第9讲 圆锥曲线的综合问题
[学生用书P180]
一、知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.
由?
????Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)；
②若a ≠0，Δ＝b 2－4ac .
a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝???
?1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|． (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(3)直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，联立直线方程与曲线方程，消去y 得Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，则|PQ |＝
Δ（1＋k 2）
|A |
.
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．
在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2
a 2－
y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0
a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0
．在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0.
常用结论
过一点的直线与圆锥曲线的位置关系的特点
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；
过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 二、习题改编
1．(选修2-1P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解析：选C.过(0，1)与抛物线y 2＝4x 相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
2．(选修2-1P80A 组T8改编)已知与向量v ＝(1，0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2
＝1相
交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．
解析：由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2
＝1得x 2＝4(1＋m 2)，
所以x 1＝
4（1＋m 2）＝2
1＋m 2，x 2＝－2
1＋m 2，
所以|AB |＝|x 1－x 2|＝4
1＋m 2≥4，
即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案：4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( )
(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( ) (4)直线与椭圆只有一个交点?直线与椭圆相切．( ) (5)过点(2，4)的直线与椭圆x 24＋y 2
＝1只有一条切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大； (2)不会用函数法解最值问题； (3)错用双曲线的几何性质．
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
解析：选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
2．如图，两条距离为4的直线都与y 轴平行，它们与抛物线y 2＝－2px (0＜p ＜14)和圆(x －4)2＋y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D ，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB |·|CD |取得最大值时，直线AB 的方程为________．
解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得p
2＝1或7，又0＜p ＜14，故p ＝2，设
直线AB 的方程为x ＝－t (0＜t ＜3)，则直线CD 的方程为x ＝4－t ，则|AB |·|CD |＝24t ·29－t 2
＝8
t （9－t 2）(0＜t ＜3)，设f (t )＝t (9－t 2)(0＜t ＜3)，则f ′(t )＝9－3t 2(0＜t ＜3)，令f ′(t )＞0?
0＜t ＜3，令f ′(t )＜0?3＜t ＜3，故f (t )max ＝f (3)，此时直线AB 的方程为x ＝－ 3.
答案：x ＝－ 3
3．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x
轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．
解析：由题设条件可知△ABF 2为等腰三角形，只要∠AF 2B 为钝角即可，所以有b 2
a ＞2c ，
即b 2＞2ac ，所以c 2－a 2＞2ac ，即e 2－2e －1＞0，所以e ＞1＋ 2.
答案：(1＋2，＋∞)
第1课时 圆锥曲线中的范围、最值问题
[学生用书P181]
最值问题(多维探究) 角度一 数形结合利用几何性质求最值
已知椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点A (2，4)，
则|P A |－|PF |的最小值为________．
【解析】
如图，设椭圆的左焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝4，
所以|PF |＝4－|PF ′|，所以|PA |－|PF |＝|P A |＋|PF ′|－4.当且仅当P ，A ，F ′三点共线时，|P A |＋|PF ′|取最小值|AF ′|＝
（2＋1）
2＋16＝5，所以|P A |－|PF |的最小值为1.
【答案】 1
角度二 建立目标函数求最值
如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ????－12，14，B ????32，94，抛物线上的点P (x ，y )???
