第七章 不等式、推理与证明
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(2009·天津高考)设函数f (x )＝?
??
??
x 2－4x ＋6，x ≥0，
x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是
( )
A ．(－3,1)∪(3，＋∞)
B ．(－3,1)∪(2，＋∞)
C ．(－1,1)∪(3，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，
x ＋6>3，解得－3 答案：A 2．(2011·广州模拟)若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1 a B.b a >b ＋1 a ＋1 C ．a ＋1a >b ＋1 b D. 2a ＋b a ＋2b >a b 解析：∵a >b >0，∴1b >1a 又∵a >b ，∴a ＋1b >b ＋1 a . 答案：A 3．(2010·诸城模拟)若2m ＋4n <22，则点(m ，n )必在( ) A ．直线x ＋y ＝1的左下方 B ．直线x ＋y ＝1的右下方 C ．直线x ＋2y ＝1的左下方 D ．直线x ＋2y ＝1的右上方 解析：∵2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ＋2n ， ∴22 m ＋2n <22， 即m ＋2n <1， ∴点(m ，n )必在直线x ＋2y ＝1的左下方． 答案：C 4．(2011·黄冈调研)设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋3 2＋y ＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析：由32＋x ＋3 2＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数， ∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0， 可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D 5．(2009·湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如： 他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378 解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝ n n ＋12 ，第n 个正方形数为b n ＝n 2， 由此可排除D(1 378不是平方数)．将A 、B 、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C 选项，故选C. 答案：C 6．(2009·山东高考)设x ，y 满足约束条件???? ? 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0， x ≥0，y ≥0， 若目标函数z ＝ax ＋ by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3 b 的最小值为( ) A.256 B.83 C.113 D ．4 解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点A (4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即 4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥1362＝25 6 . 答案：A 二、填空题(3×5分＝15分) 7．(2009·北京高考)若函数f (x )＝? ?? ?? 1 x ，x <0， ????13x ，x ≥0，则不等式|f (x )|≥1 3 的解集为 ________． 解析：①当x <0时，|f (x )|＝????1x ≥1 3， 即1x ≤－1 3，∴－3≤x <0. ②当x ≥0时，????????13x ≥13， 即????13x ≥1 3，∴0≤x ≤1. 由①②可得－3≤x ≤1. 答案：{x |－3≤x ≤1} 8．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010 ＝ a 1＋a 2＋…＋a 30 30 ，则在等比数列{b n }中，会 有类似的结论：________. 解析：由等比数列的性质可知， b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10 b 11b 12…b 20＝ 30 b 1b 2…b 30. 答案：10 b 11b 12…b 20＝30 b 1b 2…b 30 9．(2011·南京模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________. 解析：由a 1>1，a 4>3，S 3≤9， 得???? ? a 1>1， a 1＋3d >3，a 1＋d ≤3， 令x ＝a 1 ，y ＝d 得????? x >1， x ＋3y >3， x ＋y ≤3， x ，y ∈Z ， 在平面直角坐标系中画出可行域如图所示．符合要求的整数点只有(2,1)，即a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝2＋n －1＝n ＋1. 答案：n ＋1 三、解答题(共37分) 10．(12分)某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？ 解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ， 中间的矩形区域面积为S ， 则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400， 所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0 π )， ∴S ＝xy ＝ 12π·(2x )·(πy )≤12π·(2x ＋πy 2)2＝20 000π ， 由? ?? ?? 2x ＝πy ， 2x ＋πy ＝400，解得? ??? ? x ＝100.y ＝200 π. ∴当且仅当? ??? ? x ＝100y ＝200 π时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200 π 时，矩形区域面积最大． 11．(理)(12分)已知正数数列{a n }中，前n 项和S n ＝12(a n ＋1a n )(n ∈N * )，求a 1，a 2，a 3并推 测出{a n }的通项公式，用数学归纳法证明． 