弧长与扇形面积
一、选择题
1．（2016·湖北十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，
∴圆锥的高==20．
故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2. (2016兰州，12,4分)如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108o，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
（A）πcm (B) 2πcm
(C) 3πcm (D) 5πcm
【答案】：C 【解析】：利用弧长公式即可求解 【考点】：有关圆的计算
3．(2016福州，16,4分)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r
下
，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）
【考点】弧长的计算．
【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可． 【解答】解：如图，r 上=r 下．
故答案为=．
【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=
（弧长为
l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
4. (2016·四川资阳)在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D ，若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是（ ）
A ．2﹣π
B ．4﹣π
C ．2﹣π
D ．π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据点D 为AB 的中点可知BC=BD=AB ，故可得出∠A=30°，∠B=60°，再由锐角三角函数的定义求出BC 的长，根据S 阴影
=S △AB C ﹣S
扇形
C B
D 即可得出结论．
【解答】解：∵D 为AB 的中点，
∴BC=BD=AB ， ∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=2，
∴BC=AC ?tan30°=2?=2，
∴S
阴影=S △
AB C ﹣S
扇形
C B
D =
×2
×2﹣
=2
﹣
π．
故选A ．
5. (2016·四川自贡)圆锥的底面半径为4cm ，高为5cm ，则它的表面积为（ ）
A ．12πcm 2
B ．26πcm 2
C ．πcm 2
D ．（4
+16）πcm 2
【考点】圆锥的计算． 【专题】压轴题．
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为4cm ，则底面周长=8πcm ，底面面积=16πcm 2；由勾股定理得，母
线长=
cm ，
圆锥的侧面面积=×8π×=4
πcm 2，∴它的表面积=16π+4
π=（4
+16）πcm 2，
故选D ．
【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
6. （2016·四川广安·3分）如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠BCD=30°，CD=4，
则S 阴影=（ ）
A ．2π
B ．π
C ．π
D ．π
【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算．
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．
【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，
∴CE=ED=2， 又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE ?cot60°=2
×
=2，OD=2OE=4，
∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC =﹣OE ×DE+BE ?CE=
﹣2
+2
=
．
故选B ．
7. （2016吉林长春，7，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，
∠P=60°，则
的长为（ ）
A ．π
B ．π
C ．
D ．
【考点】弧长的计算；切线的性质． 【专题】计算题；与圆有关的计算．
【分析】由PA 与PB 为圆的两条切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形
内角和定理求出∠AOB 的度数，利用弧长公式求出的长即可．
【解答】解：∵PA 、PB 是⊙O 的切线， ∴∠OBP=∠OAP=90°， 在四边形APBO 中，∠P=60°， ∴∠AOB=120°， ∵OA=2，
∴的长l==π，
故选C
【点评】此题考查了弧长的计算，以及切线的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键． 8.（2016·广东深圳）如图，在扇形AOB 中∠AOB=90°，正方形CDEF 的顶点C 是弧AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（ ）
A.42-π
B.84-π
C.82-π
D.44-π 答案：A
考点：扇形面积、三角形面积的计算。 解析：∵C 为AB 的中点，
CD=4-2222
1-481-4,452
20ππS S S OC COD OCD
OBC =??==∴==∠∴）（△扇形阴影 9.（2016·广西贺州）已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr 解出r 的值即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ． 圆锥的侧面展开扇形的半径为12， ∵它的侧面展开图的圆心角是120°， ∴弧长=
=8π，
即圆锥底面的周长是8π， ∴8π=2πr ，解得，r=4， ∴底面圆的直径为8． 故选D ．
【点评】本题考查了圆锥的计算．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10.（2016年浙江省宁波市）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）
A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算．
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l==10，
=×2×6π×10=60π，
圆锥侧面展开图的面积为：S
侧
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故选：C．
【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．
11．（2016.山东省青岛市,3分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）
A．175πcm2B．350πcm2C．πcm2 D．150πcm2
【考点】扇形面积的计算．
【分析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为25cm和10cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：∵AB=25，BD=15，
∴AD=10，
=﹣
∴S
贴纸
=175πcm2，
故选A．
12．（2016.山东省泰安市，3分）如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，
∴圆锥的底面周长为6π，
∵圆锥的高是6，
∴圆锥的母线长为=9，
设扇形的圆心角为n°，
∴=6π，
解得n=120．
答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
13．（2016·江苏无锡）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（）
A．24cm2B．48cm2C．24πcm2D．12πcm2
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．
【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm2）．
故选：C．
二、填空题
1．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，
且与AD相切，则图中阴影部分面积为75﹣．
【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．
【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．
【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，
设圆的半径为x，则OF=x﹣5，
由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，
即x2=（x﹣5）2+（5）2，
解得，x=5，
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）
=10×5﹣+×10×5
=75﹣，
故答案为：75﹣．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式
S=是解题的关键．
2．（2016·湖北鄂州）如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝6cm，则图中阴影部分的面积是 .
