第四章习题解答
4-1 一束电子进入的均匀磁场时,试问电子的自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大
解：∵磁矩为μ的磁矩，在磁场B 中的能量为： U = -μ·B = -sz μB 电子自旋磁矩 sz μ=±B μ
∴电子自旋平行于和反平行于磁场的能量差u =B μ B – (-B μB) =2B μB
∴u = 2B μ B =2 ××410-eV ·1T -× T = ×410- eV
4-2 试计算原子处于23/2D 状态的磁矩μ及投影μz 的可能值. 解：由23/2D 可知 S=12
J=32
L=2
∴j g =32+12(1)(1)(1)S S L L J J +-++=32+1213
23
223522
?-??=4
5
又j μ=j g B
μ
45B μ = B μ
∴μ= B μ
又,j z j j B m g μμ= 又3113,,,2222
j m =-- ∴,142×255j z B B μμμ=±=± 或,346×255j z B B μμμ=±=±
即,6226
(,,,)5555
j z
B μμ=--
4-3 试证实:原子在63/2G 状态的磁矩等于零,并根据原子矢量模型对这一
事实作出解释.
解：由63/2G 可知：S =52
J = 32
L = 4
∴
57
45
31(1)(1)3122
··03522(1)22×22
J S S L L g J J ?-?+-+=+=+=+
∴ (1)0J j B j j g μμ=+= 即原子在63/2G 状态的磁矩等于零。
解释：∵原子的总角动量为 J L S =+，而处于63/2G 态原子各角动量为：
(1)4(41)20 4.47L L L =+=+== 5535(1)(1) 2.9622S S S =+=
+==
3315(1)(1) 1.9422J J J =+=+==
则它们的矢量关系如图示：
L 和S 同时绕J 旋进，相对取项保持不变
由三角形余弦定理可知：
2222
2
211
()[(1)
(1)
(1)]22L J L J S L L J J S S ?=+-+++-+=
2
2
355715[45]222222
=
?+?-?=
而2
222
2
1573515()(45)2222224
S J S J L ?=+-=?+?-?=-
∴相应的磁矩 2B
B
S S
g S S μμμ=-=-
B
B
L
g L L μμμ?=-=-
S L μμμ=+
由于磁矩μ随着角动量绕J 旋进，因而对外发生效果的是μ在J 方向上的分量。其大小计算如下：
()(2)L S B J J
J
L J S J J
J J
μμμμμ?+?=
=
=-?+?
1515(2)024B J
μ
=--?=
此结果说明，μ垂直于J ，因而原子总磁矩0J μ=
4-4 在史特恩-盖赫拉实验中,处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场,并射到屏上,磁极的纵向范围d=10cm,磁极中心到屏的距离D=25cm.如果银原子的速率为400m/s,线束在屏上的分裂间距为2.0mm,试问磁场强度的梯度值应为多大银原子的基态为21/2S ,质量为.
解：原子束通过非均匀磁场时，如果磁场B 在Z 方向，可以证明：落在屏幕上的原子束偏离中心的距离为：
,33J Z Z B
B d D B d D
Z Mg KT Z Z KT
μμ????=
=?? （式中T 为炉温，d 为不均匀磁场的线度，D 是磁场中心到屏的距离，
Z
B Z
??是横向不均匀磁场梯度，,J Z
μ是原子的总磁矩在Z 方向的分量），分裂后的原子束偏离中心的最大距离 Z = 3B Z g B d D
J KT Z
μ??? 对21/2S ： S=1
2
，L=0，J=12
∴13331
22213222
222
g ?=+=+=??
Z ′=2Z
又 Z ′=2.0mm ∴ Z=10mm
Z B Z ??=2
223B B
Z KT Z mv JgdD JgdD μμ??=
3272
12310107.87 1.66104001
20.10.250.9274102T m ----????=
?????? 23
25
2.868102.3210--?=?
211.2410T m --=??
4-5 在史特恩-盖赫拉实验中(图,不均匀横向磁场梯度为
/ 5.0/Z B Z T cm ??= ,磁极的纵向范围d=10cm, 磁极中心到屏的距离D=30cm,
使用的原子束是处于基态4F3/2的钒原子,原子的动能Ek=50meV.试求屏上线束边缘成分之间的距离． 解：设在屏上偏离x 轴的距离为2Z
∴2Z =3Z B
Z B dD
mjgj KT
μ?-?
由 43/2F 可知 3
2S = 32
J = 3L =
∴35
34
31(1)(1)312
22·3522(1)22522
J S S L L g J J ?-?+-+=+=+=+?
3113,,,2222J m =- 要求线束边缘间的距离，则J m 取3
2
热平衡时 232250100K mV KT E meV meV ===?=
∴23Z B
Z B dD
Z mjgj KT
μ?=?
