第5章 三铰拱和悬索
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结构力学5三铰拱
Q
M
N
R
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N， 显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1
作用线
P2
G
rD k2 C D
P3
H
F
A
（1）确定各截面合力的 大小和方向： 数解 RA RB
绘力多边形
k1
k3
B
射线
RA
大小和方向 o
特征方程为：
2
2
H
0
x
H
H
H
y C1e
C2 e
x
H H qc y a , 代入原方程， a 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H qc x 0 , y 0 A 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2 N sin
d 0 2 N qR
q Rd N d 0RFra bibliotekN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设 填土的容重为，拱所受的分布荷载为 [解]由拱截面弯矩计算式
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 15 . 7.5 3
15 . kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
M
N
R
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N， 显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1
作用线
P2
G
rD k2 C D
P3
H
F
A
（1）确定各截面合力的 大小和方向： 数解 RA RB
绘力多边形
k1
k3
B
射线
RA
大小和方向 o
特征方程为：
2
2
H
0
x
H
H
H
y C1e
C2 e
x
H H qc y a , 代入原方程， a 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H qc x 0 , y 0 A 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2 N sin
d 0 2 N qR
q Rd N d 0RFra bibliotekN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设 填土的容重为，拱所受的分布荷载为 [解]由拱截面弯矩计算式
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 15 . 7.5 3
15 . kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
结构力学5三铰拱课件
拱架搭设
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
根据设计要求，选用合适的材料搭设拱架；
施工流程与工艺要求
02
01
03
拱体安装
按照从两端向跨中的顺序，对称安装拱体构件；
拱顶合拢
在拱顶设置临时支撑，确保拱体稳定；
施工监测
对施工过程进行实时监测，确保施工安全和质量。
施工流程与工艺要求
工艺要求 拱架搭设应符合设计要求，确保稳定性和承载力；
拱体安装应保证构件对接准确，避免出现错位和扭曲；
施工流程与工艺要求
01
临时支撑设置应合理，确保拱体 在合拢过程中保持稳定；
02
施工监测应实时进行，及时发现 和解决施工中的问题。
安装方法与注意事项
安装方法 采用分段吊装法，将拱体分成若干段，分别吊装到位；
对接安装时，应保证对接位置准确，避免出现错位和扭曲；
安装方法与注意事项
• 合拢时，应设置临时支撑，确保拱体稳定。
结构力学5三铰拱课件
目
CONTENCT
录
• 三铰拱概述 • 三铰拱的力学分析 • 三铰拱的设计与计算 • 三铰拱的施工与安装 • 三铰拱的维护与加固
01
三铰拱概述
定义与特点
定义
三铰拱是一种静定结构，由两个 固定端和三个铰链支承构成。
特点
拱顶在竖向荷载作用下主要承受 压力，并通过铰链传递水平推力 ，保持拱的平衡。
保持三铰拱的清洁，避免 积尘、腐蚀等影响其使用 寿命的因素。
紧固与润滑
对三铰拱的连接部位进行 紧固，对活动部位进行润 滑，确保其正常运转。
常见问题与处理方法
1 2
结构损伤
如发现三铰拱出现裂纹、变形等损伤，应立即采 取措施进行修复或更换。
连接松动
三铰拱
二、应用虚功原理求解静定结构的约束力
P A a X A C B a b C B b P
p
x
X
将求约束力的问题转化为求平衡力的问题
F
FP 2
E
2a
D
FP1
C 2a
B a
A
a
FP 2
a
FP1
A
FX
1
FX
x
M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
qc
x
x
shx chx
e x chx shx