【考点】扇形的面积．
【分析】利用阴影部分面积=扇形的面积-三角形的面积进行计算．
【解答】解：S 阴影=S 扇=3601π n R 2
－S △AOB =3601
π×60×62
－2
1×6×6×2
3
=6π-93.
故答案为：（6π-93）cm 2
．
【点评】本题考查了求扇形的面积．要熟知不同条件下的扇形的面积的求法：S 扇 =2
1L R （L 为扇形弧长，R 为半径）= 21α R 2
（α为弧度制下的扇形圆心角，R 为半径）= 3601π n R 2
（n 为圆心角的度数，R 为半径）；C 扇 = 3601 2 π n R + 2R （n 为圆心角的度数，R 为半
径）= (α+2) R （α为弧度制下的扇形圆心角，R 为半径）；S 扇=πRM.
3. （2016·四川乐山·3分）如图8，在Rt ABC ?中，90ACB ∠
=
C
为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ,将BD B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__. 答案：23
π 解析：依题意，有AD ＝BD ，又90ACB ∠=，所以，有 CB ＝CD ＝BD ，即三角形BCD 为等边三角形 ∠BCD ＝∠B ＝60°，∠A ＝∠ACD ＝30°， 由AC =BC ＝2，AB ＝4，
BCD BD BCD S S
S 弓形扇形＝－＝
6042
3603
ππ?＝ 阴影部分面积为：ACD AD S S S 弓形＝－23π(＝23π
4. （2016江苏淮安，17，3分）若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °． 【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm ）， 设圆心角的度数是n 度．则
=4π，
图8
解得：n=120． 故答案为120．
【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5.（2016·广东广州）如图4，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P
是切点，AB ＝OP ＝6则劣弧AB 的长为 .（结果保留π）
图4
［难易］ 容易
［考点］ 勾股定理，三角函数，求弧长，垂径定理 ［解析］ 因为AB 为切线，P 为切点，
??
∴⊥∴===∴==⊥=∴∠=∠=,6,12,260,60OP AB AP BP OP OB OP AB OB OP POB POA \劣弧AB 所对圆心角 DAOB =120°
l AB =
120180p r =2
3
p ·12=8p ［参考答案］ 8p
6. （2016年浙江省宁波市）如图，半圆O 的直径AB=2，弦CD ∥AB ，∠COD=90°，则图中阴影部分的面积为
．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由CD ∥AB 可知，点A 、O 到直线CD 的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出S △ACD =S △OCD ，进而得出S 阴影=S 扇形COD ，根据扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵弦CD ∥AB ， ∴S △ACD =S △OCD ，
∴S 阴影=S 扇形COD =?π?
=
×π×
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出S 阴影=S 扇形COD ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
7. （2016年浙江省台州市）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C=40°，则的长是
π ．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【分析】由圆周角定理求出∠AOB 的度数，再根据弧长公式：l=（弧长为l ，圆心角
度数为n ，圆的半径为R ）即可求解． 【解答】解：∵∠C=40°， ∴∠AOB=80°．
∴
的长是
=
．
故答案为：π．
8．
（2016·山东烟台）如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2cm ，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为 π cm 2．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质． 【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠BOC=60°，△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的， ∴∠B ′OC ′=60°，△BCO=△B ′C ′O ，
∴∠B ′OC=60°，∠C ′B ′O=30°， ∴∠B ′OB=120°， ∵AB=2cm ，
∴OB=1cm ，OC ′=，
∴B ′C ′=
，
∴S 扇形B ′OB ==π，
S 扇形C ′OC ==
，
∵
∴阴影部分面积=S 扇形B ′OB +S △B ′C ′O ﹣S △BCO ﹣S 扇形C ′OC =S 扇形B ′OB ﹣S 扇形C ′OC =π﹣=π；
故答案为：π．
9．
（2016·山东烟台）如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10cm ，
则圆柱上M ，N 两点间的距离是
cm ．
【考点】圆柱的计算．
【分析】根据题意得到EF=AD=BC ，MN=2EM ，由卷成圆柱后底面直径求出周长，除以6得到EM 的长，进而确定出MN 的长即可．
【解答】解：根据题意得：EF=AD=BC ，MN=2EM=EF ，
∵把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，底面圆的直径为10cm ， ∴底面周长为10πcm ，即EF=10πcm ，
则MN=
cm ，
故答案为：．
10．
（2016·四川巴中）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB （阴影部分）的面积为 18 ．
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【分析】由正六边形的性质得出的长=12，由扇形的面积=弧长×半径，即可得出结果．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．
故答案为：18．
11．（2016山东省聊城市，3分）如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为2π．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB==2，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=?2π?1?2=2π．
故答案为2π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．（2016·江苏苏州）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若∠A=∠D，CD=3，则图中阴影部分的面积为
．
【考点】切线的性质；圆周角定理；扇形面积的计算．
【分析】连接OC，可求得△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°
∵CD=3，
∴OC=3×=，
∴阴影部分的面积=×3×﹣=，
故答案为：．
13．（2016·江苏泰州）如图，⊙O的半径为2，点A、C在⊙O上，线段BD经过圆心O，
∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为π．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全等找出S 阴影=S 扇形OAC ，套入扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：在Rt △ABO 中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1，
∴OB=
=
，sin ∠AOB=
=，∠AOB=30°．
同理，可得出：OD=1，∠COD=60°． ∴∠AOC=∠AOB+=30°+180°﹣60°=150°．
在△AOB 和△OCD 中，有，
∴△AOB ≌△OCD （SSS ）． ∴S 阴影=S 扇形OAC ． ∴S 扇形OAC =πR 2=
π×22=π．
故答案为：π．
14. (2016兰州，12,4分)如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108o ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（） （A ）πcm (B) 2πcm (C) 3πcm (D) 5πcm
【答案】：C 【解析】：利用弧长公式即可求解 【考点】：有关圆的计算
15．(2016福州，16,4分)如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r 上，下方的弧半径为r 下，则r 上 = r 下．（填“＜”“=”“＜”）
【考点】弧长的计算．
【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可． 【解答】解：如图，r 上=r 下．
故答案为=．
【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：l=
（弧长为
l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
18、(2016广东，14,4分)如图5，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12cm ，OA=13cm ，则扇形AOC 中AC ?
的长是 cm ；（结果保留π）
答案：10π
考点：勾股定理，圆锥的侧面展开图，弧长公式。
解析5， 扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2510ππ?=
16．(2016安徽，13，5分)如图，已知⊙O 的半径为2，A 为⊙O 外一点，过点A 作⊙O 的
一条切线AB ，切点是B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，若∠BAC=30°，则劣弧的长为 ．
【考点】切线的性质；弧长的计算．
【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴的长为=．
故答案为．
三、解答题
1. (2016·新疆)如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O
于D、F两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．
（1）求⊙O的半径OA的长；
（2）计算阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；垂径定理．
【分析】（1）首先证明OA⊥DF，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据S
圆=S△CDO+S
扇形OBD
﹣S
扇形OCE
计算即可．
【解答】解；（1）连接OD，
∵OA ⊥OB ， ∴∠AOB=90°， ∵CD ∥OB ， ∴∠OCD=90°，
在RT △OCD 中，∵C 是AO 中点，CD=，
∴OD=2CO ，设OC=x ，
∴x 2+（）2=（2x ）2，
∴x=1， ∴OD=2，
∴⊙O 的半径为2．
（2）∵sin ∠CDO==，
∴∠CDO=30°， ∵FD ∥OB ，
∴∠DOB=∠ODC=30°， ∴S 圆=S △CDO +S 扇形OBD ﹣S 扇形OCE
=×+﹣
=
+
．
【点评】本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．
2. (2016·云南)如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点C 的直线交AB 的延长线于点D ，AE ⊥DC ，垂足为E ，F 是AE 与⊙O 的交点，AC 平分∠BAE ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【考点】切线的判定；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA ，进而得到OC ∥AE ，于是得到OC ⊥CD ，进而证明DE 是⊙O 的切线；
（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案．
【解答】解：（1）连接OC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∵AC 平分∠BAE ， ∴∠OAC=∠CAE ， ∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC ∥AE ， ∴∠OCD=∠E ， ∵AE ⊥DE ， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，
∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径， ∴CD 是圆O 的切线；
（2）在Rt △AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12，
在Rt △OCD 中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD==
=4，
∴S △OCD =
==8
，
∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°，
∴S 扇形OBC =×π×OC 2=，
∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC
∴S 阴影=8
﹣
，
∴阴影部分的面积为8
﹣
．
【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解（1）的关键是证明OC ⊥DE ，解（2）的关键是求出扇形OBC 的面积，此题难度一般．
3. （2016·四川成都·9分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以CB 为半径作⊙C ，交AC 于点D ，交AC 的延长线于点E ，连接ED ，BE ． （1）求证：△ABD ∽△AEB ； （2）当
=时，求tanE ；
（3）在（2）的条件下，作∠BAC 的平分线，与BE 交于点F ，若AF=2，求⊙C 的半径．
《弧长及扇形面积的计算》习题 、基础过关 1. 如图，正方形 ABCD 的边AB=1，社」和」'都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部 D . 1 - D . 6.已知一个扇形的半径为 12,圆心角为150°则此扇形的弧长是（ ） A . 5 n B . 6 n C . 8 n D . 10 n 7.已知扇形半径是 3cm ，弧长为2冗cm ,则扇形的圆心角为 _____________ ° （结果保留n ） &若扇形的圆心角为 60°弧长为2n 则扇形的半径为 _____________ 10.如图，在△ABC 中，AB=BC=2，/ ABC=90 °,则图中阴影部分的面积是 半径为（ ) A 8 o 16 4 A . —cm 3 B . cm C . 3cm D . —； cm 3.圆心角为 120°弧长为 12n 的扇形半径为（ ) A . 6 B . 9 C . 18 D . 36 2.一个圆锥的侧面展开图形是半径为 8cm ，圆心角为 4.在半径为2的圆中，弦AB 的长为2,则一■-的长等于（ ） 120°的扇形，则此圆锥的底面 5.一个扇形的半径为 8cm ，弧长为 cm ，则扇形的圆心角为（ A . 60° B . 120° C . 150° D . 180° 9.半径为4cm ，圆心角为 60。的扇形的面积为 2 cm . ) 2
