2016年湖南省高考数学模拟试卷(文科)(四)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z满足1+z=(1﹣z)i,则|z|=()
A.B.1 C.D.2
2.设全集为R,集合A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则A∩(?R B)=()A.(﹣3,0)B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1]D.(﹣3,3)
3.已知,则a,b,c的大小关系是()
A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a
4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()
A.﹣10 B.6 C.14 D.18
5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()
A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8
6.已知等差数列{a n}前四项中第二项为606,前四项和S n为3834,则该数列第4项为()A.2004 B.3005 C.2424 D.2016
7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1 B.2 C.4 D.8
8.已知向量满足,,,则与的夹角为()
A.B.C.D.
9.已知圆C:x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角的大小()
A.B.C.D.
10.将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象上所有点向左平移个单位,则所得函数图象的一条对称轴为()
A.B.C.D.
11.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,
若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为()
A.B.2πC.D.
12.已知双曲线﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一
个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()
A.﹣=1 B.﹣=1
C.﹣=1 D.﹣=1
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.曲线y=e﹣x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为.
14.已知等比数列{a n}中,a3+a5=8,a1a5=4,则=.
15.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值
为.
16.已知函数,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围
是.
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
18.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则越平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
19.在边长为5的菱形ABCD中,AC=8,现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC
的余弦值为.
(1)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(2)若M是AB的中点,求三棱锥A﹣MCD的体积.
20.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1
与C2的公共弦的长为2,过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D 两点,且与同向.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率.
21.已知函数f(x)=lnx﹣.
(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)证明;当x>1时,f(x)<x﹣1;
(Ⅲ)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k (x﹣1).
四.请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.[选修4-1几何证明选讲]
22.如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(Ⅰ)求证:AD∥EC;
(Ⅱ)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
[选修4-4坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,
已知点A的极坐标为(,),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣)=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)若圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
[选修4-5不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)<4的解集;
(Ⅱ)设函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.
2016年湖南省高考数学模拟试卷(文科)(四)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设复数z满足1+z=(1﹣z)i,则|z|=()
A.B.1 C.D.2
【考点】复数求模.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数.
【分析】由1+z=(1﹣z)i,可得z=,再利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出.
【解答】解:∵1+z=(1﹣z)i,
∴z====i,
则|z|=1.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与技能数列,属于基础题.
2.设全集为R,集合A={x|x2﹣9<0},B={x|﹣1<x≤5},则A∩(?R B)=()A.(﹣3,0)B.(﹣3,﹣1) C.(﹣3,﹣1]D.(﹣3,3)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【专题】集合.
【分析】根据补集的定义求得?R B,再根据两个集合的交集的定义,求得A∩(?R B).【解答】解:∵集合A={x|x2﹣9<0}={x|﹣3<x<3},B={x|﹣1<x≤5},∴?R B={x|x≤﹣1,或x>5},
则A∩(?R B)={x|﹣3<x≤﹣1},
故选:C.
【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.
3.已知,则a,b,c的大小关系是()
A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a
【考点】对数值大小的比较.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】根据指数的运算求出a的范围,根据对数的运算性质得到b,c的范围,比较即可.
【解答】解:==>2,<0,0<<1,
即a>2,b<0,0<c<1,
即a>c>b,
故选:A.
【点评】本题考查了指数以及对数的运算性质,是一道基础题.
4.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()
A.﹣10 B.6 C.14 D.18
【考点】程序框图.
【专题】图表型;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i=8时满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
S=20,i=1
i=2,S=18
不满足条件i>5,i=4,S=14
不满足条件i>5,i=8,S=6
满足条件i>5,退出循环,输出S的值为6.
故选:B.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.
5.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为()
A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8
【考点】茎叶图.
【专题】概率与统计.
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来,再除以5.找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数为中位数.据此列式求解即可.【解答】解:乙组数据平均数=(9+15+18+24+10+y)÷5=16.8;
∴y=8;
甲组数据可排列成:9,12,10+x,24,27.所以中位数为:10+x=15,
∴x=5.
故选:C.
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.将一组数据从小到大依次排列,把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数.
6.已知等差数列{a n}前四项中第二项为606,前四项和S n为3834,则该数列第4项为()A.2004 B.3005 C.2424 D.2016
【考点】等差数列的前n项和;等差数列的通项公式.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】根据等差数列前n项和公式和通项公式之间的关系进行推导即可.
【解答】解:已知a2=606,S4=3834,
则S3=a1+a2+a3=3a2=1818
即a4=S4﹣S3=3834﹣1818=2016,
故选:D
【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式和通项公式的应用,比较基础.