dx
而 q x qc y, 即
y
H
d y 1 qc y 2 dx H
特征方程为：
y
qc , H
2
H
0
x
q y C q B l/2 B x A
A
l/2
f
M x [解] 由式 y x H
ql 2
x
ql 2
先列出简支梁的弯矩方程
q M x x l x 2
拱的推力为：
M C ql 2 H f 8f
注意
*合理轴线对应的是
一组固定荷载； *合理轴线是一组。
所以拱的合理轴线方程为：
设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束的无限小 刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
两种应用:
X X
虚设位移—虚位移原理求静定结构内力。 虚设力系—虚力原理求刚体体系的位移。 P P
X
A
a
C b RC
B
P
拱和悬索
2． 类型——按推力由谁承受
拱是有推力的结构，拱脚支座应能可靠地传递和承受水平推力，否
则拱的结构性能将无法保证。
（1） 推力由拉杆承受——拉杆拱
拉杆中的拉力==水平推力H，则支承拱的砖墙或柱不受推力。
拉杆截面：
给排水实验室
拉杆落地拱
型钢：H大时
当地质条件不好
圆钢：H小时
时，较为经济
（2）推力通过刚性水平结构集中传递给拉杆
2、类型 组成 索网 边缘构件 下部支撑结构
3、适用范围——大跨 用于L>=60m的建筑物 L=（100~150）m，经济合理 受力合理，施工方便，节约材料，造型美观
4、悬索结构（屋盖）的刚度及屋面构造 （1） 屋盖的刚度和稳定 悬索是悬挂的柔性索网，故结构的刚度及稳定性较差。
吸力s=-1.6~-1.9
三铰拱：均布竖向荷载 合理轴线：抛物线
三铰拱垂直于拱轴上的均布压力 合理轴线：圆弧线
实际工程中，只能根据某种主要荷载确定合理拱轴，一般采用抛物
线，使M尽可能小。
（2） 拱的矢高f
影响合理拱轴形状——建筑外形
影响拱身轴力N
影响拱脚推力H的大小，三铰拱时：
受力合理
H=Mc0/f
屋盖结构:一般取f=L/5~L/7，且应>=L/10，f小，H大。
首先
H
水平屋盖结构
两端拉杆（内部无拉杆）
（3）推力由侧面框架结构承受
崇文门菜市场
（4）推力由基础直接承受
当地质条件好时可采用，此时基础尺寸大，材料用量多。
3． 拱轴的形式
（1） 合理轴线——在某种荷载作用下，使拱处于M=0状态的拱 轴曲线，称为拱的合理轴线。不同的结构型式、不同的荷 载作用，合理轴线不同。
三铰拱PPT课件
F B
FS
FN FQ0sin FS cos
I
l/2
FVB
.
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。
解： (1) 计算支座反力
F H 0 , F V A F V 0 A , F V B F V 0 B
(2)计算拉杆内力：F S
M
0 C
f
(3)计算拱身内力
q
y FH
A FVA
受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三
铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
.
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
.
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。 第一步，作合力多边形
• 第二步，确定各截面合力的作 用线。
• 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。 压力线应通过A、B、C三个 铰的铰心。
第五章 三铰拱（ three-hinged arch ）
.
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
.
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge）
.
5三铰拱
（1）计算支座反力
VA VA
26983 11kN 12 2 6 38 9 VB VB 9 kN 12
（2）内力计算
y2
以截面2为例
4f 44 x l x 312 3 3m l2 12 2
dy dx
x 3
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
(b)带拉杆三铰拱
§5-1
三铰拱的支座反力和内力
一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1
d P1 a2
D
b1
c
f l2
b2
P2
HB
MA 0
1 VB Pa 1 1 P 2 a2 l
VB VB
VA VA
HA
y
MB 0
VA
x
VA
1 Pb 1 1 P 2b2 l
H
y C1e
C2 e
x
-26-
H H qc y a , 代入原方程， a 设其特解 q y x A ch x B sh x c H H qc x 0 , y 0 A 设 x 0, y 0 B 0 q y c ch x 1 悬链线 H
30 x 20( x 2) 1 y2 x2 20 2
CB段(4,8)：
