直线和双曲线的位置关系
一、要点精讲
1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.
2．弦长公式：设直线b kx y +=交双曲线于()111,y x P ，()222,y x P ，
则
()2122122
2121411x x x x k k
x x P P -+?+=+-=，
或()()041
111212212
22121≠-+?+=+-=k y y y y k k y y P P ．
二、基础自测 1．经过点??
?
??2,21P 且与双曲线1422=-y x 仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条 2．直线y= kx 与双曲线1642
2
=-y x 不可能（ ）
（A ）相交 （B ）只有一个交点 （C ）相离 （D ）有两个公共点
3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线
19
162
2=-x y 的通径长是 (A)
49 (B) 2
9
(C) 9 (D) 10 4．若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切 5．经过双曲线82
2
=-y x 的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 ．
6．直线l 在双曲线12
32
2=-y x 上截得的弦长为4，且l 的斜率为2，求直线l 的方程． 三、典例精析
题型一：直线与双曲线的位置关系
1. 如果直线1-=kx y 与双曲线42
2
=-y x 没有公共点，求k 的取值范围．有两个公共点呢？
解，所以△=2
()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a
+===+=，故选D.
2．(2010·安徽)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ( ) A.
151533?- ?? B.150,3?
?? C.153??- ? ??? D.15
13??-
- ? ??
?
解：由???
??
y ＝kx ＋2，
x 2－y 2＝6
得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，∴
()()222
1212
10
1641100
00k k k x x x x ?-≠??=--?->??+>??>?，解得－153
1725 x y -=有且只有一个公共点的直线有几条， 分别求出它们的方程。 题型二：直线与双曲线的相交弦问题 4. 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求⑴AB ；⑵AB F 2?的周长（2F 为双曲线的右焦点）。 5. 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 6. 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由． 7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为 21 3 的双曲线经过点 (6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）动直线l 经过12A PA ?的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。 题型三： 求双曲线方程 8. 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 9、设双曲线()01:2 22>=-a y a x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B. ⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12 5 = ，求a 的值。 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2 a 2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ① 由题设条件知， ??? 1－a 2≠04a 4＋8a 21－a 2>0 ，解得0 a ＝1 a 2 ＋1， ∵0 6 2 且e≠ 2. (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0,1)． ∵PA →＝512PB → ， ∴(x 1，y 1－1) ＝512(x 2，y 2－1)．∴x 1＝5 12 x 2， ∵x 1、x 2是方程①的两根，且1－a 2 ≠0， ∴1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 2 2 ＝ －2a 2 1－a 2 ， 消去x 2得，－2a 21－a 2＝28960 ， ∵a>0，∴a ＝17 13. 10. 已知双曲线的焦点为()0,1c F -，()0,2c F ，过2F 且斜率为5 3 的直线交双曲线于P 、Q 两点，若OQ OP ⊥ (其中O 为原点）， 4=PQ ，求双曲线方程。 11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1 l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB u u u r u u u r u u u r 、 、成等差数列，且BF u u u r 与FA uu u r 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得： 222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4 tan tan 23 AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2 2 431b a b a =?? - ??? ，解得12b a =,则离心率5e = （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b -=联立，将2a b =，5c b =代入， 化简有 22155 2104x x b b -+= 2 22 121212411()4a a x x x x x b b ????????=+-=++-?? ? ??? ???????? 将数值代入，有2 232528454155b b ?? ????=- ? ????? ?? 解得3b = 故所求的双曲线方程为22 1369 x y -=。 12、已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(b >a >0)，O 为坐标原点，离心率e ＝2，点M (5， 3)在双曲线上． (1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且0=?. 求1|OP |2＋1|OQ |2 的值． 解： (1)∵e ＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，双曲线方程为x 2a 2－y 23a 2＝1，即 3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，∴15－3＝3a 2.∴a 2＝4. ∴所求双曲线的方程为x 24－y 2 12 ＝1. (2)设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立x 24－y 2 12 ＝1，得 2 2222123123x k k y k ?=??-??=?-? ∴|OP |2＝x 2＋y 2 ＝12k 2＋13－k 2. 则OQ 的方程为y ＝－1k x ， 同理有|OQ |2 ＝22 112113k k ? ?+ ???-＝12k 2＋13k 2－1， ∴1|OP |2＋1|OQ |2＝3－k 2＋3k 2－112k 2＋1＝2＋2k 2 12k 2＋1＝1 6 . 13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1. (1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积； (2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值． 解：(1)双曲线C 1：22 112 x y -=，左顶点A 2?? ? ??? ，渐近线方程为：y ＝±2x . 过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为2y x ? =+ ??? ，即y ＝2x ＋1. 解方程组1 y y ?=??=+?? ，得412 y y ?=-??? ?=??. ∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝ 2 8 . (2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b | 2 ＝1，即b 2＝2. 