土工程方案决策的科学性与准确性提供了一个新的思路。关键词:信息熵层次分析法组合权重灰色关联度CREYRELATIVEDEGREEDECISIONMAKINGMODELBASEDONCOMBINATOR IAL WEIGHTANDITSAPPLICATION WangGuangyue LiuJian (SchoolofCivilEngineering,Shandong) Abstract:AgreyrelativedegreedecisionmakingmandAHPisestablished,andaconceptionofc ombinatorialweightisputinprojects′decisionmakingo fgeotechnicalengineering.Themodel ,proved,ofsubjectivefactorsandimportanceofinformationofprojects′indextoselectgeotech nicalengineeringprojectsmorescientificallyandexactly. Keywords:entropy analytichierarchyprocess combinatorialweight greyrelativedegree 岩土工程方案设计中许多评价问题都属于多人、多层次和多目标综合评价问题。目前国内外建立的综合评价方法有几十种,但大多数尚处于理论研究阶段,不十分成熟。这些评价方法各有特点,但大体上可以分为两类,主要区别在确定权重上。即一类为主观赋权,大都是采取综合咨询评分的定性方法确定权重,然后对无量纲后的数据进行综合分析,如,层次分析法、专家评分法等。另一类是客观赋权,即根据各指标之间的相关关系或各项指标值的变异程度确定权重,如熵值法、因子分析法等。前一类方法仅凭专家对评价指标内涵与外延的理解做出判断,没有考虑各待评方案的固有信息。后一类方法避免了人为因素带来的偏差,但由于忽略了指
灰色关联分析算法步骤 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度。 是由着名学者教授首创的一种系统科学理论(GreyTheory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如各部门投资收益、区域经济优势分析、等方面，都取得较好的应用效果。 关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。 灰色关联分析的步骤 灰色关联分析的具体计算步骤如下： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k)|k=1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列） X i={X i(k)|k=1,2,Λ,n},i=1,2,Λ,m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 第三步，计算关联系数 x0(k)与x i(k)的关联系数
灰色关联分析法 根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。 根据评价目的确定评价指标体系， 为了评价×××我们选取下列评价指标： 收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略） 将m 个指标的n 组数据序列排成m*n 阶矩阵： '' ' 12''' '''1212''' 1 2(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)()() ()n n n n x x x x x x X X X x m x m x m ?? ? ? = ? ? ??? 对指标数据进行无量纲化 为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计 算之前，我们首先对各要素的原始数据作...变换。无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： 01010101(1)(2) (1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x n x n x n ?? ? ?= ? ??? 确定参考数据列 为了比较...【评价目的】，我们选取...作为参考数据列，记作 ''''0000((1),(2),,())T X x x x n = 计算0()()i x k x k -，得到绝对差值矩阵 求两级最小差和两级最大差 01 1min min ()()min(*,*,*,*,*,*)*n m i i k x k x k ==-== 01 1 max max ()()max(*,*,*,*,*,*)*n m i i k x k x k ==-== 求关联系数 由关联系数计算公式0000min min ()()max max ()() ()()()max max ()() i i i k i k i i i i k x k x k x k x k k x k x k x k x k ρζρ-+?-= -+?-，取 0.5ρ＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如 下：
