. . .. .
圆锥曲线测试题
1．过椭圆2
2
41x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆交于,A B 两点，则A 与B 和椭圆
的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 22
2．已知，是椭圆：的两个焦点，在上满足的点的个数为（）
A. B. C. D. 无数个
3．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >， 0b >）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是（ ） A. ()1,2 B. (]1,2 C. [
)2,+∞ D. ()2,+∞
4．已知抛物线2
2y px =与直线40ax y +-=相交于,A B 两点，其中A 点的坐标是()1,2，
如果抛物线的焦点为F ，那么FB FA +等于（ ） A. 5 B. 6 C. 35 D. 7
5．设12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，过12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点
构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ） A.
31
- B. 51- C. 2
2
D. 36．设椭圆22162x y +=和双曲线2
213
x y -=的公共焦点为12,F F ， P 是两曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 的值等于（ ）A.
13 B. 14 C. 19 D. 3
5
7．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的左右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与
双曲线渐近线的一个交点为()1,2 ，则此双曲线为 （ ）
A. 2214x y -=
B. 2214y x -=
C. 2212x y -=
D. 22
12
y x -=
8．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点()2,3-的抛物线方程是（ ）
A. 294y x =
B. 243x y =
C. 294y x =-或243x y =-
D. 292y x =-或243
x y = 9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12
， E 的右焦点与抛物线2
:8C y x =的焦点
重合， ,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
10．已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，则椭圆和双曲线的离心率之积的围是（ ）
A. ()1+∞，
B. ()01，
C.
D.
)
+∞
11．已知抛物线C ： 2
4y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为
3
π
的直线交曲线C 于A ， B 两点，则弦AB 的中点到y 轴的距离为（ ）
A.
163 B. 133 C. 83 D. 53
12．已知双曲线22
2:14
x y C a -
=的一条渐近线方程为230x y +=， 1F ， 2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A. 0.5 B. 12.5 C. 4或10 D. 0.5或12.5
13．已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的2倍，且过点()3,0P ，则椭圆的方程为__________．
14．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝______． 15．已知抛物线的方程为2
2(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，
若OAB 为等边三角形，且面积为p 的值为__________．
16．若,A B 分别是椭圆2
2:1(1)x E y m m
+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线AP 与直线BP 的斜率之积为4
m
-
，则椭圆E 的离心率为__________．
17．已知双曲线C 和椭圆22
141
x y +=． （Ⅰ）求双曲线C 的方程．
（Ⅱ）经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于A ， B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的
. . .. .
方程．
18．已知抛物线2
:2(03)C y px p =<<的焦点为F ，点(Q m 在抛物线C 上，且
3QF =。
（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程及实数m 的值；
（Ⅱ）直线l 过抛物线C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，若AOB ?（O 为坐标原点）的面积为4，求直线l 的方程.
19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F ， 2F ，离心率为2，且过
点(．
（1）求椭圆C 的标准方程．
（2）M 、N 、P 、Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ， 2F ，且这条直线互相垂直，求证：
11
MN PQ
+为定值． 20．椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，过其右焦点F 与长轴垂直的直线与
椭圆在第一象限相交于点M ， 1
2
MF =
. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆上的动点，且点P 与点A ， B 不重合，直线PA 与直线3x =相交于点S ，直线PB 与直线3x =相交于点T ，求证：以线段ST 为直径的圆恒过定点.
21．已知圆22
:100C x y ++-=点)
A
, P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直
平分线I 和半径CP 相交于点Q 。
（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y kx =Q 的轨迹交于不同两点A 和B ，且1OA OB ?=（其中 O 为坐
标k 的值.
22．已知直线240x y +-=与抛物线21
2
y x =
相交于,A B 两点（A 在B 上方）,O 是坐标原点。
（Ⅰ）求抛物线在A 点处的切线方程；
（Ⅱ）试在抛物线的曲线AOB 上求一点P ,使ABP ?的面积最大.
参考答案
1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．B 10．A 11．D 12．D
13．
22
19
x y +=或221981x y += 14．8 15．2 解设()11,B x y ， ()22,A x y ，∵OA OB =，∴22221122x y x y +=+．又2
112y px =，
2
222y px =，∴()22212120x x p x x -+-=，即()()211220x x x x p -++=．
又1x 、2x 与p 同号，∴1220x x p +=≠．∴210x x -=，即12x x =．
根据抛物线对称性可知点B ， A 关于x 轴对称，由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB
的方程
为
y x
=，
由
2{ 32y x
y px =
=，解
得
()
6,B p ，
∴
OB =
=。∵
OAB 的面积
为
，
∴
)
2
4
=24
p =，∴2p =．
16．2 17． 解：（I ）由题意得椭圆
22141
x y +=的焦点为()
F ， ()23,0F ， 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则2223
c a b =+=，
∵c e a ==c =，
∴ 2
2
33c a ==，解得2
1a =，∴ 2
2b =，∴ 双曲线方程为2
2
12
y x -=． （II ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()12y k x -=-，即()21y k x =-+。
由()2221
{
1
2
y k x y
x =-+-=消去x 整理得()()22222244430k x k k x k k -+-++--=， ∵直线l 与双曲线交于A ， B 两点， ∴(
)
(
)(
)
22
2
2
2
20
{
24424430
k k k
k k k -≠?=-+--?-->，
解得2
2k ≠。设()11,A x y ， ()22,B x y ,则2122422
k k
x x k -+=-，又()2,1M 为AB 的中点
. . .. .
