滚动周练卷(四)
[时间：45分钟测试范围：13.3 分值：100分]
一、选择题(每题5分，共30分)
1．[xx·呼伦贝尔]如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC，若∠1＝70°，则∠BAC的大小为( )
图1
A．40° B．30° C．70° D．50°
2．如图2，AD⊥BC，D为BC的中点，有以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．其中正确结论的个数为( )
图2
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．[xx·静宁期中]△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是( )
A．等腰三角形B．等边三角形
C．不等边三角形D．不能确定
4．[xx·孝感模拟]如图3，∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2之间的关系是( )
图3
A．∠1＝2∠2 B．3∠1－∠2＝180°
C．∠1＋3∠2＝180° D．2∠1＋∠2＝180°
5．[xx·江阴期中]如图4，∠POQ＝30°，点A在OP边上，且OA＝6，试在OQ边上确定一点B，使得△AOB是等腰三角形，则满足条件的点B的个数为( )
图4
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．[xx·芦溪期末]如图5，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE 的度数是( )
图5
A．45° B．55° C．60° D．75°
二、填空题(每题4分，共24分)
7．[xx·丰台区二模]已知射线OM，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图6所示，则∠AOB＝_ __．
图6
第7题答图
【解析】如答图，连接AB，根据题意得OB＝OA＝AB，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.
8．[xx·长春期中]如图7，AD是△ABC的边BC上的高，有以下四个条件：①∠BAD ＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③AB＝AC；④BD＝CD.添加以上四个条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__ _(只填写序号)．
图7
9．[xx·广陵区二模]如图8，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝__ __．
图8
10．[xx·龙岩模拟]如图9，△ABC中，点D在边BC上，若AB＝AD＝CD，∠BAD＝100°，则∠C＝___．
图9
11．[xx·淮安一模]如图10，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB，AC于点D，E，且DE∥BC.若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则△ADE 的周长为__ __．
图10
12．[xx·江都期中]如图11，已知在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝72°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形共有____个．
图11
三、解答题(共46分)
13．(8分)[xx·罗湖期末]上午8时，一条船从A处出发以30海里/时的速度向正北航行，12时到达B处，测得∠NAC＝32°，∠ABC＝116°.求从B处到灯塔C的距离．
图12
14．(8分)[xx·江汉区三模]如图13，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，BF⊥AC 于点F，交AD于点E，∠BAC＝45°.求证：△AEF≌△BCF.
图13
15．(10分)[xx·衡阳期末]如图14，已知△ABC中，∠ACB＝120°，CF平分∠ACB，AD∥FC，交BC的延长线于点D，试判断△ACD是等边三角形吗？请推理说明你的结论．
图14
16．(10分)如图15，等边△ABC中，点D在BC延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD.求证：△ADE是等边三角形．
图15
17．(10分)[xx·峄城期中]如图16，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB 的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.
(1)求证：AE＝2CE；
(2)连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
图16
参考答案
1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C
7．60°8．②③④9．36°10．20°11．14 cm 12．8
13．解：根据题意，得
AB＝30×4＝120(海里)，
在△ABC中，
∠NAC＝32°，∠ABC＝116°，
∴∠C＝180°－∠NAC－∠ABC＝32°，
∴∠C＝∠NAC，
∴BC＝AB＝120海里，
即从B处到灯塔C的距离是120海里．
14． 证明：∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ， ∴△ABF 为等腰直角三角形， ∴AF ＝BF ，
∵AB ＝AC ，点D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，
∴∠EAF ＋∠C ＝90°， ∵BF ⊥AC ，
∴∠CBF ＋∠C ＝90°， ∴∠EAF ＝∠CBF ， 在△AEF 和△BCF 中，
???∠EAF ＝∠CBF ，
AF ＝BF ，
∠AFE ＝∠BFC ＝90°，
∴△AEF ≌△BCF (ASA)． 15．解：△ACD 是等边三角形．
理由：∵∠ACB ＝120°，CF 平分∠ACB ， ∴∠BCF ＝60°，∠ACF ＝60°， ∵AD ∥FC ，
∴∠D ＝∠BCF ＝60°，∠CAD ＝∠ACF ＝60°， ∴∠ACD ＝60°， ∴△ACD 是等边三角形．
16．证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ， ∴∠ACD ＝120°， ∵CE 平分∠ACD ， ∴∠ACE ＝∠DCE ＝60°， 在△ABD 和△ACE 中，
???AB ＝AC ，
∠B ＝∠ACE ，BD ＝CE ，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
17．
第17题答图
(1)证明：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°－∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABC中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE.
(2)解：△BCD是等边三角形．
理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB的中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
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