七年级数学上册有理数 绝对值几何意义应用专项练习
一、几何意义类型： 类型一、0-=a a ：表示数轴上的点a 到原点0的距离； 类型二、 a b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离（或点b 到点a 的距离）； 类型三、)(b a b a --=+)(a b --=：表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到点a -的距离）； 类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)(a x a x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离.
二、例题应用：
例1.（1）、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若4-x =2，则 =x .
（2）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若13=+x ，则 =x . （3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、p 、q.若15=-q m ，
810=-=-m p n q ，，则=-p n ;若15=-q m ，，，q n n p m p -=
-=-3
18 则=-p n .
（4）、不相等的有理数c b a ，，在数轴上的对应点为A ，B ，C ，如果c a c b b a -=---， 则点A ，B ，C 在数轴上的位置关系 .
拓展：已知d c b a 、、、均为有理数，25169=+--≤-≤-d c b a d c b a 且，
，求 .的值c d a b ---
解析：()25169)(=+≤-+-≤---d c b a d c b a .25=+--d c b a 且
169=-=-∴d c b a ，
.7169-=-=---∴c d a b 例2.（1）、①当 =x 时，3+x 取最小值；②当 =x 时，32+-x 取最大值，最大
值为 . （2）、①已知723=++-x x ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 =x ;
②已知523=++-x x ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 ;
③已知423=++-x x ，利用绝对值在数轴上的几何意义得 ;
拓展：若81272=-++a a ，则整数a 的个数是 4 .
④当x 满足 条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义23++-x x 取得最小值，
这个最小值是 .
由上题③图可知，532≥-++x x ，故而当32≤≤-x 时，最小值是5.
⑤若a x x =++-23时，探究a 为何值，方程有解？无实数解？
档案：5≥a ；a <5.
特别要注意的是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有523=++-x x . 例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5.
②若23++-x x ③若23+--x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a ＜5-. 由上图当x ≤2-时，23+--x x 5=；当x ≥3时，23+--x x 5-=；当2-＜x ＜3， 5-＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜5-. ④若23+--x x 5. 拓展应用：已知()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值. 解析：321≥-++x x ，312≥++-y y ，13++-z z 4≥ ( )()()36131221≥++-++--++∴z z y y x x ， 321=-++∴x x ，312=++-y y ，413=++-z z 312121≤≤-≤≤-≤≤-∴z y x ，， 933422≤≤-≤≤-∴z y ， 15326≤++≤-∴y y x . （3）、当x 满足 条件时，312-+-++x x x 取最小值，这个最小值是 . 由以上图形可知：当x = 1 时，312-+-++x x x 5=，其他范围内312-+-++x x x ﹥5， 故而312-+-++x x x 5≥，这个最小值是 5 . （4）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 取最小值，这个最小值是 . 由以上图形可知：当 31≤≤x 时，5312-+-+-++x x x x 11=，其他范围内5312-+-+-++x x x x ﹥11，故而5312-+-+-++x x x x 11≥，这个最小值是 11 . 特别要注意的是：当x 在31≤≤x 这个范围内任取一个数时，都有5312-+-+-++x x x x 11=. （5）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 取最小值， 这个最小值是 . 由以上图形可知：当x = 3 时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 13=，其他范围内 5312-+-+-++x x x x 7-+x ﹥13，故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 13≥， 这个最小值是 13. （6）、当x 满足 条件时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 取最小值， 这个最小值是 . 由以上图形可知：当 53≤≤x 时，5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 18=，其他范围内5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x ﹥18， 故而5312-+-+-++x x x x 7-+x 8-+x 18≥，这个最小值是 18. 小结：有1a ，2a ，3a ，…，12+n a （12+n ）个正数，且 满足1a ＜2a ＜3a ＜…＜12+n a . 1.求12321+-++-+-+-n a x a x a x a x 的最小值，以及取得这个最小值 所对应的x 的值或范围； 答案是：当 x = 1+n a 时，12321+-++-+-+-n a x a x a x a x 取得最小值， 这个最小值是121312111+++++-++-+-+-n n n n n a a a a a a a a . 2.求n a x a x a x a x 2321-++-+-+- 的最小值，以及取得这个最小值 所对应的x 的值或范围； 答案是：当1+≤≤n n a x a 时，n a x a x a x a x 2321-++-+-+- 取得最小值， 这个最小值是n n n n n a a a a a a a a 2321-++-+-+- 或者 n n n n n a a a a a a a a 21312111-++-+-+-++++ . 三、判断方程根的个数 例3、 方程|x+1|+|x+99|+|x ＋2|＝1996共有（ ）个解． A.．4； B ． 3； C ． 2； D ．1 解：当x 在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x ＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x ＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x ＋2|＝1996时，x 必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C ）． 四、综合应用 例4、已知|x ＋2|+|1－x|＝9－|y －5|－|1+y|，求x+ y 最大值与最小值． 