幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法

摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结

关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开

在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理：

定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞

=-=

n n

n

a z c z f ，其中系数

()

()

()

()

!

21

1n a f

d a f i c n n n =

-=

?Γ+ζζζ

π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯

一.

定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数

()z f 必可展成双边幂级数()()

∑

∞

-∞

=-=

n n

n a z c z f ，其中系数()

()

ζζζ

πd a f i c n n ?Γ+-=

121

( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一.

这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提.

接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法.

即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4

0π

=z 点处的泰勒展开式.

解：用公式 ()

()

!

0n z f

c n n =

求n c ：;14tan

0==π

c

()2

,24

sec

|

tan 12

4

==='=

c z z π

π

；

();2!

24,44

tan

4

sec

2|

tan 22

4

==

=="=

c z z π

π

π

();3

8

!316,164sec

4

tan

4

sec

22|

'''tan 34

2

4

==

=???

?

?

+==

c z z ππ

π

π

得

+??? ??-+??? ?

?

-+??? ??-+=3

2

43842421tan πππz z z z .

例2 将()z z f sin =按z-1的幂展开. 解：由题意可解得()

()???

??+=12sin

1πk f

n ??

?

??+=∴12sin !1πk n c n ()n

n z n k z 1!

12sin sin 0

-??

?

??+=

∴∑

∞

=π.

2、间接法.

即利用已知公式，通过各种运算、变换来简化求导的方法.下面给出一些主要函数的泰勒展开式： （1）

∑∞

==

+++++=-02

111n n

n

z z z z z

()1

.

（2）

()n

n

z

z z z

11112

-+++-=+ =()∑∞

=-01n n n

z ()1

（3）∑

∞

==

++

++

+=0

2

!

!

!

21n n

n

z

n z

n z

z

z e ()+∞

（4）()()∑

∞

=-=0

2!21cos n n

n n z z

()+∞

（5）()()∑

∞

=++-=0

1

2!121sin n n n n z z

()+∞

（6）()()

+-+-+

-

+=+-n

z

z

z

z i k z n

n k 1

3

2

13

2

21ln π （1

2,1,0±±=k ；k=0时为主值支）.

（7）()()

()()

++--+

+-+

+=+n

z n n z z z !

11!

21112

ααααααα

()1

2.1利用已知的展式. 例3 求??

?

??

+=

+21i i i z 的展开式. 解：因为i z +以i -和∞为支点，故其指定分支在1

i z +=

21

1??? ?

?

+i z i

=

?????

???????+??? ????

?

??-+?+ 2!2121212211i z z i

=

??

?

??++-+ 2812121z z i i ()1

)()[]z

i z

i iz iz z e

e e e e -+-+=

+112

12

1

()()??

????-+

+=∴∑

∑∞

=∞=00!

1!

121cos n n

n

n n

n

z

z n i z n i z e

=

()()[]n

n

n

n

n z

i z i n --+∑∞

=11!1

2

1

()+∞

由于i +1=i

e 42π

i

e i 4

21π

-

=-代入上式有

()n i n i

n n n

z

z e e n z e ???

? ??+=

-∞

=∑

440

!22

1cos ππ

=()

n n n

z n n ∑

∞

=0

!

4cos 2π

()+∞

2.2逐项求导、逐项求积法.

例5 用逐项求导法求函数

()

3

11

z -在1

解：因为

()

3

11

z -=

()[]"--1

12

1z ()1

()

3

11

z -=()2

012

121-∞

=∞=∑∑-="

??????n n n n z

n n z

=()()n

n z n n 122

1

++∑∞

= ()1

例6 求()1

1ln +-=z z z f 在z=0点的泰勒展开式，其中()z f 是含条件()i f π=0的

那个单值解析分支.

解：

()1111111111ln ++-=

'??? ??+--+='??

?

??+-='z z z z z z z z z f =()()

[]

n

n n n

n n

n n

z

z z ∑∑∑∞

=+∞

=∞

=--=

---0

1

111

上式两端在1

[]

n

n n z

z

dz z z i z z ∑?

∞

=+--=

'??