∴
224242k k
k -=-，解得4k =．满足条件。∴ 直线()421l y x =-+的方程为，即47y x =-.
18． 解：（Ⅰ）因为抛物线C
过点(Q m ， 28pm ∴= 又因为3QF =， 32
p
m +
=，
03p <<，解得： 2,2p m == 24y x ∴=， 2m =；
（Ⅱ）
24y x =的焦点()1,0F ，设所求的直线方程为： 1x my =+由21
{
4x my y x
=+=，消
去x 得： 2
440y my --= 因为直线l 与抛物线C 交于,A B 两点， 216160m ∴?=+>， 设()()1122,,,A x y B x y ，12124{ 4
y y m y y +==-，
12y y -=
=
所以AOB ?
的面积为12142OF y y =
?-==，
解得： 2
3,m m =∴=
l 的方程为： 1x =-.
19． 解：（1）∵
2c e a ==，∴ 2222
22
112
b a
c e a a -==-=，∴ 222a b =， ∴ 椭圆C 的方程为222212x y b b
+=，又点(在椭圆上，∴
2222212b b += 解得2
4b =，∴ 2
8a =，∴ 椭圆C 的方程为22
184
x y +=． （2）由（1）得椭圆C 的焦点坐标为()12,0F -， ()22,0F ， ①当直线MN 的斜率为0
时，则2,?MN PQ ==
∴
11MN PQ +==②当直线MN 的斜率为0时，设其()2y k x =+方程为， 由直线MN 与PQ 互相垂直，可得直线()1
2PQ y x k
=-
-的方程为， 由()
2
2
2{ 18
4
y k x x y =++
=消去y 整理得()2222218880k x k x k +++-=，
设()11,M x y ， ()22,N x y ，则2122821k x x k -+=+， 212288
21
k x x k -=+，
∴
)2
2121
k MN k +==
+，
同理)2
212
k PQ k +=
+，
∴
222118MN PQ +===．
综上可得
118
MN PQ +=为定值。 20解：（1）解：
c e a ==因为，又212b MF a ==，联立解得： 21a b ==，，
所以椭圆C 的标准方程为22
141
x y +
=. （2）证明：设直线AP 的斜率为k ，则直线AP 的方程为()2y k x =+，
联立3x =得()35S k ，.()00P x y 设，，代入椭圆的方程有： ()22
00
01241
x y x +=≠±， 整理得： ()
2
2
0144y x =--，故2
020144y x =--，又002y k x =+， 002
y k x ='- (k k '，
分别为直线PA ，PB 的斜率)，所以20201
44
y kk x ==--'，所以直线PB 的方程为：
()1
24y x k =
--，联立3x =得134T k ?? ?-??
，，所以以ST 为直径的圆的方程为： ()2
2
2
515132828k k x y k k ??????-+--=+ ? ?????????，令0y =
，解得： 3x =± 所以以线段
ST 为直径的圆恒过定点30??
? ???
.
21．解：
（I
）配方，圆((2
2
2
:C x y +=
由条件， QC QA CP CA +=>，故点
Q 的轨迹是椭圆，
1a c b =
==，
. . .. .
椭圆的方程为2
213
x y += （II
）将y kx =+2
213
x y +=
得221330k x +++=（）. 由直线与椭圆交于不同的两点，得
()
()
()
22
2
2130,
{
121312310.
k k k +≠?=-+=->即21
3k >. 设()(),,,A A B B A x y B x y
，则2
313A B A B
x x x x k +==+. 由1OA OB ?=,得2A B A B x x y y +=.
而(
(
)
()2
(12A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=++=++++ (
)
2
2
22353121331
k k k k -=++=++.
于是2253131
k k -=+.
解得k =故k
的值为3±.
22．解：（I ）由 2240
{ 1
2
x y y x +-==得()21A ，,
故令1
'4y y k === 抛物线在A 点的切线方程为420x y -+=. （II ）由21
2
y x =
及直线240x y +-=的位置关系可知，
点P 应位于直线240x y +-=的下方.
故令'y y == 设切点为()00,x y 过切点()00,x y 的切线与直线240x y +-=平行，
所以12=-.所以012x =，所以切点坐标为1122??
- ??
?，， 此时该点为抛物线上与线段AB 的距离最大的点,故点 11,22P ??
-
???
即为所求. 所以在抛物线的曲线AOB 上存在点11,22P ??
-
???
,使ABP ?的面积最大.