第二十六章 二次函数
本章小结
小结1 本章概述
本章从实际问题的情境入手引出基本概念，引导学生自主探索变量之间的关系及其规律，认识二次函数及其图象的一些基本性质，学习怎样寻找所给问题中隐含的数量关系，掌握其基本的解决方法．本章的主要内容有两大部分：一部分是二次函数及其图象的基本性质，另一部分是二次函数模型．通过分析实例，尝试着解决实际问题，逐步提高分析问题、解决问题的能力．
二次函数综合了初中所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中各种知识的总结．二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用． 小结2 本章学习重难点
【本章重点】 通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数的图象，能从图象中认识二次函数的性质；会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【本章难点】 会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并能解决简单的实际问题． 【学习本章应注意的问题】
1．在学习本章的过程中，不要死记硬背，要运用观察、比较的方法及数形结合思想熟练地画出抛物线的草
图，然后结合图象来研究二次函数的性质及不同图象之间的相互关系，由简单的二次函数y ＝ax 2
(a ≠0)开始，总
结、归纳其性质，然后逐步扩展，从y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2一直到y ＝ax 2
＋bx ＋c ，最后总结出一般规律，符合从特殊到一般、从易到难的认识规律，降低了学习难度．
2．在研究抛物线的画法时，要特别注意抛物线的轴对称性，列表时，自变量x 的选取应以对称轴为界进行对称选取，要结合图象理解并掌握二次函数的主要特征．
3．有关一元二次方程与一次函数的知识是学习二次函数内容的基础，通过观察、操作、思考、交流、探索，加深对教材的理解，在学习数学的过程中学会与他人交流，同时，在学习本章时，要深刻理解两种思想和两种方法，两种思想指的是函数思想和数形结合思想，两种方法指的是待定系数法和配方法，在学习过程中，对数学思想和方法要认真总结并积累经验
小结3 中考透视
近几年来，各地的中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特点的阅读理解题、开放性探索题和函数的应用题，尤其是全国各地中考试题中的压轴题，有三分之一以上是这一类题，试题考查的范围既有函数的基础知识、基本技能以及基本的数学方法，还越来越重视对学生灵活运用知识能力、探索能力和动手操作能力的考查，特别是二次函数与一元二次方程、三角形的面积、三角形边角关系、圆的切线以及圆的有关线段组成的综合题，主要考查综合运用数学思想和方法分析问题并解决问题的能力，同时也考查计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和创造能力.
知识网络结构图
二次函数的概念
二次函数的图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
专题总结及应用
二次函数 二次函数的性质 二次函数的应用 一元二次方程的近似解 一元二次不等式的解集 二次函数的最大(小)值 在实际问题中的应用
一、知识性专题
专题1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象和性质
【专题解读】 对二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与性质的考查一直是各地中考必考的重要知识点之一，一般以填空题、选择题为主，同时也是综合性解答题的基础，需牢固掌握．
例1 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图26－84所示，则下列结论：①a ＞0；②c ＞0；
③b 2
－4ac ＞0．其中正确的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
分析 ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半铀，∴c ＞0;∵抛物线与x 轴
有两个交点，∴b 2
－4ac ＞0．故②③正确．故选C ．
【解题策略】 解此类题时，要注意观察图象的开口方向、与y 轴交点的位置以及与x 轴交点的个数．
例2 若y ＝ax 2
＋bx ＋c ，则由表格中的信息可知y 与x 之间的函数关系式是 ( )
x -1 0 1 ax 2 1 ax 2+bx +c
8
3
A ．y ＝x 2－4x ＋3
B ．y ＝x 2
－3x ＋4
C ．y ＝x 2－3x ＋3
D ．y ＝x 2
－4x ＋8
分析 由表格中的信息可知，当x ＝1时，ax 2＝1，所以a ＝1．当x =－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8，当x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3，所以c ＝3，所以13(－1)2＋b 3(－1)＋3＝8，所以b ＝－4．故选A ．
【解题策略】 本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解决此题的突破口是x ＝1时，ax 2
＝1，x ＝0时，ax 2＋bx ＋c ＝3和x ＝－1时，ax 2
＋bx ＋c ＝8．
例3 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋1的大致图象如图26－85所示，则函数y ＝ax ＋b 的图象不经过 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 分析 由图象可知a ＜0，2b
a
-
＜0，则b ＜0，所以y ＝ax ＋b 的图象不经过第一象限．故选A ．
【解题策略】 抛物线的开口方向决定了a 的符号，b 的符号由抛物线的开口方向和对称轴共同决定．
例4 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (其中a ＞0，b ＞0，c ＜0)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．其中正确的个数为 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 分析 由a ＞0，得抛物线开口向上，由2b
a
-
＜0，得对称轴在y 轴左侧，由c ＜0可知抛物线与y 轴交于负半轴上，可得其大致图象如图26—86所示，因此顶点在第三象限，故①③正确．故选C.
【解题策略】 此题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点等性质，解题时运用了数形结合思想．
例5 若A 113,4y ??- ???，B 25,4y ??- ???，C 31,4y ?? ???
为二次函数y ＝x 2
＋4x ＋5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大
小关系是 ( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
分析因为y＝x2＋4x＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以x=
13
4
-与x＝－
3
4
的函数值相同，因为抛物
线开口向上，所以当
5
4
-＜
3
4
-＜
1
4
时，y2＜y1＜y3．故选B．
【解题策略】此题考查了抛物线的增减性和对称轴，讨论抛物线的增减性需在对称轴的同侧考虑，因此将
x=
13
4
-的函数值转化为x＝－
3
4
的函数值．
例6 在平面直角坐标系中，函数y＝－x＋1与y＝－
3
2
(x－1)2的图象大致是(如图26—87所示) ( )
分析直线y＝－x＋1与y轴交于正半轴，抛物线y＝－
3
2
(x－1)2的顶点为(1，0)，且开口向下．故选D．专题2 抛物线的平移规律
【专题解读】当二次函数的二次项系数a相同时，图象的形状相同，即开口方向、大小相同，只是位置不
同，所以它们之间可以进行平行移动，移动时，其一，把解析式y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式；其二，对称轴左、右变化，即沿x轴左、右平移，此时与k的值无关；顶点上、下变化，即沿y轴上、下平移，此时与h的值无关．其口诀是“左加右减，上加下减”．
例7 把抛物线y＝－2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是 ( )
A．y＝－2(x＋1)2 B．y＝－2(x－1)2
C．y＝－2x2＋1 D．y＝－2x2－1
分析原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移一个单位后，顶点为(0，1)．故选C．
【解题策略】解决此题时，可以用“左加右减，上加下减”的口诀来求解，也可以根据顶点坐标的变化来求解．
例8 把抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y＝x2－3x ＋5，则 ( )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
分析y＝x2－3x＋5变形为y＝
2
3
2
x
??