解析：由S 1＝a 1＝12a 1＋1 a 1)且a 1>0， 解得a 1＝1. 由S 2＝a 1＋a 2＝12(a 2＋1 a 2)且a 2>0， 解得a 2＝2－1. 由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12(a 3＋1 a 3)且a 3>0， 解得a 3＝3－ 2. 推测a n ＝n －n －1. 证明：(1)当n ＝1时，等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立， 即a k ＝k －k －1. 这时，S k ＝12(a k ＋1 a k ＝12[(k －k －1)＋1 k －k －1]＝k . 则由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)， 即k ＋a k ＋1＝12(a k ＋1＋1 a k ＋1 )，得 a k ＋12＋2k ·a k ＋1－1＝0. ∵a k ＋1>0， 解得a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时结论也成立， 由(1)，(2)可知a n ＝n －n －1对一切正整数n 都成立． (文)(12分)(2011·辽宁沈阳)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能出现的最大盈利率分别为100%和50%，可能出现的最大的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资的金额不超过10万元． (1)为了确保资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一个投资方案，使得投资人获得的利润最大； (2)求投资人资金亏损不超过1万元的概率． 解析：(1)设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，z 代表盈利金额． 则z ＝x ＋0.5y ， 由题意知???? ? x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8， x ≥0，y ≥0. 作出可行域，如图①， 易知B 点为最优解，解方程组 ? ?? ?? x ＋y ＝10， 0.3x ＋0.1y ＝1.8，得B (4,6)． 故z max ＝4＋0.5×6＝7，即甲项目投资4万元，乙项目投资6万元能使资金亏损不超过1.8万元的情况下盈利最大． ① ② (2)由题意可知，此题为几何概型问题，如图②. P ＝S △AOC S △AOD ＝12×10 3×10 12 ×10×10＝13 . 12．(13分)(2011·广东六校联考)设f (x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0， f (1)>0，求证： (1)a >0且－2 <－1； (2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根． 证明：(1)因为f (0)>0，f (1)>0， 所以c >0,3a ＋2b ＋c >0. 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a >c >0； 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得 a ＋ b <0,2a ＋b >0. 故－2 <－1. (2)抛物线f (x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c 的顶点坐标为(－b 3a ，3ac －b 23a )，在－2 a <－1的两边乘以 －1 3 ， 得1 3 <－ b 3a < 2 3 . 又因为f(0)>0，f(1)>0， 而f(－b 3a )＝－ a2＋c2－ac 3a <0， 所以方程f(x)＝0在区间(0，－b 3a )与(－ b 3a ，1)内分别有一实根． 故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根． 不等式的证明练习 1．已知c b a >>，求证：c a c b b a ->-+-111． 2．设a 、∈b R ，求证：1)41 41(log 21 -+≤+b a b a ． 3．设∈x R ，求证：23 11 2122≤+++≤x x x ． 4．设∈n N *，求证： n n n 21 31 211)11(2<++++<-+ ． 5．设a 、b 、c 、分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，求证： c c b b a a +>+++111． 6．若122≤+y x ，求证：2222≤-+y xy x ． 7．若0＜x ＜1，求证：22 2)(1b a x b x a +≥-+． 8．设),0(π∈x ，求证：5sin 4 sin ≥+x x ． 9．已知：0>++z y x ，0>++zx yz xy ，0>xyz ． 求证：0>x ，0>y ，0>z ． 参考答案 1．0))()((2)()()(1 112 22>----+-+-=---+-c a c b b a a c c b a a c a c b b a ． 2．12log 412log )4141 (log 122121-+=-=≤+--+b a b a b a b a ． 3．用判别式法证明． 4．由)1(212 2 1 k k k k k k k -+=++>+=及 <+=k k k 2212-+k k )1(2--=k k ，再由不等式的同向可加性即得． 5．c c c b a b a b a b a b b a a b b a a +=+->++-=+++=+++++>+++111111111111． 6．换元? ??==θθsin cos r y r x ???? ??≤≤≤≤1020γπθ即可得证． 7．222222222)(211)]1([1b a ab b a b x x a x x b a x x x b x a +=++≥-+-++=-+?? ????-+． 8．532sin 3)sin 1(sin =+≥++x x x ． 9．用反证法，假设结论不成立，由xyz ＞0知x 、y 、z 中应有两个负数，一个正数，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0．由已知条件，得： x ＞－（y ＋x ）＞0， yz ＞－x （y ＋z ）＞0， 2)(z y x xyz +>， 即2)(z y yz +>， 亦即043)2(22<++z z y ，矛盾． 