2011年高考数学总复
习系列
《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用
无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！
基础知识【理解去记】
1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列un 当n 趋向于无穷大时的极限，记为
)
(lim ),(lim x f x f x x -∞
→+∞
→，另外
)
(lim 0
x f x x +→=A 表示x 大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A ，称右极
限。类似地
)
(lim 0
x f x x -→表示x 小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果
lim
x x →f(x)=a,
lim
x x →g(x)=b ，那么
lim
x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,
lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0lim x x →).0()()(≠=b b a
x g x f
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0
lim
x x →f(x)存在，并且
lim
x x →f(x)=f(x0)，则称f(x)在
x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分
在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数'f (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
6．【必背】八大常用函数的导数： （1）)'(c =0（c 为常数）； （2）
1
)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；
（3）;cos )'(sin x x = (4)x x sin )'(cos -=;
(5)
a a a x x ln )'(=; (6)x x e e =)'(;
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则
（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）
8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导，则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导，且（f[?(x)])'=)(')](['x x f ??. 9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)(' 10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则 . 0)('0=x f 11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x0)时0)('≤x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x ∈(x0-δ，x0)时0)('≥x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x0处取得极大值。 12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 )('',0)('00≠=x f x f 。（1）若 )(''0>x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 )(''0 13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf [证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。 二、基础例题【必会】 1．极限的求法。 例1 求下列极限：（1） ??? ??+++∞→22221 lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n n ；（3） ???? ??++++++∞→n n n n n 2221 2111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ [解]（1）??? ??+++∞→22221 lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 21 2221lim =??? ??+∞→n n ； （2）当a>1时，.111lim 1 111lim 1lim =+??? ??=+??? ??=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当0 . 00 10lim 1lim 1lim =+=+=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当a=1时，.21111lim 1lim =+=+∞→∞→n n n n a a （3）因为. 112 11 12 2 2 2 2 +< ++ +++ +< +n n n n n n n n n 而, 1111lim 1 1lim ,1111lim lim 2 2 2 =+=+=+=+∞ →∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 所以.11 2111lim 222=???? ??++++++∞→n n n n n （4） .2 111 11lim 1lim )1(lim =++=++=-+∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 例2 求下列极限：（1） ∞ →n lim (1+x)(1+x2)(1+2 2x )…(1+n x 2 )(|x|<1)； （2）??? ? ?---→x x x 1113 lim 31；（3）x x x x +---→131lim 21。 [解] （1） ∞ →n lim (1+x)(1+x2)(1+22x )…(1+n x 2 ) = .11 11lim 1)1()1)(1)(1(lim 1 222x x x x x x x x n n n n -= --=-+++-+∞→∞→ （2） ???? ??--+-=???? ??----=??? ??---→→→32132131111lim 113lim 1113 lim x x x x x x x x x x x =.112lim 1)2)(1(lim 2131=+++=??? ??-+-→→x x x x x x x x （3） )13)(13()13)(1(lim 131lim 21 21 x x x x x x x x x x x x ++-+--++--=+---→→ =2) 13)(1(lim )1(2)13)(1)(1(lim 11x x x x x x x x x x ++-+-=-++-+-→→ .22-= 2．连续性的讨论。 例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x ∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。 [解] 当x ∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ，则x=t-1，当x ∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈ [1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，当x ∈[1,2)时，令x+1=t ，则当t ∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=[)[)?????∈--∈--. 3,2,)3)(2(4;2,1,)2)(1(222 x x x x x x 所以 所以 )3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+ →+ →- →- →x x x f x x x f x x x x ，所以 - →2lim x f(x)= + →2lim x f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。 3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则 001 x y = ，切线的斜率为 201|'0 x x x - =，所以切线方程为y-y0=)(1020x x x --，即)(1 102 0x x x x y --=-。又因为此切线过 点（2,0），所以)2(1 1020 0x x x --=- ，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y- 2=0. 4．导数的计算。 例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）x x x x y -+= 352；（3）y=ecos2x ； （4） )1ln(2 -+=x x y ；（5）y=(1-2x)x(x>0且21 < x )。 [解] （1）=+?+=)'13()13cos('x x y 3cos(3x+1). (2)222)'()35()'35('x x x x x x x x x y ?-+-?-+= 22 3521310x x x x x x x ++-? ?? ? ? ?-+= . 2153 x + = （3） .2sin 2)'2()2sin (2cos )'2(cos '2cos 2cos x e x x x e x e y x x ?-=?-?=?= （4） ? ??? ??+-?-+= -+?-+= 1111 )'1(11'2222x x x x x x x x y . 11 2 -= x （5）))'21ln((]'[]')21[(')21ln() 21ln(x x e e x y x x x x x -==-=-- .212)21ln()21(?????? ----=x x x x x 5．用导数讨论函数的单调性。 