=53
321030
5.78810525
10010
cm --??????? =0.52cm
∴222 2.52 1.04Z Z cm cm ==?=
4-6 在史特恩-盖赫拉实验中,原子态的氢从温度为400K 的炉中射出,在屏上接受到两条氢束线,间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子(基态为23/2P ),其它实验条件不变,那么,在屏上可以接受到几条氯束线其相邻两束的间距为多少
解：在史—盖实验中，原子束分裂条数等于2J+1，对Cl ，基态为23/2P ，即
32J =
，因此屏上可接受到的氯束线为32142
?+=条,而原子束在屏上分裂的相邻两束的间距为：
dD Z=g
3KT Z
B B Z
μ???
对于确定的实验装置和实验条件，dD g
3KT Z
B B Z
μ??=A 为一定值，于是有：
11
22
Z g Z g ?=? 因为加热原子蒸气的炉温为400K ，远小于510K ，此时，炉中的氢原子处于基态（21/2S ），对于基态氢原子 L=0 S ≠0 则1g =2 对于基态氯原子 L=1 S=1/2 J=3/2 朗德因子为
213
1234
223523222
g ?-?=+=??
∴ 22114/30.600.402
g Z Z g ?=
?=?=（cm ）
4-7 试问波数差为29.6cm-1的赖曼系主线双重线,属于何种类氢离子 解：赖曼系第一条谱线是由n=2向n=1跃迁产生的，不考虑精细结构时，其波数为
2222113
()124
RZ RZ υ=-=
当n=1时，L=0 电子态为1S
当n=2时，L=0，1 电子态为2S 和2P ，按选择定则，此谱线只能来自2P →1S 的跃迁。由于电子自旋和轨道运动的相互作用，2P 能级具有双层结
构—2
1/22P 和2
3/22P 。双层能级间隔： 243(1)R Z T n l l α?=+。1S 能级 L=0 S=1
2
故
j 只能取1
2
一种值，能级是单层的，故2P →1S 谱线的精细结构波数差仅决定于2P 的双能级间隔
T υ?=?=24
3(1)
R Z n l l α+
即 34
2
(1)
n l l Z R υα+=
?35221(11)29.6811.09710(1/137)??+?==?? ∴ Z = 3
4-8 试估计作用在氢原子2P 态电子上的磁场强度.
解：2P 态电子绕核的半径为：r =0
2
2
2
0120.53 2.12n r n a A A ==?=
轨道运动的速率 v =
86310 1.110/2137
c
m s n α?==?? ∴1969
22892
01
1 1.610 1.1109104(3100.21210)Zev B T c r πε--??????==???=
4-10 锌原子光谱的一条谱线(3S1-3P0)在B 为的磁场中发生塞曼分裂,试问:从垂直于磁场方向观察,原谱线分裂为几条相邻两谱线的波数差等于多少是否属于正常塞曼效应并请画出相应的能级跃迁图. 解：锌原子的谱线（3310S P →）的塞曼效应图如下：
由图可知，原谱线分裂成3条，塞曼效应中分裂后的谱线与原谱线波数差可表示为：
2211()v m g m g L ?=-
其中， 11146.710046.74e eB
L m T T m m c
π---=
=??= 对于31S ：0S ≠，0L = ∴22g = 对于30P ：311212
2201
g ?-?=+? 不确定
∵21J = 有21m =，0，-1 ∴22(2,0,2)m g =- ∵10J =，有10m = ∴110m g =
∴11(2,0,2)(2.0.2)46.7(93.4,0,93.4)v L m m --?=-=-?=- ∴沿垂直于B 方向可看到三条谱线。
由于0S ≠，且谱线分裂间隔不是一个洛仑兹单位，故属于反常塞曼效应。
4-11 试计算在B 为的磁场中,钠原子的D 双线所引起的塞曼分裂.
解：a N 原子D 双线，1589.0D nm =，谱线由223/21/233P S →跃迁产生，
2589.6D nm =，由22
1/21/233P S →产生。
（1）1D 的塞曼分裂223/21/233P S →
上能级23/23P ：222213
1,,,4/322L S J g ====，在外磁场中，上能级分裂为
4个支能级：23113
,,,2222M =--，它们的原能级之差为：
2262
(,)33
B m g B μ=±± B B μ
下能级21/23S ：111111111
0,,,2,,2222
L S J g M =====-，在外磁场中，下能级
分裂为两个支能级，它们个原能级之差为
11B B m g B B μμ=±
根据选择定则0,1m ?=±共有6种跃迁方式，分裂后的谱线和原谱线的波数
差：~
2211()v m g m g L ?=-
可计算如下：
2211531135
()(,,,,,)333333
m g m g -=--
~
531(,,)333
v L ?=±±±、
而~
1146.746.7 2.5116.754e eB
L Bm m m l
π--=
==?= ~
22
(589.0)116.750.405L nm A λ=?=
∴分裂后的6条谱线和原谱线的波长差为：
~
2
2531(,,)333
v L λλλ?=?=±±±
0531
(,,)0.45333
A =±±±?
