浅析莱布尼茨的实体学说
[内容提要]：哥特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）是试图建立形而上学体系的第一个近代伟大的德国思想家。莱布尼茨的实体学说是其形而上学体系的基础，他深刻地认识到近代以来的实体理论的缺陷，批判地继承了笛卡尔和斯宾诺莎的实体思想并在自己的思考中提出了极具特色的实体学说。他提出需要重新召回经院哲学的“实体的形式”即质的观念来给实体做出新的理解，应该从质的角度，从能动性的角度去寻求一种单纯的、无形体的永恒实体作为万物的基础，强调实体的个体性原则。莱布尼茨的实体学说不仅试图克服机械论的局限，也试图去协调一般与个别、普遍与特殊、整体与部分的关系，对实体理论和整个哲学的发展都有很大的影响。
[关键词]：莱布尼茨实体单子单纯性能动性个体性
莱布尼茨是17世纪末18世纪初德国著名的哲学家和科学家。在他登上哲学的历史舞台时，17世纪盛行的机械论自然观的局限性已经露出了端倪，经验论与唯理论经过长期的论战，各自的短长也逐渐明朗化。莱布尼茨在分析以往哲学学说的基础上，认为必须有一种新的哲学体系，来调和机械论和目的论、自然科学和神学以及近代和古代哲学的矛盾，由此他创立了他独具特色的单子论实体学说。莱布尼茨认为实体作为世界万物的本质，必须是不可分的单纯性的，具有统一性，而且实体也应有其内在目的，符合能动性原则。他把力、活动引入实体，强调实体自身的能动性与个体性，这在某种程度上，既弥补了机械论的不足，也对一般与个别、普遍性与一般性之间的关系进行了创新性的解释，是对传统实体学说的突破与发展。
一、单纯的形而上学的点
近代以来，机械论的自然观得到广泛的推崇，持机械论自然观的哲学家们将物体的本质规定为广延性即单纯的量的规定，试图用自然科学中的机械性原理来解释自然，而在莱布尼茨看来，实体概念必须既蕴含着统一性，又是不可分的单纯性的。莱布尼茨认为，用可分的广延来规定实体与实体的不可分性是矛盾的，但以不可分的原子规定实体又无法说明实体的
统一性，所以，他认为必须抛弃单纯从量的角度或广延的角度说明自然事物的观点，应该从质的角度去寻求一种单纯的永恒实体作为万物的基础。
莱布尼茨将他所理解的真正的实体称为“形而上学的点”，是既现实存在又是真正不可分的实体，这种“形而上学的点”就是“单子”。莱布尼茨说，“（单子）只是一种组成复合物的单纯实体；单纯，就是没有部分的意思”[1](p476)，“在没有部分的地方，是不可能有广延的、形状、可分性的。这些单子就是自然的真正原子，总之，就是事物的原素。”[1](p476-477)形而上学的点是不可分的单纯性的，必须具有统一性。在莱布尼茨那里，单子是无限多的，世界上的事物都是复合的和无限的。莱布尼茨也注意到了世界的繁多性，在他看来，“复合物无非是一群或一堆单纯的东西”[1](p476)，“它们（指单子——引者）可以被称作形而上学的点，有某种像似生命本性的东西，它们有知觉。为了表达宇宙，数学的点就是它们的观点。但是当一个有形的物体形成时，对我们来说，它所有有形的机体只是一个物理点。物理点只表现为可分的，数学点是不可分的，它们只是形式……但没有它们，任何东西都不能成为实在，因为没有真正的统一，也就没有繁多性。”[2](p311)莱布尼茨把形而上学的点归结为数学和物理学上的两个重合的点，它实实在在是哲学的，众多单子在无形的点上获得了统一。实体不仅是单纯的，在莱布尼茨看来，还具有能动性，它是潜在的能量或“隐得来希”，它派生出多样性，也实现了物质的真正统一。
二、能动的精神实体
在莱布尼茨看来，广延只有通过“力”才得以说明，广延必须以物体或力的存在为必要条件，他认为物体有一种自身能够伸张、扩展和延续的特性或本性，才有广延。莱布尼茨认为，“活动是属于实体的本质”, “实体(物质的或非物质的)是不能光就它的没有能动性的赤裸裸的本质去设想的，能动性是一般实体的本质” [3](p12)，在他看来，只有活动的才是实在的。莱布尼茨将实体内部的能动性作为实体的本质，在这个意义上，实体就是自因的，“我们可以把一切单纯实体或创造出来的单子命名为‘隐德来希’，因为它们自身之内具有一定的完满性，有一种自足性使它们成为它们的内在活动的源泉，也可以说，使它们成为无形体的自动机。”[1](p479)莱布尼茨认为每一个单子都处在演化的过程中，因内在的必然性而实现其本性，它不受外界决定，它要成为什么样子，那是潜伏和蕴含在它本身以内的，“单子的自然变化是来自一个内在的本原”[1](p478)。莱布尼茨所说的“力”不同于机械论的外力，而是事物的内在动力。
莱布尼茨坚持活动性、能动性对于实体是根本的，这是他实体学说最具特色的地方。笛