1. 如图，点D在O O的直径AB的延长线上，点C在O O上，AC=CD，/ ACD=120 (1)求证：CD是O O的切线； (2)若O O的半径为2,求图中阴影部分的面积. A O B D 2. 如图，AB是O O的直径，弦CD丄AB于点E,/ CDB=30 ° OC=2， 求阴影部分图形的面积(结果保留n). 、拓展应用 1. 如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点 E,交AD的延长线于点F,设DA=2 . (1)求线段EC的长； (2)求图中阴影部分的面积. 参考答案 、基础过关
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 24.4 弧长和扇形面积习题 一、选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）． A．3πB．4πC．5πD．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（） A．1 B．πC．2D．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（） A．12πm B．18πm C．20πm D．24πm 4．圆锥的母线长为13cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为（） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 5．在半径为50cm的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（） A．228°B．144°C．72°D．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，?从点A 出发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（） A．3B．33 2 C．3D．3 二、填空题
1 ．如果一条弧长等于 4 π R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B，则AD的长是BC的长的_____倍． 3．母线长为L，底面半径为r的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD的边AB=5cm，AD=8cm，以直线AD为轴旋转一周，?所得圆柱体的表面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m2的油毡． 三、综合提高题 1．如图所示，AB所在圆的半径为R，AB的长为 3 π R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长． 2．如图，若⊙O的周长为20πcm，⊙A、⊙B的周长都是4πcm，⊙A在⊙O?内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？ 3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=3，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积． _... _B _A _O
2 、 选择题 九年级数学弧长与扇形面积练习题 1 一条排水管的截面如下左图所示，已知排水管的半径 OB=10， 水面宽 AB=16，则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 3 D. 6 2、如果一条弧长等于 l ，它的半径等于 R ，这条弧所对的圆心角增加 1o ， 则它的弧长增加（ lR Ａ． Ｂ． n 180 3、已知圆锥的母线长为 （） 2 A 、 18 cm 4、中央电视台 到 A 、1倍 180l Ｃ． R 6cm ，底面圆的半径为 l Ｄ． 360 3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 B 、 36 cm C 开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加 （） B 、2 倍 C 、3倍 D 、4倍 6cm ，最大距离为 9cm ，则该圆的半径是 B 、 7.5cm C 、 1.5cm 或 7.5cm D 、 3cm 或 1:10000的地图上，若，某建筑物在图上的面积为 50 ） B 7、下列说法正确的是 （ ） A 、所有的等腰三角形都相似 C 、所有的正方形都相似 2 、 36 cm 、12 22 cm D 、 9 cm 5、一个点到圆的最小距离为 A 、 1.5cm 6、在比例尺为 占地面积为（ 2 A 、 50 m 2 、 7.5cm 2 、5000 m 2 22 C 、 50000 m 2 D 、500000 m 2 8、 扇形的周长为 16，圆心角为 Ａ． 16 9、 A 、 C 、 二次函数 ac>0 2 b -4ac<0 （） 15cm cm 2 ，则该建筑物实际 B 、四个角都是直角的两个四边形一定相 似 D 、四条边对应成比例的两个四边形相似 360 ，则扇形的面积是（ y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴 x=1，下列结论中，正确的（ ） B D 、b<0 、 2a+b=0 10、如图， A C 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的 弦， EC ∥ AB 交⊙ O 于 E ，则图中与 1 ∠BOC 相等的 角共有（ ）A 、2 个 B 、3 个 C 、4 个 D 、5 个
初中数学：弧长及扇形的面积练习题 一、选择题 1．如图K －29－1,等边三角形ABC 的边长为4,D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,AC 的中点,分别以 A , B , C 三点为圆心,以A D 长为半径作三条圆弧,则图中三条圆弧的弧长之和是( ) 图K －29－1 A ．π B ．2π C ．4π D ．6π 2.如图K －29－2,AD 是半圆O 的直径,AD ＝12,B ,C 是半圆O 上两点．若AB ︵＝BC ︵＝CD ︵ ,则图中阴影部分的面积是( ) 图K －29－2 A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 二、填空题 3．如图K －29－3,在△ABC 中,∠BAC ＝100°,AB ＝AC ＝4,以点B 为圆心,AB 长为半径作圆弧,交BC 于点D ,则AD ︵ 的长为________．(结果保留π) 图K －29－3 4．如图K －29－4,在边长为4的正方形ABCD 中,先以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,再以 AB 边的中点为圆心,AB 长的一半为半径画弧,则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)
