课时作业 (七) [ 第 7讲二次函数]
( 时间： 45 分钟分值：100分)
基础热身
1．已知二次函数y＝ x2－2ax＋1在区间(2，3)内是单调函数，则实数 a 的取值范围是()
A．a≤2 或a≥3
B． 2≤a≤ 3
C．a≤－ 3 或a≥－ 2
D．－ 3≤a≤－ 2
2．函数y＝ (cos x－a) 2＋1，当 cos x＝a时有最小值，当cos x＝－ 1 时有最大值，则a 的取值范围是 ()
A．[ －1，0] B ．[ － 1，1]
C．( －∞， 0] D ．[0 ，1]
22
3． [201 2·长春外国语学校月考]若函数f(x)＝(m－1)x＋(m－1)x＋1是偶函数，则
f ( x)在区间(－∞，0]上是()
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．增函数或常数
4．[2011 ·陕西卷 ]设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋ n＝0有整数根的充要条件是
．．
________．
能力提升 [
5．函数f ( x) ＝4x2－mx＋ 5 在区间 [ －2，＋∞ ) 上是增函数，则f (1) 的取值范围是( A．f (1) ≥25 B．f (1) ＝25n＝
)
C．f (1) ≤ 25 D ．f (1)>25
6．已知函数 f ( x)＝－ x2＋4x＋a， x∈[0，1]，若 f ( x)有最小值－2，则 f ( x)的最大值
为()
A．－1 B ．0
C．1 D ．2
b2 7．[2012 ·昆明模拟]若函数y＝ax与y＝x在(0，＋∞ )上都是减函数，则y＝ ax ＋ bx
在( －∞， 0) 上是 ()
A．增函数 B ．减函数
C．先增后减 D ．先减后增
8．若f ( x) ＝x2－x＋a，f ( －m) ＜ 0，则f ( m＋ 1) 的值为 ()
A．正数 B ．负数
C．非负数 D ．与m有关
9．[2012 ·牡丹江一中期中 ]如图 K7－ 1 是二次函数f ( x) ＝x2－bx＋a的图象，其函数
f (
x
) 的导函数为′( ) ，则函数(
x
) ＝ ln
x
＋′( ) 的零点所在的区间是 ()
f x
g fx
图K7－ 1
111
A.4
，
2 B.2， 1
C．(1， 2)D．(2 ， 3)
x2＋2x－3（－2≤ x<0），
10．函数f ( x) ＝x2－2x－3（0≤x≤3）的值域是 ________．
11．方程 |
x
2－2 |＝2＋ 1(∈(0 ，＋∞ )) 的解的个数是 ________ ．
x a a
12．若x≥0，y≥0，且x＋ 2y＝ 1，那么 2x＋3y2的最小值为 ________．
13．[2012 ·北京卷 ]已知 f ( x)＝ m( x－2m)(x＋m＋3)，g( x)＝2x－2，若? x∈R，f ( x)<0
或g( x)<0，则 m的取值范围是________．
14． (10 分)[2012 ·正定月考]已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式 f ( x)<0的解集是(0，5)．
(1)求 f ( x)的解析式；
(2)对于任意 x∈[－1，1]，不等式 f ( x)＋ t ≤2恒成立，求 t 的范围．
15．(13 分) 设f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x>2 时，y＝f ( x)
的图象是顶点为P(3，4)，且过点 A(2，2)的抛物线的一部分．
(1)求函数 f ( x)在(－∞，－2)上的解析式；
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f ( x)的草图；
(3)写出函数 f ( x)的值域．
图K7－ 2
难点突破
16． (12 分)[2013 ·衡水中学一调]已知对于函数 f ( x)，若存在 x0∈R，使 f ( x0)＝ x0，则称 x0是 f ( x)的一个不动点，已知函数 f ( x)＝ ax2＋( b＋1) x＋( b－1)( a≠0)．
(1)当 a＝1， b＝－2时，求函数 f ( x)的不动点；
(2)对任意实数 b，函数恒有两个相异的不动点，求 a 的取值范围；
1
两点关于直线y＝ kx＋2a2＋1对称，求 b 的最小值．
课时作业 ( 七)
1． A [ 解析 ] 由于二次函数的开口向上，对称轴为
x ＝ a ，若使其在区间 (2 ， 3) 上是单
调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即
a ≤2或 a ≥3.
