第四讲 不 等 式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识． 一、一元二次不等式及其解法 1．形如2 0(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 【例1】解不等式2 60x x +->． 分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组． 解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->， 于是：3020x x +??->?33 3222x x x x x x <->-????<->??<>?? 或或 所以，原不等式的解是32x x <->或． 说明：当把一元二次不等式化为2 0(0)ax bx c ++><或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2)(3)6x x +-< (2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+ 分析：要先将不等式化为2 0(0)ax bx c ++><或的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：2 120x x --<，即(3)(4)0x x +-< 于是：3030 344040x x x x x +>+?? 或 所以原不等式的解是34x -<<． (2) 原不等式可化为：2 40x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥?-≥ 于是：00 044040x x x x x x ≤≥???≤≥??-≤-≥?? 或或 所以原不等式的解是04x x ≤≥或． 2．一元二次不等式2 0(0)ax bx c ++><或与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠及
一元二次不等式及（含参数）二次函数 1.（1）不等式23100x x -++<的解集是___________ （2）不等式25311x x -<-+-<的解集是_________. （3）不等式 211x x <-的解集是____________________ 2. 已知不等式2(1)0x a x a -++<， （1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是_______________； （2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是___________； （3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 3. 解不等式－1 5.解关于x 的不等式：2 3(1)90()mx m x m R -++>∈ 6. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈??? ?0，12成立，求 a 的取值范围。 7. 若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围。 8. 不等式04 9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R ,求实数m 的取值范围。 9.函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 10. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 11. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。 12. 已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。 13. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最小值。 (1) 第五部分方程与不等式 1二元二次方程组解法 方程 x 2 2xy y 2 x y 6 0 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程，这样的方程叫做 二元二次方 2 2 程?其中x , 2xy , y 叫做这个方程的 二次项，x , y 叫做一次项,6叫做常数项. 我们看下面的两个方程组： 2 2 x 4y x 3y 1 0, 2x y 1 0; x 2 y 2 20, x 2 5xy 6y 2 0. 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次 方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例1解方程组 x 2 4y 2 4 0, ① x 2y 2 0. ② x 2 13, 练习 1.下列各组中的值是不是方程组的解 x (1) y 2, 3； 2 .解下列方程组： (2) x 3, y 2； (3) 1, 4 ； (4) 2, 3 ； 5, y 2 625; xy y 3, 10; 2 2 x 4y x 3y 1 0, 2x y 1 0; 2 2 x y 20, 2 2 x 5xy 6y 0. 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例2 解方程组 x y 7, ① xy 12. ② 2 (3) x 2 1, (4) 2x, y x 3； 2 2 c x y 8. —2 v x v 3. 上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等式的 解集. 那么，怎样解一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0( a * 0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数 y = ax 2+ bx + c ( a * 0)的图象来解一元二次不 等式 ax + bx + c >0(a *0). 为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a >0时的一元二次不等式的解. 我们知道，对于一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0(a >0)，设△= b 2— 4ac ,它的解的情形按照△> 0,A =0, △ v 0分别为下列三种情况一一有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛 物线y = ax 2+ bx + c (a >0)与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点 (如图2.3 — 2所示)， 因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0 (a > 0)与ax 2 + bx + c v 0 (a > 0)的解. 由对应值表及函数图象(如图2.3 — 1)可知 当 x = — 2,或 x = 3 时，y = 0, 即卩 x — x = 6= 0;( 1) 当 x v — 2,或 x >3 时，y >0,即卩 x 2 — x — 6>0; 当一2v x v 3 时，y v 0,即卩 x 2 — x — 6v 0. 