解：原方程变形得|x ＋2|+|x －1|+|y －5|+|y+1||＝9， ∵ |x ＋2|+|x －1|≥3，|y －5|+|y+1|≥6，而|x ＋2|+|x －1|+|y －5|+|y+1|＝9， ∴|x ＋2|+|x －1|＝3，|y －5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5， 故x+ y 的最大值与最小值分别为6和－3． 五、练习巩固 1、若a ＜b ＜c ＜d ，问当x 满足 条件时，d x c x b x a x -+-+-+-取得最小值. 2、若a ＜b ＜c ＜d ＜e ，问当x 满足 条件时，d x c x b x a x -+-+-+-e x -+ 取得最小值. 3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中A 、B 、C 、D 、F 、G 、H 、K 到城市的距 离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E 正好是AK 的中点.现要在某个村庄建 一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？ 4、设x 是实数，11++-=x x y 下列四个结论： ①.y 没有最小值；②.只有一个x 使y 取到最小值； ③.有有限多个x (不只一个)使y 取到最小值； ④.有无穷多个x 使y 取到最小值。 其中正确的是( )． A ．① B ．② C ．③ D ．④ 5、试求2003321-++-+-+-x x x x 的最小值. 绝对值几何意义和绝对值方程 Ⅰ重点突破 重点针对复习 【重点知识点1】绝对值的几何意义 [针对训练1] （南雅-15）1.阅读材料，回答下列问题： 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示； 在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3﹣1|＝2； 在数轴上，有理数5与﹣2对应的两点之间的距离为|5﹣（﹣2）|＝7； 在数轴上，有理数﹣2与3对应的两点之间的距离为|﹣2﹣3|＝5； 在数轴上，有理数﹣8与﹣5对应的两点之间的距离为|﹣8﹣（﹣5）|＝3；…… 如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a﹣b|或|b﹣a|，记为|AB|＝|a﹣b|＝|b﹣a|． （1）数轴上有理数﹣10与﹣5对应的两点之间的距离等于；数轴上有理数x与﹣5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为；若数轴上有理数x与﹣1对应的两点A，B之间的距离|AB|＝2，则x等于； （2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为﹣2，动点P表示的数为x． ①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x﹣4|＝；若|x+2|+|x﹣4|═10，则x＝； ②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于． 2.先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为； （3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝． （2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是． （4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是． 绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性） 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负 号，绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 【绝对值的其它重要性质】 （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| 【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 ????? ? ?? ?有理数??? ??)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数) 0(零?? ?? ?----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数初一数学——有理数（绝对值与乘方） 一、考点、热点回顾 第二章 有理数及其运算 ※ ※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。 ※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数） ※如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0的相反数是0） ※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。 ¤数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。 ※绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。数a 的绝对值记作|a|。 ※正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。 ?? ? ??<-=>) 0()0(0) 0(||a a a a a a 或 ???<-≥)0()0(||a a a a a ※绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等； 任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0 ※比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值； ②比较两个绝对值的大小； ③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 ※绝对值的性质： ①对任何有理数a ，都有|a|≥0 ②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然 ③若|a|=b ，则a=±b ④对任何有理数a,都有|a|=|-a| ※有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。 ②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 ※加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。 ¤灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：①互为相反的两个数，可以先相加； ②符号相同的数，可以先相加； ③分母相同的数，可以先相加； 越来越大 绝对值与一元一次方程 一、形如| x +a | = b 方法：去绝对值符号 例1：| 2x – 1 | = 3 例2：4+2|x| = 3 |x|+2 二、绝对值的嵌套方法：由外向内逐层去绝对值符号 例1：| 3x – 4|+1| = 2 例2：x– 2|-1| =3 三、形如：| ax + b | = cx+d绝对值方程 方法：变形为ax + b =±（cx+d）且 cx+d≧0才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值方程时必须检验。 例1: | 5x + 6 | = 6x+5 例2: | x - 5 |+2x =-5 利用“零点分段“法化简 方法：求零点，分区间，定正负，去符号 例1：化简：| x + 5 |+| 2x - 3 | 例2：|| x -1 |-2|+ |x +1| 练习化简：1、| x + 5 |+| x - 7 | +| x+ 10 | 2、 四、“零点分段法”解方程 “零点分段法”即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可。 