考研数学三（线性代数）历年真题汇编2
(总分：74.00，做题时间：90分钟)
一、选择题(总题数：15，分数：30.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
2.设A和B都是n×n矩阵，则必有【】
（分数：2.00）
A.∣A+B∣=∣A∣+∣B∣
B.AB=BA
C.∣AB∣=∣BA∣√
D.(A+B) -1 =A -1 +B -1
解析：解析：由于∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣，及∣BA∣=∣B∣∣A∣即知∣AB∣=∣BA∣总成立，故
(C)正确．注意其它备选项都未必成立．
3.设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r，则【】．
（分数：2.00）
A.r＞1．
B.r＜r 1．
C.r=r 1．√
D.r与r 1的关系依C而定．
解析：解析：因为，用可逆矩阵c右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)=r(A)．本题主要考查“初等变换不改变矩阵的秩(即等价的矩阵具有相同的秩)”的性质．注意，用矩阵乘法表示等价矩阵的形式：A与B行等价<=>存在可逆矩阵P，使得PA=B；A与B列等价<=>存在可逆矩阵Q，使得AQ=B；A与B等价<=>存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B．
4.设n阶矩阵A非奇异(行≥2)，A *是矩阵A的伴随矩阵，则【】
（分数：2.00）
A.(A * ) *=∣A∣ n-1 A
B.(A n ) n=∣A∣ n+1 A
C.(A n ) n=∣A∣ n-2 A √
D.(A n ) n=∣A∣ n+2 A
解析：解析：由A *=∣A∣A -1，得(A * ) *=∣A∣(A * ) -1，又∣A *∣=∣A∣ n-1，故(A * ) *=∣A∣ n-1(∣A∣A n-1 ) -1 = ．故(C)正确．本题综合考查A *与A -1的关系、A *的行列式、逆矩阵的运
算等知识．本题亦可由(A * ) -1，从而得(A * ) *=∣A n-1 A．
5.设A、B为同阶可逆矩阵，则【】
（分数：2.00）
A.AB=BA．
B.存在可逆矩阵P，使p -1 AP=B．
C.存在可逆矩阵C，使C T AC=B．
D.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B．√
解析：解析：因为，方阵A可逆<=>A与同阶单位阵E行等价，即存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B 可逆，存在可逆矩阵M，使MB=E．故有PA=MB，=>PAM -1 =B，记M -1 =Q，则P、Q可逆，使PAQ=B．于是知(D)正确．本题考查矩阵可逆、等价、相似、合同、可否乘法交换等概念及其相互关系．注意，A、B为同阶可逆矩阵，则A、B都等价于同阶单位阵，由等价的对称性和传递性立即可知(D)正确．但A、B却未必相似，故(B)不对；也未必合同，故(C)不对．这里应特别注意，A和B有相同的秩，这只是A与B相似的必
要条件而非充分条件，也只是A与B合同的必要条件而非充分条件．至于备选项(A)，可举反例如下：
和B= 都可逆，但
6.设n(n≥3)阶矩阵的秩为，n一1，则a必为【
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：解析：因为r(A)=n—1＜n，故必有∣A∣=0，而因此，或者，或者a=1．显然，当a=1
时，有r(A)=1＜n—1，所以，有时，A的左上角的n一1，可知此时确有r(A)=n 一1)，故(B)正确．本题主要考查矩阵的秩的概念及简单n阶行列式的计算．注意，作本题时，完全可以以3阶矩阵来推算．
7.设A可逆，则B -1等于
（分数：2.00）
A.A -1 P 1 P 2
B.P 1 A -1 P 2
C.P 1 P 2 A -1√
D.P 2 A -1 P 1
解析：解析：矩阵B是经A的列重排后所得的矩阵，由初等列变换与初等方阵的关系，有B=AP 2 P 1，故B -1 =P -11 p 2-1 A -1，而P -11 =P 1，P -12 =P 2，故有B -1 =P 1 P 2 A -1．本题主要考查矩阵的初等列变换与初等方阵的关系、方阵乘积取逆矩阵及初等方阵的逆矩阵等运算．注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以本题4个备选项中的矩阵乘积一般是不同的．
8.设n阶矩阵A与B等价，则必有【】
（分数：2.00）
A.当∣A∣=a(a≠0)时，∣B∣=a．