图K －29－4 5．如图K －29－5,△ABC 是正三角形,曲线CDEF 叫正三角形的渐开线,其中CD ︵,DE ︵,EF ︵ 的圆心依次是A ,B ,C ,如果AB ＝1,那么曲线CDEF 的长是________． 图K －29－5 6．如图K －29－6,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AC ＝2 3,以点C 为圆心,CB 长为半径画弧,与AB 边交于点D ,将BD ︵ 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合,则图中阴影部分的面积为________． 图K －29－6 三、解答题 7．如图K －29－7,在扇形OAB 中,∠AOB ＝90°,半径OA ＝6.将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠,点O 恰好落在扇形上的点D 处,折痕交OA 于点C ,求整个阴影部分的周长和面积． 图K －29－7
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π= 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此， 1°的圆心角所对的弧长就是360R 2π。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n π 180R n π=∴l *这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S π=，所以圆心角为n °的扇形面积是： R l R n S 2 13602==π扇形（n 也是1°的倍数，无单位）l 为弧的长 5. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶 点、弧长是圆锥底面圆的周长。
圆锥侧面积是扇形面积。 如果设扇形的半径为l ，弧长为c ，圆心角为n （如图），则它们之间有如下关系： 180 n c l π= 同时，如果设圆锥底面半径为r ，周长为c ，侧面母线长为l ，那么它的侧面积是： l l r c 2 1S π==圆侧面 圆锥的全面积为：2r r π+πl 圆柱侧面积：rh 2π。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改
九年级数学--弧长及扇形的面积练习（含答案） 1．在半径为r 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l ＝________． 2．注意：弦所对的弧有两条,如第8题． A 组 基础训练 1．圆心角为60°,且半径为3的扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.3π 2 D ．3π 2．如图,⊙O 的半径为1,A ,B ,C 是圆周上的三点,∠BAC ＝36°,则劣弧BC 的长是( ) A.15π B.25π C.35π D.45 π 第2题图 2．如图是两个同心圆的一部分,已知OB ＝12 OA ,则BC ︵的长是AD ︵ 的长的( ) 第3题图 A.12 B ．2倍 C.1 4 D ．4倍 4．如图,在4×4的正方形网格中,若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′,则BB ′︵的长为( )
第4题图 A．Π B.π 2 C．7 D．6 5．已知弧的长为12πcm,弧的半径为9cm,则弧的度数为________． 6．如图,一块等边三角形的木板,边长为1,若将木板沿水平线翻滚,则点B从开始至结束走过的路径长度为________． 第6题图 7.如图,“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧 组成．已知正三角形的边长为1,则凸轮的周长等于________． 第7题图 8．在半径为6cm的圆中,6cm的弦所对的弧长为________cm. 9．一段铁丝长80πcm,把它弯成半径为160cm的一段圆弧,求铁丝两端间的距离． 10．(湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD＝105°,∠DBC＝75°. (1)求证：BD＝CD；
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
弧长以及扇形面积的计算 副标题 一、选择题（本大题共3小题，共9.0分） 1.如图，在中，，，以BC的中点 O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长 为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：连接OE、OD， 设半径为r， 分别与AB，AC相切于D，E两点， ，， 是BC的中点， 是中位线， ， ， 同理可知：， ， ， 由勾股定理可知， ， 故选：B． 连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案． 本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型． 2.一个扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是 B. C. D. A. 【答案】B
【解析】解：一个扇形的弧长是，面积是， ，即， 解得：， ， 解得：， 故选B 利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数． 此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．3.的圆心角对的弧长是，则此弧所在圆的半径是 A. 3 B. 4 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】解：根据弧长的公式 得到： 解得． 故选C． 根据弧长的计算公式，将n及l的值代入即可得出半径r的值． 此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般． 二、填空题（本大题共1小题，共3.0分） 4.如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与 边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______． 【答案】 【解析】解：连接OD、OE，如图所示： 是等边三角形， ， ，， 、是等边三角形， ， ， ， 的长； 故答案为：． 连接OD、OE，先证明、是等边三角形，得出，求出，再由弧长公式即可得出答案． 本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等
知识点 1.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的弧长是____________，n °的圆心角所对的弧长是______________. 2.在半径为R 的圆中，1°的圆心角所对的扇形面积是____________，n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形=______________. 3.半径为R ，弧长为l 的扇形面积S 扇形=________. 一、选择题 1.（2013?潜江）如果一个扇形的弧长是3 4π，半径是6，那么此扇形的圆心角为() A ．?40 B ．?45 C ．?60 D ．?80 2.（2013?南通）如图，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转 180°，则点D 所转过的路径长为() A ．4πcm B ．3πcmC．2πcm D ．πcm 3.（2013?宁夏）如图，以等腰直角△ABC 两锐角顶点A 、B 为圆心作等圆，⊙A 与⊙B 恰好外切，若=2，那么图中两 个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ） 4π2π 22 π 2π（2013?资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面 上扫过的面积是() A ．12 π B ．14 π C. 1 8 π D ．π 5.（2013?荆州）如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到 △AB ＇C ＇，点B 经过的路径为弧BB ＇，若角∠BAC =60°，AC =１，则图中阴影部分的面积是() A . 2π B .3π C .4 π D .π 6.（2013?恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形 ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成的面积为（ ） 第2题 A B C D O 第3题 C ′ B C 第5题
