系（院）数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级 姓名 论文题目求定积分的若干方法指导教师职称副教授 2010 年5月20日 1
目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Keywords (3) 前言 (3) 1. 定义法求定积分 (3) 1.1 定义法 (3) 1.2 典型例题 (4) 2. 换元法求定积分 (5) 2.1 换元积分法 (5) 2.2 典型例题 (5) 3. 分部法求定积分 (8) 3.1 分部积分法 (8) 3.2 典型例题 (8) 4. 区间性质求定积分 (9) 4.1 常见的三种题型 (9) 4.2 典型例题 (9) 5. 有理函数求积分 (11) 5.1 有理函数积分法 (11) 5.2 典型例题 (11) 参考文献 (13) 2
3 求定积分的若干方法 摘 要：本文主要考虑定积分的计算方法，对一些常用的方法和技巧进行归纳和总结，主要方法包括定义法、换元积分法、分部积分法等，并对每种方法给出了典型例题． 关键词：定积分；换元积分法；分部积分法；有理函数积分 Methods of Calculation on Definite Integral Abstract: In this paper, we study the calculation of definite integral and some usual methods and techniques for computation and described. The chief methods include definition integration, act-for-Yuan integration, and integration by parts and so on. So, different subjects should use different calculation methods in order to simplify the calculation. Key Words: definite integral ；act-for-Yuan integration ；integration by parts ； integral rational function ． 前言 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的 数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学．微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造．一个定积分的计算，首先要求准确性，其次是快速性，而这两个目的的实现就需要有好的方法和技巧．本文主要以求解定积分的各种方法为主线，对其分别概述，举例，并加以分析说明，从而得出对于不同的题型应当运用合适的方法来解决的结论．学习中应着眼于基本方法的积累，有了这种积累，才会孕育出技巧． 1 定义法求定积分 1.1 定义法 已知函数()f x 在],[b a 上可积，由于积分和的极限唯一性，可做],[b a 的一个
§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）
不定积分解题方法及技巧总 结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 11 μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±= ±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=) 0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ? +- =++-= = +--C x C x dx x x dx 11 )2(11 )2(2 2
②? ? +=++-= = +--C x C x dx x x dx 21 )21(11 )21(2 1 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④() ()() C x e e x dx dx e dx x e x x x x +- = - = ?? ? ?? -?? ?ln 2 1ln 2 121ππππ ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥? ??? ++-=+ = +=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 2 2 ⑧? ??++-=? ? ? ??++-= ++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 311111111322 2 4 2 4 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f += ++= +?? 1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +- === ???)5cos(5 1sin 5 1555sin 5 15sin ②()()()()?? +-- =+-+?-=---=-+C x C x x d x dx x 8 1 77 7 2116 1211 71 21)21(212 121 ③() () )20(arctan 1 11 2 2 2 C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??= += +?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-= -? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??1 1 ,1 即 例2、求不定积分 ①()( )() () C x C x x d x dx x x +-- =+-+? - =--- =-+??2 32 12 12 2 1 2 12 2 13 111 1 2 1112 1 1
常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.
0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10< 不定积分技巧总结 作者:蔡浩然 题记题记：：不定积分不定积分，，是一元函数积分学的基础是一元函数积分学的基础，，题型极多题型极多，，几乎是每一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律一道题就一种题型。乍一看感觉思路很乱，很难把握其中的规律，，结果是一做题就凭感觉乱闯结果是一做题就凭感觉乱闯，，运气好运气好，，有时可以闯出来有时可以闯出来，，有很多时候是闯不出来候是闯不出来，，或者碰到了庞大的计算量便到此为止了或者碰到了庞大的计算量便到此为止了。。为了在求不定积分时有一个确切简单的思路，我在此作以如下总结。首先，除了那些基本积分公式，还要熟记推广公式的有： ? ???????→????????+??? ?????→+→+∫∫∫x c a ac x c a d x c a ac dx x c a c dx c ax arctan 11 111111222即??? ? ????→ +∫x c a ac dx c ax arctan 1 1 2 【相乘开根作分母，前比后，开根作系数】 另外，[] x x x x dx tan sec ln tan sec 21 sec 3 ++=∫最好也可以记下来最好也可以记下来，，因为经常要用到因为经常要用到，，并且也不难记并且也不难记， ，括号里面是x sec 的原函数和导数之和。 一、一、三角函数篇 三角函数篇原则是：尽量凑微分，避免万能代换。 1.11.1、 、正余弦型1.1.11.1.1、分母二次带常数，分子不含一次项型 、分母二次带常数，分子不含一次项型∫ +dx x A 2 sin 1 或 dx x A x ∫ +2 2 sin cos 右式可通过变形，分离常数化为左式。而 ()→++→+→+∫∫∫ A x A x d dx x x A x dx x A 2 2222tan 1tan tan sec sec sin 1()C x A A A A +??? ?????++→ tan 1arctan 11 1.1.21.1.2、分母一次带常数，分子常数型 、分母一次带常数，分子常数型∫∫ ??→+dx x A x A dx x A 2 2sin sin sin 1()∫∫+?+?