卡尔认为，物质实体的本质是广延性，为了说明物质的运动，不得不求助于上帝的推动。在斯宾诺莎那里，实体是自因，即自己是自己的原因，但又认为实体是不变不动的，只有实体的样式在运动变化，而且他所谓的实体、神并不是人格化的神，这也就很难解释唯一、不变的实体如何产生众多、变动的样式。莱布尼茨将内在能动性引入了实体，就实现了实体与活动性的结合，更好地说明了实体即自因，摆脱了过去僵死、被动的机械实体观念。
三、单子的个体性原则
莱布尼茨在青年时代主张，只有个别的东西是实在的，共相在个别的事物中有其根源，除非在上帝的精神那里，共相不能脱离个别事物而存在。他从未放弃这种个体和多元的概念，他实际把整个宇宙分割成无数的个体存在物，并使存在物成为精神的实体。
莱布尼茨认为单子是能动的精神实体，其本性在于表象或知觉，单子知觉的清晰程度是不同的，单子相互之间不存在量的差别而存在质的差别，“每一个单子必须与任何一个别的单子不同。因为自然界决没有两个东西完全一样，不可能在其中找出一种内在的、基于固有本质的差别来。”[1](p478)单子是自然界的真正原子，是一种组成复合物的单纯实体，是事物的原素，而每个单子之间又具有普遍差别，莱布尼茨正是从实体的角度论证了世界的杂多性、特殊性和差异性。“个体化原则是根据差别原则重见于个体之中的。如果两个个休是完全相似的或相等的，并且(总之一句话)是凭本身不能区别的，那就不会有什么个体原则，我甚至敢说，在这种条件下就不会有什么个体的区别或不同的个体。”[3](p234-234)莱布尼茨所强调的个体之间的差别是一种质的差别，是一种内在差别，因为“外在的原因不可能影响到单子内部”[1](p478)。
莱布尼茨强调单子的个体性原则，在某种程度上也就强调了实体的个体性。笛卡尔把物体的本质规定为广延即一种量的规定，因而也只是从量的角度去把握事物间的差别。斯宾诺莎把实体与自然和神等同，他强调实体的唯一性和普遍性，而个体的样式是他因的、有限的，必须从普遍的实体、神那里获得存在的原因。而在莱布尼茨看来，每一个的单子本身就是实体，它具有自己的内在原因和目的，每一个单子都是具有能动性和内在根据的实体，它们凭借“知觉”的能力像一面镜子一样反映整个宇宙，世界上有多少个单子，就有多少个实体。
莱布尼茨这种个体性的实体在某个方面也进一步说明了一般与个别的关系问题。首先莱布尼茨就承认了个体的实在性，单纯的单子就是组成复合物的单纯实体，世界是由无数单子构成，世界的基础始终是个体。同时，个体的单子本身就是完全特别的实体，就单子的个体性原则看来，每个单子具有质的差别，是唯一的、独特的，单子个体也就是一般。这也就是
说，一般和个别得到了统一，一般是存在于个别之内的一般，个别也是本身就具有其本质，是借以区别它物的东西。不仅如此，单子作为单纯的精神实体具有“知觉”和“表象”的能力，“这个包含着、代表着单元或单纯实体里的繁多性的过渡状态，无非就是知觉”[1](p478)，单子虽然在形式上是单纯的，但它能够像一面镜子一样反映整个宇宙，这样，每一个实体都包含着丰富的内容。“当我们发现自己所察觉到的最细小的思想也包含着对象中的多样性时，我们就在自己身上经验到单纯实体中的繁多性了”[1](p479)。这样，莱布尼茨就将个别、一般以及杂多之间的关系统一了起来：个别就是一般，一般包含杂多，而单子就是个别、一般和杂多的统一。
四、单子的连续性原则与预订和谐
经过以上的分析，由于单子“知觉”的清晰程度有所不同，在单子之间存在着质的差别，因而整个宇宙可以看作是一个单子的等级序列。从最完满的单子到最低级的单子，其间存在着无限多的等级，莱布尼茨说“从我们本身开始到最低级的事物，这是一个下降的阶梯，是由极小的阶梯和事物的连续序列构成的，每一级和相隔一级的区别是非常小的。”[3](p335)他认为单子等级之间没有分离的间隔，因而整体是连续的，每个单子从一种知觉到另一种知觉的发展也具有连续性，他主张自然绝不作飞跃。单子序列的连续性在一定程度上也说明了实体的统一性。
为了说明单子在连续序列中的变化和发展，莱布尼茨提出宇宙万物有一种“预定的和谐”。在莱布尼茨看来，由于上帝在创造单子时的预见和安排，全部单子的变化发展就自然而然地和谐一致，始终保持着整体的连续性，整个宇宙世界都是完整和谐的。莱布尼茨的“预订和谐”不仅用来说明单子连续序列的和谐一致，更是为了解决笛卡尔遗留下来的心身关系问题。
莱布尼茨认为，笛卡尔的心身交感论是不可能的，而马勒伯朗士的“偶因论”带有神秘主义色彩且不符合事实，是对上帝的不敬。在莱布尼茨看来，心身之间也应是预订和谐的。“灵魂遵守它自身的规律，形体也遵守它自身的规律，它们的会合一致，是由于一切实体之间的预订和谐，因为一切实体都是同一宇宙灵魂的表象。”[1](p490)
