第十章数论之完全平方数
概念
在整数中，如果a=b2，则称a为完全平方数。
【相关公式】 a2-b2=（a+b）（a-b）
（a±b）2=a2±2ab+b2
12+22+32+，，+n2=n（n+1）（2n+1）÷6
【解题思路及方法】运用完全平方数的性质来解题，如：
（1）完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9；
（2）在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数；
（3）完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数；
（4）若质数p满足p | 2，那么p | a 。
例题
1. 在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？
2. 下列四个数中：513231 121826 122530 625681有多少个完全平方数。
3.证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
4. 证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数。
5. 一个自然数X加上60,为一完全平方数。如果加上43, 则为另一完全平方数，求X。
6. 一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。
7. 求一个能被180整除的最小完全平方数X。
8. 一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数，求这样的两位数。
9. 若自然数X2是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？
10. 判断600，1234567，2209，333331哪些是完全平方数，如果不是请说明理由。
11. 两个数x、y，它们的完全平方数之差A=1986，问这两个数是什么？
12. 两个完全平方数之差为147，问这两个数是什么？
13. 有这样的两位数，交换该数数码，所得到的两位数与原数的和是一个完全平方数。例如：29就是这样的两位数，29+92=121，而121是11的完全平方数。
14. 求一个四位完全平方数n，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
15. 自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，且N的个位数字与十位数字也都是完全平方数，这样的自然数有几个。
16. 一个三位数abc，是个完全平方数，它的前两位数ab和个位c也都是完
17. 将自然数的平方数从小到大依次排列成一串有序数列：1491625364 9 6481100 …第11位上的数字是9，第88位上的数字是多少。
18. 一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少。
19. 有两个两位数，它们的差是56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？
20. 祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁。
21. 快乐小学为庆祝“六一”儿童节排练学生团体操，团体操要求全体参加排练的学生恰好能排成一个正方形队列，也能变成一个三角形队列。参加排练的学生至少要有多少人。
22. 两个自然数A、B的平方和637，最大公约数M 与最小公倍数G的和49。求A、B。
23. n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
24. 己知Z=169是3n+1型的完全平方数。反算：N+1是哪3个完全平方数
之和。
25. 己知Z=29929是3n+1型的完全平方数，反算：N+1是哪3个完全平方数之和．
26. 证明：每四个连续自然数的积加1，必定是一个完全平方数
27. 两个奇数的平方和一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2 、92+152=306≠y2 等等
28. 证明：两个质数的平方和一定不是完全平方数
29. （真题）若某整数为完全平方数，且末四位数字相同，求这种整数。
30. 从360到630的自然数中，有奇数个因数的数有哪些？有且仅有三个因数的数有哪些？
31. 证明：不存在一个平方数的2倍，等于另一个平方数。即2n2≠m2
32. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是多少。
33. 已知1234567654321×19是一个完全平方数，求它是谁的平方。
34. 已知自然数n满足：12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小值为多少。
35. 下面是一个算式：1+2×1+3×2×1+……+20×19×18×……×2×1，这个算式的得数是否是某个数的平方？如果是，写出是谁的平方，如果不是请说明理由。
36. 由5个1和5个6和3个5组成的13位数中，有没有平方数。如果有，写出是谁的平方，如果没有请说明理由。
37. 从3601到5000的自然数中，有奇数个因数的数有哪些？有且仅有三个因数的数有哪些？
38. 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是多少?