-
?
??
＋5－
9
4
，即y＝
2
3
2
x
??
-
?
??
＋
11
4
，将其向左平移3个单位，再向上平
移2个单位，可得抛物线y＝
2
3
3
2
x
??
-+
?
??
＋
11
4
＋2，即y＝x2＋3x＋7，所以b＝3，c＝7．故选A．
【解题策略】此题运用逆向思维解决了平移问题，即抛物线y＝x2＋bx＋c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到y＝x2－3x＋5，那么抛物线y＝x2－3x＋5则向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得
到抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c ．
专题3 抛物线的特殊位置与函数关系的应用
【专题解读】若抛物线经过原点，则c ＝0，若抛物线的顶点坐标已知，则2b
a -和244ac
b a
-的值也被确定等
等，这些都体现了由抛物线的特殊位置可以确定系数a ，b ，c 以及与之有关的代数式的值．
例9 如图26－88所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2＋3ax ＋a 2
－1的图象，则a 的值
是 .
分析 因为图象经过原点，所以当x ＝0时，y ＝0，所以a 2
－1=0，a ＝±1，因为抛物线开口向下，所以a ＝－1.故填－1:
专题4 求二次函数的最值
【专题解读】 在自变量x 的取值范围内，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在顶点24,24b ac b a a ??
-- ???
处取得最值．当a ＞
0时，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向上，顶点最低，当x ＝2b
a -时，y 有最小值为244ac
b a
-；当a ＜0时，抛物线
y ＝ax 2
＋bx ＋c 开口向下，顶点最高，当x ＝2b
a -时，y 有最大值为244ac
b a
-．
例10 已知实数x ，y 满足x 2
＋2x ＋4y ＝5，则x ＋2y 的最大值为 .
分析 x 2＋2x ＋4y ＝5，4y ＝5－x 2
－2x ，2y ＝
12(5－x 2－2x )，x ＋2y ＝12
(5－x 2
－2x )＋x ，整理得x ＋2y ＝－12x 2＋52.当x ＝0时，x ＋2y 取得最大值，为52．故填5
2
． 专题 5 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
【专题解读】 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，可以用函数的观点来理解方程的解和不等式的解集．已知函数值，求自变量的对应值，就是解方程，已知函数值的范围，求对应的自变量的取值范围，就是解不等式．
例11 已知二次函数y ＝ax 2
＋bx 的图象经过点(2，0)，(－1，6)． (1)求二次函数的解析式；
(2)不用列表，画出函数的图象，观察图象，写出当y ＞0时x 的取值范围．
分析 (1)列出关于a ，b 的方程组，求a ，b 的值即可．(2)观察图象求出y ＞0的解集．
解：(1)由题意可知，当x ＝2时，y ＝0，当x ＝－1时，y ＝6，
则420,6,a b a b +=??-=?解得2,4.
a b =??=-? ∴二次函数的解析式为y ＝2x 2
－4x ．
(2)图象如图26—89所示，由图象可知，当y ＞0时，x ＜0或x ＞2．
【解题策略】 求二次函数的解析式，其实质就是先根据题意寻求方程组，并解方程组，从而使问题得到解决．
二、规律方法专题
专题6 二次函数解析式的求法
【专题解读】 用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数的解析式一般需要三个独立的条件，根据不同的条件，选择不同的设法．
(1)设一般式：y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)．
若已知条件是图象经过三个点，则可设所求的二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，将已知条件代入，即可求出a，b，c的值．
(2)设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n)的坐标(其中m，n为已知数)代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(3)设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．
(4)设对称点式：y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)．
若已知二次函数图象上的对称点(x1，m)，(x2，m)，则可设所求的二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)＋m(a≠0)，将已知条件代入，求得待定系数a,m，最后将解析式化为一般式．
例12 根据下列条件求函数解析式．
(1)已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，求这个二次函数的解析式；
(2)已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式；
(3)已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(1，0)两点，且经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式；
(4)已知抛物线经过(－3，4)，(1，4)和(0，7)三点，求此抛物线的解析式．
分析 (1)已知图象上任意三点的坐标，可选用一般式，从而得到关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，即可得到二次函数的解析式．(2)已知抛物线的顶点坐标，应选用顶点式．(3)由于A(－l，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，因此应选用交点式．(4)显然已知条件是抛物线经过三点，故可用一般式，但由于(－3，4)，(1，4)是抛物线上两个对称点，因此选用对称点式更简便．
解：(1)设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c
将(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)分别代入，
得
6,
2,
423,
a b c
a b c
a b c
-+=-
?
?
++=-
?
?++=
?
解得
1,
2,
5.
a
b
c
=
?
?
=
?
?=-
?
∴所求的二次函数的解析式为y＝x2＋2x－5．
(2)∵抛物线的顶点为(－1，－3)，
∴设其解析式为y＝a(x＋1)2－3，
将点(0，－5)代入，得－5＝a－3，∴a＝－2，
∴所求抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2－3．
即y＝－2x2－4x－5．
(3)∵点A(－1，0)，B(1，0)是抛物线与x轴的两个交点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)，
将点M(0，1)代入，得1＝－a，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y=－x2＋1
(4)∵抛物线经过(－3，4)，(1，4)两点，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)＋4，
将点(0，7)代入，得7＝a232(－1)＋4，∴a＝－1，
∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＋4，
即y＝－x2－2x＋7．
【解题策略】 (1)求二次函数解析式的4种不同的设法是指根据不同的已知条件寻求最简的求解方法，它们之间是相互联系的，不是孤立的.
(2)在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的4种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果．
(3)求，函数解析式的问题，如果采用交点式、顶点式或对称点式，最后要将解析式化为一般形式．
三、思想方法专题 专题7 数形结合思想
【专题解读】 把问题的数量关系和空间形式结合起来考查，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题来讨论，也可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究．
例13 二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图26－90所示，则点A (a ，b )在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析 由图象开口方向向下可知a ＜0，由对称轴的位置可知x ＝2b
a
-
＞0，所以b ＞0，故点A 在第二象限．故选B ．
【解题策略】 解决此题的关键是观察图象的开口方向以及对称轴的位置． 专题8 分类讨论思想
【专题解读】 分类讨论是对问题的条件逐一进行讨论，从而求得满足题意的结果．
例14 已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴交于B (1，0)，C (5，0)两点． (1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F )，最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
分析 (1)用待定系数法求a ，b ，c 的值．(2)用分类讨论法求直线CD 的解析式．(3)根据轴对称解决最短路径问题.
解：(1)根据题意，得c =3，所以30,25530,a b a b ++=??++=?解得3,5
18.5a b ?=????=-??