由2221y x b x y =+??-=?得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则122 1221x x b x x b +=??=--? 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP OQ ?u u u r u u u r ＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝ b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ . (3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝2 2，则O 到直 线MN 的距离为 33 . 当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ( 显然2 k > )， 则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由2241y kx x y =??+=?得2 2 222144x k k y k ?=??+??=?+? ∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2 ＝1＋k 2 2k 2 －1 . 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2 ＋|ON |2 )d 2 ＝|OM |2 |ON |2 ， ∴1d 2＝1|OM |2＋1 |ON |2＝3k 2＋3k 2＋1 ＝3， 即d ＝ 33 . 综上，O 到直线MN 的距离是定值． 五、能力提升 1．若不论k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线12 2 =-y x 总有公共点，则b 的取值范围是（ ） (A) ( ) 3,3- (B)]3,3[- (C) ()2,2- (D) []2,2- 2．过双曲线12 2 2 =-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线l 有（ ） (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 3．过点??? ? ? --a b P ,1的直线l 与双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 有且仅有一个公共点，且这个 公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（ ） (A)2 (B)4 (C) 1或2 (D) 2或4 4. 已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为ο 45的直线与双 曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） (A) (1，2] (B)（1，2) (C) [2，+∞) (D) (2，+∞) 6．直线2:+=kx y l 与双曲线6:2 2 =-y x C 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是 ． 7. 已知倾斜角为 4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程． 8. 设直线 13:-=x y l 与双曲 线于 ()0,012222>>=-b a b y a x 相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标为21 ． (1)求22 b a 的值；(2)求双曲线离心率． 9. 已知双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ， 左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中 项？ 18.直线与双曲线的位置关系 教学目标 班级_____姓名________ 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.掌握双曲线中弦长问题的解法. 教学过程 一、直线与双曲线的位置关系. 1.直线与双曲线的位置关系. （1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上； ②有一个交点；（直线与渐近线平行时） （2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切） （3）相离：直线与双曲线无交点. 2.分析直线与双曲线的位置关系. （1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点） （2）通过?分析.（注意特殊情况） 3.弦长公式. 设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则 （1）2122124)(1||x x x x k AB -+?+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）； （2）2122124)(11||y y y y k AB -+?+ =（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系. 例1：已知双曲线C ：122 2 =-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点. 2.双曲线中的弦长问题. 例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长. 作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程. 直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2 直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。 【巩固练习】 一、选择题 1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( ) A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22 212 x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在 3．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D. 14 5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题 7．已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条． 9．已知双曲线22 221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线22 1916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1 ，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线 的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222 =+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 13．设双曲线22 22b y a x -=1（0 直线与圆锥曲线的位置关系 ●知识梳理 本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式. ●点击双基 1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况. 答案：B 2.已知双曲线C ：x 2－4 2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D 3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 A.（－∞，0） B.（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：数形结合法，与渐近线斜率比较. 答案：C 4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________. 