五灰色关联分析方法 在实际问题中，许多因素之间的关系是灰色的，人们很难分清哪些因素是主导因素，哪些因素是非主导因素；哪些因素之间关系密切，哪些不密切。灰色关联分析，为我们解决这类问题提供了一种行之有效的方法。 一、灰色关联分析概述 我们知道，统计相关分析是对因素之间的相互关系进行定量分析的一种有效方法。但是，我们也注意到相关系数具这样的性质： rxy=ryx，即因素y对因素 x的相关程度与因素x对因素y的相关程度相等。暂且不去追究因素之间的相关程度究竟有多大。单就相关系数的这种性质而言，也是与实际情况不太相符的。譬如，在国民经济问题研究中，我们能将农业对工业的关联程度与工业对农业的关联程度等同看待吗？其次，由于地理现象与问题的复杂性，以及人们认识水平的限制，许多因素之间的关系是灰色的，很难用相关系数比较精确地度量其相关程度的客观大小。为了克服统计相关分析的上述种种缺陷，灰色系统理论中的灰色关联分析给我们提供了一种分析因素之间相互关系的又一种方法。 灰色关联分析，从其思想方法上来看，属于几何处理的范畴，其实质是对反映各因素变化特性的数据序列所进行的几何比较。用于度量因素之间关联程度的关联度，就是通过对因素之间的关联曲线的比较而得到的。 设x1，x2，…，xN为N个因素，反映各因素变化特性的数据列分别为 ｛x1(t)｝，｛x2(t)｝，…｛xN(t)｝，t=1，2，…，M。因素xj对xi的关联系数定义为 ξij(t)=?min+k?max ?ij(t)+k?maxt=1,2,3, ,M(1) (5)式中，ξij(t)为因素xj对xi在t时刻的关联系数； ?ij(t)=|xi(t)-xj(t)|,?max=maxmax?ij(t),?min=minmin?ij(t);k为介于[0，1]区jjjj 间上的灰数。不难看出，△ij(t)的最小值是?min， 当它取最小值时，关联系数ξij(t)取最大值maxξij(t)=1;?ij(t)的最大值为i ?max，当它取最大值时，关联系数ξij(t)取最小值minξij(t)=i?min1? k+ 1+k??max??，即? ξij(t)是一个有界的离散函数。若娶灰色k的白化值为1，则有 1??min 1+2??max??≤ξij(t)≤1?(2) 在实际计算时，取?min=0，这时有 0.5≤ξij≤1(3) 作出函数ξij=ξij(t)随时间变化的曲线，它就被称之为关联曲线。图中的水平线，说明任何时刻的关联系数为1，它代表xi与xi本身的关联曲线ξij≡1，因为自己与自己总可以认为是密切关联的。
灰色关联度分析法在系统 综合评价中的应用 李玉辉,张建 2 (1.长沙理工大学,湖南长沙410076;2.济南市公路管理局,山东济南250013) 摘要:基于灰色系统理论,研究了灰色关联度分析法在系统综合评价中的应用。并通过实例对该方法进行了实证研究,表明了该方法的有效性。关键词:灰色关联度;综合评价;指标体系中图分类号:U491 文献标识码:A 的标准数据列,记为X0,设第一个指标值记为X0(1),第二个指标值记为X0(2),第k 个指标值记为X0(k),因此参考数据列可以用如下公式表示 X0=X0(i) i=1,2,3,,n ……………(1)比较数据列是研究的对象数据列,记为 X1,X2,,,Xm,可以用如下公式表示 X1=X1(i) i=1,2,3,,nX2=X2(i) i=1,2,3,,n,, Xm=Xm(i) i=1,2,3,, (2) 引言 系统综合评价的方法很多,如层次分析法、模糊综合评判法、主成分分析法、因子分析法等。这些方法都有各自的优点,但是也存在着一定的不足。例如模糊综合评判法是对难以精确化的复杂系统进行分析的间接评判法,这种方法的重要步骤是确定评价指标的隶属度,如果隶属函数选择的不合适,则容易引起较大的误差;层次分析法是将人们的定性思维转化为定量分析的过程,很大程度上依赖于人的经验;主成分分析法则要求有多个非线性相关的指标,指标太少的话,会在很大程度上影响评价的客观性。笔者应用灰色系统的有关理论,研究了灰色关联度分析法在系统综合评价中的应用。 1.2 关联系数 在分析参考数据列和比较数据列的关联程度时,首先分析各个指标间的关联程度,用关联系数这个概念表示,计算公式如下 Gi(J)= vMin+K#vMax (3) i(J)+K#vMax 其中,vi(J)=&Xi(J)-X0(J)&;vMin=MiinMJin&Xi(J)-X0(J)&:vMax=MiaxMJax&Xi(J)-X0(J)& Gi(J)为Xi对X0的k指标关联系数;K为分辨系数,一般在0与1之间,通过计算验证,笔者取为0.5,结果较为合理。