2． D
[解析]
函数 y ＝ (cos x － a ) 2＋ 1，当 cos x ＝ a 时有最小值，所以－ 1≤ a ≤1. 因为
当 cos ＝－ 1 时有最大值，所以
≥0，所以 0≤ ≤1.
x
a
a
3． D [解析]
2
2
因为函数 f ( x ) 是偶函数，所以 m － 1＝ 0，得 m ＝± 1，所以 f ( x ) ＝－ 2x
＋1 或 1，根据图象判断，选项
D 正确．
4．3或 4 [解析]
由 x 2－ 4x ＋ n ＝0 得 ( x －2) 2＝ 4－ n ，即 x ＝2± 4－ n ，∵ n ∈ N ＋，方
程要有整数根，需满足
n ＝ 3， 4，当 n ＝3， 4 时方程有整数根．
【能力提升】
5． A
[解析]
m
≤－ 16. 所以 f (1) ＝ 9－ ≥25. 故选 A.
由题知 ≤－ 2，所以
8
m
m
6． C
[解析]
f ( x ) ＝－ ( x － 2) 2＋ 4＋a . 由 x ∈[0 ， 1] 可知当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取得最小值
－ 2，
得 a ＝－ 2，所以 f ( x ) ＝－ ( x － 2) 2 ＋ 2，当 x ＝ 1 时， f ( x ) 取得最大值 1.
2
b
7． A [解析]
依题意 a <0， b >0，所以二次函数
y ＝ax ＋ bx 图象的对称轴 x ＝－ 2 a >0，
所以 y ＝ ax 2
＋bx 在－∞，－ b
上是增函数，所以在
( －∞， 0) 上也是增函数．
2a
2
1
1
8． B [解析] 方法一：因为 f ( x ) ＝x － x ＋ a 的对称轴为 x ＝2，而－ m ， m ＋ 1 关于 2对 称，所以 f ( ＋1) ＝ (－ )＜0.
m
f m
方法二：因为
2
2
2
f ( － m ) ＜ 0，所以 m ＋ m ＋ a ＜ 0，所以 f ( m ＋1) ＝ ( m ＋1) － ( m ＋1) ＋ a ＝ m ＋ ＋ ＜0. 故选 B.
m a
9． B [解析]
由图可知， f (0) ＝a ∈(0 ， 1) ， f (1) ＝1－ b ＋ a ＝0，所以 b ＝ 1＋a ∈(1 ，
1 1
2) ， f ′( x ) ＝ 2x － b ，所以 g ( x ) ＝ln x ＋ 2x － b ，g ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数，且 g 2＝ ln 2＋
1
1－ b <0， g (1) ＝ 2－ b >0, 所以函数 g ( x ) 的零点在区间 2， 1 上，故选 B.
10．[ －4，0]
[ 解析 ] 根据函数的图象 ( 图略 ) 可得， f ( － 1) ＝f (1) ＝－ 4，f ( － 2) ＝－
3，f (3) ＝ 0，f (0) ＝－ 3，所以函数的最大值、 最小值分别为 0 和－ 4，即函数的值域为 [ － 4， 0] ．
11． 2 [解析]
因为 a ∈(0 ，＋∞ ) ，所以 a 2＋1>1，所以 y ＝ | x 2－ 2x | 的图象与 y ＝ a 2
＋1 的图象总有两个交点，所以方程有两解．
3
1
2
2
12. 4由 x ≥0， y ≥ 0， x ＝ 1－ 2y ≥0知 0≤ y ≤ 2，令 t ＝2x ＋ 3y ＝ 3y － 4y ＋ 2，
2 2
2 1 1 3
所以 t ＝ 3 y － 3 ＋3. 在 0， 2 上递减，当 y ＝ 2时， t 取到最小值， t min ＝ 4.