解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2 2)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(42 22 -++k k k =8， ∴k 2=1. ∴△OAB 的重心的横坐标为x = 3 021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9 2y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________. 解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）， 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－) (42121y y x x ++= 直线和双曲线的位置关系 一、要点精讲 1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 2．弦长公式：设直线 y kx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ， 则 P 1P 2 x 1 x 2 1 k 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4x 1 x 2 ， 或 P 1P 2 y 1 y 2 1 1 1 1 y 1 y 2 2 4y 1 y 2 k 0 ． k 2 k 2 二、基础自测 1．经过点 P 1 ,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） 2 (A)4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （ A ）相交 （ B ）只有一个交点 （ C ）相离 （ D ）有两个公共 点 3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 (B) 9 (C)9 (D)10 4 2 4 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数 为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与 双曲线不是相切 5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长 是． 6．直线l在双曲线x 2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？ 解，所以△ =(b )240 ，所以 b 2 ，e c a2b2 1 ( b )2 5 ，故选D. a a a a a 2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.15 ,15 B. 0,15 C.15 ,0 D.15 ,1 33333 y＝kx＋ 2， 1k 20 2216k2 4 1k210 0 解：由 得 (1－ k )x －－＝，∴，解 x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20 x1x20 15 得－3 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论 直线与双曲线的位置关系 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题； 3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 【高清课堂：双曲线的性质 371712一、复习】 要点一、双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义 在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数2a （a 大于0且122a F F <）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 双曲线的标准方程： 焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 说明：焦点是F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)，其中c 2=a 2-b 2 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 22 221(0,0) x y a b a b -=>>2 2 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 说明：焦点是F 1(0，-c)、F 2(0，c)，其中c 2=a 2-b 2 要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b 的值. 要点二、双曲线的几何性质 标准方程 22 2 21x y a b -=(0,0)a b >> 22 2 21y x a b -=(0,0)a b >> 图形 性质 焦点 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c 焦距 2212||2()F F c c a b ==+ 2212||2()F F c c a b ==+ 范围 {}x x a x a ≤-≥或，y R ∈ {}y y a y a ≤-≥或，x R ∈ 对称 性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 轴 实轴长=a 2，虚轴长=2b 离心率 (1)c e e a = > 渐近线方程 x a b y ± = a y x b =± 要点三、直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系 将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22 221x y a b -=(0,0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 今天我们介绍双曲线的焦点弦。如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么 这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。 先看例题： 例：设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点 的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。 解： （1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) , 双曲线方程22 221x y a b -=可化为2222220b x a y a b --=……①， 将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得， ()2 2 222222222()0a k b x a ck x a c k b -++-+=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，22 1222 2 2,a ck x x a k b +=- 当b k a > 时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴22221212222 2(1) ||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b +=+=-+-=+-=-， 图1 当0b k a ≤< 时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是 图2 22222112222 2(1) ||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k +=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直, 22 2||2()a b AB c e c a =-= 当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的. 若直线l 的倾斜角为θ，则有： 2 2222|cos | ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 整理： 设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直 线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有： 2 2222|cos | ab AB a c θ=-……焦点弦长公式 特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，2 2=b AB a 。 再看一个例题，加深印象： 例：过双曲线2 2 4-=x y 的右焦点F 作倾斜角为150的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。 