7.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=()
A.1 B.2 C.4 D.8
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】立体几何.
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.
【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,
截圆柱的平面过圆柱的轴线,
该几何体是一个半球拼接半个圆柱,
∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,
又∵该几何体的表面积为16+20π,
∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,
故选:B.
【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
8.已知向量满足,,,则与的夹角为()
A.B.C.D.
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【专题】平面向量及应用.
【分析】设与的夹角为θ,由数量积的定义代入已知可得cosθ,进而可得θ
【解答】解:设与的夹角为θ,
∵,,,
∴=||||cosθ=1×2×cosθ=,
∴cosθ=﹣,∴θ=
故选:D
【点评】本题考查数量积与向量的夹角,属基础题.
9.已知圆C:x2+y2﹣4x﹣4y=0与x轴相交于A,B两点,则弦AB所对的圆心角的大小()
A.B.C.D.
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;直线与圆.
【分析】根据条件令x=0,求出AB的长度,结合三角形的勾股定理求出三角形ACB是直角三角形即可得到结论.
【解答】解:当y=0时,得x2﹣4x=0,解得x=0或x=4,
则AB=4﹣0=4,
半径R=2,
∵CA2+CB2=(2)2+(2)2=8+8=16=(AB)2,
∴△ACB是直角三角形,
∴∠ACB=90°,
即弦AB所对的圆心角的大小为90°,
故选:C.
【点评】本题主要考查圆心角的求解,根据条件求出先AB的长度是解决本题的关键.10.将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,再将图象上所有点向左平移个单位,则所得函数图象的一条对称轴为()
A.B.C.D.
【考点】正弦函数的图象.
【专题】三角函数的图像与性质.
【分析】由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得图象对应的函数解析式,再根据正弦函数的图象的对称性,求得所得函数图象的一条对称轴.
【解答】解:将的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标不变,可得函数y=sin(2x+)的图象;
再把所得图象象左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为y=sin[2(x+)+]=sin (2x+),
令2x+=kπ+,求得x=﹣,k∈z,故所得函数的图象的对称轴方程为x=﹣,k∈z.
结合所给的选项,
故选:A.
【点评】本题主要考查y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题.
11.已知四面体P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=AB,
若四面体P﹣ABC的体积为,则该球的体积为()
A .
B .2π
C .
D .
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】设该球的半径为R ,则AB=2R ,2AC=
AB=
,故AC=
R ,由于AB
是球的直径,所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC ,由此能求出球的体积. 【解答】解:设该球的半径为R ,
则AB=2R ,2AC=AB=
,
∴AC=
R ,
由于AB 是球的直径,
所以△ABC 在大圆所在平面内且有AC ⊥BC , 在Rt △ABC 中,由勾股定理,得: BC 2=AB 2﹣AC 2=R 2,
所以Rt △ABC 面积S=×BC ×AC=
,
又PO ⊥平面ABC ,且PO=R ,四面体P ﹣ABC 的体积为,
∴V P ﹣ABC ==,
即
R 3=9,R 3=3
,
所以:球的体积V 球=×πR 3=×π×3=4
π.
故选D .
【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地化空间问题为平面问题.
12.已知双曲线
﹣
=1 (a >0,b >0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一
个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )
A .
﹣
=1
B .
﹣
=1
C .﹣=1
D .﹣=1
【考点】双曲线的标准方程.
【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程,从而可得双曲线的左焦点,再根据焦点在x
轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程,得a、b的另一个方程,求出a、b,即可得到双曲线的标准方程.
【解答】解:由题意,=,
∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣,双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,
∴c=,
∴a2+b2=c2=7,
∴a=2,b=,
∴双曲线的方程为.
故选:D.
【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上.. 13.曲线y=e﹣x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积为2.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】计算题;方程思想;转化法;导数的概念及应用.
【分析】求函数的导数,利用导数求出函数的切线方程,结合三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:函数的导数f′(x)=﹣e﹣x,
则f′(0)=﹣1,则切线方程为y﹣2=﹣x,即y=﹣x+2,
切线与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,2),
∴切线与直线y=0和x=0围成三角形的面积S=,
故答案为:2
【点评】本题主要考查三角形面积的计算,求函数的导数,利用导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键.
14.已知等比数列{a n}中,a3+a5=8,a1a5=4,则=9.
【考点】等比数列的性质.
【专题】等差数列与等比数列.
【分析】由等比数列的性质可得a1a5=a32=4,解出a3,分别可得q2,而=q4,代入可得答案.