B.当∣A∣=a(a≠0)时，∣B∣=一a．
C.当∣A∣≠0时，∣B∣=0．
D.当∣A∣=0时，∣B∣=0．√
解析：解析：A与B等价是指A可经若干次初等变换化成B．如果对A分别施行一次第1、2、3种初等变换得到方阵B，则由行列式的性质知，依次有∣B∣=一∣A∣，∣B∣=k∣A∣(常数k≠0)，∣B∣=∣A∣．可见，经初等变换后，方阵的行列式等于零或者不等于零的事实不会改变，但在不等于零时，行列式的值可能改变．因此，只有(D)正确．本题主要考查等价矩阵的概念及行列式的性质．
9.设矩阵A=(a ij ) 3×3满足A * =A T，其中A *为A的伴随矩阵，A T为A的转置矩阵．若a 11，a 12，
a 13为三个相等的正数，则a 11，为【】
（分数：2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：解析：由题设条件A *=A T，即其中A ij为∣A∣中元素a ij的代数余子式(i，j=1，2，3)，
得a ij=A ij(i，j=1，2，3)，故有再从A T=A *两端取行列式，得∣A∣=∣A T∣=∣A *∣=∣A∣
2，即∣A∣(1一∣A∣)=0由此得∣A∣=1．所以，有本题主要考查伴随矩阵的概念及行列式按行(列)展开法则．注意，条件A T =A *与条件a ij =A ij (对所有的i，j)是等价的．本题还用到伴随矩阵的一个结果：对任何n(n≥2)阶方阵A，成立∣A *∣=∣A∣ n-1．
10.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，
则【】
（分数：2.00）
A.C=P -1 AP．
B.C=PAP -1．√
C.C=P T AP．
D.C=PAP T．
解析：解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令
矩阵则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于所以，C=PAQ=PAP -1，只有选项(B)正确．本题主要考查矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系．必须注意，对矩阵M作一次初等行变换，相当于用一个相应的初等矩阵左乘M，而对M作一次初等列变换，则相当于用一个相应的初等矩阵右乘M，左乘与右乘是不同的，不可混淆．另外，由于逆矩阵对应于逆变换，所以，本题求P -1，只需将E的第2行的一1倍加到第1行，即得P -1．
11.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A_______=0，则【】
（分数：2.00）
A.E—A不可逆，E+A不可逆．
B.E—A不可逆，E+A可逆．
C.E—A可逆，E+A可逆．√
D.E—A可逆，E+A不可逆．
解析：解析：由于(E—A)(E+A+A 2)=E一A 3=E，(E+A)(E—A+A 2)=E+A 3=E，故由可逆矩阵的定义知：E—A 和E+A均是可逆的．本题主要考查逆矩阵的定义，其中的方阵多项式分解因式可以类比通常多项式的公式：1一x 3 =(1一x)(1+x+x 2 )，1+x 3 =(1+x)(1一x+x 2 )．
12.设A，B均为2阶矩阵，A *，B *分别为A，B的伴随矩阵．若∣A∣=2，∣B∣=3，则分块矩阵
的伴随矩阵为【】
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：解析：解1 记矩阵，则C的行列式，因此C为可逆矩阵，由公式CC *=∣C∣E，得
故只有选项(B)正确．解2 记矩阵，并记∣C∣的(i，j)元素的代数余子式为A ij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：A 11=0，A 21=0，A 31=∣A∣h，A 41=一∣A∣f，A 12=0，A 22=0，A 32=一∣A∣g，A 42=∣A∣e， A 13=∣B∣d，A 23 =一∣B∣b，A 33 =0，A 43 =0， A 14 =一∣B∣c，A 24=∣B∣a，A 34 =0，
A 44 =0．于是由伴随矩阵的定义(C *的(i，j)元为A ij )，得其中因此选(B)．本题综合
考查伴随矩阵的基本概念和分块矩阵的基本运算．从解2可见，本题如果没有A、B都可逆的条件，则结论(B)仍然正确，可见解2的方法适用更广些．但当A、B都可逆时，解1的方法更实用更简单．本题也可构造适合题意的简单矩阵A、B，然后运用排除法，读者可以一试．
13.设A，P均为3阶矩阵，P T为P的转置矩阵，且若P=(a 1，a 2，a 3 )，Q=(a 1 +a 2，a 2，
a 3 )，则Q T AQ为【】
（分数：2.00）
A. √
B.