? ??+-=

-+-0

1

1111ln 1

1ln

π

()

[]

n

n n z

n i z z 111

1

1ln

1

--+

=+-∴+∞

=∑π ()1

2.3利用级数的乘除运算.

例7 写出()z e z +1ln 的幂级数展式至含5z 项为止，其中()z +1ln 在0=z 点处的值为0.

解：由题设条件可知 ()z +1ln 是主值支. 又由

++

++

+=!

!212

n z

z

z e n

z

()+∞

()()

+-+-+

-

=+n

z

z

z

z z n

n

13

2

1ln 3

2

()1

在公共收敛区域1

+1ln =

++

+

+

5

3

2

40

33

2

z z

z

z ()1

例8 求z tan 在点0=z 的泰勒展式.

分析：函数z tan 的奇点为z cos 的零点π??

? ?

?

+

=21k z k （ 2,1,0±±=k ）

而距原点最近的奇点为2

0π

=z 2

1π

-

=-z .故函数z tan 在2

π

为z 的幂级数. 解：

+-

+

-

=7

5

3

!

71

!

51!31sin z z z z z

+-+-=642!

61

!41

!21

1cos z z z z

可以像多项式按幂级数排列用直式做除法那样分离常数.将分子、分母的幂级数做直式相除，缺项用0 代替，得到

++

+

==

5

3

15

23

cos sin tan z z

z z

z z （2

π

<

z ）.

2.4待定系数法.

例9 设

∑∞

==

--0

2

11n n

n

z

c

z

z

()1证明：()221≥+=--n c c c n n n .

()2求出展式的前5项. ()1 证明：利用待定系数法，有

()() +++++--=n n z c z c z c c z z 2210211

=()()() +--++--+-+--n n n n z c c c z c c c z c c c 212012010 比较两端同次幂的系数得

0;;0;0;121012010=--=--=-=--n n n c c c c c c c c c

21012010,,2,1,1--+==+====∴n n n c c c c c c c c c ()2≥n .

()2解：1|11

020=--==z z z c ()

1121|110

22021=--+='

???

??--===z z z

z z z z c

从而由()1依次得 211012=+=+=c c c ， 312213=+=+=c c c ，

523234=+=+=c c c ， 即

+++++=--4

322

532111z z z z z

z .

当然，对于幂级数的展开还有其它多种方法，在这里就不一一赘述了. 最后值得一提的是用间接法解题时应注意的问题.我们通常是用已知函数的泰勒展式进行代入简化，这时应注意这些展式成立的范围与题目条件是否相吻合；其次，也应注意是在题目要求的点进行展开，展开的点的不同，最后的结果也会不同.

参考文献：

[1]钟玉泉.《复变函数论》.北京：高等教育出版社，2004.1. [2]钟玉泉.《复变函数学习指导书》.北京：高等教育出版社，2005.

[3]李建林.《复变函数 积分变换 导教 导学 导考》.西安：西北工业大学出版社，2001.9.

用幂级数展开式求极限Word版

用幂级数展开式求极限 极限理论是微积分理论的基础，极限是一个非常重要的概念，它是深入研究一些实际问题的重要工具．求函数极限的方法很多，幂级数法是其中之一． 例1 求极限21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+． 解 因为 212111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x ---+=-?+???+-??+???， 所以 22111111 ln(1)(1)()23n n x x x x n x --+=-?+???+-??+???， 因此 21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+ 211111 lim[(1)()]23n n x x n x -→∞=-?++-??+ 2 1=． 例2 利用幂级数展开式，求极限30sin lim tan x x x x →-． 解 由于x sin 在0=x 处的幂级数展开式为 3521sin (1)3!5!(21)! n n x x x x x n +=-+-???+-+???+，x -∞<<+∞ 又当0→x 时，tan ~x x ，因此 35 33 00()sin 1 3!5!lim lim 6 tan x x x x x x x x x x →→--+- -== ． 例3 求极限2242lim()333 n n n →∞++???+． 解 设 2242333 n n n S = ++???+， 作幂级数1 23n n n n x ∞ =∑ ，设其和函数为()S x ，即 12()3 n n n n S x x ∞ ==∑ ，