30x 20( x 2) 10( x 4) 2 / 2 1 2 5 y3 x x2 20 4 2
由各段的拱轴方程，可绘出该拱的合理拱轴。
例3、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。
l1
05三铰拱和悬索
结构力学电子教程
5 三铰拱和悬索
【例5.2】 求三铰拱在沿水平方向均匀分布竖向荷载作 用下的合理拱轴线。
【解】
M y H
0
MC0 H f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
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5 三铰拱和悬索
（1）在沿水平线均匀 分布的竖向荷载作用下 ，三铰拱的合理轴线为 二次抛物线。
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5 三铰拱和悬索
b. 截面D的内力
0 MD MD HyD =12 3-10.5 3 4.5kN m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 QD左 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 左 cos D H sin D (-2） 0 ND左 QD (0.555)-10.5 0.832 9.85kN 左 sin D H cos D =-(-2） 0 QD右 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 右 cos D H sin D =(-12） 0 ND右 QD (0.555)-10.5 0.832 15.4kN 右 sin D H cos D -(-12）
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5 三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
结构力学电子教程
5 三铰拱和悬索
5.4 三铰拱的受力特性
一、三铰拱的受力特征：
0 0 VA VA VB VB ，与拱轴线形状及拱高无关。 （1）竖向反力， （2）H M C 0 推力只与三铰位置及荷载有关，与拱轴线无关。 f f 大，H 小。 （3）在竖向荷载作用下，拱截面上有轴力，轴力较大，是拱的 0 主要内力。 N Q sin H cos
《结构力学》第4章-三铰拱和悬索结构的受力分析
【例4-1】已知拱轴线方程
y
4f l2
x(l x)
，试作图示三铰
拱的内力图。
q=10kN/m FP=40kN
解： (1) 计算支座反力
y FH=60kN A
C E E
D
f=4m
yE
B FH=60kN
x
FV A
FV0A
40 4
10 8 12 16
70
kN（ ）
FVA=70kN
4m
4m
4m
4m FVB=50kN
l
FP2 B
l/2 FV0B
FP1
A
K M0
FQ0 FV0A
2022年4月4日星期一
9
4.2 三铰拱的内力计算
小结
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
M M 0 FH y
FQ FQ0 cos FH sin FN FQ0 sin FH cos
(2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项），拱与相当 简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，使拱 能更充分地发挥材料的作用。
顶 拱高
身
拱 趾
f
起拱
线 跨度l
二铰拱
三铰拱
2022年4月4日星期一
无铰拱
4
4.1 拱结构的形式和特性
2.带拉杆的拱结构
拉杆
拉杆
拉杆
4.1.3 拱结构的力学特性
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷 载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪 力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将 增大。因此，在竖向荷载作用下，拱结构主要承受压 力。
FVA l/2
结构力学——组合结构-三铰拱ppt课件
（A,B,C三铰在一直线上，成为几何瞬变体。）
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
5. 拱和悬索
–
2. 拱身的截面形式与尺寸
• 钢拱 – 实体 ：h＝l/80～l/50 – 格构式 ：h＝l／60～l/30 钢筋混凝土拱 ——实体 – 矩形截面 ：h＝(1/30～1/40)l 截面宽度：b＝25～40cm – 工字型
•
拱的结构布置
并列布置 径向布置 环向布置 井式布置 多叉布置 环拱结构
并列布置
• • • • • 推力较大时用型钢劲性拉杆 推力较小时采用圆钢柔性拉杆。 杆数不超过3根，使拉杆受力均匀。 吊杆的作用：避免拉杆在自重作用下严重下垂。 表：拱的吊杆数
拱的跨度 （m） 吊杆数目
12～15 2
16～20 3
21～25 4