总体上来看，莱布尼茨重新召回经院哲学的“实体形式”即质的观念给予实体观念新的解释，将单纯性和能动性引入实体，弥补了机械论的局限，说明了实体的个体性，强调了个体自身的依据和世界的质的多样性与复杂性，进一步诠释了个别、一般、杂多的统一关系，并且对心身关系问题给出了新的解释，整个莱布尼茨的实体学说对当时整个西方哲学的发展
都产生了重要的影响。i
i[参考文献]：
[1]北京大学哲学系外国哲学史教研室编译.西方哲学原著选读（上卷）[M].商务印书馆，2014
[2][德]莱布尼茨.罗伯特·拉塔英译.单子论和其他哲学著作集[M].克拉伦登出版社，1898
[3][德]莱布尼茨.人类理智新论[M].商务印书馆，1982
牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。 若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a) 这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。 定积分式 如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 2 Φ性质 1、定义函数，则 与格林公式和高斯公式的联系。 证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量 显然， 而 （ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得） 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有 可见这也是导数的定义，所以最后得出 。
2、，F(x)是f(x)的原函数。 证明：我们已证得 ，故 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而 ，所以 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物 牛顿 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 莱布尼茨 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。
牛 顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积 分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认 可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区 间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一 个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有 f(ε)=C 证明： 运用零点定理: 设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1
牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ●前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ●定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间?x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i=f(εi)?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限即： 1 ()lim() n b a n i i i f x dx f x ε →∞ = =? ∑ ? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞ =?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()() ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q ()()b b a a f x dx g x dx ≤??1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑? Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤? ???()()b b a a f x dx g x dx ∴≤??