所以抛物线的解析式为y ＝35
x 2－18
5x ＋3．
(2)依题意可知，OA 的三等分点分别为(0，1)，(0，2)， 设直线CD 的解析式为y ＝k x ＋b ，
当点D 的坐标为(0，1)时，直线CD 的解析式为y ＝－1
5
x ＋1，
当点D 的坐标为(0，2)时，直线CD 的解析式为y ＝－
2
5
x ＋2． (3)由题意可知M 30,2??
???
，如甲26－91所示，
点M 关于x 轴的对称点为M ′30,2?
?- ??
?，
点A 关于抛物线对称轴x ＝3的对称点为A ′(6，3)，
连接A ′M ′，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A ′M ′的长就是点P 运动的最短总路径的长．
所以A ′M ′与x 轴的交点为所求的E 点，与直线x ＝3的交点为所求的F 点． 可求得直线A ′M ，的解析式为y ＝
34x －32． 所以E 点坐标为(2，0)，F 点坐标为33,4??
???
，
由勾股定理可求出A ′M ′＝
152
． 所以点P 运动的最短总路径(ME ＋EF ＋FA )的长为
152
． 【解题策略】 (2)中点D 的位置不确定，需要分类讨论，体现了分类讨论的数学思想．(3)中的关键是利用轴对称性找到E ，F 两点的位置，从而求出其坐标，进而解决问题．
专题9 方程思想
【专题解读】 求抛物线与坐标轴的交点坐标时，可转化为二次函数y ＝0或x ＝0，通过解方程解决交点的坐标问题．求抛物线与x 轴的交点个数问题也可以转化为求一元二次方程根的情况．
例15 抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴交点的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
分析 可设x 2－2x ＋1＝0，Δ＝(－2)2－43131＝0，可得抛物线y ＝x 2
－2x ＋1与x 轴只有一个交点．故选B ．
【解题策略】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交点的个数可由一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝o(a ≠0)的根的个数来确定．
专题10 建模思想
【专题解读】 根据实际问题中的数量关系建立二次函数关系式，再用二次函教的性质来解决实际问题． 例16 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润?最大利润是多少?
分析 (1)原来每箱售价50元，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，若提高(x －50)元，则平均每天少销售3(x －50)箱，所以提价后每天销售[90－3(x －50)]箱，即y ＝90－3(x －50).(2)每天的销售利润可用(x －40)[90－3(x －50)]来表示．(3)建立W 和x 之间的二次函数关系式，利用二次函数的最值求利润的最值． 解：(1)y ＝90－3(x －50)，即y ＝－3x ＋240．
(2)W ＝(x －40)(－3x ＋240)＝－3x 2
＋360x －9600，
(3)∵a ＝－3＜0，∴当x ＝2b
a
-
＝60时，W 有最大值， 又∵当x ＜60时，y 随x 的增大而增大， ∴当x ＝55时，W 取得最大值为1125元，
即每箱苹果的销售价为55元时，可获得1125元的最大利润．
【解题策略】 求实际问题的最值时，可通过建立二次函数关系式，根据二次函数的最值来求解． 例17 某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，
可获利25％，设每双鞋的成本价为a 元． (1)试求a 的值；
(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每
年投入广告费为x(万元)，则产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间的关系如图26—92所示，可近似看作是抛物线的一部分．
①根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式；
②求年利润S(万元)与广告费x(万元)之间的函数关系式，并计算广告费x(万元)在什么范围内时，公司获得的年利润S(万元)随广告费的增多而增多．(注：年利润S＝年销售总额－成本费－广告费) 解：(1)由题意得a(1＋25％)＝250，解得a＝200(元)．
(2)①依题意可设y与x之间的函数关系式为y＝ax2＋bx＋1，
则
421 1.36,
1641 1.64,
a b
a b
++=
?
?
++=
?
，解得
0.01,
0.2,
a
b
=-
?
?
=
?
∴y＝－0.01x2＋0.2x＋1．
②S＝(－0.01x2＋0.2x＋1)3103250－103200－x,
即S＝－25x2＋499x＋500，
整理得S=－25(x－9.98)2＋2990.01．
∴当0≤x≤9．98时，公司获得的年利润随广告费的增多而增多．
例18 某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每增加10元时，就会有5间客房空闲．(注：宾馆客房是以整间出租的)
(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是元；
(2)设某天每间客房的定价增加了x元，这天宾馆客房收入y元，则y与x的函数关系式是；
(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入y＝17600元，试求这天每间客房的价格是多少元．
分析本题是用二次函数解决有关利润最大的问题，由浅入深地设置了三个问题．
解：(1)18000
(2)y=
1
2
-x2＋10x＋18000
(3)当y＝17600时，
－1
2
x2＋10x＋400=0，
即x2－20x－800＝0．
解得x＝－20(舍去)或x＝40．
180＋40＝220，
所以这天每间客房的价格是220元．
例19 （092泰安）如图26－93(1)所示，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y＝＋m
与x轴交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)求过A，O，E三点的抛物线的解析式．
解：(1)如图26－93(2)所示，过A作AF⊥x轴于F，
则OF =OA cos 60°=1，AF =OF tan 60°
∴点A (1
．
代入直线解析式，得1＋m
m
， ∴y
=x
. 当y =0
时，
=0， 解得x ＝4，∴点E (4，0)．
(2)设过A ，O ，E 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ， ∵抛物线过原点，∴c ＝0，
∴1640,a b a b ?+=??+=??
解得a b ?=????
=??
∴抛物线的解析式为y
＝x 2
x . 例20 如图26－94所示，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA ，且OB ＝2OA ，点A 的坐标是(－1，2)．
(1)求点B 的坐标；
(2)求过点A ，O ，B 的抛物线的表达式．
解：(1)如图26－95所示，过点A 作AF ⊥x 轴，垂足为点F ，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，则AF ＝2，
OF ＝1． ∵OA ⊥OB ，
∴∠AOF ＋∠BOE ＝90°． 又∵∠BOE ＋∠OBE ＝90°， ∴∠AOF ＝∠OBE ． ∴Rt △AFO ∽Rt △OEB ． ∴
BE OE OB
OF AF OA
==
＝2 ∴BE ＝2，OE ＝4． ∴B (4，2)．
(2)设过点A (－1，2)，B (4，2)，O (0，0)的抛物线的表达式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ．
则2,1642,0.a b c a b c c -+=??++=??=?解得1,23,20.
a b c ?=??
?
=-??
=???
∴所求抛物线的表达式为y ＝
12x 2－32
x . 例21如图26－96所示，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点，顶点为
D ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式．
解：(1)已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过A (1，0)，B (0，2)两点， ∴01,200,b c c =++??=++?解得3,
2,b c =-??=?