26～30 5
Three-hinged arches: bridges
• 拉杆拱搁置于墙、柱上 • 落地拱 ：地质条件不好时，落地拱采用拉杆承受推力较 为经济
Ice-hockey stadium
Ice-hockey stadium
Berne stadium
Ice-hockey stadium
Ice-hockey stadium
Berne stadium
CNIT-Exhibition hall， Paris
三、索网的基本力学原理
• 索网（钢索）
– 悬索只受轴向拉力，既无弯矩也无剪力； – 悬索只能单向受力，承受与其垂度方向一致的作用力，当荷载和垂 度相反时就会发生失稳。
• 边缘构件
– 索网对支座有水平拉力，悬索的边缘构件必须具有一定的刚度和合 理的形式，以承受索网的拉力。 – 边缘构件也可以是柔索。
建筑结构选型
Lecture 6 拱
Rainbow Arch
拱的历史
安济桥
结构力学——三铰拱
FAy A
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1
C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
P1 b1
l
P2b2
B FBx
FBy
Pibi l
F0 Ay
mA 0
FBy
Piai l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAy FP1
FAy0
FSK0 MK0
由 Fn 0
FNK FSK0sin FHcos
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
F S
0
FN 0
0
cos sin
拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混 凝土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较高； 拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力， 常使用拉杆布置）
第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷载
),求其合理拱轴线形状。 q
f l
q
x
ql2/8
M
0 C
1 ql 2 8
FH
1 8f
ql 2
M 0 1 qlx 1 qx2 1 qx(l x)
F0 Ay
a1 P1
a2 C
f
l1 l
P1
C
X 0
b1 P2
x l2
P2
b2 F l Pb Pb 0
Ay
11
22
FAy
P1 b1
l
P2b2
B FBx
FBy
Pibi l
F0 Ay
mA 0
FBy
Piai l
F0 By
B
mc 0
F0 By
FAy FP1
FAy0
FSK0 MK0
由 Fn 0
FNK FSK0sin FHcos
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算 2 竖向荷载作用下指定截面内力计算
关于内力
M 1
F S
0
FN 0
0
cos sin
拱结构的优点：选用耐压性能好而抗拉性能差的砖石、混 凝土材料，节省用料，重量轻，可用于大跨、大空间结构。
拱结构的缺点：由于推力的存在，所以对基础的要求较高； 拱轴的曲线形状不便于施工（有时为减轻拱对基础的压力， 常使用拉杆布置）
第四节 三铰拱的合理轴线
使拱在给定荷载下各截面弯矩都等于零的拱轴线，被称为
例题：给定对称三铰拱铰的位置（l , f）和荷载形式(均布荷载
),求其合理拱轴线形状。 q
f l
q
x
ql2/8
M
0 C
1 ql 2 8
FH
1 8f
ql 2
M 0 1 qlx 1 qx2 1 qx(l x)
铰拱和悬索结构的受力分析
稳定性分析
悬索结构在长期荷载作用 下可能发生屈曲失稳，需 要进行稳定性分析。
悬索结构的优缺点
优点
自重轻、跨越能力强、施工方便、经济性好等。
缺点
对锚固和固定端的构造要求高，易受环境因素影响，如风雨、温度变化等。
03
铰拱与悬索结构的比较
结构形式的比较
铰拱
由拱圈和铰支座组成，通过铰支座将拱圈与基础连接。铰拱 的拱圈在竖向荷载作用下产生弯曲变形，并通过铰支座传递 到基础。
悬索结构
悬索结构适用于大跨度、轻质结构的桥梁和大型工业厂房等建筑结构。由于悬索结构的受力性能较为简单，因此 在设计、施工和维护方面相对较为方便。
04
铰拱和悬索结构的设计与优 化
结构设计的基本原则
稳定性
确保结构在各种工况下 都能保持稳定，不发生
失稳或过大变形。
承载能力
满足结构的承载要求， 保证结构在承受设计载
荷时不会发生破坏。
经济性
在满足功能和安全的前 提下，尽量降低结构的
成本。
耐久性
考虑结构的寿命和耐久 性，确保结构在使用期
限内保持良好性能。
结构优化的方法与技巧
尺寸优化
通过调整结构尺寸，如梁的截 面尺寸、杆的直径等，以实现
最优的结构性能。
形状优化
改变结构的形状，如拱的曲线 形状、梁的弯曲程度等，以改 善结构的受力性能。
优点
铰拱结构具有较好的适应性和灵活性，能够适应地基的不均匀沉降和温度变化 的影响。同时，铰拱结构的构造简单，施工方便，造价相对较低。
缺点