?－12 (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值． 【解】 (1)设直线AP 的斜率为k ， k ＝x 2－ 1 4x ＋12 ＝x －1 2， 因为－12 2，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程? ??kx －y ＋12k ＋1 4 ＝0， x ＋ky －94k －3 2 ＝0， 解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋3 2（k 2＋1）. 因为|P A |＝ 1＋k 2??? ?x ＋12＝ 1＋k 2(k ＋1)， |PQ |＝ 1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2 k 2 ＋1 ， 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2， 所以f (k )在区间????－1，12上单调递增，????1 2，1上单调递减， 因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值27 16. 角度三 构造基本不等式求最值 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2 3 ＝1(a >0)的一个焦点为F (－1，0)，左、右顶点分别为A ， B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于 C ， D 两点． (1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长； (2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． 【解】 (1)由题意，c ＝1，b 2＝3， 所以a 2＝4， 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1， 易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得?????x 2 4＋y 2 3＝1， y ＝x ＋1， 消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，Δ＝288＞0， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－8 7， 所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝2 （x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24 7 . (2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1， 此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 联立方程，得?????x 2 4＋y 2 3＝1， y ＝k （x ＋1）， 消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 2 3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2 ， 此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 1＋x 2)＋2k |＝12|k | 3＋4k 2 ，因 为k ≠0，上式＝ 12 3 |k | ＋4|k |≤122 3|k | ·4|k |＝12212 ＝3????当且仅当k ＝±3 2时等号成立， 所以|S 1－S 2|的最大值为 3. 圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． (2020·河北武邑中学模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交 抛物线于A ，B 两点． (1)O 为坐标原点，求证：OA →·OB → ＝－3； (2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 解：(1)证明：依题意得F (1，0)，且直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 联立? ????x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝1， 故OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3. (2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB . 由(1)知2S △AOB ＝2×1 2|OF ||y 1－y 2| ＝ （y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝4 1＋m 2， 所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4. 范围问题(多维探究) 角度一 求代数式的取值范围 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2 ，且以原点为圆心，椭圆的焦 距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线l 与椭圆交于M ，N 两点，求F 1M →·F 1N → 的取值范围． 【解】 (1)由题意，得?????e ＝c a ＝2 2 ，1sin 2 θ＋cos 2 θ ＝c ，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ????? ?c ＝1， a 2 ＝2，b 2 ＝1， 故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)由(1)得F 1(－1，0)，F 2(1，0)． ①若直线l 的斜率不存在，则直线l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝1，不妨记M ? ?? ?1， 22，N ? ?? ?1，－ 22， 所以F 1M →＝????2，22，F 1N →＝????2，－22，故F 1M →·F 1N →＝7 2. ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由?????y ＝k （x －1）， x 22＋y 2 ＝1 消去y 得，(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. F 1M →＝(x 1＋1，y 1)，F 1N → ＝(x 2＋1，y 2)， 则F 1M →·F 1N → ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2， 代入可得F 1M →·F 1N →＝ 2（k 4－1）2k 2＋1 ＋ 4k 2－4k 4 2k 2＋1＋1＋k 2＝7k 2－1 2k 2＋1＝72－9 2 2k 2＋1 ， 由k 2≥0可得F 1M →·F 1N →∈?? ??－1，72. 综上，F 1M →·F 1N → ∈????－ 1，72. 角度二 求参数的取值范围 已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ? ?? ? 3， 32. (1)求椭圆C 的方程； (2)过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B → ，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围． 【解】 (1)由?????2a ＝|EF 1 |＋|EF 2 |＝4，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，c ＝1，解得???? ?a ＝2， c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)， 联立方程，得?????y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23 ＝1，整理得????3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144 k 2＋144＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2， 又AF 1→＝λF 1B → ，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ（1－λ）2 (y 1＋y 2)2， 则（1－λ）2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2， 因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43， 即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤5 2. 