∴所求抛物线的解析式为y ＝x 2
－3x ＋2．
(2)∵A (1，0)，B (0，2)，∴OA ＝1，OB ＝2， 可得旋转后C 点的坐标为(3，1)．
当x ＝3时，由y =x 2
－3x ＋2得y ＝2，
可知抛物线y ＝x 2
－3x ＋2过点(3，2)．
∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C
∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x 2
－3x ＋1．
例22 如图26－97所示，抛物线y ＝ax 2
＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，与x 轴交于另一点B ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点D (m ，m ＋1)在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标．
解：(1)∵抛物线y =ax 2
＋bx －4a 经过A (－1，0)，C (0，4)两点，
∴40,
4 4.a b a a --=??-=?
解得1,
3.a b =-??=?
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋3x ＋4．
(2)如图26－98所示，点D (m ，m ＋1)在抛物线上，
∴m ＋1＝－m 2
＋3m ＋4，
即m 2
－2m －3＝0，∴m ＝－1或m ＝3．
∵点D 在第一象限，∴点D 的坐标为(3，4)． 由(1)得B 点的坐标为(4，0)， ∴OC =OB ，∴∠CBA ＝45°．
设点D 关于直线BC 的对称点为点E ．
∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3，
∴∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴E点在y轴上，且CE＝CD＝3．
∴OE＝1，∴E(0，1)．
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
2011中考真题精选
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．
2.（2011黑龙江牡丹江，18，3分）抛物线y=ax2+bx﹣3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）
A、﹣2
B、2
C、15
D、﹣15
考点：二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值。
分析：根据图象上点的性质，将（2，4）代入得出4a+2b=7，即可得出答案．
解答：解：∵y=ax2+bx﹣3过点（2，4），
∴4=4a+2b﹣3，
∴4a+2b=7，
∴8a+4b+1=237+1=15，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，根据题意得出4a+2b=7是解决问题的关键．
二、解答题
1.（2011?泰州，27，12分）已知二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）
（1）求b的值并写出当1＜x≤3时y的取值范围；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P（m+2，y3）在这个二次函数的图象上，
①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；三角形三边关系。
专题：计算题。
分析：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3，求出b，根据图象的对称轴即可得出y的范围；
（2）①不能，因为代入求出y1=5，y2=12，y3=21，不符合三边关系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．
解答：（1）解：把（﹣2，5）代入二次函数y=x2+bx﹣3得：5=4﹣2b﹣3，
∴b=﹣2，
y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的开口方向向上，对称轴是直线x=1，
把x=1代入得：y=﹣4，
把x=3代入得：y=0，
∴当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0，
答：b的值是﹣2，当1＜x≤3时y的取值范围是﹣4＜y≤0．
（2）①答：当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m=4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1=5，y2=12，y3=21，
∵5+12＜21，
∴当m=4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]=（m﹣2）2，
∵m≥5，
∴（m﹣2）2＞0，
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能正确根据定理进行计算是解此题的关键．
一、选择题
1.（2011?江苏宿迁，8，3）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A、a＞0
B、当x＞1时，y随x的增大而增大
C、c＜0
D、3是方程ax2+bx+c=0的一个根
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系。
专题：计算题。
分析：根据图象可得出a＜0，c＞0，对称轴x=1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与﹣1到x=1的距离相等，得出另一个根．
解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，故A选项错误；
∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，故B选项错误；
∵对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小；故C选项错误；
∵对称轴x=1，∴另一个根为1+2=3，故D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及二次函数的图象与系数的关系，是基础知识要熟练掌握．
2.（2011江苏无锡，9，3分）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（）
A．y=（x﹣2）2+1 B．y=（x+2）2+1
C．y=（x﹣2）2﹣3 D．y=（x+2）2﹣3
考点：二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：采用逐一排除的方法．先根据对称轴为直线x=2排除B、D，再将点（0，1）代入A、C两个抛物线解析式检验即可．
解答：解：∵抛物线对称轴为直线x=2，∴可排除B 、D ，
将点（0，1）代入A 中，得（x ﹣2）2+1=（0﹣2）2
+1=5，错误，
代入C 中，得（x ﹣2）2﹣3=（0﹣2）2
﹣3=1，正确． 故选C ．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是根据对称轴，点的坐标与抛物线解析式的关系，逐一排除． 3. （2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y=x 2
+1与双曲线y=
x
k
的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式x
k +x 2
+1＜0的解集是（ ）
A ．x ＞1
B ．x ＜﹣1
C ．0＜x ＜1
D ．﹣1＜x ＜0
考点：二次函数与不等式（组）。 专题：数形结合。 分析：根据图形双曲线y=x k 与抛物线y=x 2
+1的交点A 的横坐标是1，即可得出关于x 的不等式x
k +x 2+1＜0的解集．
解答：解：∵抛物线y=x 2
+1与双曲线y=x
k
的交点A 的横坐标是1， ∴关于x 的不等式
x
k +x 2
+1＜0的解集是﹣1＜x ＜0． 故选D ．
点评：本题主要考查了二次函数与不等式．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解双曲线与二次函数的解析式．
4. （2011江苏镇江常州，8，2分）已知二次函数y ＝－x 2
＋x －
1
5
，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取m ﹣1．m +1时对应的函数值为y 1．y 2，则y 1．y 2必须满足（ ） A ．y 1＞0．y 2＞0 B ．y 1＜0．y 2＜0 C ．y 1＜0．y 2＞0 D ．y 1＞0．y 2＜0
考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 专题：计算题．
分析：根据函数的解析式求得函数与x 轴的交点坐标，利用自变量x 取m 时对应的值大于0，确定m ﹣1．m +1的位置，进而确定函数值为y 1．y 2． 解答：解：令y ＝－x 2
＋x －
1
5
=0，
解得：x ， ∵当自变量x 取m 时对应的值大于0，
∴
510-＜m
＜510
+， ∴m ﹣1
m +1
， ∴y 1＜0．y 2＜0．
故选B ． 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标．
5. （2011山西，12，2分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴为直线1x =，则下列结论
正确的是（ ）
A ．0ac >
B ．方程20ax bx c ++=的两根是121,3x x =-=
C ． 20a b -=
D ． 当x > 0时，y 随x 的增大而减小
考点：二次函数的图象及性质 专题：二次函数
分析：由二次函数的图象知0a ＜，，0c > ，所以0ac ＜
．故A 错．由-12b
a
=，知C 错．由二次函数的图象知当x > 1时，y 随x 的增大而减小，所以D 错，故选B ．
解答：B
点评：此题是针对学生的易错点设计的．掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
6.（2011陕西，10，3分）若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则3
21y y y 、、大小关系正确的是（ ）
A ．321y y y >>
B ．231y y y >>
C ．312y y y >>
D ．213y y y >> 考点：二次函数图象上点的坐标特征。 专题：函数思想。
分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-分别代入二次函数的解析式y=x 2
﹣
6x+c 求得y 1，y 2，y 3，然后比较它们的大小并作出选择．
解答：解：根据题意，得y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4﹣12+c=﹣8+c ，即y 2=﹣8+c ； y 3=9+2+62﹣18﹣62+c=
﹣7+c ，即y 3=﹣7+c ；∵8＞﹣7＞﹣8，∴7+c ＞﹣7+c ＞﹣8+c ，即y 1＞y 3＞y 2．
第12题
故选B ．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．
7. 抛物线y=-（x+2）2
-3的顶点坐标是（ ）
A 、（2，-3）
B 、（-2，3）
C 、（2，3）
D 、（-2，-3） 考点：二次函数的性质． 专题：计算题．
分析：已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标． 解答：解：∵抛物线y=-（x+2）2-3为抛物线解析式的顶点式， ∴抛物线顶点坐标是（-2，-3）． 故选D ．