由 12 1 1 (1) n n nx x ∞ -== -∑，1x < 得 11 1)3(3232)(-∞=∞ =∑∑==n n n n n x n x x n x S 221 3(1)3 x x =-，13x < 由此可得 23 )3 11(1323 2)1(2 1=-==∑ ∞ =n n n S ， 因此 22423 lim()33 32 n n n →∞+++ =．

幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；

函数的幂级数展开

教案 函 数 的 幂 级 数 展 开 复 旦 大 学 陈纪修 金路 1． 教学内容 函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。 2．指导思想 （1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。 （2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 3. 教学安排 首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x ) 在x 0 的Taylor 级数： （*） ).,(,)(!) ()(00 00)(r x O x x x n x f x f n n n ∈-=∑∞ = 另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式： (1) f (x ) = e x = ∑∞ =0! n n n x !!3!2132n x x x x n +++ +=+ …, x ∈(-∞, +∞)。 (2) f (x ) = sin x = ∑∞ =++-01 2! )12()1(n n n x n )! 12() 1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈(-∞, + ∞)。

常用函数的幂级数展开式

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法—利用泰勒公式; (2) 间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开 2. 常用函数的幂级数展开式 x e ?1=) ,(∞+-∞∈x )1(ln x +?x =] 1,1(+-∈x x +2!21x +, ! 1 ΛΛ+++n x n 221x -331x +Λ+-441x 11 )1(++-+n n x n Λ+式的函数. 目录 上页 下页 返回 结束 Λ++-++! )12()1(1 2n x n n x sin ?x =!33x -!55x +Λ+-!77x x cos ?1=!22x - !44x +Λ+-!66x Λ+-+! )2()1(2n x n n m x )1(+?1=x m +2 ! 2)1(x m m -+Λ +ΛΛ++--+n x n n m m m ! )1()1(当m = –1 时x +11 ,)1(132ΛΛ+-++-+-=n n x x x x ) ,(∞+-∞∈x ) ,(∞+-∞∈x ) 1,1(-∈x )1,1(-∈x

目录上页下页返回结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域Ω, 有连续分布的密度函数.),, (z y x ρ该物体位于(x , y , z ) 处的微元v z y x y x d ),,()(2 2ρ+因此物体对z 轴的转动惯量: ???+=Ω ρz y x z y x y x I z d d d ),,()(2 2=z I d O x y z Ω对z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. 目录上页下页返回结束 类似可得:???=Ω ρz y x z y x I x d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I y d d d ),,( ???=Ω ρz y x z y x I O d d d ),,( )(22z y +)(22z x +)(222z y x ++对x 轴的转动惯量 对y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量

幂级数的展开

函数的幂级数展开研究 摘要：本文主要讨论函数项级数中的幂级数的展开。我们把按照泰勒定理及相关定理展开函数的幂级数的方法叫直接法。一般情况下，只有少数简单的函数能利用直接法得到其幂级数展开式。更多的函数是通过间接法得到。间接法就是根据唯一性定理，利用已知函数的展开式，通过线性运算、变量代换、恒等变形、逐项求导或逐项积分等方法间接地求得幕级数的展开式的方法。同时幂级数在近似计算、数值逼近、微分方程的解等许多数学方面具有重要作用，但前提是正确展开一个函数的幂级数。因此，我们的目的是通过实例总结和研究高等数学中函数的幂级数展开的常用方法和实际问题中的应用。 关键词：函数；幂级数；展开式 Abstract: This paper centers on the expansion of power series in function series. We define the method of expanding power series according to Taylor’s theorem and relative theorems the Direct Method. Normally, only a few simple functions can get their expansion of power series through the Direct Method while most of functions through the Indirect Method. The Indirect Method is a method of getting the power series of functions indirectly through linear operation, variable substitution, identical deformation, derivation or integration term by term, based on the Uniqueness Theorem and the expansion of known functions. Meanwhile, power series plays an significant role in many aspects of mathematics such as approximation, numerical approximation, the solution of differential equation on condition that the power series is expanded correctly. Therefore, our purpose is to study different methods of the expansion of power series in Higher Mathematics and their application in practical problems by summarizing demonstrating examples. Keywords: Function; power series; expansion. 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割