故直线l 的斜率k 的取值范围是? ?? ? 0， 52. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． (2020·郑州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点到右焦点F (c ，0) 的最大距离是2＋1，且1，2a ，4c 成等比数列． (1)求椭圆的方程； (2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m ，0)，求实数m 的取值范围． 解：(1)由已知可得?????a ＋c ＝2＋1，1×4c ＝2a 2 a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，解得???? ?a ＝2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)由题意得F (1，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． 与椭圆方程联立得?????x 2＋2y 2－2＝0， y ＝k （x －1）， 消去y 可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k 1＋2k 2 . 可得线段AB 的中点为N ? ?? ?? 2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2 . 当k ＝0时，直线MN 为y 轴，此时m ＝0. 当k ≠0时，直线MN 的方程为y ＋k 1＋2k 2 ＝－1k ? ???? x －2k 2 1＋2k 2， 化简得ky ＋x －k 21＋2k 2＝0.令y ＝0，得x ＝k 2 1＋2k 2 . 所以m ＝k 21＋2k 2＝11k 2 ＋2∈ ??? ?0，12. 综上所述，实数m 的取值范围为????0，12. [学生用书P307(单独成册)] [基础题组练] 1.(2020·河南新乡二模)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3，6)，圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋3|QM |的最小值为( ) A ．12＋43 B ．16＋4 3 C ．16＋6 3 D ．20＋6 3 解析：选C.设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)， 则36＝2p ×3，则2p ＝12， 所以抛物线的方程为y 2＝12x ，设抛物线的焦点为F ，则F (3，0)， 准线方程为x ＝－3， 圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心为(3，0)，半径为1，由直线PQ 过抛物线的焦点，则 1|PF |＋1|QF |＝2p ＝1 3 . |PN |＋3|QM |＝|PF |＋1＋3(|QF |＋1) ＝|PF |＋3|QF |＋4＝3(|PF |＋3|QF |)????1|PF |＋1|QF |＋4＝3? ???4＋3|QF ||PF |＋|PF ||QF |＋4≥3(4＋23) ＋4＝16＋63??? ?当且仅当3|QF ||PF |＝|PF | |QF |时，取等号.故选C. 2．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵ 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( ) A ．(10，14) B ．(12，14) C ．(10，12) D ．(9，11) 解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1， 圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5， 可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)， 故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C. 3．(2020·湖南湘潭一模)已知F (3，0)是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，点 M ? ???3，1 2在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，且k OA ＋k OB ＝－1 2(O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率的取值范围． 解：(1)由题意知，椭圆的另一个焦点为(－3，0)， 所以点M 到两焦点的距离之和为 （2 3）2＋ ????122 ＋12 ＝4. 所以a ＝2. 又因为c ＝3，所以b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA ＋k OB ＝0，不符合题意． 故设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立?????x 2 4＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0. 则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4（m 2－1）4k 2＋1. 而k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2 x 2＝（kx 1＋m ）x 2＋（kx 2＋m ）x 1x 1x 2＝2k ＋m （x 1＋x 2）x 1x 2 ＝2k ＋－8km 2 4（m 2－1）＝－2k m 2－1 . 由k OA ＋k OB ＝－12，可得m 2＝4k ＋1，所以k ≥－1 4. 又由Δ＞0，得16(4k 2－m 2＋1)＞0， 所以4k 2－4k ＞0，解得k ＜0或k ＞1， 综上，直线l 的斜率的取值范围为??? ?－1 4，0∪(1，＋∞)． 4．(2020·银川模拟)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，直线l ： x ＝a 2交x 轴于点A ，且AF 1→＝2AF 2→ . (1)试求椭圆的方程； (2)过点F 1，F 2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D ，E ，M ，N 四点(如图所示)，试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值． 解：(1)由题意知，|F 1F 2|＝2c ＝2，A (a 2，0)， 因为AF 1→＝2AF 2→ ，所以F 2为线段AF 1的中点， 则 a 2＝3， b 2＝2，所以椭圆方程为 x 23＋y 2 2 ＝1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时，|DE |＝2b 2a ＝4 3 ， 此时|MN |＝2a ＝23，四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN | 2＝4. 同理当MN 与x 轴垂直时， 也有四边形DMEN 的面积S ＝|DE |·|MN | 2＝4. 当直线DE ，MN 与x 轴均不垂直时， 设直线DE ：y ＝k (x ＋1)(k ≠1)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 代入椭圆方程，消去y 可得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝－6k 2 2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－6 2＋3k 2， 所以|x 1－x 2|＝ 43× k 2＋1 2＋3k 2 ， 所以|DE |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝ 43（k 2＋1） 2＋3k 2 . 同理|MN |＝43??? ?????－1k 2 ＋12＋3??? ?－1k 2 ＝43????1 k 2＋12＋3k 2， 所以四边形DMEN 的面积S ＝ |DE |·|MN |2＝12 ×4 3（k 2＋1）2＋3k 2 ×43??? ?1k 2＋12＋3k 2 ＝ 24??? ?k 2＋1 k 2＋26? ???k 2＋1 k 2＋13， 令u ＝k 2＋1k 2，则S ＝4－413＋6u . 因为u ＝k 2＋1k 2≥2，当k ＝±1时，u ＝2，S ＝96 25， 且S 是以u 为自变量的增函数，则96 25 ≤S ＜4. 综上可知，9625≤S ≤4，故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为96 25 . [综合题组练] 1．