点评：本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a （x-h ）2+k 的顶点坐标是（h ，k ）． 8. （2011四川广安，10，3分）若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＝l
B ．m >l
C ．m ≥l D．m ≤l 考点：二次函数的性质 专题：二次函数
分析：二次函数2()1y x m =--的开口向上，其对称轴为直线x m =，顶点坐标为(),1m -，在对称轴的左侧，当x m <时，y 随x 的增大而减小．因为当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，所以直线1x =应在对称轴直线x m =的左侧或与对称轴重合，则1m ≥．
解答：C
点评：解决该题的关键是掌握二次函数()2
y a x h k =-+的图象与性质，利用性质判断图象的增减规律来进行判断，要注意直线1x =与抛物线的对称轴之间的位置关系，这是解决问题的突破口．
9.（2011?台湾19，4分）坐标平面上，二次函数y=x 2
﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（ ） A 、x=50 B 、x=﹣50 C 、y=50 D 、y=﹣50 考点：二次函数的性质。 专题：计算题。
分析：用配方法判断函数y 的取值范围，再对x 、y 的取值范围进行判断．
解答：解：∵y=x 2﹣6x+3=（x ﹣3）2
﹣6≥﹣6， 而函数式中，x 可取全体实数，
∴二次函数图象与方程y=﹣50无交点． 故选D ．
点评：本题考查了二次函数的性质．关键是运用配方法求y 的取值范围．
10. （2011?台湾28，4分）如图为坐标平面上二次函数y=ax 2
+bx+c 的图形，且此图形通（﹣1，1）、（2，﹣1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（ ）
A 、y 的最大值小于0
B 、当x=0时，y 的值大于1
C 、当x=1时，y 的值大于1
D 、当x=3时，y 的值小于0 考点：二次函数图象上点的坐标特征。 专题：数形结合。
分析：根据图象的对称轴的位置[在点（﹣1，1）的左边]、开口方向、直接回答．
解答：解：A 、由图象知，点（﹣1，1）在图象的对称轴的右边，所以y 的最大值大于0；故本选项错误； B 、由图象知，当x=0时，y 的值就是函数图象与y 轴的交点，而图象与y 的交点在（﹣1，1）点的右边，故y ＜1；故本选项错误；
C 、∵二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象经过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，∴该函数图象的对称轴x=﹣
a
b
2＞0，∴a ﹣b+c=1；而当x=1时，y=a+b+c≠1；故本选项错误．
D 、当x=3时，函数图象上的点在点（2，﹣1）的右边，所以y 的值小于0；故本选项正确； 故选D ．
点评：本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．解答此题时，须熟悉二次函数图象的开口方向、对称轴、与x 轴的交点等知识点．
11. （2011台湾，6，4分）若下列有一图形为二次函数y ＝2x 2
－8x ＋6的图形，则此图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：二次函数的图象。 专题：函数思想。
分析：根据二次函数的解析式y ＝2x 2
－8x ＋6求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，并作出选择． 解答：解：①当x ＝0时，y ＝6，及二次函数的图象经过点（0，6）； ②二次函数的图象的对称轴是：x ＝2
8
?--
x ＝2，即x ＝2； 综合①②，符合条件的图象是A ； 故选A ．
点评：本题考查了二次函数的图象．解题时，主要从函数的解析式入手，求得函数图象与y 轴的交点及对称轴，然后结合图象作出选择．
12. （2010重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A ． a >0
B ． b ＜0
C ． c ＜0
D ． a ＋b ＋c >0 考点：二次函数图象与系数的关系
分析：根据抛物线的开口方向判断a 的正负；根据对称轴在y 轴的右侧，得到a ，b 异号，可判断b 的正负；根据抛物线与y 轴的交点为（0，c ），判断c 的正负；由自变量x =1得到对应的函数值为正，判断a +b +c 的正负．
7题图
解答：解：∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；又∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴a ，b 异号，∴b ＞0；又∵抛
物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，又x =1，对应的函数值在x 轴上方，即x =1，y =ax 2
+bx +c =a +b +c ＞0；所以A ，B ，C 选项都错，D 选项正确．故选D ．
点评：本题考查了抛物线y =ax 2
+bx +c （a ≠0）中各系数的作用：a ＞0，开口向上，a ＜0，开口向下；对称轴为
x =﹣
2b
a
，a ，b 同号，对称轴在y 轴的左侧；a ，b 异号，对称轴在y 轴的右侧；抛物线与y 轴的交点为（0，c ），c ＞0，与y 轴正半轴相交；c ＜0，与y 轴负半轴相交；c =0，过原点．
13. 已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 考点：二次函数的图象． 专题：数形结合．
分析：首先在坐标系中画出已知函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k 成立的x 值恰好有三个的k 值．
解答：解：函数 y={(x-1)2-1(x≤3)(x -5)2-1(x ＞3)的图象如图：
，
根据图象知道当y=3时，对应成立的x 有恰好有三个， ∴k=3． 故选D ． 点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
14. （2011?河池）把二次函数y=x 2
的图象沿着x 轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为（ ）
A 、y=（x+2）2+3
B 、y=（x ﹣2）2
+3
C 、y=（x+2）2﹣3
D 、y=（x ﹣2）2
﹣3 考点：二次函数图象与几何变换。 专题：动点型。
分析：易得新抛物线的顶点，根据二次函数的平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新抛物线的解析式． 解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0）， ∴新抛物线的顶点为（2，3），
∴新抛物线的解析式为y=（x ﹣2）2
+3， 故选B ．
点评：考查二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数．
15. （2011?青海）将y=2x 2
的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）
A 、y=2x 2+2
B 、y=2（x+2）2
C 、y=（x ﹣2）2
D 、y=2x 2
﹣2
考点：二次函数图象与几何变换。
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x 2
的图象向左平移1个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是：
y=2（x+2）2
． 故选：B ．
点评：此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的原则是解答此题的关键． 16.（2011，台湾省，8,5分）如图，坐标平面上二次函数y=x 2
+1的图形通过A 、B 两点，且坐标分别为（a ，
）、
（b ，），则AB 的长度为何？（ ）
A 、5
B 、
C 、
D 、
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
专题：计算题。
分析：将纵坐标的值代入函数式求横坐标a 、b 的值，根据AB=|a ﹣b|求解． 解答：解：把y=
代入y=x 2
+1中，得
=x 2
+1，
即x 2
=
，解得x=±，∴a=，b=﹣，∴AB=﹣（﹣）=5．
故选A ．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是明确抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称．
17. （2011山东滨州，7，3分）抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2
y x =平移得到,则下列平移过程正确的
是( )
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】探究型．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2-3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
18.（2011?德州6，3分）已知函数y=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b
的图象可能正确的是（）
A、B、
C、D、
考点：抛物线与x轴的交点；一次函数的图象。
专题：数形结合。
分析：根据图象可得出方程（x﹣a）（x﹣b）=0的两个实数根为a，b，且一正一负，负数的绝对值大，又a＞b，则a＞0，b＜0．根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案．
解答：解：根据图象可得a，b异号，
∵a＞b，∴a＞0，b＜0，
∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
故选D．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，是重点内容要熟练掌握，
19.（2011山东菏泽，8，4分）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A．B．C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）
A．a+b=﹣1 B．a﹣b=﹣1 C．b＜2a D．ac＜0
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
专题：计算题．
分析：根据OA=OC=1和图象得到C（0，1），A（﹣1，0），把C（0，1）代入求出c=1，把A（﹣1，0）代入即可求出答案．
解答：解：∵OA =OC =1，∴由图象知：C （0，1），A （﹣1，0），把C （0，1）代入得：c =1，把A （﹣1，0）代入得：a ﹣b =﹣1，故选B ．
点评：本题主要考查对抛物线与X 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能求出A ．C 的坐标是解此题的关键．
20. （2011?莱芜）已知二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c ）x 的图象与反比例函数y=
x
a
的图象在同一坐标系中大致是（ ）
B x
x
x
x
x
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象。