C.
D.
解析：解析：由于Q=[a 1+a 2，a 2，a 3]=[a 1，a 2，a 3] 所以(A)正确．本题主要考查矩阵的基本运算；其中，建立矩阵Q与P的关系是关键，读者应该熟练掌握这种表示方法．本题运算中，若注意到其中的初等矩阵并应用初等矩阵左(右)乘矩阵与矩阵初等变换的关系，还可简化运算．
14.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．
则A=【】
（分数：2.00）
A.P 1 P 2．
B.P -11 P 2．
C.P 2 P 1．
D.P 2 P -11．√
解析：解析：由题设条件有P 2 AP 1 =I，两端左乘P -12，两端右乘p -11，得A=P -12 P -11，因P -12 =P 2，而-11≠P 1，故只有(D)正确．本题主要考查矩阵初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的逆矩阵，类似题目已考过多次，属于很基本的教学要求内容，应熟练掌握．
15.设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且．若P=(a 1，a 2，a 3)，Q= (a 1+a 2，a 2，a 3)，
则Q -1 AQ=【】
（分数：2.00）
A.
B. √
C.
D.
解析：解析：解1 其中，矩阵，易求出于是，Q -1 AQ=(PM) -1 A(PM)=M -1 (P -1 AP)M
因此选(B)．解2 已知A(a 1，a 2，a 3 )=(a 1，a 2，a 3 ) <=>(Aa 1，Aa 2，Aa 3 )=(a 1，a 2，2a 3 )<=>Aa 1 =a 1，Aa 2 =a 2，Aa 3 =2a 3 =>A(a 1 +a 2 )=Aa 1 +Aa 2 =a 1 +a 2 =>AQ=A(a 1 +a 2，a 2，a 3 )=(A(a 1 +a 2 )，Aa 2，Aa 3 )=(a 1 +a 2，a 2，2a 3 )=(a 1 +a 2，a 2，a 3 )两端左
乘Q -1，得Q -1，故选(B)．解3 由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知a 1，a 2，a 3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．a 1 +a 2≠0(否则a 1，a 2线性相关，与a 1，a 2，a 3线性无关矛盾)，且A(a 1 +a 2 )一Aa 1 +Aa 2 =a 1 +a 2，因此a 1 +a 2是A的属于特征值1
的一个特征向量．从而知a 1 +a 2，a 2，a 3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出 (a 1 +a 2，a 2，a 3 ) -1 A(a 1 +a 2，a 2，a 3 )=diag(1，1，2)，即Q -1 AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．本题主要考查矩阵乘法、特则是矩阵乘法的按列表示的应用．解
1中矩阵M是一个第3类初等矩阵，求其逆阵可以直接利用初等矩阵的求逆阵公式．本题中，矩阵Q的可
逆性可以根据Q的3个列向量线性无关而知道，也可以由Q=(a 1，a 1， a 1是两个可逆矩阵的乘积而知Q可逆．
二、填空题(总题数：15，分数：30.00)
16.设矩阵 A -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：解1 利用初等行变换法：故A -1 =A．解2 利用分块求逆法：记矩阵，则B -1 =B，于是有解3 可以看出矩阵A满足A 2 =E，故由逆矩阵的定义即知A -1 =A 本题考查求逆矩阵的运算．注意公式主要用于低阶可逆矩阵求逆阵以及用于理论问题．例如对于2阶可逆方阵．由上述逆矩阵公式易得初等变换法是求逆矩阵的一般方法．分块对角矩阵可用分块求逆法，例如当方
阵P、Q都可逆时，有
17.若A和B都是n阶非零方阵，且AB=0，则A的秩必小于n( )．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：“是”）