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A)
第二张：(记作§3．7B) 第三张：(记作§3．7C) 第四张：(记作§3．7D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为r，则周长l＝2πr，面积S＝πr2，圆的圆心角是360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ (3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A被传送圆周 长的 1 360 ；转动轮转n°，传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍． [生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送2π×10＝20πcm； (2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送20 36018 ππ =cm；
弧长及扇形面积的计算 习题 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
《弧长及扇形面积的计算》习题一、基础过关 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部 分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面 半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A．B．C．D． 5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为 （） A．60°B．120°C．150°D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5πB．6πC．8πD．10π
7．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为°．（结果保留π） 8．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为．9．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2． 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是． 二、综合训练 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上， AC=CD，∠ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）． 三、拓展应用 1．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点 E，交AD的延长线于点F，设DA=2． （1）求线段EC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 参考答案 一、基础过关 1．解：A
初三数学弧长和扇形面积公式知识精讲 一. 本周教学内容： 弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积 教学目的 1. 使学生学会弧长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特点。 2. 使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。 3. 使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有关圆锥表面积的计算问题。 4. 培养学生空间观念及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和计算能力。 教学重点和难点： 教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算 难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系 教学过程 1. 圆周长： r 2C 圆面积：2 r S 2. 圆的面积C 与半径R 之间存在关系 R 2C ，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R 2。 n °的圆心角所对的弧长是180 R n 180R n l P 120 * 这里的180、n 在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。 3. 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。 发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。 4. 在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积2R S ，所以圆心角为n °的扇形面积是： R 21360R n S 2l 扇形（n 也是1°的倍数，无单位） 5. 圆锥的概念 观察模型可以发现：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。其中底面是一个圆，侧面是一个曲面，如果把这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。 如图，从点S 向底面引垂线，垂足是底面的圆心O ，垂线段SO 的长叫做圆锥的高，点S 叫做圆锥的
弧长及扇形面积的计算 习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
《弧长及扇形面积的计算》习题一、基础过关 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A．B．C．D． 5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（） A．60°B．120°C．150°D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5πB．6πC．8πD．10π 7．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为°．（结果保留π）8．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为． 9．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2． 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是．二、综合训练 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧 长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形 面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计 算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计 算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