分析：由已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，再利用f （0）和f （1）的值即可确定c 的取值，然后就可以确定反比例函数y=x
a
与正比例函数y=（b+c ）x 在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象开口方向向下， ∴a ＜0，
对称轴在y 轴的右边， ∴x=﹣
a
b
2＞0， ∴b ＞0，
当x=0时，y=c ＜0，
当x=1时，a+b+c=0，故知a+b ＞0， ∴反比例函数y=
x
a
的图象在第二四象限， 正比例函数y=（b+c ）x 的图象在第一三象限． 故选A ．
点评：本题主要考查函数图象的知识点，此题从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值及f （0）和f （1）的值确定c 的取值范围．
21. （2011年山东省威海市，7，3分）二次函数y=x 2
–2x –3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范
围是（ ）
第1-3讲 二次函数全章综合提高 【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线 对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。 增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????
二次函数 一、二次函数的解析式 1. 二次函数解析式有三种： (1)一般式：y ax bx c a =++≠2 0() (2)顶点式：()y a x h k =-+2 顶点为() h k ， (3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12 0，，是图象与x 轴交点坐标。 2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程 1. 二次函数()20y ax bx c a =++≠与一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的关系。 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值 0y =时的特殊情况。 2.图像与x 轴的交点个数：
①当240b ac ?=->时，图像与x 轴交于两点 ()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的两根； ②当0?=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0?<时，图像与x 轴没有交点。 1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。 板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232 12++=x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为 ____________________________； (3)把函数()2 324y x =-+化为它的一般式的形式为 __________________________；
教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x
2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________．
二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。
一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
一元二次函数解法讲义 【知识梳理】 1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y 2。二次函数c bx ax y ++=2 ()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 44,22 -=-= 3。抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当 时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当 a b x 2-= ,y 值最小，最小值为 a b ac 442- （2）当 时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当 a b x 2-= ,y 值最大,最大值为 a b ac 442- （3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。 ②平行于y 轴（或重合）的直线记作 ．特别地,ｙ轴记作直线 . 4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1)公式法：a b a c a b x a c bx ax y 44)2(2 22 -++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2 )(的形式，得到顶点为),(k h , 对称轴是直线 . (３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失． 6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2 ++= （１）决定开口方向及开口大小,这与2 ax y =中的完全一样.
二次函数最全面的复习讲义 学习目标 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识网络 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 二、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 类型一：二次函数的概念 1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)． (1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6； (6)． 【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ ) A. B. C.
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数性质 二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重点考查内容，关 于这些知识点的考查常以下面的题型出现。 一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标 例1、对于抛物线21(5)33 y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)， B ．开口向上，顶点坐标 (53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-， D ．开口向上，顶点坐标(53)-， 二、求抛物线的对称轴 例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。 三、求二次函数的最值 例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2 y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4 m D.有最小值4m - 四、根据图象判断系数的符号 例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 五、比较函数值的大小 例5、若A （1,413y -），B （2,4 5y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．132y y y << 六、二次函数的平移
例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. 2(1)3y x =--- B. 2(1)3y x =-+- C. 2(1)3y x =--+ D. 2(1)3y x =-++ 例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ） A.1)1(32---=x y B. 1)1(32-+-=x y C.1)1(32+--=x y D. 1)1(32++-=x y 例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0). (1) 求该二次函数解析式; (2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. （1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？ （3）如果抛物线2339424 y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）． 七、求代数式的值 例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ， ，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 八、求与坐标轴的交点坐标 例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。 二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程的关系十分密
名思教育辅导讲义
例3、已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为。 4、根据二次函数图象提供的信息，确定有a、b、c构成横坐标和纵坐标的点的位置 例4、已知二次函数的图象如图所示，则点在第象限。 5、根据二次函数图象提供的信息，确定两个函数在同一坐标系中的大致图象 例5、在同一平面直角坐标系中，直线y=ax+b和y=ax2+bx+c的图象只可能是——。 6、根据二次函数图象提供的信息，确定某一个待定系数的围 例6、如图6所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是。 考点2、考抛物线的解析式 求二次函数的解析式，是重点容。 1、已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式 例1、已知抛物线经过点A（1，2）、B（2，2）、C（3，4），求抛物线的解析式。 2、已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 例2、已知抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。 求该抛物线的解析式。
