【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin 22sin cos ()S αααα=?
22222cos 2cos sin ()
2cos 112sin C αααααα=-=-=-
22
2tan tan 2()1tan T αα
αα
=
-
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当2
k παπ≠
+及
()4
2
k k Z π
π
α≠
+
∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、
2α是4
α
的二倍、3α是32α的二
倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：2
cos
2
sin
2sin α
α
α=；1
1
sin
2sin
cos ()2
2
2
n
n n n Z α
α
α
++=∈
2．和角公式、倍角公式之间的在联系
在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型 求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
(),2()()ααββααβαβ=-+=++-等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之
间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：
（1）4sin
cos
2
2
α
α
；（2）2
2
sin
cos 8
8
π
π
-；（3）
2tan 37.51tan 37.5?
-?
．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式． 【答案】（1）2sin α（2）22-（3）23
2
+ 【解析】 （1）4sin
cos
22sin
cos
2sin 2
2
2
2
α
α
α
α
α=?=．
（2）2
2
222sin cos cos sin cos 8
88842π
π
πππ?
?-=--=-=-
???
（3）
22tan 37.512sin 37.5123tan 751tan 37.521tan 37.522
??+=?=?=-?-?．
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二
倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin 2sin 2cos α
αα
=
，不断地使用二倍角的正弦公式
方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用sin 2cos 2sin α
αα
=进行化简．
【答案】
116
【解析】方法一： sin 20sin 50sin 70sin10sin 50sin 702cos10???
???=
?
sin 20cos 20sin 50sin 40sin 50sin 40cos 402cos104cos104cos10???????===
???
sin 801
8cos108?==?． ∴1
sin10sin 30sin 50sin 7016
????=
方法二：原式1cos 20cos 40cos802=???2sin 20cos 20cos 40cos804sin 20????
=?
sin 40cos 40cos80sin80cos801sin16014sin 202sin 2016sin 2016
??????===?=???．
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特
征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若sin 0α≠，则11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n n
n α
ααααα
++=．
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°． 【解析】原式2sin 20cos 20cos 40cos80cos 20cos 40cos802sin 20????
=???=
?
2sin 40cos 40cos802sin80cos804sin 208sin 20?????
=
=
?? sin160sin 2018sin 208sin 208
??===??． 类型三：利用二倍角公式化简三角函数式 例3．化简下列各式： (1)
4sin 1)2(2cos cos 12sin sin -+++θ
θθθ
【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）tan θ（2）sin 2cos2-
【解析】(1)
.tan )cos 21(cos )
cos 21(sin cos 2cos cos sin 2sin 2cos cos 12sin sin 2θθθθθθ
θθθθθθθθ=++=+?+=+++
(2)4sin 1-
.2cos 2sin |2cos 2sin |)2cos 2(sin 2cos 2cos 2sin 22sin 222-=-=-=+?-=
【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：αααα2
2sin 22cos 1,cos 22cos 1=-=+．经常起到消除式子中1的作用．②由于2
)cos (sin sin21cos sin 22sin αααααα±=±?=，从而，可进行无理
式的化简和运算．
例4．化简：222cos 1
2tan sin 44αππαα-????-?+ ? ?
????
．
【解析】 原式2cos 22sin 4cos 4cos 4α
παπαπα=
??- ?
??
???- ?????- ?
??
cos 2cos 22sin cos sin 2442αα
πππααα=
=??????--- ? ? ?
??????
cos 21cos 2α
α
=
=．
【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．
举一反三： 【变式1】（1
的化简结果是．
（2）已知3sin 5α=
，且α∈(2π，π)，则2sin 2cos αα
的值为． 【答案】（1）sin3cos3-（2）3
2
-
【解析】
（1）原式
=|sin3cos3|- =sin3cos3- （2）因为3sin 5α=
，且α∈(2π，π)，所以4cos 5α=-，原式=22sin cos 3532()cos 542
ααα=??-=-． 类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例2】 例5．求值： （1）已知3sin(
)1225
π
θ-=，求cos()6πθ-．
（2）已知sin()4
m π
α+
=，求sin2α．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）725
（2）2
21m - 【解析】 （1）cos()cos cos 266122π
ππθθθ????-
=-=- ? ?????
=2
12sin 122πθ??
-- ??
? =91225
-? =
725
（2）sin 2cos(
2)2π
αα=-+=212sin 4πα??
??--+ ??????
? =2
12sin 4πα??
-++ ???
=2
21m -
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧． 举一反三：
【变式1】 已知1
sin cos 3
αα+=
，且0απ<<，求sin 2α，cos2α，tan 2α的值． 【答案】89
-
【解析】由1sin cos 3αα+=，得2
1(sin cos )9
αα+=， 即112sin cos 9αα+=
，∴8sin 22sin cos 9ααα==- 由1sin cos 3αα+=，得1
cos sin 3
αα=-，
∴2
21cos sin 3αα??