推理与证明经典练习 题 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 高二数学《推理与证明》练习题 一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．4857b b b b +=+ B ．4857b b b b ?=? C ．4578b b b b ?=? D ．4758b b b b ?=? 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想 出n S 的表达式为（ ） A 、12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、2 2+n n 3．设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =???'1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则 2015()f x =（ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4．平面内有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ） A.()112n n + B.()112 n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2()(1),(1)1()2 f x f x f f x +==+，*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21 f x x =+ 6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要条件或充分条件 9. 2+7与3+6的大小关系是( ) A.2+7≥3+6 B.2+7≤3+6 C.2+7>3+6 D.2+7<3+ 6 10．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。 《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件 分析法证明不等式 山东 林 博 分析法是不等式证明的基本方法，但它不失为不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释． 例1 已知：a b c +∈R ，，， 求证：3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决． 证明：为了证明3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤， 只需证明323ab c abc --≤， 即证明332abc c ab c ab ab +=++≤． 而3333c ab ab c ab ab abc ++=≥成立，且以上各步均可逆， ∴32323a b a b c ab abc +++????-- ? ????? ≤． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口． 例2 已知关于x 的实系数方程2 0x ax b ++=有两个实根αβ，，证明： （1）如果||2α<，||2β<，那么2||4a b <+，且||4b <； （2）如果2||4a b <+，且||4b <，那么||2α<，||2β<． 分析：本题涉及参数较多，应注意它们之间的等量关系． 证明：∵αβ，是方程20x ax b ++=的两个实根， ∴a αβ+=-，b αβ=． （1）欲证2||4a b <+，且||4b <． 只要证2||4αβαβ+<+，且||4αβ<， 而||2α<，||2β<，从而有||4αβ+<，40αβ+>． 故只要证224()(4)αβαβ+<+，只要证22(4)(4)0αβ-->． 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++ 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 课时作业74 不等式的证明 1．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：a 2＋b 2＋c 2 ≥13 ； (2)求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 证明：(1)∵a 2 ＋b 2 ≥2ab ，b 2 ＋c 2 ≥2bc ，c 2 ＋a 2 ≥2ca ，∴a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥ab ＋bc ＋ca ， ∵(a ＋b ＋c )2 ＝1，∴a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， ∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2 ≥13 . (2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即 a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a ≥a ＋b ＋c ， ∵a ＋b ＋c ＝1，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 2．(2019·南宁、柳州联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集； (2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2 a ≥4. 解：(1)当x ≥1时，x －1≥3－2x ， 解得x ≥43，∴x ≥4 3 ； 当0 【高中数学】数学《推理与证明》期末复习知识要点 一、选择题 1．比利时数学家Germinal Dandelin 发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为10，底面半径为2的圆柱体内放球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为（ ） A ． 3 B ． 23 C ． 6513 D ． 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图，作出圆柱的轴截面，由于AOB OCD ∠=∠,所以sin sin AOB OCD ∠=∠，而由已知可求出,,OB AB OD 的长，从而可得3a OC ==，而椭圆短轴的长就等于圆柱的底面直径，得2b =，由此可求出离心率. 【详解】 对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，切点为A ，1A ，延长1AA 与圆柱面相交于C ， 1C ，过点O 作OD DC ⊥，垂足为D . 