弧长与扇形面积练习题 1. 一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（） A.5π B. 4π C.3π D.2π 2. 如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去1 3 圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那 么这个圆锥的高为（） A．6cm B ．．8cm D ．cm 3．如图，是一圆锥的主视图，则此圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（） A．60° B．90° C．120° D．180°12cm 6cm 7.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）. A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π 8.如图,圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC= 6cm，点P是母线BC上一点,且PC= 2 3 BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（） A．（ 6 4 π +）cm B．5cm C．cm D．7cm 9.如图，半径为1的小圆在半径为 9 的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为（） A . 17π B . 32π C . 49π D . 80π 10. 如图，AB切⊙O于点B，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧⌒BC的弧长为（）． A． 3 3 πB． 3 2 πC．πD． 3 2 π 11. 在半径为 4 π 的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于．
12. 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是m 。（结果用π表示） 13.如图，圆锥的底面半径OB 为10cm ，它的展开图扇形的半径AB 为30cm ，则这个扇形的圆心角a 的度数为____________． 14. 如图,点A 、B 、C 在直径为32的⊙O 上,∠BAC=45o, π). 2、如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1 ，则它的弧长增加（ ） Ａ． l n Ｂ． 180 R π Ｃ． 180l R π Ｄ． 360 l 3、已知圆锥的母线长为6cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥侧面展开图的面积为 （ ） A 、18πcm 2 B 、36πcm 2 C 、12πcm 2 D 、9πcm 2 4、圆的半径增加一倍，那么圆的面积增加到（ ） A 、1倍 B 、2倍 C 、3倍 D 、4倍 5、一个点到圆的最小距离为6cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是 （ ） A 、1.5cm B 、7.5cm C 、1.5cm 或7.5cm D 、3cm 或15cm 8、扇形的周长为16，圆心角为360π ，则扇形的面积是（ ） Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ．16π 10、如图，AC 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，EC ∥AB 交⊙O 于E ，则图中与 1 2 ∠BOC 相等的角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、如图，将三角尺ABC （其中∠B=60°，∠C=90°，AB=6）绕点B 按顺时针转动一个角度到A 1BC 1 的位置，使得点A 、B 、C 1在同一条直线上，点A 所经过的路程是（ ） A 、2π B 、4π C 、8π D 、12π 16、如图，圆锥的轴截面是边长为6cm 的正三角形ABC ，P 是母线AC 的中点．则在圆锥的侧面上从B 点到P 点的最短路线的长为（ ）
知识点： 1、 弧长公式： l n R （牢记） 180 在半径是 R 的圆中， 360 度的圆心角多对的弧长就是圆的周长 C n R 2 1 2、扇形面积公式： S 扇形 = 或 S 扇形 = 1 lR （牢记） 360 2 3、圆锥的侧面积和全面积（难点） 圆锥的侧面展开图形是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的 母线长 R ，扇形的弧长是圆锥 底面圆的周长。 典型例题 1．已知圆锥的高是 30cm ，母线长是 50cm ，则圆锥的侧面积是 【关键词】圆锥侧面积、扇形 面积 答案： 2 2000 cm 2 ； 2. （2010 年福建省晋江市） 已知：如图，有一块含 30 的直角三角板 OAB 的直角边长 BO 的长恰与另一块等腰直角三角板 ODC 的斜边 OC 的长相等，把该套三角板放置在平面 直角坐标系中，且 AB 3. （1） 若双曲线的一个分支恰好经过点 A ，求双曲线的解析式； （2） 若把含 30 的直角三角板绕点 O 按顺时针方向旋转后，斜边 OA 恰好与 x 轴重叠， 点 A 落在点 A ，试求图中阴影部分的面积 （结果保留 ）. 弧长和扇形面积 答案：解： （1） 在 Rt OBA 中， AOB 30 ， AB 3， OB cot AOB ， AB ∴ OB AB cot30 3 3 ， ∴点 A 3,3 3 设双曲线的解析式为 y k k 0 x ∴3 3 k ， k 9 3 93 ，则双曲线的解析式为 y 3 x (2) 在 Rt OBA 中， AOB 30 ， AB 3 ， AB 3 sin AOB ， sin30 ， OA OA ∴ OA 6. 关键词】反比例函数、扇形面 积 y B O C A y A
24.4 弧长和扇形面积习题 一、 选择题 1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕 点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ） A ．1 B ．π C ．2 D ．2π (1) (2) (3) 3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆 都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A ．12πm B ．18πm C ．20πm D ．24πm 4．圆锥的母线长为13cm ，底面半径为5cm ，则此圆锥的高线为（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm 5．在半径为50cm 的圆形铁皮上剪去一块扇形铁皮，?用剩余部分制作成一个底面直径 为80cm ，母线长为50cm 的圆锥形烟囱帽，则剪去的扇形的圆心角度数为（ ） A ．228° B ．144° C ．72° D ．36° 6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，?从点A 出发 绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是（ ） A ．3 B ． 332 C ．3 D ．3 二、填空题 1．如果一条弧长等于4 πR ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________． 2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 3．母线长为L ，底面半径为r 的圆锥的表面积=_______． 4．矩形ABCD 的边AB=5cm ，AD=8cm ，以直线AD 为轴旋转一周，?所得圆柱体的表 面积是__________（用含π的代数式表示） 5．粮仓顶部是一个圆锥形，其底面周长为36m ，母线长为8m ，为防雨需在粮仓顶部 铺上油毡，如果按用料的10%计接头的重合部分，那么这座粮仓实际需用________m 2 的油毡．