=- ???
．
即2
2121sin
sin sin 93
ααα-=-+．
整理得2
9sin 3sin 40αα--=．
解得1sin 6α=
或1sin 6
α=（舍去）．
∴2
2
1cos 212sin 1269αα?+=-=-?=- ??
．
∴sin 2tan 2cos 2ααα=
=．
【总结升华】解题过程中注意角α的围的判定．
【变式2】已知1
tan 42πα??+= ???
，（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．
【解析】 （1）tan
tan 1tan 14tan 41tan 2
1tan tan 4
π
απααπαα++??+=== ?-??-，解得1tan 3α=-．
（2）222
sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 212cos 12cos ααααααα
ααα
---==++- 1115tan 2326
α=-
=--=-．
【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan α的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan α的式子求解，或者通过消元转化的方法求解． 类型五：二倍角公式的综合应用
【高清课堂：倍角、半角公式370633 例3】
例6．已知22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，求：
（1）f (x )的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）f (x )的单调区间．
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成sin()A x k ω?++的形式．
【答案】（1）
2|,8x x k k z ππ??
=+∈????
（2）单增区间
3,,88k k k z ππππ?
?-+∈????
单减区间 5,,88k k k z ππππ??++∈???
? 【解析】
（1）原式=1sin 2cos21x x +++ =sin 2cos22x x ++
)24
x π
++
则当22,4
2x k π
π
π+
=+
即|,8x x k k z ππ??
=+∈????
时，
max ()2f x =
（2）f (x )的单调递增区间为：2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，则
3,,88x k k k z ππππ?
?∈-+∈???
?
f (x )的单调递减区间为：32222
4
2
k x k π
π
π
ππ+
≤+
≤+
，则 5,,88x k k k z ππππ?
?∈++∈????
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及sin()y A x ω?=+的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：
（1）缩角升幂公式2
1sin sin cos 22α
αα??+=+ ?
?
?，
2
1sin sin cos 22α
αα??-=- ?
?
?．
2
1cos 2cos 2
α
α+=，
2
1cos 2sin 2
α
α-=．（2）扩角降幂公式2
1cos 2cos 2αα+=
，2
1cos 2sin 2
αα-=． 例7． 已知向量(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，求函数()f x =?a b ． （1）求()f x 的最大值及相应的x 值；
（2）若8()5f θ=
，求cos 224πθ??
- ???
的值． 【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．
【答案】（113()8
x k k Z ππ=+
∈（2）16
25
【解析】 （1）因为(1sin 2,sin cos )x x x =+-a ，(1,sin cos )x x =+b ，
所以2
2
()1sin 2sin cos 1sin 2cos 2214f x x x x x x x π?
?=++-=+-=-+ ??
?．
因此，当2242x k ππ
π-
=+
，即3()8
x k k Z π
π=+
∈时，()f x 1．
（2）由()1sin 2cos 2f θθθ=--及8()5f θ=得3sin 2cos 25θθ-=，两边平方得9
1sin 425
θ-=，
即16sin 425θ=
．因此，16cos 22cos 4sin 44225ππθθθ????
-=-== ? ?????
．
举一反三：
【变式1】已知函数2()sin
cos cos 1222
x x x
f x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,
]π3π
42
上的最小值.
【答案】（Ⅰ）2π，52,244k k ππππ?
?
++????，k z ∈（Ⅱ）1
2
- 【解析】（Ⅰ）1cos ()sin
cos 1222x x x f x +=+- 111sin cos 222x x =+-
1).42x π=
+-
所以函数()f x 的最小正周期为2π.
由322242k x k ππππ+
≤+≤π+，k ∈Z ，则52244
k x k πππ+≤≤π+. 函数()f x 单调递减区间是5[2,2]44
k k ππ
π+π+
，k ∈Z .
(Ⅱ)由
34
2x ππ≤≤
，得7244
x πππ≤+≤.
则当342x ππ+
=
，即54
x π=时，()f x 取得最小值
【变式2】已知向量m =（sinA ，cosA ），1)=-n ，m ·n =1，且A 为锐角． （1）求角A 的大小；
（2）求函数()cos 24cos sin f x x A x =+（x ∈R ）的值域． 【答案】（1）
3π（2）33,2?
?-???
?
【解析】（1）由题意，得cos 1m n A A ?=-=，
2sin 16A π??-= ???，1sin 62A π?
?-= ??
?．
由A 为锐角得6
6
A π
π
-
=
，3
A π
=
．
（2）由（1）知1
cos 2
A =，
所以2
213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ?
?=+=-+=-?-+ ???
．因为x ∈R ，所以sinx ∈[－
1,1]．
因此，当1sin 2x =时，()f x 有最大值3
2
，当sin x=－1时，()f x 有最小值－3，所以所求函数()f x 的值域是33,2
?
?-???
?
．