39. 把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……,请问这个多位数共有多少位数字。
40. 写出60到150之间存在哪些平方数，他们是谁的平方？
41. 请估算2304是谁的平方？
42. 495乘以一个自然数a，或者除以一个自然数b后，变成了一个完全平方数，请问a和b最小是几？
43. 请写出200到300之间那一个数仅存在3个因数。
44. 4,31,431,4431,44431,444431……中存在多少平方数。
45. n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．
46. 一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数。
47. A是由2002个4组成的多位数，A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B，如果不是请说明理由。
48. 自然数的平方按大小拍成1,4,9,16,25,...，请问第612个位置数字是几？
49. 证明如11,111,1111,11111，的数中有没有完全平方数。
50. 有一个正整数的平方，最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小正整数。
51. 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是
完全平方数吗？若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由。
52. 已知ABCA是一个四位数若两位数AB是一个质数,BC是一个完全平方数,CA是一个质数与1个不为1的完全平方数之积,则满足条件的所有四位数有哪些?
53. A是一个两位数,它的6倍是一个三位数B,如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数,并且这两个五位数的差是一个完全平方数（整数的平方）,那么A的所有可能取值之和为。
54. 有两个两位数,它们的差是14,将它们分别平方,得到的两个平方数末两位数相同，那么这两个两位数是多少?
55.（真题）两个完全平方数的差为77,则这两个完全平方数的和最大是多少?最小是多少?
56. 求一个最小的自然数,它乘以2后是是完全平方数,乘以3后是完全立方数,乘以5后是完全5次方数.
57. 有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最小值为多少?
58. 有一个数加24,和减去30所得的两个数都是完全平方数,求这个数是几?
59. 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
60. 已知3528a恰是自然数b的平方数,a的最小值是多少
答案与解析
1. 奇数的平方是4N+1型奇数。一位数字为奇数的，只有1、9 。二位数字以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。例如11 11111、13579、315351 9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。
答：2个，即1 、9 。
2. 根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96 25 01 21 41 81 09 29 49 69 89。只有625681 的尾是81，可能是完全平方数。但还要作充份条件的判别：完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。最直接的方法是质因数分解。625681=72×1132 ，合符充份条件，所以625681是完全平方数。
答：只有625681是完全平方数。
3. 答：奇数为2n+1，则它的平方为4n2+4n+1，显然除以4余1。现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数。且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111 等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
4. 答：55
5...550000 的数字和为39×5=195 ，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。所以它不可能是完全平方数。
5. 设这个自然数为x，x+60=a2，x+43=b2，
则：a2-b2=60-43=17，（a+b）（a-b）=17×1，
所以a+b=17，a-b=1，
因此，a=9，b=8，
答：这个数是92-60=81-60=21．
6. 设这个自然数是x,并设
x-45=a2
x+44=b2
第二个式子减第一个式子得
b2-a2=89
(b+a)(b-a)=89×1
可知b+a>b-a,所以
b+a=89