(0.675,0.405,0.135)A =±±±
（2）对2589.6D nm =，访上讨论，有221/21/2P S →
22211
1,,22L S J ===
22112
,,223
M g =-=
11111
0,,22L S J ===
1111
,,222
M g =-=
∴2211()m g m g -=（4224,,,3333
--）
∴~
42(,)33
v L ?=±±0(0.54,0.27)A =±±
4-12 钾原子的价电子从第一激发态向基态跃迁时,产生两条精细结构谱线,其波长分别为和,现将该原子置于磁场B 中(设为弱场),使与此两精细结构谱线有关的能级进一步分裂.
(1)试计算能级分裂大小,并绘出分裂后的能级图.
(2)如欲使分裂后的最高能级与最低能级间的差距ΔE2的倍,所加磁场B 应为多大
解：（1）钾和双线产生于223/2,1/21/244p S →，这三个能级的g 因子分别为
243g =
，12
3
g =，g=2 23/2P 能级在磁场中分裂成4层，2
1/2P 和21/2S 能级在磁场中分裂成两层，
能级间距为 B E g B μ?=
∴'
224
3
B B E g B B μμ?==
'112
3
B B E g B B μμ?==
'
02B B E g B B μμ?== 次能级分裂后的能级如图：
（2）由题意有： '
222max 1
1min 13
()()2
E E E E E E ???=+?-?+?=??? 即 212max 21min 113
()()2
B B E E j g B j g B E μμ-+-=?
∵ 2max 3()2j = 1min 1()2j =-
212134123
()()23232
B E E B E E μ-+?+?=-
∴ []212010711
()()()322
B B E E E E E E μ=-=---
122112
1()22hc hc hc λλ
λλλλ-=-=?
431769.9766.4
1.2410 3.678102769.9766.4
ev ev --=???=??
∴3214
3
13() 3.678107270.578810
B B E E T μ--=
?-=???? 27.2T =
4-13 假如原子处于的外磁场B 大于该原子的内磁场,那么,原子的L ·S 耦合将解脱,总轨道角动量L 和总自旋角动量S 将分别独立地绕B 旋进. (1)写出此时原子总磁矩μ的表达式;
(2)写出原子在此磁场B 中的取向能ΔE 的表达式;
(3)如置于B 磁场中的原子是钠,试计算其第一激发态和基态的能级分裂,绘出分裂后的能级图,并标出选择定则(Δms=0,Δml=0,±1)所允许的跃迁. 解：
(1)在强磁场中，忽略自旋一轨道相互作用，这时原子的总磁矩是轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和，即有：
2L S L S e e e e P P m c m c
μμμ=+=-
- (2)2L S e e
P P m c
=-
+ (2)此时，体系的势能仅由总磁矩与外磁场之间的相互作用来确定，于是有：
V B μ=-? (2)2L S e e
P P B m c
=
+? (2)2L S e eB
m m m c
=
+ (2)L S B m m B μ=+
(3)全内原子的基点为223y S ，第一激发点为23P 。对3S 点，0L m =，1
2
S m =±，
因此式(2)结合出双分裂，分裂后的能级与原能级的能量差。
1B E B μ?=±
对于3P 点，0,1L m =±，12S m =±，式(2)理应给出23?个分裂，但12
L m =
，1L m =-与1
2
S m =-，1L m =对应的E ?值相同，故实际上只给出五分裂，能
量差为2(2,1,0,1,2)B E B μ?=--，原能级与分裂后的能级如下图所示。
根据选择定则：0S m ?=
0,1L m ?=±
它们之间可发生6条跃迁，由于较高的各个能级之间的间距相等，只产生三个能值(1,0,1)B B μ-，因此只能观察到三条谱线，其中一条与不加磁场时相重合。这时，反常塞曼效应被帕邢—巴克效应所取代。
4-14 在B=4T 的外磁场中,忽略自旋-轨道相互作用,试求氢原子的2P →1S 跃迁(λ=121nm)所产生的谱线的波长.
解：因忽略自旋一轨道相互作用，自旋轨道角动量不再合成J ，而是分别
绕外磁
场旋进，这说明该外磁场是强场，这时，反常塞曼效应被帕型—巴克效应
所取代，
并超于正常塞曼效应，即厚谱线分裂为三条。因此，裂开后的谱线与原谱
线的波
数差可用下式表示：
~
~
(1,0,1)L ν?=-
式中：
~
4e e
L B m c
π=
46.7B =?146.74m -=? 211.8710m -=?711.8710nm --=?
因1v
λ=，故有：
2v λλ?=-?
将λ，v ?值代入上式得：
~
2
'(121.0)(1,0,1)nm L λλλ?=-=-?-
??
?????-=--nm nm 331074.201074.2 ∴??
?
??+-=nm nm 00274.00.121000274.00.121/λ