【解答】解:由等比数列的性质可得a1a5=a32=4,
解得a3=2,或a3=﹣2,
当a3=2时,可得a5=8﹣a3=6,q2==3
当a3=﹣2,可得a5=8﹣a3=10,q2==﹣5,(舍去)
∴=q4=32=9
故答案为:9
【点评】本题考查等比数列的性质,涉及分类讨论的思想,属基础题.
15.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为
1.
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.
【专题】数形结合;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
若表示的平面区域为三角形,
由,得,即A(2,0),
则A(2,0)在直线x﹣y+2m=0的下方,
即2+2m>0,
则m>﹣1,
则A(2,0),D(﹣2m,0),
由,解得,即B(1﹣m,1+m),
由,解得,即C(,).
则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC
=|AD||y B﹣y C|
=(2+2m)(1+m﹣)
=(1+m)(1+m﹣)=,
即(1+m)×=,
即(1+m)2=4
解得m=1或m=﹣3(舍).
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积公式是解决本题的关键.
16.已知函数,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是[﹣2,0].
【考点】绝对值不等式的解法;指、对数不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】由题意可得,当x>0时,log2(x+1)>0恒成立,则此时应有a≤0.当x≤0时,|f (x)|=x2﹣2x≥ax,再分x=0、x<0两种情况,分别求得a的范围,
综合可得结论.
【解答】解:由于函数,且|f(x)|≥ax,
①当x>0时,log2(x+1)>0恒成立,不等式即log2(x+1)≥ax,则此时应有a≤0.
②当x≤0时,由于﹣x2+2x 的取值为(﹣∞,0],故不等式即|f(x)|=x2﹣2x≥ax.
若x=0时,|f(x)|=ax,a取任意值.
若x<0时,有a≥x﹣2,即a≥﹣2.
综上,a的取值为[﹣2,0],
故答案为[﹣2,0].
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,对数不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.
(Ⅰ)证明:sinB=cosA;
(Ⅱ)若sinC﹣sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.
【考点】正弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(Ⅰ)由正弦定理及已知可得=,由sinA≠0,即可证明sinB=cosA.
(Ⅱ)由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,可得sin2B=,结合范围可求B,由sinB=cosA及A的范围可求A,由三角形内角和定理可求C.
【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a=btanA.
∴=tanA,
∵由正弦定理:,又tanA=,
∴=,
∵sinA≠0,
∴sinB=cosA.得证.
(Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=,由(1)sinB=cosA,
∴sin2B=,
∵0<B<π,
∴sinB=,
∵B为钝角,
∴B=,
又∵cosA=sinB=,
∴A=,
∴C=π﹣A﹣B=,
综上,A=C=,B=.
【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式的应用,属于基础题.
18.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图
(1)求直方图中x的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则越平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?
【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征.
【专题】计算题;数形结合;整体思想;定义法;概率与统计.
【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得;
(2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得;
(3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数.
【解答】解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;
(2)月平均用电量的众数是=230,
∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,
∴月平均用电量的中位数在[220,240)内,
设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224,
∴月平均用电量的中位数为224;
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25,
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15,
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10,
月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5,
∴抽取比例为=,
∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户
【点评】本题考查频率分布直方图,涉及众数和中位数以及分层抽样,属基础题.
19.在边长为5的菱形ABCD中,AC=8,现沿对角线BD把△ABD折起,折起后使∠ADC
的余弦值为.
(1)求证:平面ABD⊥平面CBD;
(2)若M是AB的中点,求三棱锥A﹣MCD的体积.
【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出AO⊥平面BCD,由此能证明平面ABD⊥平面CBD.(Ⅱ)分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系,利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD 的体积.
【解答】(Ⅰ)证明:菱形ABCD中,记AC,BD交点为O,AD=5,∴OA=4,OD=3,翻折后变成三棱椎A﹣BCD,在△ACD中,
AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC
=25+25﹣2×,
在△AOC中,OA2+OC2=32=AC2,
∴∠AOC=90°,即AO⊥OC,又AO⊥BD,OC∩BD=O,
∴AO⊥平面BCD,
又AO?平面ABD,∴平面ABD⊥平面CBD.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知OA,OC,OD两两互相垂直,分别以OA,OC,OD所在直线为坐标轴建系,
则A (0,0,4),B(0,﹣3,0),C(4,0,0),D(0,3,0),M(0,﹣,2),=(4,,﹣2),=(4,0,﹣4),=(4,﹣3,0),
设平面ACD 的一个法向量=(x ,y ,z ),
则由
,得
,
令y=4,得=(3,4,3),
∵
=(
),∴A 到平面ACD 的距离d=
=
=
.
∵在边长为5的菱形ABCD 中,AC=8,
∴S △ACD =
=12,
∴三棱锥A ﹣MCD 的体积V==
=
.