在直角三角形ABO 中，2AB =，1022 32 BO -?==， 所以2sin 3AB AOB BO ∠= =，又因为22 sin sin 3 r AOB OCD OC OC ∠=∠===， 所以3a OC ==. 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即24b =，则可求得 c ==， 所以c e a = = ， 故选：D. 【点睛】 此题考查了圆与圆的位置关系、直角三角形中正弦的定义和椭圆的基本概念等知识，属于基础题. 2．已知点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则 圆M 过点N 的切线方程为2 00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为 （ ） A ．13311x y += B ． 111099 x y += C ． 11133 x y += D ． 199110 x y += 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】 因为点(10,3)P 在椭圆22 2:199 x y C a +=上， 故可得 21009 199 a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099 x y +=，整理可得11133x y + =. 故选：C. 【点睛】 本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”， 意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程1 0110n n n n a x a x a x a --++???++=，其中 0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或 在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂. 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 利用放缩法证明数列型不等式 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333 n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =，1,2,3, n =，证明： 1 3 2 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 1 1 131131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711 12n +≥ 。 证明：（I ）111 111 1()23 2212 2n n T T n n n n n n +-= +++ -++++++++ 111 21221n n n = +- +++10(21)(22) n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ） 112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+ +-+1221122n n T T T T S --=++ +++ 由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥ ≥，又11217 ,1,212T S T ===， 12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711 (1)(1)112212 n n T T S n +≥-++=-++= 即当2n ≥时，2n S 711 12 n +≥。 课时提升作业(七十九) 一、选择题 1.a2+b2与2a+2b-2的大小关系是( ) (A)a2+b2>2a+2b-2 (B)a2+b2<2a+2b-2 (C)a2+b2≤2a+2b-2 (D)a2+b2≥2a+2b-2 2.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,则a,b,c的取值范围是( ) (A)a>0,b>0,c<0 (B)a>0,b<0,c<0 (C)a<0,b<0,c<0 (D)a>0,b>0,c>0 3.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( ) (A)a+b>2 (B)(a-b)+≥2 (C)a2+b2+c2>ab+bc+ca (D)|a-b|≤|a-c|+|c-b| 二、填空题 4.若x+y+z=1,且x,y,z∈R,则x2+y2+z2与的大小关系为. 5.(2013·西安模拟)已知a>b>0,c>d>0,m=-,n=,则m与n的大小关系为. 6.若x≥4,则--. 三、解答题 7.(2013·南昌检测)(1)求证:a2+b2+3≥ab+(a+b). (2)a,b分别取何值时,上面不等式取等号. 8.(2013·苏州模拟)设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 9.已知a>b>0,求证:<-<. 10.(2013·无锡模拟)设a,b,c是不全相等的正实数. 求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc. 11.(2013·济宁模拟)已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:++>3. 12.证明不等式:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). 答案解析 1.【解析】选D.∵a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,∴a2+b2≥2a+2b- 2. 2.【解析】选D.由abc>0,知a,b,c要么同时大于零,要么有两个负,一个正,下面利用反证法说明.不妨假 推理与证明测试题 一、选择题（本题共20道小题，每小题0分，共0 分） 1?下列表述正确的是（ ） ① 归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A. ②③④ B .①③⑤ C .②④⑤ D .①⑤ 2?“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（ ） A. 演绎推理 B .类比推理 C.合情推理 D.归纳推理 3?证明不等式丄 二 ■ ■- - - " L （ a > 2）所用的最适合的方法是（ ） A .综合法B.分析法C.间接证法D.合情推理法 4.