铰拱结构的承载能力相对较低，且在水平推力作用下可能产生较大的位移和剪 切变形，需要采取相应措施进行加固。此外，铰拱结构的抗震性能也较差，需 要进行抗震设计。
5 三铰拱
sinϕ D = −0.555 cosϕ D = 0.832
3kN/m 10kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y ( x ) = 2 x (l − x ) 10.5kN l A B
16kN
6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
3m
3m 10kN
D
10.5kN 12kN
qx (l − x ) 4 f y(x ) = 2 2 = 2 x(l − x ) ql l 8f
二、内力的计算
P V k Mk Nk
y a1 P1 k
a2
b2
ϕk
yk
b1 C P2
H VA
0 0 V= V 1 k A −P
A HA VA
xk l1 l P1
f
l2
x
B HB VB
M k0 =VA0 xk − P 1 ( xk − a1 )
M k = VA xk − P 1 ( xk − a1 ) − Hyk =V x − P 1 ( xk − a1 ) − Hyk
0 N D右 =−VD 右 sin ϕ D − H cos ϕ D =− ( −12 ) × ( −0.555 ) − 10.5 × 0.832 =−15.4kN
4m
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
5.3 三铰拱的合理轴线 一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩等于零，只 有轴力的拱轴线。 二、合理拱轴线的确定
xD = 9m
4f yD x(l − x) 2 6m 3m 3m l 16kN 4× 4 3kN/m = × 9(12 − 9)＝3m 10kN 2 12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ dy 4 f D l x tan ϕ ( 2 ) = = − D dx l 2 16kN 4× 4 12－2 × 9 )＝－0.667 2 ( 12
三铰拱
2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4
静定结构的内力—三铰拱(建筑力学)
愈大）。
三铰拱
（2）截面内力的计算
① 截面内力的正负规定
轴力以压力为正；剪力以有使截面产生顺时针转动的趋势者为正；弯矩
以拱内侧纤维受拉者为正。
② 任意截面的内力计算
设K截面形心的坐标分别为xK、yK，K截面的法线与x轴
的夹角为φK，且左半拱的φK为正值，右半拱的φK为负值。
取三铰拱的K截面以左
部分为隔离体，得
FNE FQ0E sin E Fx cosE 134kN
三铰拱
4 三铰拱的合理拱轴线
若拱的所有截面上的弯矩都为零，这样的拱轴线为合理拱轴线。
三铰拱在竖向荷载作用下任意截面上的弯矩为
MK
M
0 K
Fx yK
由 M M 0 Fx y 0 得
M0
合理拱轴线方程为： y
Fx
M 0——代梁在该竖向荷载作用下的弯矩方程
三铰拱
C B
C
C
A
B
A
B
l
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
(a)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
A B
B
A
B
曲梁
三铰拱
2 三铰拱的组成
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点
拱趾：支座处
跨度：两支座之间的水平距离，用l表示
矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f 表示 高跨比 f/l 是拱的一个重要的几何参数 工程实际中，高跨比在1／10 ~ 1之间，变化的范围很大
Fx
M
0 C
f
ql 2 f
8 ql 2 8f
合理拱轴的方程为
5 三角拱
VA
0 QD VA0 P 1
A
D 代梁
0 QD
MD
0 QD QD cos H sin 0 N D QD sin H cos NhomakorabeaV
0 A
0 QD VA0 P 1 0 QD QD cos H sin
N D Q sin H cos
0 D
H A
VA
P1 M D N D ﹣H D φ φ
Q
P1
0 D
QD
小结： >0，右半拱 <0。 A ① 左半拱 VA0 4f a 代梁 tg y ' 2 (l 2 x) l b ② Qº是代梁截面D的剪力， D 故QºD可能大于零、等于零或小于零。
a2+b2 b
a
D
11.18 4.47 6.71kN
0 N K 左 QK 左 sin H cos 12.5 0.447 10 0.894
5.59 8.94 14.53kN (压)
0 QK 右 QK 右 cos H sin 2.5 0.894 10 0.447
P
H
(拱趾)
C(拱顶)
A
f (拱高)
l (跨度)
B H VB
VA
三铰拱的受力特征为：在竖向荷载作用下， 拱趾处产生水平推力；因此，拱轴任一截面轴 力N比较大，弯矩较小。有时用拉杆来承受水平 推力，称为拉杆拱。 C(拱顶) A