例1：| x + 1 |+| x - 5 | =4 例2：| 2x - 1 |+| x - 2 | =2| x +1 | 练习：解方程 1、3| 2x – 1 | = |-6| 2、││3x-5│+4│=8 3、│4x-3│-2=3x+4 4、│2x-1│+│x-2│=│x+1│ 提高题： 1、若关于X的方程││x-2│-1│=a有三个解，求a的值和方程的解 2、设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,?求b 的值. (“华杯赛”邀请赛试题) 3、讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况. 绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。 例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。 人教版七年级数学上册-《有理数绝对值化简运算》强化训练(含答 案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 牢记方法规则：1．判断绝对值里面量的正负 2．去掉绝对值产生括号 3．去掉括号合并同类项 第1天 1．在数轴上有示a、b、c三个实数的点的位置如图所示，化简|b﹣a|＋|c﹣a|﹣|c﹣b|． 2．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b﹣c|﹣|c﹣a|＋|b﹣a|． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|＋2|a＋c|﹣|b﹣2c|． 4．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|b＋a|﹣|b﹣c|＋|a﹣c|． 5．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|c﹣2b|＋|a＋c|﹣|a＋b|． 第2天 6．若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a＋c|＋|2a＋b|﹣|c﹣b|． 7．有理数a、b、c的位置如图所示，化简|b|＋|a﹣c|＋|b﹣c|﹣|a﹣b|． 8．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简－|b|－|a﹣c|＋|b﹣c|＋|a﹣b|． 9．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c﹣1|＋|a﹣c|＋|a﹣b|． 10．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣c|﹣|a＋b|﹣|b﹣c|＋|2b|． 第3天 11．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|c|﹣|c＋b|＋|a﹣c|＋|b＋a|． 12．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣b|﹣|b﹣c|﹣|a＋c|﹣|b|＋2|a|． 13．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣c|＋2|c＋a|﹣3|a﹣b|． 14．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：|2b﹣c|－2|c－a|＋3|a﹣b|． 绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| 【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“||”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①a b -的相反数是a b -+； ②a b c ++的相反数是a b c ---； ③132a b -+的相反数132a b -+-． （2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±． （3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ==??-?=? -≤? 变式结论：①若||a a =，则0a ≥； ②若||a a =-，则0a ≤． 模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：|1||2|x x -+-． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分， 即1x <，12x ≤<，2x ≥． ②当1x <时，原式23x =-+； 当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=； 当2x ≥时，原式23x =-． 模块三 几何意义 ||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点 的距离； ||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离； ||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和． 举例： ①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离． ②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的距离之和． ③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差． 基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…， 123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n 为奇数时，当1 2 n x a +=时取最小值； ②当n 为偶数时，当1 2 2 n n a x a +≤≤时取最小 值． 常见变形： ①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值． ②()111 113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值． ③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值． 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． 绝对值几何意义 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 例题精讲 绝对值的性质及化简 基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值 初一：有理数 1、绝对值 重点：进一步理解绝对值的意义 考点：正确掌握利用绝对值比较两个负数的大小 例1：一个数的绝对值等于它本身，则这个数是什么数? 【分析】根据绝对值的性质判断即可。 【解答】因为正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零。所以一个数的绝对值等于它本身，这个数就是非负数。 例2:若一个数的绝对值的相反数是-1/7，则这个数是多少？ 【分析】根据只有符号不同的两个数是相反数，数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行分析。 【解答】±1/7的绝对值的相反数是-1/7。 例3:在数1、0、-1、|-2|、中，最小的数是_______ 【分析】根据绝对值的性质和正负数的定义判断即可。 【解答】由点在数轴上的对应位置确定所表示实数的正负：原点的左边的数都小于0，原点右边的数都大于0。同时，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，表示数的点到原点的距离是这个数的绝对值。 二、有理数的加减法 重点：有理数加减法法则的理解 考点：有理数的加减法实例 例1、计算：1+(-2)+(+3)+(-4)+(+5)+(-6)...(+99)+(-100)的结果。 【分析】原式结合后，相加即可得到结果。 