13．( －4，0)
[解析 ] 由已知 g ( x ) ＝ 2x － 2<0，可得 x <1，要使 ? x ∈ R ，f ( x )<0 或 g ( x )<0 ，
必须使 x ≥1时， f ( x ) ＝ m ( x －2m )( x ＋m ＋ 3)<0 恒成立，
当 m ＝0 时， f ( x ) ＝ m ( x －2m )( x ＋m ＋ 3) ＝ 0 不满足条
件，所以二次函数 f ( x ) 必须开口向下，也就是 m <0，
要满足条件，必须使方程 f ( x ) ＝ 0 的两根 2m ，－ m －3 都小于 1，
即
2m <1，
∈( － 4，0)．
可得
－ m － 3<1，
m
14．解： (1) 依题意方程 2x 2＋ bx ＋ c ＝ 0 的两个根为 0， 5，代入方程，解得 b ＝－ 10， c ＝0，所以 f ( x ) ＝ 2x 2－10x .
(2) 不等式 f ( x ) ＋ t ≤2( x ∈ [ － 1， 1]) 等价于设 g ( x ) ＝－ 2x 2＋ 10x ＋ 2( x ∈[ － 1， 1]) ，
t ≤－ 2x 2＋10x ＋ 2( x ∈[ － 1， 1]) ．
因为 g ( x ) 在 [ －1， 1] 上为增函数，
所以 ( ) min ＝ g ( －1) ＝－ 10，所以 t ≤ ( x ) min ＝－ 10，
g x
g
即 t 的取值范围是 ( －∞，－ 10] ．
15．解：(1) 设顶点为 P (3 ，4) 且过点 A (2 ，2) 的抛物线的方程为 y ＝ a ( x － 3) 2＋ 4，将 (2 ，
2) 代入可得 a ＝－ 2，
∴ y ＝－ 2( x － 3) 2＋4，
即 x >2 时， f ( x ) ＝－ 2x 2＋12x － 14.
当 x <－ 2 时，－ x >2，
又 f ( x ) 为偶函数， f ( x ) ＝f ( － x ) ＝－ 2×( － x ) 2－ 12x － 14，
即 f ( x ) ＝－ 2x 2－ 12x － 14.
∴函数
f ( x ) 在 ( －∞，－ 2) 上的解析式为 f ( ) ＝－ 2 2－12 x － 14.
x x
(2) 函数 f ( x ) 的图象如图：
(3) 由图象可知，函数 f ( x ) 的值域为 ( －∞， 4] ．
【难点突破】
2
－x － 3，x 是 f ( x ) 的不动点，则
2
－ x －3＝ x ，得 x ＝－ 1
16．解： (1) f ( x) ＝ x
f ( x) ＝ x
0 0 0
(2) ∵函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点，
∴ f ( x ) － x ＝ ax 2＋bx ＋ ( b － 1) ＝ 0 恒有两个不等式的实根，
∴ ＝b 2－ 4a ( b －1) ＝ b 2－ 4ab ＋ 4a >0 对 b ∈ R 恒成立， ∴ (4 a ) 2－16a <0，得 a 的取值范围为 (0 ， 1) ．
(3) 由 ax 2
＋ bx ＋ ( b － 1) ＝ 0 得
x
1
＋ 2
b
，由题知 k ＝－ 1，y ＝－ x ＋ 1
x ＝－
2
，
2
2a 2a ＋ 1
b
b
设 A ，B 中点为 E ，则 E 的坐标为－ 2a ，－ 2a ，
b
b
1
∴－
2a
＝
2a
＋
2a 2
＋ 1
，
∴ b ＝－ 2 a
1 2
1 2
2＋ 1＝－
1≥－ 4 ，当且仅当
2a ＝ (0< a <1) ，即 a ＝
2 时等号成立，
a
2a ＋ a a
2
∴ b 的最小值为－
4 .