解析：解析：证1 若r(A)=n，则A可逆，给AB=O两端左乘A -1，得B=O，这与B≠O矛盾，故必有r(A)＜n．证2 由AB=O知，矩阵B的每一列都是齐次方程组Ax=0的解，又B≠O，故方程组Ax=0有非零解，故必有∣A∣=0，即r(A)＜n．本题主要考查满秩方阵(或可逆方阵)的性质．注意本题中的矩阵A为方阵．如果A为m×n矩阵(未必是方阵)且满足AB=O，其中B≠0，则类似证2，可以得出r(A)＜n的结论，但因为A 可能不是方阵，所以对A不能论及可逆或不可逆的问题．
18.设A和B为可逆矩阵，X -1 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：解设A、B分别为m阶、n阶可逆方阵，设其中X 12，X 21分别为m阶、n阶方阵，则有XX -1 =E m+n，即由分块矩阵的乘法，得 AX 21 =E m，AX 22 =O， BX 11 =O， BX 12 =E n因为A、B均为可逆矩阵，所以解得 X 21 =A -1，X 22 =O， X 11 =O， X 12 =B -1于是得本题主要考查分块矩阵的乘法和求逆阵运算．求解本题可以类比2阶同类矩阵的求逆阵运算，例如．一般地，利用分块矩阵乘法可以验证(设A 1，A 2，…，A m均为可逆方阵)：
19.设A为m阶方阵，B为n
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(一1) mn ab．）
解析：解析：解1 从[O A]的第m行开始，依次将[O A]的每一行作，z次相邻两行的交换，把它移到[B O]的下边去，则经mn次相邻两行的交换，就将[O A]移到了[B O]的下边，因此有解2 如知道行列式
的拉普拉斯展开法则，则可将∣C∣按其前m行展开，得∣C∣=∣A∣(一1) 1+2+…+m+(n+1)+…+(n+m)∣B∣=(一1) nm ab 本题主要考查行列式性质的应用及分块对角方阵行列式的计算．注意，对于分块对角方阵(其中A 1，A
2，…，A m都是方阵有∣C∣=∣A 1∣∣A 2∣…∣A∣ m．
20.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：O．）
解析：解析：因为r(A 4×4 )=2，即A中非零子式的最高阶数为2，故A的3阶子式全为0，即A的每个元素的余子式全为0，从而每个元素的代数余子式全为0，故A * =O，从而有，r(A * )=0．本题考查矩阵的秩及伴随矩阵等概念．注意，对于n阶方阵A，A的每个元素的余子式就是A的一个n一1阶子式，因此，当r(A)＜n一1时，A的每个元素的余子式、从而代数余子式都为0，而A *的元素是A的元素的代数余子式，故此时有A * =0，从而有r(A * )=0．一般地成立：若r(A m×n )＜n一1，则r(A * )=0．
21.设 a i≠0，i=1，2，…，n，则A -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：解1 初等行变换法：上面分块矩阵中右边的矩阵就是A -1．解2 令，n一1阶方阵
(对角矩阵) 则，于是有，其中本题考查逆矩阵的计算．注意．矩阵的求逆运算和乘法运算是矩阵运算的重点，应熟练掌握．
22.设 A *是A的伴随矩阵，则(A * ) -1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：由A *A=∣A∣E，当∣A∣≠0时，得，故有(或者由A -1= )，而∣A∣=10，
所以本题主要考查逆矩阵、伴随矩阵的概念及它们之间的关系．必须理解并牢记公式AA * =A *
A=∣A∣E，因为它是处理A的逆矩阵及伴随矩阵有关问题的一个基本公式．从解答中可见，只要弄清楚A、A -1及A *之间的关系，本题并不需要求出A *．
23.设矩阵A，B满足A * BA=2B4—8E，其中E为单位矩阵，A *为A的伴随矩阵，则B= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）
解析：解析：解1 由题设等式得 (A *一2E)EA=一8E 两端左乘A，并利用AA *=∣A∣E=一2E，得(一2E