b-a=1
解得：b=45,a=44,
此时x=1981；
答：这个自然数是1981.
7. 180=2×2×5×3×3
2,3都是一对的,所以不需要再乘了,由此可知180的因数里缺了5 这个数,也就是180×5=900
答：该最小完全平方数是900
8. 设这样的两位数是AB ，题意AB＋BA＝X2，
即10A+B+10B+A= X2，11 (A+B)＝X2，可见A+B应=11。
若A=2 则B=9 …等等。检算如下：
答：这样的两位数是 29 38 47 56
9. X的下一个数是X+1，它的完全平方数是 (X＋1) 2 =X 2+2X+1，
例如 42=16 ，4+1=5，52=16+8+1=25
答：是X2+2X+1。
10. 两个相邻的完全平方数之间没有其余的完全平方数，因此600不是。末尾不能使0,1,4,5.6,9以外的数字，因此1234567不是，1的前面是一个偶数，333331排除。因此2209是完全平方数，472。
答：2099是完全平方数。
11. 这两个数是X、Y 。
有A=Y2－X2=(Y＋X)×(Y－X)＝1986。
1986因数分解：1986=1×1986， (Y+X)×(Y－X)=1986×1，
(Y+X)=1986， (Y－X)=1，2Y=1987
Y=993.5，X=992.5 。
虽然 Y2－X2=984.52－983.52=1986 ，但X、Y不是正整数，所以无解
从上面两个计算结果可见：如果A分出的两个因数 (Y+X) 、(Y－X) 不是同奇或同偶，则所得的X、Y必然不是整数，因此，此时无X、Y的整数解。答：无整数解。
12. 这两个数是X、Y 。有Y2－X2=(Y＋X)×(Y－X)＝147 。147因数分解：
一 147=147×1 分出的因数同奇，有整数解。
(Y+X)×(Y－X)=147×1，(Y+X)=147， (Y－X)=1，2Y=148，Y=74，X=73
二147=49×3，(Y+X)×(Y－X)= 49×3，(Y+X)=49，(Y－X)=3，2Y=52，
Y=26， X=23
三147=21×7，(Y+X)×(Y－X)= 21×7，(Y+X)=21，(Y－X)=7，2Y=28，
Y=14， X=7
答：有三组：(73、74) 、(23 、26 )、 (7、14)。
13. 设该数为AB ，于是有（10A＋B）＋（10B＋A）＝C2
（10A＋B）＋（10B＋A）＝11A+11B=11(A+B) =C2
要得到C2，必须使(A+B)＝11
这样的两位数有：29. 38. 47. 56. ，得：
29+92=121=112 38+83=121=112 47+74=121=112 56+65=121=112
答：这样的两位数有：29. 38. 47. 56.
14. 凡aabb 型的完全平方数，bb 只有00 44两类，所以可凑：
aabb=1100 、2200 、3300、9900，都开方，得不到整数。
aabb=1144 、2244 、3344、9944 都开方，除√7744=88外，也都得不到整数。所以aabb=7744
答：n=7744
15. 因为两位数的完全平方数只有16 25 36 49 64 81 。其中只有49一个数，它的个位数字与十位数字都是完全平方数。
答：1个，就是49。
16. 个位c只能是1、4、9，前两位数ab只能是16 25 36 49 64 81 ，组合为完全平方数abc，只能是361=192 、169=132
用16 分别配 1、4、9，找出了完全平方数169，
用25 分别配 1、4、9，找不出完全平方数
用36 分别配 1、4、9，找出了完全平方数369
…
用81 分别配 1、4、9，找不出完全平方数。最后，169+361=530。
答两个三位数的和是530
17. 先列出有关的自然数及其完全平方数：
1 2 3 4 5 6 … 9 10 11 12 … 31 32 33 …
1 4 9 16 25 36 … 81 100 121 144 ... 961 1024 …
平方数为一位数的有 3个，共1×3=3个数字
平方数为二位数的有9-4+1=6个，共2×6=12个数字
平方数为三位数的有31-10+1=22，个共3×22=66个数字
以上共计3+12+66=81个。
再从32的平方1024起算，第82位是1024的1，第88位的数字是1089中的8
答：第88位上的数字是8。
18. 2940=2×2×3×5×7×7=22×72×15。如果再乘一个15，就成为完全平方数了。所以这个数为A，A=15。验证：2940A=2940×15=44100=2102。如果A=15×22 也可以使2940A成为完全平方数，但大了4倍。所以A=15为最小。
答：这个最小的数是A=15。
19. 设：这两个两位数为A与B，B=A+56。其中A最小为10，最大为43，先解决一位数字相同，再解决一位数字相同。先以下分析：
A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 … 42 43
B=A+56 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 … 98 99