又 初中数学弧长及扇形的面积教学设计 课时安排 1 课时 从容说课 本节课的内容为弧长及扇形的面积，是在学习了圆的有关性质后，利用圆的性质探索推 导弧长及扇形的面积，并能运用得出的结论进行有关计算，实质上是圆的有关性质的运用． 本节的重点和难点是学生自己能推导并掌握弧长及扇形的面积，并能应用公式解决问题． 在教学中，教师不要急于给出学生公式，而要引 导学生自己根据已有的知识推导公 式．如果学生有困难，可以采取小组合作的形式解决．这样既能使学生有成就感， 能培养 他们的探索能力，还能使所学知识掌握得比较牢固，那么运用公式进行计算来解决问题就比 较容易了． 课 题 § 3．7 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式．让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题．让学生体验数学与人类生活的密切联系， 激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§ 3．7 A) 第二张：(记作§ 3．7 B) 第三张：(记作§ 3．7 C) 第四张：(记作§ 3．7 D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课
弧长及扇形面积的计算习 题 Prepared on 24 November 2020
《弧长及扇形面积的计算》习题 一、基础过关 1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（） A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣ 2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（） A．cm B．cm C．3cm D．cm 3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（） A．6 B．9 C．18 D．36 4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（） A．B．C．D． 5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（） A．60°B．120°C．150°D．180° 6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（） A．5πB．6πC．8πD．10π 7．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为°．（结果保留π）8．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为． 9．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为πcm2． 10．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是．二、综合训练 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ ACD=120°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
三、拓展应用 1．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2． （1）求线段EC的长； （2）求图中阴影部分的面积． 参考答案 一、基础过关 1．解：A 2．解：A 3．解：C 4．解：C 5．解：B 6．解：D 7．解：120 8．解：6 9．解：π 10．解：π﹣2 二、综合训练 1．（1）证明：连接OC． ∵AC=CD，∠ACD=120°，∴∠A=∠D=30°． ∵OA=OC，∴∠2=∠A=30°． ∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°． ∴CD是⊙O的切线． （2）解：∵∠A=30°，∴∠1=2∠A=60°． ∴S扇形BOC=． 在Rt△OCD中， ∵，∴．
弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积 一、请准确填空(每小题3分，共24分) 1.两个同心圆的半径差为5，其中一个圆的周长为15π，则另一个圆的周长为_____. 2.已知a 、b 、c 分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线，则a ∶b ∶c 为_____. 3.已知Rt △ABC ，斜边AB =13 cm ，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm 2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____. 4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°，母线长为8，则圆锥的侧面积为_____. 5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x 2－11x +2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____. 6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____. 7.要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图1，使底面半径r 与母线l 的比r ∶l =3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____. 8.将一根长24 cm 的筷子，置于底面直径为5 cm ，高为12 cm 的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯子外面的长为h cm ，则h 的取值范围是_____. 图1 图2 二、相信你的选择(每小题3分，共24分) 9.已知正三角形的边长为a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶a ∶R 等于 A.1∶23∶2 B.1∶2∶23 C.1∶2∶3 D.1∶3∶2 10.如图3，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中 、 、…A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是 A.8π B.6π C.4π D.2π 11.如图4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为 A.800π cm 2 B.500π cm 2 C. 3800π cm 2 D.3 500 π cm 2 12.已知如图5，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则 和 的 长度比为 A.1∶1 B.3∶2 C.3∶5 D.9∶25 13.如图6，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA =60°，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是 A.S 1
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