这就是说，如果抛物线y= x 2— x — 6与x 轴的交点是(—2, 0)与(3 , 0)，那么 一元二次方程 x 2 — x — 6 = 0 的解就是 Xi = — 2, X2= 3; 同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x 2 — x — 6> 0 的解是 x v — 2,或 x >3; 一元二次不等式 2 x — x — 6v 0 的解是 (1 )当△> 0时，抛物线y = ax 2+ bx + c (a > 0)与x 轴有两个公共点(x i , + bx + c = 0有两个不相等的实数根 x i 和X 2(x i v X 2)，由图2.3 — 2①可知 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为 x v X i ,或 x > X 2； 不等式ax 2 + bx + c v 0的解为 X i v x v X 2. (2) 当△ = 0时，抛物线y = ax 2+ bx + c (a >0)与x 轴有且仅有一个公共点， 有两个相等的实数根 X i = X 2= — =，由图2.3 一 2②可知 2a 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为 b x *— ； 不等式ax 2 + bx + c v 0无解. (3) 如果△< 0,抛物线y = ax 2 + bx + c ( a > 0)与x 轴没有公共点，方程 ax 2 + bx + c = 0没有实数 根，由图2.3 — 2③可知 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为一切实数； 不等式ax 2 + bx + c v 0无解. 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果 二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以- 1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用 2 一元二次不等式解法 二次函数y = x 2—x — 6的对应值表与图象如下: X —3 —2 —1 0 1 2 3 4 y 6 0 —4 —6 —6 —4 6 ① 0）和（x 2, 方程 0)，方程ax 2 ax 2 + bx + c = 0 1. 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 二．练习 3113x x +>-- 2112 x x ->-+ 2121x x x +≤+ 23234 x x -≤- 2206x x x x +<+- 211(3) x >- 2321 x x x x +>++ 2212(1)(1)x x x -<+- 25214x x +≤-- 1111 x x x x -+<+- 1230123 x x x +->--- 221421x x x ≥-- 2121 x x x +<- (23)(34)0(2)(21)x x x x -->-- 23 11x x +≥+ 229152x x x --<+ 22231 0372x x x x ++>-+ 2223712x x x x +-≥-- 2232 0712x x x x -+>-+ 22 1(1)(2)x x x -<+- 1．立方和与差的公式 这部分内容在初中教材中已删去不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。比如说： （1）立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3； （2）立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3； （3）三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （4）两数和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； （5）两数差立方公式：(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3。 2．因式分解 十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了高中，教材中却多处要用到。 3．二次根式中对分子、分母有理化 这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解题技巧，特别是分子有理化。 4．二次函数 二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容，二次函数知识的生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。 5．根与系数的关系（韦达定理） 在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，因此王老师建议： （1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况； （2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式（这里指“对称式”）的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。 6．图像的对称、平移变换 初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式 初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，圆幂定理等），初中生大都没有学习，而高中教材多常常要涉及。 2a ) x xx ≠- x 一元二次不等式的解法 教学过程 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0)的解集： 设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x ≤ x ， ? = b 2 - 4ac ，则不等式的解的各种情 1 2 1 2 况如下表： ?> 0 ?= 0 ?< 0 y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c 二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a > 0 ）的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a > 0 的根 有两相异实根 有两相等实根 x , x ( x < x ) x = x =- b 1 2 1 2 1 2 无实根 ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集 { x < x 或x > x } 1 2 ? b ? ? ? ? 2a ? R ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集 { x 1 < x < x 2 } ? ? 例 1 解不等式： （1）x 2＋2x －3≤0； （2）x － x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0． 例 2 解关于 x 的不等式 x 2 - x - a(a - 1) > 0 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22 ()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a = ； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 衔接点20 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年初高中衔接数 学（新人教版）(wd无答案) 一、单选题 (★★) 1. 若且则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． (★) 2. 不等式的解集是（） A．B．C．D． (★★) 3. 若不等式的解集，则值是 A．0B．C．1D．2 (★★) 4. 若关于的不等式的解集是，则实数等于（） A．－1B．－2C．1D．2 (★★) 5. 已知不等式对任意正实数 x， y恒成立，则正实数 m的最小值是 A．2B．4C．6D．8 (★★★) 6. 不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A．B．C．D． (★★★) 7. 已知函数在，上是单调函数，则的取值范围是（）A．，B．， C．，，D． (★★) 8. 