学业分层测评(二十四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A ．外离
B ．外切
C ．相交
D ．内切
【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )
A ．－1
B ．1
C ．3
D ．0
【解析】 由题意知：直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，且线段
AB 的中点? ??
??1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以1＋m 2－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 【答案】 B
3．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )
A ．5
B ．1
C ．35－5
D ．35＋5
【解析】 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.
【答案】 C
4．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6
B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6
C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36
D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36
【解析】 ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6，再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.
【答案】 D
5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．2x ＋3y －1＝0
C ．3x ＋2y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以
PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋? ??
??y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋? ??
??y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝
0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.
【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0
7．与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相外切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程为__________.
【解析】 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则(a －4)2＋(b ＋1)2＝1.
①
因为两圆外切，
则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3， ② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2 ＝1.
【答案】 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1
三、解答题
8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－
2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，
即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，
① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0， ② ②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系(图略)，则A (－50,0)，B (50,0)．
设P (x ，y )，由2|P A |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，
所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2
500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一
样合算．
[能力提升]
10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【解析】 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，
其方程为x 2＋y 2＝m 2.
由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，
所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，
所以4≤m≤6，故m的最大值为6.
【答案】 B
11．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．
【解】(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝(0－2)2＋(－1－1)2－2＝2(2－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8 2.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r23，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r23－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为|0－4＋r23－8|
42＋42
＝4－
?
?
?
?
?
22
2
2
＝2，
解得r23＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.