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于22 3，P 是椭圆E 上 的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→ ＝1. (1)求椭圆E 的方程； (2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围． 解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)，半焦距为 c . 因为椭圆E 的离心率等于22 3， 所以c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2 ＝a 2 9. 因为以线段PF 1为直径的圆经过F 2， 所以PF 2⊥F 1F 2. 所以|PF 2|＝b 2 a . 因为9PF 1→·PF 2→ ＝1， 所以9|PF 2→|2＝9b 4 a 2＝1. 由???b 2＝ a 29 9b 4a 2 ＝1，得?? ???a 2＝9b 2 ＝1 ， 所以椭圆E 的方程为y 29 ＋x 2 ＝1. (2)因为直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1 2相交， 所以直线l 不可能与x 轴垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝kx ＋m . 由?????y ＝kx ＋m 9x 2＋y 2＝9 ，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋m 2－9＝0. 因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， 所以Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0， 即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9 . 因为线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， 所以2×x 1＋x 2 2＋1＝0， 即－2km k 2＋9 ＋1＝0. 由?????m 2－k 2－9<0 －2km k 2 ＋9 ＋1＝0 ，得? ????k 2 ＋92k 2 －(k 2 ＋9)<0. 因为k 2＋9>0，所以k 2＋9 4k 2－1<0，所以k 2>3， 解得k >3或k <－ 3. 所以直线l 的倾斜角的取值范围为????π3，π2∪???? π2，2π3. 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－1 2 .记M 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G . (ⅰ)证明：△PQG 是直角三角形； (ⅱ)求△PQG 面积的最大值． 解：(1)由题设得y x ＋2·y x －2＝－12，化简得x 24＋y 2 2＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点， 焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2) (ⅰ)证明：设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx (k >0)． 由?????y ＝kx ，x 24＋y 22＝1 得x ＝±2 1＋2k 2 . 记u ＝ 21＋2k 2 ，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u ，0)． 于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k 2 (x －u )． 由???y ＝k 2（x －u ）， x 2 4＋y 2 2＝1 得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.① 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程①的解， 故x G ＝u （3k 2＋2）2＋k 2，由此得y G ＝uk 3 2＋k 2 . 从而直线PG 的斜率为uk 3 2＋k 2 －uk u （3k 2＋2） 2＋k 2－u ＝－1 k . 所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． (ⅱ)由(ⅰ)得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝ 2uk k 2＋1 2＋k 2 ， 所以△PQG 的面积S ＝1 2|PQ ||PG |＝8k （1＋k 2） （1＋2k 2）（2＋k 2）＝8??? ?1k ＋k 1＋2???? 1k ＋k 2. 设t ＝k ＋1 k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t 1＋2t 2 在[2，＋∞)单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值 为169 . 因此，△PQG 面积的最大值为16 9. 圆锥曲线中的最值和范围问题 一、【基础考点】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题在高考中突出考试的知识点: (1)圆锥曲线的定义和方程； （2）点与曲线的位置关系；特别是点在曲线上，点的坐标满足方程； （3）a 、b 、c 、p 、e 的几何意义及相关关系； （4）二次函数、均值不等式及导数的应用。 基础训练： 1．已知双曲线 122 22 =-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 2 2 1916 x y - =的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2 ＝1上的点，则|PM| －|PN |的最大值为（ D ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ．43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线 222 2 1,(0,0)x y a b a b - =>>的左、 右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A)43 (B)53 (C)2 (D)7 3 5．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 32 6．对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( B ) （A ）（－∞，0） （B ）（－∞，2] （C ）［0，2］ （D ）（0，2） 二、【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【例1】已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||P M P N -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ? 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（） 圆锥曲线的综合问题 1．(2016·邢 台 摸底 )已知A (－2,0)，B (2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点， △ APB 面积的最大值为2 3. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线AP 的倾斜角3π 4 ，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x2a2＋y2 b2＝1(a >b >0)，F (c,0)． 由题意知????? 12·2a·b ＝23， a ＝2，解得 b ＝ 3. 故椭圆C 的标准方程为x24＋y2 3＝1. (2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1,0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2， 则点D 的坐标为(2，－4)，BD 的中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2. 由???? ? y ＝－x －2，x24＋y23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则??? x0＝－2 7，y0＝－12 7 . 因为点F 的坐标为(1,0)，直线PF 的斜率为4 3，直线PF 的方程为4x －3y －4＝0，点E 到直线PF 的 距离d ＝ |8＋6－4| 5 ＝2.所以d ＝r . 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 2．(2016· 合 肥 模 拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)． 