例6 设a>0，求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。 [解] )0(1 21)('>+- = x a x x x f ，因为x>0,a>0，所以?>0)('x f x2+(2a-4)x+a2>0； ?<0)('x f x2+(2a-4)x+a+<0. （1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即'f (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；（2）当a=1时，对x ≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即0)('>x f ，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞)内递增；（3）当0 6．利用导数证明不等式。 例7 设 ) 2,0(π ∈x ，求证：sinx+tanx>2x. [证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x ，则)('x f =cosx+sec2x-2，当 ) 2,0(π ∈x 时，2cos 2 cos 1cos 2cos 1cos 22>=?>+ x x x x x （因为0 2=cosx+02cos 12>-x .又f(x)在??? ??2,0π上连续，所以f(x)在??? ??2,0π上单调递增，所以当x ∈? ?? ??2,0π时，f(x)>f(0)=0，即sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设f(x)=alnx+bx2+x 在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a 与b 的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以 0)2(')1('==f f ，又x a x f =)('+2bx+1，所以?????=++=++,0142,012b a b a 解得??? ????-=-=.61,3 2b a 所以x x x x x x f x x x x f 3) 2)(1(13132)(',61ln 32)(2--= +--=+--=. 所以当x ∈(0,1)时，0)(' 例9 设x ∈[0,π],y ∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先，当x ∈[0,π],y ∈[0,1]时， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x ??? ?? ??--+--x x y y x y x y sin )1(12)1()1sin(2 =(1-y)2x ???????-+---x x y y x x x y x y sin ) 1(sin )1()1sin(2 2，令g(x)=x x sin , ),2()tan (cos )('2 π ≠-= x x x x x x g 当 ? ?? ??∈2,0πx 时，因为cosx>0,tanx>x ，所以0)(' ? ?? ??∈ππ,2x 时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以0)(' 又因为0<(1-y)x sin )1()1sin(>---x x x y x y ， 又因为0sin )1(2 2>?-x x y y ，所以当x ∈(0,π),y ∈(0,1)时，f(x,y)>0. 其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0. 当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx ≥0. 综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。 三、趋近高考【必懂】 这些高考题取自2009-2010年各个热门省市，同学一定重视，在此基础上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！ 1.（2009全国卷Ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2 答案 B 解:设切点 00(,) P x y ，则 0000ln 1,()y x a y x =+=+,又 0'01 |1x x y x a == =+ 00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案 选B 2.（2009安徽卷理）已知函数()f x 在R 上满足 2 ()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线 ()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ( ) A.21y x =- B.y x = C.32y x =- D.23y x =-+ 答案 A 解析 由2()2(2)88f x f x x x =--+-得几何2 (2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--， 即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/ ()2f x x =，∴切线方程12(1)y x -=-，即 210x y --=选A 3.（2009江西卷文）若存在过点(1,0)的直线与曲线3 y x =和215 94y ax x =+ -都相切，则a 等 于 ( ) A ．1-或25- 64 B ．1-或214 C ．74-或25-64 D ．7 4- 或7 答案 A 解析 设过(1,0)的直线与3 y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为 320003()y x x x x -=- 即 2 3 00 32y x x x =-，又(1,0)在切线上，则 00 x =或 03 2x =- ， 当 00 x =时，由0y =与 21594y ax x =+ -相切可得 2564a =-， 当 032x =- 时，由272744y x =-与215 9 4y ax x =+-相切可得1a =-，所以选A . 4.（2009辽宁卷理）若 1 x 满足2x+2x =5, 2 x 满足2x+2 2 log (x －1)=5, 1x +2 x ＝ ( ) A.52 B.3 C.7 2 D.4 答案 C 解析 由题意 1 1225x x += ① 22222log (1)5x x +-= ② 所以1 1252x x =-,121log (52)x x =- 即21212log (52)x x =- 令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t ＝2log2(2t －2)＝2＋2log2(t －1) ∴5－2t ＝2log2(t －1)与②式比较得t ＝x2 于是2x1＝7－2x2 5.（2009天津卷理）设函数1 ()ln (0), 3f x x x x =->则()y f x = ( ) A 在区间1 (,1),(1,) e e 内均有零点。 B 在区间1 (,1),(1,) e e 内均无零点。 C 在区间1 (,1) e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点。 D 在区间1(,1) e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。 解析：由题得 x x x x f 33131)`(-=-= ，令0)`(>x f 得3>x ；令0)`( 0)`(=x f 得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞ 为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又 ()0131 )1(,013,31)1(>+=<-== e e f e e f f ，故选择D 。 6.若曲线 ()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 解析 由题意该函数的定义域0x >，由 ()1 2f x ax x '=+ 。因为存在垂直于y 轴的切线，故此 时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数 ()1 2f x ax x '=+ 存在零点。 解法（分离变量法）上述也可等价于方程 1 20ax x + =在()0,+∞内有解，显然可得 ()21 ,02a x =- ∈-∞ 7.(2009陕西卷理)设曲线1 *()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x , 令 lg n n a x =，则 1299 a a a +++的值为 . 答案 -2 1*1112991299()'(1)'|11(1)(1)1 1298991 ...lg ...lg ...lg 2 2399100100 n n n x n y x n N y x y n x y n y n x n x n a a a x x x ++==∈∴==+?=+?-=+-= ++++====-解析：点（1，1）在函数的图像上，（1，1）为切点，的导函数为切线是：令y=0得切点的横坐标： 8（2010.全国1文）．设5221)(2 3+-- =x x x x f ，当[2,2]x ∈-时，0)(<-m x f 恒成立，求 实数m 的取值范围． 【解析】：23)(2/--=x x x f ，由0)(/ >x f 得0232 >--x x ，即 32 - 由0)(/ <--x x 即 1 32 <<- x ，所以函数单调增区间是 )32,(--∞，),1(+∞； 函数的单调减区间是) 1,32 (-。由m x f <)(恒成立，m ∴大于)(x f 的最大值。当[2,2]x ∈-时， (1)当 2 [2,] 3x ∈--时，)(x f 为增函数，所以 27157 )32()(max = -=f x f ；(2)当 ]1,32[-∈x 时，)(x f 为减函 数，所以 27157 )32()(max = -=f x f ；(3)当]2,1[∈x 时，)(x f 为增函数，所以7)2()(max ==f x f ；因为27157 7> ，从而7>m 第二章 推理与证明
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