数学归纳法教学导案(新)
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教材背景：
归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．
教学课题：数学归纳法
教材分析：
“数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。
教学目标
1、知识和技能目标
(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）
(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。
(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。
2、过程与方法目标
通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学
交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3.情感态度价值观目标
通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，
激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索的
治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
教学重点和难点
教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤
中归纳假设和恒等变换的运用。
教学难点：
（1）数学归纳法的原理；
教学方法：讲授法、引导发现法、类比探究法、讲练结合法
教学过程：
（一）复习引入
问题（1）袋中有5个小球，如何证明它们都是红色的？（完全归纳法）
问题（2）某人站在学校门口，看到连续有20个男生进入学校，于是深有感触的说这个学校的学生都是男生。（不完全归纳法）
（二）新课讲解
1、多米诺骨牌实验
要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
（1）第一张牌被推倒（奠基作用）
（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下（递推作用）
于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
例1、证明：2462(1)n n n +++=+L ()n N +∈ 证明：（1）当1n =时，左边=2，右边=2，等式成立。
（2）假设n k =时等式成立，即2462(1)k k k +++=+L
那么，当1n k =+时，
24622(1)k k +++++L
(1)2(1)
(1)(2)(1)[(1)1]
k k k k k k k =+++=++=+++
所以，1n k =+时等式也成立。
由（1）和（2）可知，等式对于任何正整数n 都成立。
2、归纳总结
数学归纳法证明步骤：
(1)验证当n 取第一个值0n （如0n =1或2时）命题正确。
(2)假设当n k =时0(,)k N k n ∈≥命题正确，证明1n k =+时命题也正确。 3．基础反馈
①用数学归纳法证明：()N n a a
a a
a a n n ∈≠-+=
++++++,11112
1
2
Λ在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ C ） A ．1
B.a +1 C ．2
1a a ++ D.32
1a a
a +++
②用数学归纳法证明命题时，假设111
()122k S k N k k k
+=
+++∈++L 那么 1111
21221
k K S S k k k +=+
+-+++ ③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？
证明：2222(1)(21)
123()6
n n n n n N +++++++=∈L
证明：（1）当1n =时，左边=1，右边=
(11)(21)
16
++=等式成立 （2）假设当n k =时等式成立即
2222(1)(21)
1236
k k k k ++++++=
L
当1n k =+时代入2222(1)(21)
1236
n n n n ++++++=
L 得
[][]
22222123(1)(1)(2)(23)
6
(1)(1)12(1)16
k k k k k k k k +++++++++=+++++=
L
所以当1n k =+时等式成立
由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
（三）、课堂小结
（1）理解数学归纳法的原理
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，
最终给出结论。
（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。
（四）、作业 : P 37 2 P 39 1 （五）、课后练习及探究:
练习：P 37 (1)、(3)
探究：下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程，你认为他的证法正确吗？为什么？
证明：（1）当 1n =时 左边= 右边11112
==+ 等式成立 （2）假设当n k =时命题成立即
那么1n k =+时, 左边11111
(1)()(
)22312
k k =-+-++-++L 112(1)1
k
k k =-
=
+++=右边
1
)1(1321211+=+?++?+?n n
n n Λ21211=?11
112
23
(1)1
k
k k k ++???+
=
???++
即1
=+时命题成立
n k
由（1）和（2）知，对一切自然数命题均成立。
（六）、预习：用数学归纳法证明不等式
（七）、课后反思
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用．我认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．
2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是加强学生对教学过程的参与．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展．
3．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．