→dx x A x d dx x A A 2 222cos 1cos sin 特别的，当 1 =A 时，原式就可化为 ∫∫+→dx x x d dx x A 2 2cos cos cos 1.1.31.1.3、分母一次无常数，分子常数型 、分母一次无常数，分子常数型 常见不定积分公式 1）∫0dx=c 2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c 3）∫1/xdx=ln|x|+c 4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c 5）∫e^xdx=e^x+c 6）∫sinxdx=-cosx+c 7）∫cosxdx=sinx+c 8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c 9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c 10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c 11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c 12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c 15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c 16) ∫sec^2 x dx=tanx+c; 17) ∫shx dx=chx+c; 18) ∫chx d x=shx+c; 19) ∫thx dx=ln(chx)+c; 1.∫adx = ax+C (a 为常数) 2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C 3.∫cos(x)dx = sin(x)+C 4.∫tan(x)dx = -log e |cos(x)|+C = log e |sec(x)|+C 5. ∫cot(x)dx = log e |sin(x)|+C 6. ∫sec(x)dx = log e |sec(x)+tan(x)|+C 7. ∫sin 2(x)dx = 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x - 1 sin(2x)+C 2 4 9. ∫cos 2(x)dx = 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2 = 1 x + 1 sin(2x)+C 2 4 11.∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C 12.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C 13.∫sin(ax)sin(bx)dx = sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 14.∫sin(ax)co s(bx)dx = - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 15.∫cos(ax)cos(bx)dx = sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b) 16.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C 17.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C 18.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C 19.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C 20.∫e x dx = e x +C 21. ∫ a dx = a log |x| (a 为常数) x 不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 一． 直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二． 第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分 公式即可解决。 （3）当0 关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结 ()()()()()()b 1 1 b n 0 首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim 在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim 这种做法是从左端n i i a T i n i i a k ：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞ =??????=???=?∑?∑?()()()()()()()()()b n 1 11b n n 00b 点开始取函数值方法2：lim 这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式 还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如 n 方法1：lim =lim 方法2：n i i a k i n n i i a k k a f x dx f x b a x k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞ =--→∞→∞===?-???--=?+ ? ??? ∑?∑∑?()()()()()()()n n 111b n 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=??--=?+ ? ?????- ? ? ???- ?+ ? ? ?????∑∑?∑?()()()()1 1 100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究 我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了， 此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=1 1 方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==???? ? ??? ??∑??11 现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用 定积分的定义去求呢？ 带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式n n ∑ ? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 浅谈用定积分的定义解决极限问题 王涛 （周恩来政府管理学院 政治学与行政学 0612723） 摘 要：数学是一门锻炼人的逻辑思维能力的科目。我们在学习数学的过程中经常遇到的是计算题和证明题，掌握一定的方法和技巧对于我们快速地解出题目是非常有帮助的。有些方法和技巧其实是对定义、概念深入理解所得到的。本文主要探讨用定积分的定义来解决求极限的问题。 关键词：定积分的定义；定积分；极限；曲边梯形的面积 在高等数学的学习中，微积分的学习占有很大的比重，地位也是很重要的。微积分分为微分学和积分学，而微分运算与积分运算之间是互为逆运算的关系。我们通常把微分运算看作正向运算，而把积分运算看作是微分的逆运算，在以往的实际学习上我们也可以看出这点：加减法，乘除法，平方开方，指数对数，三角函数反三角函数等等。而在高等数学的学习中我们首先接触的是微分，然后是积分；从掌握程度上，我们对于正向运算的掌握程度可能要好于逆向运算，不管是学习的速度还是做题的准确性，正向运算可能都要好于逆向运算。然而正逆运算是互通的，熟练掌握这两种运算对于增加解题方法，做到融会贯通都是很有帮助的。下面就来介绍用积分学中定积分的定义来解决微分学中极限的问题。 我们一般在求解极限问题时，经常用到的方法是：极限的定义、性质，几种重要极限、洛必达法则、泰勒公式等。但这些方法都局限于微分学中，没有超越微分学的范围，而我们知道微分与积分是互为逆运算的，那么运用积分学的方法来解决极限问题是否可行？答案是肯定的。用定积分的定义就是解决极限问题的又一方法。 要用定积分的定义来求解极限问题，我们首先要弄清定积分的定义。 定积分的定义：设函数y =)(x f 定义在区间[]b a ,上有界，在[]b a ,上任意插入分点：a =n n x x x x ＜＜＜＜110-?=b ,令i x ?=1--i i x x ，又任取[∈i ξi i x x ,1-], i =1,2,…n .作和式 i n i i n x f I ?∑==)(1 ξ，令{}i n i x x ?=?≤≤m a x 1， 如果当0→?i x 时，和式n I 的极限存在，且此极限与[]b a ,的分法及i ξ的取法无关，则称函数)(x f 在[]b a ,上是可积的，并称该极限值为)(x f 在[]b a ,上的定积分，记作? b a dx x f )(， 即 i n i i b a x x f dx x f ?=∑? =→?)()(1 0lim ξ. 第二节 不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral ） 课 题：1. 不定积分的基本公式 2. 不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。 