一2A)BA=一8A 即 (E+A)BA=4A 两端右乘A -1，得 (E+A)B=4E 故解2 由题设等式得 (A *一2E)EA=一8E 由此可知(A *一2E)及A都可逆，两端左乘(A *一2E) -1，两端右乘A -1，得 B=一8(A *一2E) -1
A -1 =一8[A(A *一2E)] -1 =一8(AA *一2A) -1解3 同解2，由题设等式可得 B=一8(A *一2E) -1
A -1而故本题综合考查矩阵的运算及伴随矩阵的概念．注意，求解矩阵方程，一般要先作“字母运算”，进行化简整理，然后再作数值计算．特别注意，在有关A *的运算中，往往要利用公式AA * =A *A=∣A∣E进行化简．
24.设n≥2为正整数，则A *一2A n-1 = 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：O．）
解析：解析：因为n=2时，有A n一2A n-1 =A 2一2A=O 当n＞2时，有A n一2A n-1 =A n-2 (A 2一2A)=A n-2 O=O 因此，总有A n一2A n-1 =0(，n≥2)．本题主要考查矩阵的乘法运算．注意求方阵的n次幂，一般要先就n=2进行计算(有时还需再就n=3等进行计算)，然后归纳其规律并得出结论(有时还需用数学归纳法加以证明)．例如本题由n=2时为零矩阵：A 2一2A=O，以下结论就很明显，上式两端左乘A，即得n=3时亦为零矩阵，若两端左乘A n-2，即得一般结论A n一2A n-1 =O．
25.(A)=3，则k 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一3．）
解析：解析：因秩(A)=3，=>∣A∣=(k+3)(k一1) 3 =0，=>k=一3或k=1，而当k=1时显然有秩(A)=1，故必有k=一3(而且当k=一3时，A的左上角的3阶子式等于一4≠0，故此时的确有秩(A)=3．但作为单项选择题，这里可以不验证当k=一3时有秩(A)=3)．本题主要考查矩阵的秩的概念及简单行列式的计算．注意，秩(A)=3，即A中非零子式的最高阶数为3，故必有∣A∣=0，由此即可确定k的取值范围，这比用初等变换法(秩(A)=3，=>由A化成的阶梯形阵中非零行的个数为3)来确定k的值显然要简单．
26.设n维向量a=(a，0，…，0，a) T，a＜0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E一aa T，，其中A的逆矩阵为B，则a= 1
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1．）
解析：解析：由A -1 =B，得又易验证矩阵ααT≠O，故得但αTα=∥a∥ 2 =2α2，
代入上式，得=>α=一1，或(舍去)，故α=一1．本题主要考查逆矩阵的概念及矩阵乘法运算规律．注意ααT是一个n阶方阵，而αTα却是一个数．
27.设矩阵 A 3的秩为 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．）
解析：解析：利用矩阵乘法，容易计算得 A 3中非零子式的最高阶数为1，故由矩阵的秩的定义，即知r(A 3 )=1．本题综合考查矩阵秉法运算及矩阵的秩的概念．
28.设A，B为3阶矩阵，且∣A∣=3，∣B∣=2，∣A_ -1+B∣=2，则∣A+B -1∣= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3．）
解析：解析：由于A+B -1 =(AB+E)B -1 =A(B+A -1 )B -1 =A(A -1 +B)B -1，两端取行列式，并利用
∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣及∣B -1∣=∣B∣ -1，得∣A+B -1∣=∣A∣·∣A -1∣+B∣·∣B -1
本题主要考查矩阵乘法、逆矩阵及方阵的行列式的运算及有关运算律．
29.设A为3阶矩阵，∣A∣=3，A *为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA *∣= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一27．）