若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合（）A．B．C．D． (★★★) 9. 若正实数、满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． (★★★) 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解为（） A．B．或 C．D．或 (★★) 11. 已知函数，那么使成立时的取值范围是（） A．(－1，2)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) (★) 12. 关于 x的不等式的解集是（） A．B．C．D． (★★) 13. 若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． (★★★) 14. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）． A．B．C．D． (★★★) 15. 若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． (★★★) 16. 不等式对一切实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（）A．B．C．D． 二、填空题 (★★★) 17. 若对任意且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ______. (★) 18. 一元二次不等式的解集是 _________ . (★★★) 19. 不等式的解集是______． (★★★) 20. 不等式的解集是______. (★★) 21. 已知不等式的解集为，则的取值范围是________. (★★★) 22. 设关于 x的不等式，只有有限个整数解，且0是 其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________ (★★) 23. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____. (★★) 24. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则的取值范围是 _______. (★★★) 25. 不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围_________ 三、解答题 (★★★) 26. 解关于的不等式. (★★★) 27. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好 的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民 从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植 的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为 2017初高中数学衔接教材 现有初高中数学教材存在以下“脱节”: 1、绝对值型方程和不等式,初中没有讲,高中没有专门的内容却在使用; 2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲,而高中还在使用; 3、因式分解中,初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解,对系数不为1的涉及不多,而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求;高中教材中许多化简求值都要用到它,如解方程、不等式等; 4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高 中数学中函数、不等式常用的解题技巧; 5初中教材对二次函数的要求较低,学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容;配方、作简图、求值域(取值范围)、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法; 6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系,根与系数的关系(韦达定理)初中不作要求,此类题目仅限于简单的常规运算,和难度不大的应用题,而在高中数学中,它们的相互转化屡屡频繁,且教材没有专门讲授,因此也脱节; 7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍,而在高中讲授函数时,则作为必备的基本知识要领; 8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解,高中则作为重点,并无专题内容在教材中出现,是高考必须考的综合题型之一; 9、几何中很多概念(如三角形的五心:重心、内心、外心、垂心、旁心)和定理(平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理)初中早就已经删除,大都没有去学习; 10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。 另外,象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老师根本没有去延伸发掘,不利于高中数学的学习。 新的课程改革,难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我们会不断的研究新课程及其体系。将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足,加以补充和完善。 目录 第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 第三讲 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不 含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用 a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式 >x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为 a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式 c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用 (0), 0(0), (0). a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? 去掉绝对值再解。 例2．解不等式 22 x x x x > ++ 。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a≥0，a a =-?a≤0。 解:原不等式等价于 2 x x+ ＜0?x(x+2)＜0?-2＜x＜0。 （三）、平方法:解()() f x g x >型不等式。 例3、解不等式123 x x ->-。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125 x x -++<。 分析:由0 1= - x，0 2= + x，得1 = x和2 = x。2 -和1把实数集合分成三个区间，即2- < x，1 2≤ ≤ -x，1 > x，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 不等式的提前与初高中的衔接 新课标已经实施了十一年，高中数学与初中数学相比，在教材内容、教学要求、教学方式、思维层次以及学习方法上都发生了许多变化，尽管老师们想尽了一切办法试图淡化这种 差异，但是相当部分学生感觉到高中数学并非想象中那么易学，有些甚至觉得茫然，数学成 绩出现下坡趋势，开始进入数学学习的“困难期”，初高中的数学衔接已经成为学生通往高等 学府的第一个“绊脚石”。 