教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教 具：多媒体课件 教学方法： 教学内容： 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1(ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='='='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++????????????? ?2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+??? 不定积分公式大全基本公式有哪些 inx + C ∫ sinx dx = - cosx + C ∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C ∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C ∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C ∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C ∫ sec (x) dx = tanx + C ∫ csc (x) dx = - cotx + C ∫ secxtanx dx = secx + C ∫ cscxcotx dx = - cscx + C ∫ dx/(a + x ) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫dx/√(a- x ) = arcsin(x/a) + C ∫dx/√(x+ a ) = ln|x + √(x+ a )| + C ∫dx/√(x- a ) = ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x- a ) dx = (x/2)√(x- a ) - (a /2)ln|x + √(x- a )| + C ∫√(x+ a ) dx = (x/2)√(x+ a ) + (a /2)ln|x + √(x+ a )| + C ∫√(a- x ) dx = (x/2)√(a- x ) + (a /2)arcsin(x/a) + C 不定积分的基本公式有哪些 求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(?? 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种： acht x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 第二节 定积分在实际问题中的应用 Application of Definite Integral 教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截 面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题. 内 容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用. 教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积. 教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积 教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积 教学内容: 一、定积分的几何应用 1. 平面图形的面积 设函数12(),()y f x y f x ==均在区间[,]a b 上连续,且12()(),[,]f x f x x a b ≥∈,现计算由12(),(),,y f x y f x x a x b ====所围成的平面图形的面积. 分析求解如下: (1) 如图6-3所示,该图形对应变量x 的变化区间为[,]a b ,且所求平面图形的面积S 对区间[,]a b 具有可加性. (2) 在区间[,]a b 内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以 dx 为底,12()()f x f x -为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积 微元为 12[()()]dS f x f x dx =- (3) 所求图形的面积 22[()()]b a S f x f x dx =-? 图6-3 【例1】 求曲线x y e =，直线0,1x x ==及0y =所围成的平面图形的面积. 解 对应变量x 的变化区间为[0,1],在[0,1]内任取一小区间[,]x x dx +,其所对应小窄条的面积用以dx 为底,以()()0x x f x g x e e -=-=为高的矩形的面积近似代替,即面积微元 x dS e dx = 于是所求面积 1 10 1x x S e dx e e ===-? 一．直接积分法（公式法） 利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分 二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>?时，可将原式化为 ()()21x x x x --， 其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ???------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可 解决。 （3）当0 三．分部积分法 口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。 分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。 四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。 例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。 上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似 二次多项式 常数 形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。 不定积分的基本公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 不定积分 一． 求不定积分与求导数或微分互为逆运算。( 'F )()(x f x = 或 dx x f x dF )()(= ?+=C x F x d x f )()()( ) 1. [] ' )(?dx x f ' )(x f = 或 ?=dx x f dx x f d )()( 2. ?'F C x F dx x +=)()( 或 C x F x dF +=?)()( 3. ??=dx x f a dx x af )()( )0(≠a 二.基本积分公式 1. ?+=C kx kdx 是常数）k ( 2. ?n x 1 1+=+n x dx n C + )1(-≠n 3. C x x dx +=? ||ln 4. C x x dx +=+?arctan 12 5. C x x dx +=-? arcsin 12 6. ?+=C x xdx sin cos 7. ?+-=C x xdx cos sin 8. C x xdx x dx +==??tan sec cos 2 2 9. ??+-==C x xdx x dx cot csc sin 22 10. ?+=C x xdx x sec tan sec 11. ?+-=C x xdx x csc cot csc 12. C e dx e x x +=? 13. C a a dx a x x +=?ln 14. C x xdx +-=?|cos |ln tan 15. C x xdx +=?|sin |ln cot 16. C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec 17. C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc 18. C a x a x a dx +=+? arctan 12 2 19. C a x a x a a x dx ++-=-?||ln 212 2 C x a x a a x a dx +-+=-?||ln 2122 20. C a x dx x a +=-?arcsin 122 21. C a x x a x dx +±+=±?||ln 222 2 22. C b ax a dx b ax ++=+?||ln 1 1 23. C x dx x +=?21 24. C x dx x +-=? 112 可能用到的公式： （1） ???+-=+?+-=+1 1111)1(1n dx n dx n dx n n n n （2） 32233 33b ab b a a b a +++=+）（ （3）))((2233b ab a b a b a +±=± （4）x x 22sec 1tan =+ x x 22csc 1cot )5(=+ 2 22112cos ,122sin ,tan )8(1 sec cos )7(1csc sin 6t t t t t +-= +===?=?ααααααα则设）（不定积分技巧总结
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