3、已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 例3、在直角坐标平面，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）． 求该二次函数的解析式。 4、已知抛物线的对称轴，和某两个点的坐标，求解析式 例4、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。 5、已知一个抛物线的解析式，求平移的函数解析式 例5、将抛物线y=x2的图象向右平移3个单位，接着再向上平移6个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________。 例6、将抛物线y=2（x+1）2-3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为 例7、在同一坐标平面，图象不可能由函数y=2x2+1 的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（）Ａ．y=2（x+1）2-1 Ｂ． y=2x2+3 Ｃ．y=-2x2-1 Ｄ． 6、抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-（a2x+bx+c）。 例8、抛物线 y=2（x-1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式为。 7、抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于y 轴的对称抛物线为：y=a2x-bx+c。 例9、抛物线 y=2（x-1）2+3关于y轴对称的抛物线的解析式为。 8、抛物线关于原点轴对称的抛物线的解析式 结论：抛物线y= a2x+bx+c关于x 轴的对称抛物线为：y=-a2x+bx-c。 例10、抛物线 y=2（x-1）2+3关于原点对称的抛物线的解析式为。
【最新整理，下载后即可编辑】 二次函数专题复习 专题一：二次函数的图象与性质 本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值； （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系 抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第 一、三、四象限 考点3、二次函数的平移 当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图 图1
象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 专题复习二：二次函数表达式的确定 本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式 例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与 图2 A B C D 图1 菜园 墙
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第一讲 二次函数的定义 知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数， )0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为0 考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式 例1、 函数y=（m ＋2）x 2 2-m ＋2x －1是二次函数，则m= ． 例2、 下列函数中是二次函数的有（ ） ①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2 ；④y=21 x ＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式． 例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，
如果BP=x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 训练题: 1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。 3、已知函数y=(m －1)x 2m +1 +5x －3是二次函数，求m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系． 5、请你分别给a ，b ，c 一个值，让c bx ax y ++=2 为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限 6．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31 x 2 C ．y=52-x D ．y=（x ＋1）（x －2） 7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0 D ．m 、n 可以为任何常数
二次函数 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是（ 2 Ay =8x 1 B.y - -8x -1 D.y￡-4 x 2 【例2】已知函数y =（m2-2m）x m 3*_3口乂+（口十1）是二次函数，则m = ____ 。 【针对训练】若函数y=（m-2）x 二+mx是二次函数，则该函数的表达式为y = __________________________________________________________________ 。 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点a,8在二次函数y =ax2的图象上，贝U a的值是（） A2 B.-2 C. _2 D_ 2 【例2】若二次函数y二ax2? bx ? c的x与y的部分对应值如下表，则当x = -1时，y的值为 x-7_ 6-5-4_ 3-2 y-27-13_ 3353 A.5 【针对训练】1、过（-1,0）（3,0）（1,2）三点的抛物线的顶点坐标是（） j 2 j 14 A. 1,2 B.（1,§） C. -1,5 D.（2,§） 2、无论m为何实数，二次函数y = x27.2 - m x m的图象总是过定点（ ）A. 1,3 B. 1,0 C.(—1,3) D(-1,0) 2 X 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2?bx，c的图象顶点为A. - 2,-2 , 且过点B 0,2，则y与x的函数关系式为( ) A. y=x2 2 B. y=x-2? 2 C. ^^^-2 D. y 二x 21 一2 【针对训练】过（-1,0）, （3,0 ）, （1,2）三点的抛物线的顶点坐标是_____ 。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数a,b,c的关系） 【例1】已知二次函数y =a（x T）2-b（a=0）有最小值1，则a、b的大小关系为（） A. a b B. a b C. a 二b D.不能确定 【针对训练】1、二次函数y =2x2 - 4x -1的最小值是________________ 。 2、二次函数y = -2（X -1）2 3的图象的顶点坐标是（）
第1页共12页 二次函数 【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___. 已知三个点的坐标时，宜用一般式. ②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式. ③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便. 点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质 图象函数性质 a >0 定义域 x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定) 值域 a >0 a <0 y ∈[4ac －b 24a ，＋∞) y ∈(－∞，4ac －b 2 4a ] a <0 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递减，x ∈[－b 2a ，＋∞)时递增 x ∈(－∞，－ b 2a ]时递增， x ∈[－b 2a ，＋∞) 时递减 图象特点 ①对称轴：x ＝－ b 2a ；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2 4a ) 3.二次函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2 －4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、
考点一：二次函数的概念 已知点a,8在二次函数y ax 2的图象上，贝U a 的值是（） x 7 6 5 4 3 2 y 27 13 3 3 5 3 B 0,2 ,则y 与x 的函数关系式为（ ） 【针对训练】 过 1,0 , 3,0 , 1,2三点的抛物线的顶点坐标是 ___________ 。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 a,b,c 的关系） 【例1】已知二次函数y a （x 1）2 b （a 0）有最小值1,则a 、b 的大小关系为（ ） A. a b B. a b C. a b D.不能确定 【针对训练】1、二次函数y 2x 2 4x 1的最小值是 ___________________ 。 2 2、二次函数y 2（x 1） 3的图象的顶点坐标是（ ） 二次函数 【例 1】下列函数中是二次函数的是（ Ay 8x 2 1 B. y 8x 1 C.y - x 3 D.y - 4 x 【例 2】已知函数y 2 (m 2 2m) x m 3m 4 3mx （m 1）是二次函数，则 m 【针对训练】若函数 y (m 2)x m mx 是二次函数，则该函数的表达式为 y 考点二: 待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】 【例2】 A2 B. 2 C. 2 若二次函数y ax 2 bx c 的 x 与y 的部分对应值如下表， x 1时，y 的值为 A.5 B. 3 C. 13 27 【针对训练】1、过 1,0 3,0 1,2 点的抛物线的顶点坐标是（ A. 1,2 B.(谆 C. 1,5 14 0(2 弓 2、无论 m 为何实数，二次函数 x 2 m 的图象总是过定点（ A.1,3 B.1,0 C. 1,3 1,0 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中， 二次函数y 2 ax bx c 的图象顶点为A. 2, 2 , 且过点 A. y x 2 2 2 B. y x 2 2 C. y D.y 3
第一讲二次函数的定义 知识点归纳 :二次函数的定义：一般地，如果y =aχ2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）,那么y叫做X的二次函数.二次函数具备三个条件，缺一不可：（1）是整式方程；（2）是一个自变量的二次式；（3）二次项系数不为O 考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式 例1、函数y= ( m + . 2 ) X m2 + 2x —1是二次函数，则m= __________ 例2、下列函数中是二次函数的有（) 1 2 2 2 1 ① y=x + :② y=3 (X —1) 2+ ③ y= (X + 3) —2x ;④ y= 2+ X X X A . 1个 B . 2个 C . 3个D. 4个 例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套.据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为X,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式. 例4、如图，正方形ABCD的边长为4, P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q,如果BP=X, △ ADQ的面积为y,用含X 的代数式表示y. A D B