【解答】原式=[1+(-2)]+[(+3)+(-4)]+[(+5)+(-6)]...[(+99)+(-100)] =(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+...+(-1)(50个-1相加) =-50 例2：室内温度10℃，室外的温度是-3℃，那么室内温度比室外温度高多少？【分析】用室内温度减去室外温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解。 【解答】10-（-3）=10+3=13℃ 三、练习题 1、求8、－8、、－、0、6－π、π－5的绝对值。 2、计算：∣3∣＋∣－4∣－∣－2∣－∣－3∣ 3、写出绝对值小于3的所有整数。 4、计算：-20-（+3）-（-5）-（+30）-（50）+（+21） 5、蜗牛从树根沿着树干往上爬，白天爬上4米，夜间滑下3米，高7米的树，蜗牛爬到树顶要多少天？（这个有点难，需要注意点） 巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题 【例1】求 y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值，并指出y为最小值时，x的值为多少 初一引进绝对值的概念，但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止。绝对值有两个方面的意义，一个是代数意义，另一个几何意义，但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义。 绝对值的代数意义：｜a｜=a, (a≥0)；｜a｜=－a, (a＜0)。 绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离。 众所周知，如果数轴上有两点A,B，它们表示的数分别为a, b（a≤b)，则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜（如图1）。 设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜， 由图2可以看出，如果X在A，B两点之间，那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜，即：当a≤x≤b时，｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜； 同样，设点C在数轴上表示的点为c，（a≤b≤c)，则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜， 由图3可以看出，如果X落在B点，那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜，即：当x=b时，｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜。 一般说来，设f(x)=｜x-a?｜+｜x-a?｜+｜x-a?｜+???+｜x-a n｜， 其中a?≤a?≤…≤a n，那么： 当n为偶数时，f min(x)=f(a)，其中a n/2≤a≤a n/2+1； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+(a n/2+1-a n/2) =(a n+a n-1+??? a n/2+1)-(a1+a2+???+a n/2) 当n为奇数时，f min(x)=f(a（n+1）/2)； 且f(a)=(a n-a1)+(a n-1-a2)+???+【a(n+1）/2+1-a(n+1）/2-1】 =【a n+a n-1+??? a(n+1）/2+1】-【a1+a2+???+ a(n+1）/2-1】 绝对值 中考要求 重难点 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离． 课前预习 例题精讲 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A、±2 B、2 C、-2 D、4 【难度】1星 【解析】此题要全面考虑，原点两侧各有一个点到原点的距离为2，即表示2和-2的点． 【答案】根据题意，知到数轴原点的距离是2的点表示的数，即绝对值是2的数，应是±2．故选A． 点评：利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题，体现了数形结合的数学思想．【例2】下列说法正确的有（） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相 反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A、②④⑤⑥ B、③⑤ C、③④⑤ D、③⑤⑥ 【难度】2星 【解析】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断． 【答案】①0是有理数，|0|=0，故本小题错误； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题错误； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题正确； ④有绝对值最小的有理数，故本小题错误； ⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的，所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小 题正确； ⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本小题错误． 第三讲：绝对值化简和有理数的计算 第一部分：化简绝对值 【知识点一】：采用零点分段讨论法 【例1】：化简 【归纳点评】虽然的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是： 1．求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）． 2．分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定． 3．在各区段内分别考察问题． 4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案． 【课堂练习】： 化简|x+2|+|x-3| 第二部分：有理数的计算 一、注意事项： ①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。 ②应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。 ③在进行有理数的加减法运算时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来； 然后把同分母的数相加；若是带分数，还可以将其整数和分数部分分别结合相加；若既有小数又有分数，通常将小数化为分数（熟记一些常见的数据：0.125=____，0.25=______，0.375=____，0.75=______等）。在进行有理数混合运算时，若有公因数，一般先提出，然后运算。有时可以利用因数之间关系获得公因数。在运算过程中应注意符号的变化。 二、运算顺序 三、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。 例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1 ) ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例：计算：--+-+-11 622344551311 6 38. ③分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。 例：计算：111125434236 -+-+ ④约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 绝对值几何意义应用 绝对值几何意义应用 一、几何意义类型： 类型一、0-=a a ：表示数轴上的点a 到原点0的距离； 类型二、 a b b a -=-：表示数轴上的点a 到点b 的距离（或 点b 到点a 的距离）； 类型三、)(b a b a --=+)(a b --=：表示数轴上的点a 到点b -的距离（点b 到点a -的距离）； 类型四、a x -：表示数轴上的点x 到点a 的距离； 类型五、)(a x a x --=+：表示数轴上的点x 到点a -的距离. 