更重要的是，新课标的实施对初、高中的教材内容都作了教大的改动，我们大多数高中 教师却没有深入地研究过初中教材，因而对初中教材的内容把握得并不到位，从而导致初高 中知识衔接上出现了交叉盲区。在这里我仅就初高中知识上的联系、差别及不等式一章所处 的位置做一下分析和探讨。 一、初高中教学知识掌握标准有交叉盲区，部分知识高中要熟练掌握、灵活应用，初中 课标要求过低 首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；高中数学内容抽象，多 研究变量、字母，不仅注重计算，还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。 其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中 降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一 定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中教材内容的难度差距，反而加大了。即使如此，学生学得也很吃力，很多问题还没搞明白，又要上新课了。“不仅初中知识没能掌握，高中知识的学习也因此受到影响。” 二、把握教材内容的衔接，实现初、高中平稳过渡 新教材的思想是螺旋式上升，因此在高一必修模块教学中应把重点放在基础知识的讲解上，不应过于强调难题、偏题乃至高考题，必须采用“低起点、小梯度、多训练、分层次”的 指导思想，帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，从复习初中内容的基础上引入新内容， 以减缓坡度。 建议在初中开设校本课程，初一上前半期进行数的运算训练，加强学生的心算、口算、 速算能力，在学完有理数的运算的内容后，加强学生运算技巧的训练，在讲解绝对值内容后，针对绝对值的问题初步涉及分类讨论的思想，提高数的运算能力、分析问题和解决问题的能力。在初一上半学期学完整式的运算后，再对整式的乘法及乘法公式加以补充和提高。在一 元一次方程解法讲完后，适当地加入含有参变量的一元一次方程的讨论，使学生初步了解分 类讨论的思想和方法。在初二适当增加分式、繁分式的化简，以及含参变量的方程和方程组 的解法和讨论，增加直角三角形的射影定理、三角形的重心定理、三角形的内角平分线和外 角平分线的定理，提高学生的逻辑推理能力和语言表达能力。在初三加强一元二次方程的解法、判别式、韦达定理，二次函数以及用二次函数的思想讨论一元二次方程等。初中每周六 课时中，可以考虑用四课时上统编教材，两课时上校本课程（选修课、拓展课），从而提高 学生的运算能力和综合能力。 对于不等式思想来说，简单的不等式，不等式的基本性质，在初中学生已经有比较初步 的认识了，虽然学生不知道说该使哪个性质、哪个公理或者定理，但是他们都能够不自觉地 应用到实际的学习之中，比如给不等式两端加减一个数、乘个正数或给它乘个负数不等号的 变化等他们都知道如何处理。但是，当我们讲到《不等式》一章之后会发现，学了一年多快 到两年的高中数学，竟然还在讲类似“a>b则b 第三讲含绝对值的不等式的解法 一、基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不 含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用 x a 与 x a 的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离； x1x2是指数轴上x1，x2两点间的距离 .。 2、x a 与 x a 型的不等式的解法。 当 a 0 时，不等式x的解集是x x a,或x a 不等式 x a 的解集是x a x a ; 当 a 0 时，不等式x a 的解集是x x R 不等式 x a 的解集是; 3．ax b c 与 ax b c 型的不等式的解法。 把 ax b 看作一个整体时，可化为x a 与 x a 型的不等式来求解。 当 c0时，不等式ax b c 的解集是x ax b c,或ax b c 不等式ax b c 的解集是x c ax b c ; 当 c0时，不等式ax b c 的解集是x x R 不等式 a bx c的解集是; 例 1 解不等式x 2 3 分析 :这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x 2” 看着一个整体。答案为x 1 x 5 。(解略) a(a0), （二）、定义法 :即利用a0( a 0), 去掉绝对值再解。 a( a0). x x 。 例 2．解不等式 x 22 x 分析 :由绝对值的意义知，a a a≥ 0，a a a≤0。 x ＜ 0x(x+2) ＜ 0-2＜ x＜ 0。 解 :原不等式等价于 x 2 （三）、平方法 :解f (x)g(x) 型不等式。 例 3、解不等式x 1 2x 3 。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 解不等式x 1 x 2 5 。 分析 :由x 1 0 ， x 2 0 ，得 x 1和 x 2。2和 1把实数集合分成三个区间，即x 2 ， 2 x 1， x 1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 初高中数学衔接读本 数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”： 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 目录 1.1 数与式的运算 1.1.1绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3二次根式 1.1.４分式 1.2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 一元二次不等式解法 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 第四讲不等式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一、一元二次不等式及其解法 1．形如20(0) (0) ax bx c a ++><≠ 或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式．【例1】解不等式260 x x +->． 分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组． 解：原不等式可以化为：(3)(2)0 x x +->， 于是： 30 20 x x +< ? ? -< ? 或 30 20 x x +> ? ? -> ? 33 32 22 x x x x x x <->- ?? ??<-> ?? <> ?? 或或 所以，原不等式的解是32 x x <-> 或． 说明：当把一元二次不等式化为20(0) ax bx c ++>< 或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2)(3)6 x x +-<(2) (1)(2)(2)(21) x x x x -+≥-+分析：要先将不等式化为20(0) ax bx c ++>< 或的形式，通常使二次项系数为正数．解：(1) 原不等式可化为：2120 x x --<，即(3)(4)0 x x +-< 于是： 3030 34 4040 x x x x x +>+< ?? ?-< ?? 或 所以原不等式的解是34 x -<<． (2) 原不等式可化为：240 x x -+≤，即240(4)0 x x x x -≥?-≥ 于是： 00 04 4040 x x x x x x ≤≥ ?? ?≤≥?? -≤-≥ ?? 或或 所以原不等式的解是04 x x ≤≥ 或． 2．一元二次不等式20(0) ax bx c ++>< 或与二次函数2 (0) y ax bx c a =++≠及一元二次方程20 ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)． 