训练题： 1、 已知函数y=aχ2+ bx + C （其中a , b , C 是常数），当a ____ 时，是二次函数；当 a_, b ______ 时，是一次函数; 当a ___ , b ___ , C ___ 时，是正比例函数. 2、 若函数y=（m 2+2m- 7）x 2+4x+5是关于X 的二次函数，贝U m 的取值范围为 __________ 。 2m +1 3、 已知函数y=（m — 1） X +5x - 3是二次函数，求 m 的值。 4、已知菱形的一条对角线长为 a ,另一条对角线为它的 3倍，用表达式表示出菱形的面积 S 与对角线a 的关系. 5、请你分别给a , b , C 一个值，让y = aχ2 ■ bx C 为二次函数，且让一次函数 y=ax+b 的图像经过一、 象限 6. 下列不是二次函数的是（ ） C . m 、n 为常数，且n ≠0 D . m 、n 可以为任何常数 8 .如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为 135°的两面墙，另外两边是总长为 30米的铁 栅栏.（1）求梯形的面积y 与高X 的表达式；（2）求X 的取值范围. 9. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=12cm .点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm∕s 的速度移动，同 时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动.如果 P 、Q 两点分别到达 B 、C 两点停止移动，设运动 开始后第t 秒钟时，五边形 APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量 t 的取值范围. A . y=3χ2+ 4 B . y=— C . y-.x^5 7 .函数y= （m — n ） x 2 + mx + n 是二次函数的条件是（ A . m 、n 为常数，且m ≠0 D . y= (X + 1) (X — 2) ) B . m 、n 为常数，且m ≠ n A D
课题一元二次方程的解法 重点、难点熟练掌握一元二次方程的解法 教学内容 一元二次方程的解法： ①因式分解法： 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零. →因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 例题：用因式分解法解方程：3(x-3)=(x-3)2 练习：(2x+3)2=24x （2x-1）(3x+4)=x-4 1.2y-0.04=9y2 (2x-1)2+3(2x-1)=0 ②开平方法：方程的左边是完全平方式，右边是非负数x2=a（a》0） 例题：3x2－27=0; 练习：(x＋1)2=4 (2x－3)2=7 x2＋2x-3=0 ③配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.变形:把二次项系数化为1 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 例题：x2-6x=-8
练习：(1)3x 2+6x-4=0 (2)2x 2-5x+2=0 ④公式法： 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax 2+bx+c=0(a ≠0). 2.b 2-4ac ≥0. 例题：X 2+2x-3=0 练习： -2m 2+4=-3m 23a 2-a-4 1=0 8y 2-2y-15=0 △ 用三种方法解方程：2532=-x x （1）用因式分解法解: 解:移项,得 3x2-5x-2=0 （ 使方程右边为零） 方程左边因式分解,得(x-2)(3x+1)=0 （方程左边因式分解成A`B=0的形式） 即 x-2=0或3x+1=0（A=0或B=0） 31 ,221-==∴x x （2）用配方法解: 解：两边同时除以3，得: 32352=-x x 左右两边同时加上 2 )65( ，得: .3625323625352+=+-x x 即 .3649652=??? ? ?-x 开平方，得:.36496 5±=-x .31,221-==∴x x （3）用公式法解: 解:移项,得02532=--x x （ 这里a=3,b=-5,c=-2） ())2(34542 2-??--=-∴ac b =49 6753249)5(±=?±--=∴x () .04a c b .2a 4a c b b x 22≥--±-=
龙文教育学科教师辅导讲义
解：（1）根据题意，得?????+?-?=-+-?--?=. 0405, )1(4)1(02 2c a c a …2分 解得 ? ? ?-==.5, 1c a …………………………3分 ∴二次函数的表达式为542 --=x x y ．……4分 （2）令y =0，得二次函数542 --=x x y 的图象与x 轴 的另一个交点坐标C （5, 0）.……………5分 由于P 是对称轴2=x 上一点， 连结AB ，由于262 2= +=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.…………………………………6分 由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得 PB PA +的最小值为BC . 因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得? ? ?+=-=.50,5b k b 解得???-==.5, 1b k 所以直线BC 的解析式为5-=x y .…………………………………………………9分 因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组? ? ?-==5,2x y x 的解，解得???-==.3, 2y x 所求的点P 的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。 典型例题： 1如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，BC ＝6，AD ＝3，∠DCB ＝30°.点E 、F 同时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知F 点移动速度是E 点移动速度的2倍，以EF 为一边在CB 的上方作等边△EFG ．设E 点移动距离为x （x ＞0）. ⑴△EFG 的边长是____（用含有x 的代数式表示），当x ＝2时，点G 的位置在_______； ⑵若△EFG 与梯形ABCD 重叠部分面积是y ，求 ①当0＜x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式； ②当2＜x ≤6时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y 在x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 二次函数 考点一：二次函数的概念 【例1】下列函数中是二次函数的是（ ） 【例2】已知函数22 34 (2)3(1)m m y m m x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。 【针对训练】若函数 2 2(2)m y m x mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。 考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用 【例1】已知点()8,a 在二次函数2 ax y =的图象上，则a 的值是（） 【例2】若二次函数c bx ax y ++=2 的 x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ） 【针对训练】1、过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ） 2、无论m 为何实数，二次函数2 x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ） 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2 的图象顶点为 ()2,2.--A ，且过点 ()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ） 【针对训练】过()0,1-，()0,3，()2,1三点的抛物线的顶点坐标是_____。 考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系） 【例1】已知二次函数b x a y -+=2 )1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ） .A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定 【针对训练】 1、二次函数1422 --=x x y 的最小值是 。 2、二次函数3)1(22 +--=x y 的图象的顶点坐标是（ ） 3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ） 【例2】抛物线3)2(2 -+=x y 可以由抛物线2 x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） .A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 【针对训练】 1、已知下列函数：（1）2 x y =；（2）2 x y -=；（3）2)1(2 +-=x y 。其中，图象通过平移可以得到函数322 -+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。 2、将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。 3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）
2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义 【知识梳理】 （一）本节课知识点 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数， 顶点式:2()(0)y a x h k a h k a =?+≠，，是常数， 双根式:若抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标分别为1(,0)x ，2(,0)x 则 12()()(0)y a x x x x a =??≠ 2.二次函数的图象 ①二次函数图象关于一条平行y 轴的直线对称的抛物线 ②抛物线2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，与y 轴必有一个交点，坐标为（0，c ）；与x 轴交点的个数则是由△=ac b 42?决定的。 （二）本节课的重、难点 1．重点：能通过观察函数图象读取相关信息解决问题． 2．难点：用函数观点看方程（组）与不等式（组）. 【典例剖析】 例 已知二次函数x x y 22 ?=. (1) 把它配成k h x a y +?=2)(的形式. (2) 写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. (3) x 取何值时，函数有最值？是最大值还是最小值？求出最大值或最小值. (4) 求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标. (5) 用五点法画出函数图象,并回答:当x 取何值时，y ＞0？y ＜0？ (6) 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ 例 已知直线721?=x y 与抛物线c bx ax y ++=22，抛物线2y 与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点B （1，0），C （5，0）两点.
（1）求抛物线的解析式并在同一坐标系中画出直线和抛物线的示意图. （2）结合图象回答: ①02≥y 时,x 的取值范围； ②50<