菱形的性质
及判定
知识点 A 要求
B 要求 C要求
菱形
会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定,会用菱形的性质和
判定解决简单问题
会用菱形的知识解决有关问题
1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,?还具有自己独特的性质: ① 边的性质:对边平行且四边相等. ② 角的性质:邻角互补,对角相等.
③ 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角. ④ 对称性:菱形是中心对称图形,也是轴对称图形.
菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半.
点评:其实只要四边形的对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积的一半. 3.菱形的判定
判定①:一组邻边相等的平行四边形是菱形. 判定②:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 判定③:四边相等的四边形是菱形.
知识点睛
中考要求
重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。
难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质
【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为
⑵在平面上,一个菱形绕它的中心旋转,使它和原来的菱形重合,那么旋转的角度至少是
【例2】 ⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==,则
1∠= 度.
图2
1
C
B
A
⑵如图,在菱形ABCD 中,60A ∠=?,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,若2EF =,则菱形ABCD 的边长是______.
【例3】 如图,E 是菱形ABCD 的边AD 的中点,EF AC ⊥于H ,交CB 的延长线于F ,交AB 于P ,
证明:AB 与EF 互相平分.
E F D
B
C
A
例题精讲
重、难点
P H
F
E D
C
B
A
【例4】 ☆ 如图1所示,菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,H 为AD 边中点,菱形ABCD 的
周长为24,则OH 的长等于 .
图1
H
O D
C B
A
【巩固】 ☆如图,已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥,,于点E ,则DE 的长为
【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ,两邻角度数之比为2:1,则菱形较短的对角线的长度为
【巩固】 如图2,在菱形ABCD 中,6AC =,8BD =,则菱形的边长为( )
A .5
B .10
C .6
D .8
图2
D
C
B
A
【巩固】 如图3,在菱形ABCD 中,110A ∠=?,E 、F 分别是边AB 和BC 的中点,EP CD ⊥于点P ,则
FPC ∠=( )
A .35?
B .45?
C .50?
D .55?
图3
E D
P C
F B
A
【例6】 ☆如图,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个锐角为60?的菱形,剪
口与折痕所成的角α的度数应为( )
A .15?或30?
B .30?或45?
C .45?或60?
D .30?或60?
【巩固】 菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,
且AE BC ⊥,AF CD ⊥,那么EAF ∠等于 .
【巩固】 如图,将一个长为10cm ,宽为8cm 的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚
线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )
A .210cm
B .220cm
C .240cm
D .280cm
图1
D
C
B
A
【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ,的乘积等于菱形的一条边长的平方,则菱形的一个钝角
的大小是
【例8】 如图,菱形花坛ABCD 的周长为20m ,60ABC ∠=?,?沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和
BD ,求两条小路的长和花坛的面积.
图2
【例9】 已知,菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,若AE AF EF AB ===,求C ∠的度数.
F
E
D
C
B
A
板块二、菱形的判定
【例10】 如图,如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形,需要添加一个条件,那么你添加的条件
是 .
D
C
A
B
【例11】 ☆如图,在ABC ?中,BD 平分ABC ∠,BD 的中垂线交AB 于点E ,交BC 于点F ,求证:四边
形BEDF 是菱形
F
E
D
C
B
A
【巩固】 已知:如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .
求证:四边形AFCE 是菱形.
O
D
E
F
C
A
B
【例12】 如图,在梯形纸片ABCD 中,//AD BC ,AD CD >,将纸片沿过点D 的直线折叠,使点C 落在
AD 上的点C 处,折痕DE 交BC 于点E ,连结C E '.求证:四边形CDC E '是菱形.
C'D
C
B A E
【例13】 ☆如图,E 是菱形ABCD 的边AD 的中点,EF AC ⊥于H ,交CB 的延长线于F ,交AB 于P ,
证明:AB 与EF 互相平分
A
B C
D
E
F P P
F E
D
C B A
【巩固】 ☆已知:如图,在平行四边形ABCD 中,AE 是BC 边上的高,将ABE ?沿BC 方向平移,使点E
与点C 重合,得GFC ?.若60B ∠=?,当AB 与BC 满足什么数量关系时,四边形ABFG 是菱形?证明你的结论.
G
F E D
C
B
A
【例14】 如图,在ABC ?中,AB AC =,M 是BC 的中点.
分别作MD AB ⊥于D ,ME AC ⊥于E ,DF AC ⊥于F ,EG AB ⊥于G .DF EG 、相交于点P .求证:四边形DMEP 是菱形.
P
M
F E D
G C
B
A
【例15】 如图,ABC ?中,90ACB ∠=?,AD 是BAC ∠的平分线,交BC 于D ,CH 是AB 边上的高,交AD
于F ,DE AB ⊥于E ,求证:四边形CDEF 是菱形.
H
F D
E
C
B
A
【巩固】 ☆如图,M 是矩形ABCD 内的任意一点,将MAB ?沿AD 方向平移,使AB 与DC 重合,点M 移
动到点'M 的位置
⑴画出平移后的三角形; ⑵连结'MD MC MM ,,,试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直,且长度分别等于AB AD ,的
长;
⑶当M 在矩形内的什么位置时,在上述变换下,四边形'MDM C 是菱形?为什么?
M'
M
D
C B
A
三、与菱形相关的几何综合题
【例16】 已知等腰ABC △中,AB AC =,AD 平分BAC ∠交BC 于D 点,在线段AD 上任取一点P (A 点
除外),过P 点作EF AB ∥,分别交AC 、BC 于E 、F 点,作PM AC ∥,交AB 于M 点,连结ME .
⑴求证四边形AEPM 为菱形
⑵当P 点在何处时,菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半?
M
P
F
A
B
C
D
E
课后练习
1. 菱形周长为52cm ,一条对角线长为10cm ,则其面积为 .
2. 如图,在菱形ABCD 中,4AB a E =,在BC 上,2120BE a BAD P =∠=?,,点在BD 上,则PE PC +的最小值为
P
D
C
B
A
3. 已知菱形的一个内角为60?,一条对角线的长为23,则另一条对角线的长为________.
4.
已知,菱形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且60B EAF ∠=∠=?,18BAE ∠=?.求:CEF ∠的度数.
F
E D
C
B
A
5.
如图,在ABC ?中,AB AC =,D 是BC 的中点,连结AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连结BE ,CE .当AE 与AD 满足什么数量关系时,四边形ABEC 是菱形?并说明理由.
E
D
C
B A
6.
如图,ACD ?、ABE ?、BCF ?均为直线BC 同侧的等边三角形.已知AB AC =.
⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应
的条件.
⑵ 当BAC ∠为 度时,四边形ADFE 为正方形.
F
E
D
C
B A
7.
如图,已知BE 、CF 分别为ABC ?中B ∠、C ∠的平分线,AM BE ⊥于M ,AN CF ⊥于N ,求证:MN BC ∥.