(拱趾)
(拉杆)
f (拱高) l (跨度)
B
f l 的值对内力有很大影响。
P1 A
VA0
Mº Qº D D 代梁
拱和悬索
第八章 建筑物的其他结构体系8.1 拱和悬索结构体系一、 拱——有推力结构1． 受力特点 M=M 0梁截面：弯 剪拱截面：压（为主） 弯 剪小中弯矩为与拱同跨简支梁的跨可得由02000042.03.08121,0sin cos cos sin ccA cMqllqlfM H ql V MH V V H V N Hy M M ===⇒==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=∑φφφφ拱主要受压拱属于轴心受压或小偏心受压对于受压性能好的材料（砖、石）是一种合理的结构形式按结构组成和支承方式：三铰、两铰、无铰 2． 类型——按推力由谁承受首先H 水平屋盖结构 两端拉杆（内部无拉杆）（3）推力由侧面框架结构承受（4）推力由基础直接承受当地质条件好时可采用，此时基础尺寸大，材料用量多。
3． 拱轴的形式（1） 合使拱处于M=0状态的拱轴曲线，称为拱的合理轴线。
不同的结构型式、不同的荷载作用，合理轴线不同。
拱垂直于拱轴上实际工程中，只能根据某种主要荷载确定合理拱轴，一般采用抛物线，使M 尽可能小。
（2） 拱的矢高f影响拱身轴力N影响拱脚推力H 的大小，三铰拱时： H=M c 0/f屋盖结构:一般取f=L/5~L/7，且应>=L/10，f 小，H 大。
常用跨度数： 下水道顶盖公共建筑大跨L=1.5~2.0m, 30~40m, 95~200m 结构合理性屋面做法和排水方式：自防水：屋面坡度1/3，则f=1/6 油毡防水：屋面坡度<=1/4，f<=1/8 (沥青流淌)4．拱身的截面形式与尺寸受力合理考虑R ．C）L 拱身工字型钢结构—— 格构式——高度=（1/30~1/60）L——实体式——高度=（1/50~1/80）L拱身一般为等截面无铰拱（拱身）WB 与拱结构结合时，可采用波形截面折板形截面（推力） 二、 悬索——有拉力的结构对于受拉性能好的钢材，是一种理想的结构型式 普通用钢铰线：φ2.5、3、4、5mm 的高强碳素钢筋， 每七根扭铰而成，f y =1500~1800N/mm 2假定索绝对柔性，任一截面均不承受M 、V ，只有N（拉力）。
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A C
三铰拱在竖向荷载作用 a1 b1 下轴向受压。 0 0
YA a2 b2 Y B
B
QK Q cos H sin
0 K
N K Q sin H cos
0 K
例3-14 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱 4f y 的轴线为抛物线 l x（l x） 。试求支座反力， 并绘制内力图。
第5章 三铰拱和悬索
高跨比或 矢高比
拱 (arch)
一、概述
1.拱的定义
这是拱结构吗?
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。 拱
拱 (arch)
一、概述
2.拱的受力特点
拱
曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
拱 (arch)
一、概述
YB=YB0
YA=YA0
2
2
XA=XB =H
H= MC0 / f
二、三铰拱的数解法 ----内力计算 y P QK M K 1 K C P2 P1 NK 三铰拱的内力不但与荷 y f 载及三个铰的位置有关，而 XB X A 0 x A B P1 MK YA 且与拱轴线的形状有关。 x XA l/2 l/2 0 0 QK YB YA 由于推力的存在，拱的 YA l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M K M K Hy P2 小。 P1 K
2
解（1）求支座反力
0 VA VA
6 8 3 1 6 3 4k N() 12
1 6 9 8 9 6 VB V 10 kN() 12
0 B
0 MC 4 6 6 H 4.5kN f 4
(2)内力计算（以x=3m的截面E为例说明） A、截面E的几何参数
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=4fx(l-x)/l2
抛物线
思 考
题
三铰拱在均匀水 压力作用下，三铰 拱的合理轴线？
三铰拱在填土重 量作用下，三铰拱 的的合理拱轴线
(reasonable axis of arch)
使拱在给定荷载下只 0 M M H y 0 产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y
H
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
B、 截 面 E 的 内 力
0 M 3Z M 3 Z Hy 4 3 4.5 3 1.5kN m
M M
y 3
0 0
0y 3
Hy 4 3 6 4.5 3 7.5kN m
Q3 Q3 cos H sin 4 0.832 4.5 0.555 0.83kN N 3 Q3 sin H cos 4 0.555 4.5 0.832 5.96 kN