【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
20.已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2: +
=1(a >b >0)的一个焦点,C 1
与C 2的公共弦的长为2,过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D
两点,且
与
同向.
(Ⅰ)求C 2的方程;
(Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】开放型;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)通过C 1方程可知a 2﹣b 2=1,通过C 1与C 2的公共弦的长为2且C 1与C 2
的图象都关于y 轴对称可得
,计算即得结论;
(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),通过
=
可得(x 1+x 2)2
﹣4x 1x 2=(x 3+x 4)2﹣4x 3x 4,设直线l 方程为y=kx+1,分别联立直线与抛物线、直线与椭
圆方程,利用韦达定理计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)由C 1方程可知F (0,1), ∵F 也是椭圆C 2的一个焦点,∴a 2﹣b 2=1,
又∵C 1与C 2的公共弦的长为2
,C 1与C 2的图象都关于y 轴对称,
高考模拟试卷(四) 一、填空题 1. 已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =( ) A. B. C. D. 2. 复数 在复平面上对应的点位于第( )象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3.已知在等比数列中,,9,则 ( ) A . B .5 C . D .3 4. 若对任意实数,不等式成立,则实 数的取值范围为( ) A. B. C. D. 5. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列,已知,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为( ) A. 80 B. 120 C. 160 D. 200 6. 已知公差不为的正项等差数列中,为其前项和,若, ,也成等差数列,,则等于( ) A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 7. 一个算法的流程图如图所示.若输入的n 是100,则输出值S 是( ) A. 196 B. 198 C. 200 D. 202 8. 已知周期函数是定义在R 上的奇函数,且的最小正周 期为3, 的取值范围为( ) A. B. C. D. {}0,1{}0,2{}1,2{}2,4i i 4321+-{}n a 11=a =5a =3a 5±3±[] 1,1p ∈-()2 330px p x +-->x ()1,1-(),1-∞-()3,+∞() (),13,-∞-+∞}{n a 122a a =0{}n a n S n 1lg a 2lg a 4lg a 510a =5S )(x f )(x f ,2)1( 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1.能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性; 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点 等),理解正切函数在区间??? ?-π2,π2内的单调性. 【热点题型】 题型一 三角函数的定义域、值域 【例1】 (1)函数y =1 tan x -1 的定义域为____________. (2)函数y =2sin ??? ?πx 6-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1 D .-1-3 解析 (1)要使函数有意义,必须有???? ?tan x -1≠0,x ≠π2+kπ,k ∈Z , 即? ??x ≠π 4+kπ,k ∈Z ,x ≠π 2+kπ,k ∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z}. (2)∵0≤x≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π 6, ∴sin ????π6x -π3∈???? ??-32,1. ∴y ∈[]-3,2,∴ymax +ymin =2- 3. 答案 (1){x|x≠π4+kπ且x≠π 2+kπ,k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型: ①形如y =asin x +bcos x +c 的三角函数化为y =Asin(ωx +φ)+k 的形式,再求最值(值域);②形如y =asin2x +bsin x +c 的三角函数,可先设sin x =t ,化为关于t 的二次函数求值域(最值);③形如y =asin xcos x +b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设t =sinx±cos x ,化为关于t 的二次函数求值域(最值 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何(含答案解析) 1.(2020·河南省实验中学高三二测(理))现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合,其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -,如图所示,已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=,三棱锥的外接球的表面积为4π,该三棱锥的体积的最大值为 ( ) A 3 B .36 C 3 D 3 2.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( ) A .16 B .163 C .163 D .1283 3.(2020·湖南省长沙市明达中学高三二模(理)关于三个不同平面,,αβγ与直线l ,下列命题中的假命题是( ) A .若αβ⊥,则α内一定存在直线平行于β B .若α与β不垂直,则α内一定不存在直线垂直于β C .若αγ⊥,βγ⊥,l αβ=I ,则l γ⊥ D .若αβ⊥,则α内所有直线垂直于β 4.(2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟(理))榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明, 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑,同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城,山西悬空寺,福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构,榫卯结构 中凸出部分叫榫(或叫榫头),已知某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积是( ) A .36 B .45 C .54 D .63 5.