【巩固练习】 一、选择题 1.平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( ) A ．双曲线 B ．线段 C ．射线 D ．不存在 2．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 3．双曲线2233x y -=的渐近线方程是 A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 4. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 6.双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝2 ，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( ) A ． B ． C ． D ．8 二、填空题 7．已知双曲线 22 1 124 x y -=的右焦点为 F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 8．过点P(3,0)的直线l与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线l共有________条．9．已知双曲线 22 22 1 x y a b -=(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线离心率e的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线 22 1 916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11．设双曲线C：1 : )0 (1 2 2 2 = + > = -y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A、B；求双曲线C的离心率e的取值范围： 12．设双曲线 2 2 2 2 b y a x -=1（0 襄阳一中 2013届 高二数学 学科学导案 学习时间 2012年2月 日 学案编号 学习内容 直线与双曲线位置关系 主笔人 宋华 审核人 包雪 学 习 目 标 1.掌握直线与双曲线位置关系． 2．掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的 轨迹方程. 知 识 结 构 学 习 方 法 直线与双曲线位置关系 探究，观察，归纳总结 学习过程 不看不讲 不议不讲 不练不讲 知识回顾 （1）：直线与椭圆的位置关系有几种？ （2）：如何判断直线与椭圆的位置关系？ （3）：弦长公式 【探究与思考1】 1直线与双曲线的位置关系有几种？ 2如何判定直线与双曲线的位置关系？ 类型一 直线与双曲线的交点问题 [例1]求直线1-=kx y 与双曲线 422=-y x 在下列条件下k 的取值范围? ⑴无交点 ⑵一个交点 ⑶两个交点 类型二 弦长问题 [例2] 过双曲线x 2－y 2 3 ＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π 6 的弦AB ，求|AB|的长． 【探究与思考2】 如何求弦长|AB|？ ()22 22 1 0x y a b a b +=>> 类型三 中点弦问题 例：已知双曲线2 2 31x y -=，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A 、B 两点．若P 为AB 的中点， (1)求直线AB 的方程； (2)求弦AB 的长． 变式：已知双曲线方程221 12 x y -=，试 问过点A(1,1)能否作直线了，使与双曲线交于两点P 1P 2且A 是线段P 1P 2中点，这样的直线存在吗？若存在，求出它的方程。若不存在，说明理由。 【探究与思考3】 椭圆的中点弦问题用什么方法解决？这里的解决方法一样吗？ 课堂检测 1已知双曲线方程为x 2－y 2 4 ＝1，过P(1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长为________． 3．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________． 4设双曲线C ：x 2 a 2－y 2＝1(a>0)与直线l ： x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范 围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA → ＝5 12PB →，求a 的值． 5已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ， 且OA →·OB → >2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 课堂小结： 通过本节课学习,你有那些收获？ 直线与圆锥曲线的位置关系 一.选择题 (1)与直线2x-y+4=0平行的拋物线y= x 2的切线方程是 ( ) A 2x -y+3=0 B 2x -y -3=0 C 2x-y+1=0 D 2x-y-1=0 (2) 椭圆2 2 x + y 2 = 1的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P, 则 | 2 PF | = ( ) A. 2 3 B. 3 C. －57 D. 4 (3) 设双曲线122 22=-b y a x (0 直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP = 1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2 k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2 >0，2k 2－2>0. 解得k 的取值范围是－2 学习必备 欢迎下载 直线和双曲线的位置关系 1．经过点 P 1 ,2 2 (A)4条 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） (B)3条 (C)2条 (D)1条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （A ）相交 （ B ）只有一个交点 （C ）相离 （ D ）有两个公共点 3 ．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做 双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 9 (C) 9 (D) 10 4 (B) 2 4．若一直线 l 平行于双曲线的一条渐近线，则 l 与双曲线的公共点个数为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点， 应注意直线与双曲线不是 相切 5 ． 经 过 双曲 线 x 2 y 2 8的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长 是 ． x 2 y 2 4，且 l 的斜率为 2，求直线 l 的方程． 6．直线 l 在双曲线 1上截得的弦长为 3 2 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1. 如果直线 y kx 1 与双曲线 x 2 y 2 4 没有公共点，求 k 的取值范围．有两个公共点 呢？ 解，所以△ = (b ) 2 4 0 ， 所以 b 2 ， e c a 2 b 2 1 ( b )2 5 ，故选 D. a a a a a 2． (2010 安·徽 )若直线 y ＝ kx ＋2 与双曲线 x 2－y 2 ＝ 6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范 围是 ( ) A. 15 , 15 B. 0, 15 C. 15 ,0 D. 15, 1 3 3 3 3 3 1 k 2 0 解：由 y ＝ kx ＋2， 得 (1－ k 2)x 2－4kx － 10＝0，∴ 16k 2 4 1 k 2 10 x 2－ y 2＝ 6 ，解得 x 1 x 2 0 x 1 x 2 0 15 － 3 直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系． 2．圆锥曲线的弦长 / 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝ ||a ?，|y 2－y 1|＝| |a ? 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解． (1)点差法 设而不求，借用中点公式即可求得斜率． (2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0 ； （ 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0 ； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0 . 