浅析莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用 导数的计算在我们整个考研数学是一个比较简单的考点了，只需灵活运用函数求导法则、导数四则运算、复合函数求导、反函数求导以及隐函数求导都可以解决。然而在考研过程中还涉及一些题型，即求某函数的高阶导数，通常为n 阶等。对于高阶导数的计算，核心思路在于找规律以及运用莱布尼兹公式进行求解，而莱布尼兹公式为导数计算考点中的一个核心考点，但很多同学往往把握不到位。因此，本文介绍一下莱布尼兹公式在求高阶导数中的应用。 一、莱布尼兹公式 莱布尼兹公式主要用来计算两个函数乘积的高阶导数。 设u(x),v(x)均有n 阶导数，则有 ∑=-=n k k n k k n n x v x u C x v x 0)()()() ()()]()(u [这个公式为莱布尼兹公式抽象形式，从这个公式中可以看到，我们在应用莱布尼茨公式时会求函数n 阶导数，因此对于常用的函数高阶导数公式需非常熟悉，具体总结如下：
()()()()()()1()11.,2.,(ln )(0,1) 3.y sinx,sin()2 4.cos ,cos()2 5.,(1).......1)1 6.,(1)! 7.ln ,(1)(1)!x n x x n x n n n a n a n n n n n n n y e y e y a y a a a a n y x n y x y x y x y a a a n x y y n x x y x y n x ππ-----====>≠==+ ==+==--+==-==--（有了这些公式，我们应用莱布尼茨公式就比较方便了。 二、公式应用 例1.设2 ),1(,ln )()(2≥=n f x x x f n 其中求代入由莱布尼兹公式得： ()2()02()12'(1)12''(2)2()(1)-2(2)-1(3)-()(1)()(ln )ln ()ln ()ln 04()-1n-1)!2-1n-2)!n-1)-1n-3)!(1)2-1n n n n n n n n n n n n n n n n n f x x x C x x C x x C x x x f x x n x x n x f ---+-+--==++=+?+=因为的三阶导数已经为了，所以莱布尼茨公式的第项开始我们就不用写了 所以，（）（（）（（（）（（）n-3)! （分析与提炼 由例1可知，莱布尼兹公式运用过程中通常题型为幂函数与上述常用可求高阶导数函数结合求高阶导数，其原因在于幂函数在求有限次导数之后会变为0，使得高阶导数便于计算。除了记忆莱布尼茨公式，常用函数高阶导数公式外，求两个函数乘积的高阶导数时，我们还要注意最后一步组合数的计算和整个式子的化简，不要再这里出错。 中公祝全体考生考试成功！
牛顿—莱布尼茨公式教案设计 学院：数学与统计学院 班级：2010级数学（2）班 姓名：李二亮
牛顿—莱布尼茨公式教案设计 一、【教材分析】 1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章. 2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来. 二、【教学目标】 1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、 概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣. 2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层 设疑，引导学生在不断思考中获取知识. 3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结 合的思想意识. 三、【教学重点】 熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式. 四、【教学难点】 1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限. 2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题. 五、【教学过程】 针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。教学过程的流程入下：
（一）复习旧知识，引入课题 复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关? 引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法. （二）创设情境，得到猜想 示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系. 设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程. 分析示例： 变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为： 其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到： 如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是： 如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想： ?2 1 )(T T dt t v )()(12T s T s -).()()(122 1 T s T s dt t v T T -=∴ ? ). ()(t v t s ='其中{}121,, ,,[,] n i i i T t t ????-==[] []211111 1 ()()()()()(),,n i i i n n i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η?η?η?-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1 ()n i i i v t η?=∑ 1 ()n i i i v t ξ?=∑2 1 ()T T v t dt ? [] 1,i i i i t t ξ?-∈=1 ()n i i i v t ξ?=∑() ()s t v t '=2 1 21()()()T T v t dt s T s T =-?
第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=- 牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?()()()()()()()()0 ()()()lim 0F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x ''=='''∴=-=-=+?-'∴==1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
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