A2 尾数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 1 4 … 4 9
B2 尾数 6 9 4 1 0 1 4 9 6 5 6 9 4 … 4 1
可见一位数字相同的是17与 73 、 22 与78等七组，所以又有以下分析：
A 12 22 32 42 17 27 37
B=A+56 68 78 88 98 73 83 93
A2 尾数 144 484 1024 1764 289 729 1369
B2 尾数 4624 6084 7744 9604 5329 6889 8649
其中，尾二位数字84相同，只有A=22 和B=A+56=78 。
答：A=22 B=A+56=78
20. 父亲的年龄A 据题意有1512A=B2
1512=23×33×7 根据完全平方数因数指数为偶的原理，A应=2×3×7＝42这样，
1512×A＝1512×42=63504=2522 才合题意，所以A取42。
答：父亲的年龄42，且估计孙子的年龄21、爷爷的年龄72。
21. N 1 2 3 4 5 6 7 8
正方形队列是 1 4 9 16 25 36 49 64 … S=NN
三角形队列是 1 3 6 10 15 21 28 36 45 … S=N(N+1)∕2
可见至少要有36人，才同时满足两种队形。
答：至少要有36人。
22. 以短除法表示 M ∣ A B A＝M×a B=M×b
最大公约数M
a b最小公倍数G＝M×a×b
题意：A2+B2=637 M+G=49 求A B
A2+B2= M 2 a 2+M 2 b 2=M 2 (a 2+b 2)=637 =7 2×13 → M 2 ( a 2+b 2 ) = 7 2×13 M+G=M+M a b=M (1+a b ) = 49
M 2 ( a 2 + b 2 ) = 7 2×13 (1)
→ M 2 = 7 2
→ M=7
→ ( a 2 + b 2 )=13 (3)
M (1+a b) = 49 (2)
→ 7 (1+a b) = 49
→ (1+a b)=7 (4)
解(3) 、(4) 得 M=7 a=2 b=3
A＝M×a =7×2=14 B=M×b=7×3=21
答：A=14 B=21
23. 答：设3n+1=m2，显然3不能整除m，因此，m=3k+1或m=3k+2 (k是正整数)．
一若rn=3k+1，则3n+1=(3k+1)2，3n+1=9k2+6k+1，3n= 9k2+6k，n= 3k2+2k 3n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k2+2k+1)= k2+ k2+( k+1)2，即三个平方数之和。
二若m=3k+2，则3n+1=(3k+2)2，3n+1=9k2+12k+4，3n= 9k2+12k +3，n= 3k2+4k +1，n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2，也是三个平方数之和。
故n+1是3个完全平方数之和。验算：
n= 1 5
3n+1=m2 4 16 (为完全平方数)
rn=3k+1 2 4
k 1/3 1
n+1= 2 6
k2+ k2+( k+1)2 2=0.332+0.332+1.332 6=1+1+4 (验证n+l是三个平方数之和)
n = 8 133
3n+1 =m2 25 400 (为完全平方数)
m =3k+2 5 20
k = 1 6
n+1= 9 134
k2+(k+1)2+( k+1)2= 9=1+4+4 134=36+49+49 (验证n+l是三个平方数之和)
24. 己知Z=169，3n+1=169，N=56，N+1=57，Z=M2，M=√169=13，K=4，M=3K+1 由公式 N+1= k2+k2+( k+1)2，57 =42+42+52=16+16+25 证毕
答：Z=169是3n+1型的完全平方数，则N+1=57。而是M=√Z =13是3K+1型的数，N+1是4、4、5三个数的平方之和。
25. 己知Z=29929，3n+1=29929，N=9976，N+1=9977，Z=M2，M=√Z=√29929=173，M=3K+2，K=57 则有N+1= k2+(k+1)2+( k+1)2，9977 =572+(57+1)2+(57+1)2=572+582+582 =3249+3364+3364=9977
答：Z=29929是3n+1型的完全平方数，N+1=9977。而是M=√Z=173是3K+2型的数，N+1是57、58、58三个数的平方之和
26. 答：x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x4+6x3+11x2+6x+1=x4+6x3+（9x2+2x2）+6x+1=x4+6x3+9x2+（2x2+6x）
+1=x2(x+3)2+2x(x+3)+1=[ x(x+3) ]2+2x(x+3)+1
=[x(x+3)+1]2=(x2+3x+1)2=[x(x+1)+(2x+1)]2
而x(x+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2x+1是奇数，因而