解析：解析：解1 由于互换行列式的两行，则行列式仅变号，于是知∣B∣=一3．再利用∣A *∣=∣A∣ n-1 =∣A∣ 2 =9，得∣BA *∣=∣B∣∣A *∣=一27．解2 记交换3阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等矩阵为E 12，则B=E 12 A，由于AA *=∣A∣E=3E，得BA * =E 12 AA * =E 12 (3E)=3E 12，注意∣E 12∣=一1，所以∣BA *∣=∣3E 12∣=3 3∣E∣ 12 =一27．本题综合考查行列式、伴随矩阵及矩阵初等变换等有关概念及计算．伴随矩阵的知识是本题考查的重点，其中所用的几个公式，如AA *=∣A∣E，∣A *∣=∣A∣ n-1，都很基本且常用，应熟练掌握．
30.设A=(a ij)是3阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，A ij为a ij的代数余子式．若a ij+A ij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣= 1．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）
解析：解析：由A≠O，不妨设A 11≠0，由已知的A ij =一a ij (i，j=1，2，3)，得A=一(A * ) T，其中A *为A的伴随矩阵．以下有两种方法：方法1：用A T右乘A=一(A * ) T的两端，得 AA T =
一(A * )A T =一(AA * ) T =一(∣A∣I) T，其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得∣A∣ 2 =(一1) 3∣A∣ 3，或∣A∣ 2(1+∣A∣)=0，因∣A∣≠0，所以∣A∣=一1．方法2：从A=一(A * ) T两端取行列式，并利用∣A *∣=∣A∣ 2，得∣A∣=(一1) 3∣A *∣=一∣A∣ 2，或∣A∣(1+∣A∣)=0，因∣A∣≠0，所以∣A∣=一1．本题综合考查行列式的计算和伴随矩阵的有关概念．本题要求方阵A的行列式，需要建立关于方阵A的等式，所以将已知的9个数相等的条件A ij =一a ij (i，j=1，2，3)转化成两个3阶方阵相等： A=一(A * ) T，这是本题求解的关键．还应注意在处理有关伴随矩阵的问题时，伴随矩阵的定义及基本公式AA * =A *A=∣A∣I是两个基本出发点．本题还用到方阵行列式及伴随矩阵行列式的其它常用性质，如：∣A T∣=∣A∣，∣AB∣=∣A∣∣B∣(A，B为同阶方阵)，∣kA∣=k∣A∣(k为常数)，∣A *∣=∣A∣ n-1 (A为，n阶方阵)．
三、解答题(总题数：7，分数：14.00)
31.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 解析：
32.设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B B．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由题设等式得(A一2E)B=A，其中E是单位矩阵．矩阵可逆，用(A一2E) -1
左乘上式两端，得)
解析：解析：本题综合考查矩阵的代数运算．注意，求解矩阵方程，一般需经移项、提取公因子等步骤将方程化简成下列的某种形式：AX=C，XA=C,AXB=C，这时，若未知矩阵X的系数矩阵可逆，则给两端左乘或右乘相应的可逆矩阵就可解出矩阵X来．但一定要注意矩阵乘法不满足交换律，左乘和右乘一般是不同的，因此要从AXB=C(当A、B可逆时)解出X，就需用A -1左秉两端，而用B -1右乘两端，得X=A -1 CB -1．
33.设A是3阶方阵，A *是A的伴随矩阵，A的行列式-1一2A *的值．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：因为，所以)
解析：解析：本题主要考查逆矩阵的概念、性质及方阵行列式的概念．由于一般地有∣P+Q∣≠∣P∣+∣Q∣，所以本题将(3A) -1一2A *化成一个方阵是求解关键．本题亦可由及∣A *∣=∣A∣ 2，得∣(3A)