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） A .有两个内角是钝角 B .有三个内角是钝角 C.至少有两个内角是钝角 D.没有一个内角是钝角 5?已知2、仁2, 22X 1X 3=3X 4, 2、1 X 3X 5=4X 5X 6，…，以此类推，第 5个等式为( ) 4 5 A . 2 X 1 X 3X 5 X 7=5X 6 X 7X 8 B . 2 X 1 X 3 X 5 X 7X 9=5X 6X 7 X 8X 9 4 5 C. 24 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 D. 25 X 1 X 3X 5X 7X 9=6X 7X 8X 9X 10 6.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是 （） ① y=cosx （ x € R ）是三角函数； ② 三角函数是周期函数； ③ y=cosx （ x € R ）是周期函数. A .①②③ B .②①③ C.②③① D.③②① 3 7.演绎推理“因为f '（X o ） 0时，X 。是f （x ）的极值点.而对于函数f （x ） X,f'（0） 0.所以0是函 数f （x ） X’的极值点.”所得结论错误的原因是 A.大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 大前提和小前提都错误 8.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ） B. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； C. 两条直线平行，同旁内角互补，如果 A 和 B 是两条平行直线的同旁内 角，则 31 1,3n A .在数列3 n 中 -)(n a n 1 2） ，由此归纳数列 3n 的通项公式; 不等式的证明 班级 _＿＿__ 姓名＿＿＿_＿ 一、选择题（本大题共１0小题，每小题5分，共50分) 1.若a >0, ｂ ＞0,则)11)((b a b a ++ 的最小值是 ?( ) A.2 Ｂ．22 C ．24 Ｄ.４ 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的? （ ） A ．必要条件??B.充分条件 C ．充要条件 D.必要或充分条件 3.设a 、ｂ为正数，且a + ｂ≤4，则下列各式中正确的一个是 ? （ ） Ａ. 111<+b a B. 111≥+b a C. 211<+b a ?D.21 1≥+b a 4.已知ａ、 b 均大于1，且ｌog a C ·ｌog b C=4,则下列各式中,一定正确的是 （ ） A.a ｃ≥b B.a b ≥c ? C.bc ≥ａ?Ｄ.a b ≤c ５.设a =2，ｂ=37-,26-= c ,则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） Ａ．ａ>ｂ>c B ．ｂ>a >c ?C.b>c>a D.a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数,则不等式 b a m b m a >++?? ( ） Ａ.当a ＜ ｂ时成立 B.当a ＞ b 时成立 ? C ．是否成立与ｍ无关?D.一定成立 7．设x 为实数,Ｐ=ｅx +e -ｘ ，Ｑ=（ｓi ｎx +cos x )２ ，则P 、Q 之间的大小关系是??( ? ) Ａ．P ≥Q ?B.Ｐ≤Q ?C ．P>Q ?D ． Ｐ 【最新】数学《推理与证明》期末复习知识要点 一、选择题 1．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(, ,,,)121 n n n n --L ，…，记该数组为 1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( ) A ． 9 11 B ． 1011 C ． 1112 D ． 910 【答案】B 【解析】 【分析】 设a 200在第n 组中，则 ()()112002 2 n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920 2 ?=190， 再进行简单的合情推理得：a 2001010 2010111 ==-+，得解． 【详解】 由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则 ()()112002 2 n n n n -+≤＜（n ∈N *）， 解得：n ＝20， 即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：1920 2 ?=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为 1010 2010111 =-+， a 2001011= ， 故选B ． 【点睛】 本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题． 2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ） A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B ．猜想数列111 122334 ?????，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2 2 2 2 ()()()x a y b z c r -+-+-= 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3不等式的证明练习
推理与证明经典练习题资料
不等式典型例题之基本不等式的证明
证明不等式的种方法
不等式的证明方法习题精选精讲
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
分析法证明不等式
推理与证明综合测试题
不等式证明的常用基本方法
高考理科数学一轮复习不等式的证明专题练习题
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》经典测试题附答案解析
高中数学基本不等式证明
用放缩法证明不等式Word版
高考理科练习(选修4-5第2节证明不等式的基本方法)
推理与证明测试题
不等式的证明测试题及答案
ｂ且a + b <0，则下列不等式成立的是???（ ? ） A. 1>b a B ． 1≥b a Ｃ． 1
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》技巧及练习题附答案解析
4 基本不等式的证明(1)
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