3.拱的分类
超静定拱
静定拱
两铰拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱
高差h
超静定拱
无铰拱
斜拱
拱 (arch)
一、概述
4.拱的有关名称 顶铰 拱肋 拱趾铰 跨度 拱肋 拱趾铰 矢高
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算 三铰拱的竖向反 P1 P2 C 力与其等代梁的 XB 反力相等;水平反 f H A B 力与拱轴线形状0 XA Mc YA l/2 l/2 无关.荷载与跨度 YB YA l 一定时，水平推 YA0 等代梁 P1 P2 力与矢高成反比. A 请问:有水平荷载,或 B C 铰C不再顶部,或 1 l l a1 b1 H [YA P ( a1 )] 1 f 2 2 不是平拱,右边的结2 Y 0 0 b a2 YA B l l 0 0 论还是正确的吗? M c [YA P ( a1 )] 1
4f 4 4 y3 2 x(l x) 3(12 3) 3m 2 l (12) dy 4 f 4 4 tan 2 (l 2 x) (12 2 3) 0.667 2 dx l (12)
33.70， 0.555, cos 0.832 sin
三铰拱在竖向荷载作用 a1 b1 下轴向受压。 0 0
YA a2 b2 Y B
B
QK Q cos H sin
0 K
N K Q sin H cos
0 K
例3-14 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱 4f y 的轴线为抛物线 l x（l x） 。试求支座反力， 并绘制内力图。
第5章 三铰拱和悬索
高跨比或 矢高比
拱 (arch)
一、概述
1.拱的定义
这是拱结构吗?
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
曲梁
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。 拱
拱 (arch)
一、概述
2.拱的受力特点
拱
曲梁
P
拱比梁中的弯矩小
拱 (arch)
一、概述
YB=YB0
YA=YA0
2
2
XA=XB =H
H= MC0 / f
二、三铰拱的数解法 ----内力计算 y P QK M K 1 K C P2 P1 NK 三铰拱的内力不但与荷 y f 载及三个铰的位置有关，而 XB X A 0 x A B P1 MK YA 且与拱轴线的形状有关。 x XA l/2 l/2 0 0 QK YB YA 由于推力的存在，拱的 YA l 弯矩比相应简支梁的弯矩要 0 M K M K Hy P2 小。 P1 K
2
解（1）求支座反力
0 VA VA
6 8 3 1 6 3 4k N() 12
1 6 9 8 9 6 VB V 10 kN() 12
0 B
0 MC 4 6 6 H 4.5kN f 4
(2)内力计算（以x=3m的截面E为例说明） A、截面E的几何参数
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 y=4fx(l-x)/l2
抛物线
思 考
题
三铰拱在均匀水 压力作用下，三铰 拱的合理轴线？
三铰拱在填土重 量作用下，三铰拱 的的合理拱轴线
(reasonable axis of arch)
使拱在给定荷载下只 0 M M H y 0 产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y
H
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
B、 截 面 E 的 内 力
0 M 3Z M 3 Z Hy 4 3 4.5 3 1.5kN m
M M
y 3
0 0
0y 3
Hy 4 3 6 4.5 3 7.5kN m
Q3 Q3 cos H sin 4 0.832 4.5 0.555 0.83kN N 3 Q3 sin H cos 4 0.555 4.5 0.832 5.96 kN
3.拱的分类
超静定拱
静定拱
两铰拱
三铰拱 拉杆 拉杆拱
高差h
超静定拱
无铰拱
斜拱
拱 (arch)
一、概述
4.拱的有关名称 顶铰 拱肋 拱趾铰 跨度 拱肋 拱趾铰 矢高
二、三铰拱的数解法 ----支反力计算 三铰拱的竖向反 P1 P2 C 力与其等代梁的 XB 反力相等;水平反 f H A B 力与拱轴线形状0 XA Mc YA l/2 l/2 无关.荷载与跨度 YB YA l 一定时，水平推 YA0 等代梁 P1 P2 力与矢高成反比. A 请问:有水平荷载,或 B C 铰C不再顶部,或 1 l l a1 b1 H [YA P ( a1 )] 1 f 2 2 不是平拱,右边的结2 Y 0 0 b a2 YA B l l 0 0 论还是正确的吗? M c [YA P ( a1 )] 1
4f 4 4 y3 2 x(l x) 3(12 3) 3m 2 l (12) dy 4 f 4 4 tan 2 (l 2 x) (12 2 3) 0.667 2 dx l (12)
33.70， 0.555, cos 0.832 sin