-1一2A *∣= 注意，对于n阶可逆方阵A，由AA -1 =E两端取行列式，即得；由A *=∣A∣A -1，即得∣A *∣=∣A∣ n∣A∣ -1=∣A∣ n-1；由于用数k乘A是用k去乘A的每个元素，故有∣kA∣=k n∣A∣．
34.已知X=AX+B X．
（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：由题设等式X=AX+B，得(E—A)X=B，由于矩阵可逆，故得)
解析：解析：本题综合考查矩阵的代数运算，其重点是求逆矩阵和矩阵乘法运算．注意，由于矩阵乘法不满足交换律，所以这里从X—Ax中提取右边的公因子矩阵X时要写成(E—A)X；而要从(E—A)X=B中解出矩阵x时要用(E一A) -1左乘(而不是右乘)该式两端．
35.已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A k =0，试证明矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由A k =0，有 (E—A)(E+A+…+A k-1)=E+A+…+A k-1一A一…一A k-1一A k =E—A k =E，由逆矩阵的定义即知E—A可逆，且有 (E一A) -1=E+A+…+A k-1)
解析：解析：本题主要考查逆矩阵的定义及方阵多项式的乘法．注意，若同阶方阵A、B满足AB=E，则有A -1=A．因此，要验证B是A的逆矩阵，只需验证AB=E或BA=E二者之一就够了．本题中(E—A) -1的-1=B，B
表达式是如何想到的呢?读者可以类比多项式的乘法：(1一x)(1+x+…+x k-1 )=1一x k．
36.设A为n阶非奇异矩阵，a为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 A *是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是a T A -1a≠b．（分数：2.00）
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正确答案：(正确答案：(1) 因为AA * =A *A=∣A∣I，故(2) 由(1)可得∣PQ∣=∣A∣ 2 (b—a T A -1 a)而∣PQ∣=∣P∣·∣Q∣，且由P的定义知∣P∣=∣A∣≠0，故由上式得∣Q∣=∣A∣(b—a T A -1 a)由此可知∣Q∣≠0<=>b一a T A -1a≠0，即矩阵Q可逆<=>a T A -1a≠b．)
解析：解析：本题综合考查分块矩阵的乘法、伴随矩阵的性质、方阵可逆的条件．注意，两个分块矩阵，只要左边矩阵关于列的分法与右边矩阵关于行的分法是一致的，就可以相乘，相乘的法则也是“左行乘右列”，这里特别要注意相乘的小块矩阵的左右次序要与相乘的两个大矩阵的左右次序保持一致，例如，PQ
的第2行第2
37.设矩阵 A 3 =O．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)若矩阵X满足X一XA 2一AX+AXA 2 =E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：(Ⅰ)由A 3 =0两端取行列式，得∣A∣ 3 =0，从而得∣A∣=0，而∣A∣=a 3，所以a=0．(Ⅱ)解1 由已知的X一XA 2一AX+AXA 2 =E，得 X(E—A 2 )一AX(E一A 2 )=E 即 (E一A)X(E
一A 2 )=E 由(Ⅰ)知由于E—A，E一A 2均可逆，所以 X=(E一A) -1 (E—A 2 ) -1△解2 同解1一样可得 (E一A)X(E一A 2 )=E 所以 X=(E一A) -1 (E一A 2 ) -1 =[E一A 2 )(E—A)] -1 =[E—A—A
2 +A 2 ] -1 =[E—A—A 2 ] -1由(Ⅰ)知所以)
解析：解析：本题综合考查方阵的行列式、矩阵的线性运算、矩阵乘法、求逆矩阵及求解矩阵方程等基本运算．注意本题(Ⅰ)的求解利用了“方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积”，不必算出A 3．在(Ⅱ)的求解中应注意，由矩阵方程PXQ=E求未知矩阵X，应两端左乘P -1，两端右乘Q -1．