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用 例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条 变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________． 。 题型二 中点弦问题 例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________． 变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________． 题型三 弦长问题 例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． ] 课堂练习 1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________． 2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________． ` 3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________． 4．(四川文)过双曲线x 2－ y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线， 交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________． 5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________． ! 直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 －4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2+bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 弦长公式：12||PP =1212x y -=-（k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 －2)>0，－2k k 2－2>0， 2 k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2 直线与圆锥曲线的位置关系 一．知识网络结构： ?? ? ???? ?? ??? ?繁琐） 利用两点间距离公式（ 易）利用一般弦长公式（容 弦长问题直线与圆锥曲线相交的系） 直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的 几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线 )(.1 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若0≠a ，设ac b 42-=?。a .0>?时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.0=?时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.0 今天我们研究过双曲线上一点的切线方程。过椭圆C:22 221x y m n +=(m>n>0)上一点Q(x 0,y 0) 的切线方程为00221x x y y m n +=。对于双曲线122 22=-b y a x ,可以利用导数的几何意义求得经过双 曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程是12020=-b y y a x x 。 先看例题： 例：已知双曲线的方程是122 22=-b y a x ,求经过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程。 解:由122 22=-b y a x 求导数得02222=' ?- b y y a x 假设y ≠0，则y a x b y 22=' 由导数的几何意义知过点M （x 0，y 0）的切线的斜率为k =020 2y a x b 故所求切线方程为y -y 0=0 20 2y a x b (x -x 0) 化简得2 22020202y a x b y y a x x b -=- 又点M （x 0，y 0）在双曲线12222=-b y a x 上 ∴122 0220=-b y a x 即222 02202b a y a x b =- 所以切线方程为220202b a y y a x x b =- 即12020=-b y y a x x (可验证对y 0=0此方程也适用) 整理： 双曲线122 22=-b y a x ,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 12020=-b y y a x x ； 双曲线22 221y x a b -=,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 00221y y x x a b -=。 再看一个例题，加深印象： 例：设双曲线 C ：2 213 x y -= 上点 P ) . 求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程. 解: 12020=-b y y a x x 1l y -= 总结： 1.双曲线122 22=-b y a x ,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 12020=-b y y a x x ； 2.双曲线22 221y x a b -=,过双曲线上一点M （x 0，y 0）的切线的方程: 00221y y x x a b -=。 练习： 1.设双曲线 C ：2 2 x 2y 1-= 上点 P ) . 求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程. 2.过点P (3),1作双曲线 C ：2 2 x y 1-= 的两条切线，切点分别为A ，B ， 求直线AB 的方程. 答案： 1. 解 12 y = 210y --=。 直线与双曲线的位置关系 xx 中学 教者xxx 教学目标: 1、知识目标: 直线与双曲线的位置关系。 2、能力目标: 深化双曲线性质,提高分析问题,解决问题的能力。 3、德育目标: 事物之间即有区别又有联系的辩证观点。 教学重点: 直线与双曲线的位置关系及判断方法。 教学难点: 学生解题综合能力的培养。 教学时数: 两课时 教学方法: 启发式 教学过程: 一、课题导入 回忆直线与椭圆的位置关系及判断方法(将直线方程代入椭圆方程中 得到一个一元二次方程,然后用判别式来判断)。 二、讲授新课 通过观察第一组动画演示,学生能够直观的发现直线与双曲线的位 置关系： 相离:没有公共点。 相切:有一个公共点。 相交:有两个公共点。 通过观察第二组动画演示,使学生能够发现，当直线与双曲线的渐 近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点。 练习：判断直线x y 2 1=与双曲线322=-y x 的位置关系。 例：已知直线l :1+=kx y ,双曲线422=-y x 。问k 取何值时，直 线与双曲线相交、相切、相离？ 分析：结合前面观察的结果和直线与椭圆位置关系的判断方法引导学生将 直线方程代入双曲线方程中，得到一个方程,研究方程解的情况。 解： 结论：直线与双曲线的位置关系的判断方法：把直线方程与双曲线方程 联立，消去x （或y ）后得到一个方程。若方程的二次项系数不 为零，则方程为一元二次方程。此时，当⊿ ＞0时，直线与双曲 线相交；当⊿=0时，直线与双曲线相切；当 ⊿＜0时，直线与双 曲线相离。若方程的二次项系数为零，则方程为一元一次方程。 此时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相交，只有一个 公共点。 得由???=-+=4122y x k x y 052122=---kx x k ）（。是它们只有一个公共点直线与双曲线相交，但平行与双曲线的渐近线时，直线，即：当,101)1(2l k k ±==-时，即当101:)2(2±≠≠-k k 2016)1(20)2(222+-=-+=?k k k ()个公共点。线与双曲线相交，有两时，直且，即125250102016:22±≠<<-???≠->+-=?k k k k a ()切，只有一个公共点。时，直线与双曲线相，即250102016:22±=???≠-=+-=?k k k b ()曲线相离，无公共点。 时，直线与双或，即25250102016:22>-
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