二、例题应用： 例1.（1）、4-x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若4-x =2，则 = x . （2）、3+x 的几何意义是数轴上表示x 的点与表示 的点之间的距离，若13=+x ，则 = x . （3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m 、n 、p 、q.若15=-q m ， 8 10=-=-m p n q ，，则=-p n ;若15=-q m ， ，，q n n p m p -= -=-3 1 8 则=-p n . 的几何意义得; ③已知4 + -x x，利用绝对值在数轴上 + 3= 2 的几何意义得; 拓展：若8 1 +a a，则整数a的个数是 - + 2= 2 7 4 . ④当x满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义2 3+ -x x取得最小值， + 这个最小值是. 由上题③图可知，5 +x + x，故而当 - 3 2≥≤ -x时，最小值是5. 3 2≤ ⑤若a -2 + 3时，探究a为何值，方程有 x= x + 解？无实数解？ 档案：5≥a ；a <5. 特别要注意的是：当x 在32≤≤-x 这个范围内任取一个数时，都有523=++-x x . 例题拓展：①若23++-x x >a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a <5. ②若23++-x x a 恒成立，则a 满足什么条件？答案：a ＜5-. 由上图当x ≤2-时， 2 3+--x x 5=；当x ≥3时， 23+--x x 5 -=；当2-＜x ＜3， 5 -＜23+--x x ＜5，所以5-≤23+--x x ≤5.则a ＜5-. ④若23+--x x 5. 拓展应用：已知()()()36131221=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++ 实用文档 第三讲绝对值内容概述 它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学绝对值是有理数中非常重要的组成部分， 习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。绝对值的定义及性质 简单的绝对值方程绝对值化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）绝对值 几何意义的使用 绝对值的定义及性质 |a|。绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作绝对值的性质：，这是绝对值非常重要的性质；绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0（1））（a＞0 a （代数意义）a=0））（2|a|= 0 （0) ＜-a (a ≤0；≥0；若|a|=-a，则a若（3）|a|=a，则a a，）4任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥（-a；且|a|≥（几何意义）a=b或a=-b；）（5若|a|=|b|，则|a|a|=（b≠0）·6（）|ab|=|a||b|；|；|b|b222；|=a）（7|a|=|a≥≥≥≤8（）|a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b| 实用文档 [例1] （1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（） A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0 （3）下列各组判断中，正确的是（） A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b 22 =(-b) |a|=b，则一定有ab|a|＞，则一定有|a|＞|b| D.若C. 若（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 分析： （1）结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2）答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3）选择D。 （4）根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（） A.a＞b B.a=b C.a 绝对值及其几何意义 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 绝对值及其几何意义 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。 如：|5|=5；|-5|=5；|0|=0 绝对值的几何意义：可以借助数轴来加以认识，一个数的绝对值在数轴上表示这个数的点到___________的距离。 如|a|表示数轴上表示数a的点到________的距离， 推而广之：∣x-a∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数______的点之间的距离，∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数_______ 两点的距离之和。 对于一些比较复杂的绝对值问题，如果用常规的方法做会比较繁琐，而运用绝对值的几何意义解题，往往能取得事半功倍的效果。 例1：已知，∣x-4∣=3，求x的值。 解法一(代数法，分类讨论)(“零点分段法”)： 解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知，∣x-4∣=3表示数x的点到_________的距离为_____，结合数轴不难发现这样的点共有______个，分别是____和____，故 x=_______. 例2：求∣x-1∣+∣x+2∣的最小值。 解法一(代数法)(“零点分段法”)： 解法二(几何法)：由绝对值的几何意义可知， 分析：本题若采用“零点分段法”讨论亦能解决，但若运用绝对值的几何意义解题，会显得更加简洁。 解：根据绝对值的几何意义可知，∣x-1∣表示数轴上点x到_______的距离， ∣x+2∣表示数轴上点x到_________的距离。 实际上此题是要在数轴上找一点x，使该点到两点的距离之和最短，由数轴可知，x 应在数轴上__________________________________的点，且最短距离为 ______________， 即∣x-1∣+∣x+2∣的最小值为_______。 推广：①：∣x-a∣+∣x-b∣的最小值为___________。 ②∣∣x-a∣-∣x-b∣∣的几何意义是数轴上一点x到a、b两点之间距离之差 的绝对值，它有一个最_______(大或小)值________。 例3：对于任意实数，若不等式∣∣x+1∣-∣x-2∣∣＜k恒成立，则实数k的取值范围是什么 解：(提示：k是式子∣∣x+1∣-∣x-2∣∣的最大值还是最小值) 例4：如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么 解： 绝对值的几何意义的运用是一个较好的技巧，这种简捷、巧妙的方法，应引起重视。绝对值的性质： （1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； （2）|a|={a,a>0 0,a=0 ?a,a<0 （代数意义） （3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0； （4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a； （5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）绝对值几何意义和绝对值方程
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