目录 第一章数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.4 分式 1.2 分解因式 第二章二次方程与二次不等式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表达方式 2.2.3 二次函数的应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组的解法 第三章相似形、三角形、圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似三角形形的性质与判定 3.2 三角形 3.2.1 三角形的五心 3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3 圆 3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 3.3.2 点的轨迹 3.3.3 四点共圆的性质与判定 3.3.4 直线和圆的方程（选学） 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ,0,||0,0,,0.a a a a a a >?? ==??-， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4． 综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知 点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． A B C P |x －1| |x －3| 图1．1－1 一元二次方不等式及其解法 3.一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式2200,(a 0)ax bx c ax bx c ++>++<>或其中的求解： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、， ac b 42 -=?， 有两相等实根 （1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0． 例2 解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x ，其中a 是实数内的数。 例3 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式2 0bx ax c ++>的解． 巩固提升 1.若0a 1或x a 2.如果方程ax 2＋bx ＋b ＝0中，a ＜0，它的两根x 1，x 2满足x 1＜x 2，那么不等式ax 2＋bx ＋b ＜0的解是______. 3．解下列不等式： （1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2 ＋3x －4＞0； （4）16－8x＋x2≤0（5）3x2－2x＋1＜0；（6）3x2－4＜0；（7）2x－x2≥－1；（8）4－x2≤0．(9)4+3x－2x2≥0;(10)9x2－12x>－4; 4.（1）解关于x的不等式2x＋2x＋1－2a≤0（a为常数）． (2)解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）． 初高中数学教材衔接的必要性与措施 近几年，随着我国教育体制改革步代加大，素质教育理念不断深入人心,课改新教材在我省大多数中小学已经实施。黄石市初中是率先使用课改新教材的县市之一，经过两届学生实验，结果表明：使用课改新教材的学生学习的自主性，思维的广阔性，师生的互动性明显增强，但思维的严谨性，推理的逻辑性显得有些不足。加上我市高中教材未与课改新教材接轨，教学内容上有明显“脱节”。学生从初中进入高中出现明显“不适应”现象。因此解决初高中数学教材衔接问题势在必行。 一、初高中数学知识“脱节”点 1. 绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用 2．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 3．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 4．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 5．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 6．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 7．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 8．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 9．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 10. 圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习，高中则在使用。 １ 初高中数学衔接的知识点方程与不等式讲解及练习题 2.3.1 二元二次方程组解法 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310, 210; x y x y x y ?-++-=? --=? 2222 20, 560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 ① ② 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x＝2y＋2，③ 把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0， 即y(y＋1)＝0． 解得y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． 所以原方程组的解是 1 12, 0 x y = ? ? =?， 2 2 0, 1. x y = ? ? =-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 ① ② ２ 初高中数学衔接知识点专题（一） ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即||a = ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:||(0)x a a <>?；||(0)x a a >>? ． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1]2()a b c ++= [公式2]33a b =+(立方和公式) [公式3] 33a b =- (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1] 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 = ； (2) = ； (3) = ； (4) = ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做a 的平方根，记作0)x a =≥，其 (0)a ≥叫做a 的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做a 的立方根，记为x =4．分式 [1]分式的意义 形如 A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，如2m n p m n p +++， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 【例题选讲】初高中衔接第五部分方程和不等式
初高中衔接 分式不等式的解法
初中衔接
初高中数学衔接 初高中衔接教材教案(5)一元二次不等式
黄冈中学初高中衔接教材含答案
衔接点20 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年初高中衔接数学(新人教版)(wd无答案)
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