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .83π3 B .4π1633 C 16343π+ D .43π1636.(2020·江西省名高三第二次大联考(理))在平面五边形ABCD E 中,60A ∠=?,63AB AE ==BC CD ⊥,DE CD ⊥,且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起,使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?,则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为( ) A .63π B .84π C .252π D .126π 7.(2020·陕西省西安中学高三三模(理))某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)化简? --???-160cos 120cos 20cos 20sin 212 得 ( ) (A ) ?-40sin 1 (B ) ? -?20sin 20cos 1(C )1 (D )-1 (2)双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是(0,-3),则k 的值是 ( ) (A )1 (B )-1 (C )3 15 (D )-3 15 (3)已知)(1 x f y -= 过点(3,5),g (x )与f (x )关于直线x =2对称, 则y =g (x )必过 点 ( ) (A )(-1,3) (B )(5,3) (C )(-1,1) (D )(1,5) (4)已知复数3)1(i i z -?=,则=z arg ( ) (A )4 π (B )-4 π (C )4 7π (D )4 5π (5)(理)曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4 cos(=+πθρ的距离为1,则r 属于集合 ( ) (A )}97|{< 线的夹角 在)12 ,0(π内变动时,a 的取值范围是 ( ) (A )(0,1) (B ))3,3 3 ( (C ))3,1( (D ) )3,1()1,3 3 ( Y 6.半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上,一阵风吹倒它,它的最高处距桌面( ) (A )4cm (B )2cm (C )cm 32 (D )cm 3 7.(理))4sin arccos(-的值等于 ( ) (A )42-π (B )2 34π- (C )423-π (D )4+π (文)函数2 3cos 3cos sin 2- + =x x x y 的最小正周期为 ( ) (A )4 π (B )2 π (C )π (D )2π 8.某校有6间电脑室,每晚至少开放2间,则不同安排方案的种数为 ( ) ①26C ②66 56 46 36 2C C C C +++③726- ④26P 其中正确的结论为 ( ) (A )仅有① (B )有②和③ (C )仅有② (D )仅有③ 9.正四棱锥P —ABCD 的底面积为3,体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点, 则PA 与BE 所成 的角为 ( ) (A )6 π (B )4 π (C )3 π (D )2 π 湖南省 2019 年普通高等学校对口招生考试 数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分4页,。共时量120分钟,满分120分。 一、选择题(本大题10共小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合,,且,则 A. B. C. D. 解:。选C。 2.“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解:“”时必有“”,反之不然。选A。 3.过点且与直线平行的直线的方程是 A. B. C. D. 解:,故,即。选D。 4.函数的值域为 A. B. C. D. 解:∵单调,又,∴,即,选B。 5.不等式的解集是 A. B. C. D.或 解:方程两根为,开口向上,小于取中间,选C。 6.已知,且为第二象限角,则 A. B. C. D. 解:为第二象限角,,。选D。 7.已知为圆上两点,为坐标原点,若,则 A. B. C. D. 解:如图,,,勾股定理,,。选B。 8.函数(为常数)的部分图象如下图所示,则 A. B. C. D. 解:最大值为,最小值为,故,选A。 9.下列命题中,正确的是解:不多讲,选D。 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.垂直于同一个平面的两个平面平行 C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则该直线与平面平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则必与另一个垂直 10.已知直线:(为常数)经过点,则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 解:∵过点,∴,即. 又,即,∴,。选A。 二、填空题(本大题5共个小题,每小题4分,共20 分) 11.在一次射击比赛中,某运动员射次击的成绩如下表所示: 单次成绩(环)78910 次数4664则该运动员成绩的平均数是(环)。 解: 12.已知向量,,,且,则。 解:∵,∴,∴. 13.已知的展开式中的系数为10,则。 解:∵。令得. ∴。 ∴,. 14.将三个数分别加上相同的常,数使这三个数依次成等比数列,由。 解:∵,,∴. 15.已知函数为奇函数,为偶函数,且,则 。 解:∵,又由奇偶性得:。 ∴. 三、解答题(本大题7共个小题,其中第21、22小题为选做题。满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 16、(本小题满分10分) 已知数列为等差数列,,。 (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设,数列的前项和为,求。 解:(Ⅰ)设公差为,则,∴. ∴数列的通项公式为. (Ⅱ)∵, ∴. 17、(本小题满分10分) 件产品中有件不合格品,每次取一件,有放回地取三次表。示用取到不合格品的次数。求:(Ⅰ)随机变量的分布列; (Ⅱ)三次中至少有一次取到不合格品的概率。 解:(Ⅰ)有放回,每次取得不合格品的概率为,为伯努利概型。取三次, ∴随机变量服从二项分布,即。的所有可能取值为。 ∴,, ,。 ∴随机变量的分布列为: (Ⅱ)三次中至少有一次取到不合格品的概率为 。 F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?= A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 2020全国各地模拟分类汇编(文):集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1.“lg lg x y >”是“1010x y >”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M , )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I ( ) A .}21||{<≤x x B .}20||{<高考数学模拟复习试卷试题模拟卷20144
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