解：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2. 圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值； 圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来 解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 则可先建立起目标函数， 再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1 高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之 和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值 解 ：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一： 由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+ 与圆锥曲线有关取值围与最值问题 一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=- 二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520 200021212 2的面积的最小值求四边形，证明 点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ 圆锥曲线中的最值和范围问题 高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右 支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 6．设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2 1 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的 轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值. 高考要考什么 【考点透视】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 【热点透析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 突破重难点 【范例1】已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9 1 -． （１）求动点P 的轨迹方程； （２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53 AB BF + 专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双 曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为142 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)21 ,21(，当l 绕点M 旋转时， 求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ?? ? ??=++=141 2 2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以??? ???? +=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44 ,4()2,2()(212 22121 k k k y y x x ++-=++=+= ① ② 2 解得X"或…泞，则AM k28k2 -6 3 4k2 =1 k2 12 3 4k2 因为AM _AN，所以圆锥曲线中的最值和范围 圆锥曲线是高考数学压轴题之一，是有效区分学生层次不可或缺的一个题型，能否解 决圆锥曲线问题，对提高学生的数学成绩某种程度上至关重要。回顾几年高考中的圆锥曲线 试题，其核心问题大概有两大类型，一是定值、定点、存在性问题，二是最值和范围问题。 本文就第二问题进行归纳和分析。 最值和范围一般有两个求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显几何意义时可 利用几何性质结合图形直观求解；二是代数方法，选择适当变量，建立函数模型，按照求最值的方法求解，求最值方法中：利用基本不等式、函数单调性、分离常数、配方法等是常用方法。对目标函数的的整理和恰当变形是难点。所涉及的量有斜率、面积、离心率、线段长度等。 一.近几年高考试题回顾。 X y2 1.(2017全国2)已知椭圆E: 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的 t 3 直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t =4 , AM| | AN时，求△ AMN 的面积；(II)当2 AM二AN时，求k的取值范围? 2 2 X y 【解析】⑴当t =4时，椭圆E的方程为 1 , A点坐标为-2 , 0, 4 3 则直线AM的方程为y =k X ? 2 . '2 2 ￡ I 二1 联立 4 3 " 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 -1^0 y -k X 2 厂匚2 12 厂〒2 12 因为 AM 二 AN , k 0，所以 1 k FTk^ = 1 k 3I 7^， k 整理得k -1 4k —k ?4产0 , 4k 2_k ?4=0无实根，所以k . ⑵直线AM 的方程为y 二k x ? ..t , r 2 2 x y 1 联立 t 3 并整理得，3 tk 2 x 2 https://www.doczj.com/doc/7d11188848.html, 2x t 2k ^3^-0 y =k （X + JT ） 解得 3 2 ::: k ::: 2 . 2.(2015高考真题山东理21 )在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线C:x 2=2py (p 0) 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过 M,F,0三点的圆的圆心为 Q , 点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 . ［来源学科网］ (I)求抛物线 C 的方程；(n)是否存在点 M , 4 使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； (川)若点M 的横坐标为 2 ,直线l : ^kx 4与抛物线C 有两个不同的交点 A, B , l 与 圆Q 有两个不同的交点 D, E ，求当g 乞k 乞2时，|AB|2J DE|2的最小值 分析：(I )由题意，OF 为圆Q 的弦，y^— , ??? yQ — = 3 = o 抛物线方程x 2 =2y 4 2 4 1 2 所以△ AMN 的面积为| AM | = 144 79 解得 ^-F 或x =曲昇， 3 +tk 2 所以 AM 2 3 tk 2 6 t AN = 1 亠 k 2 —―— "k E 所以 3k 」 k 因为 2 AM | | AN 所以 2 T k 6 ?口隹，整理得， k 3 tk 2 t 6k -3k t 3 k -2 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以 t 3，即 1 k — 2 k3_2 ：： (n)设存在点 2 X 。 2 专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2 与圆锥曲线有关取值范围与最值问题 一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- @ . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ ! . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += / .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=- ] 二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520200021212 2的面积的最小值求四边形，证明 点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ ； . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ ' .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ . " 圆锥曲线的综合应用 一、圆锥曲线的最值问题 方法1：定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解． 例1、已知点F是双曲线x2 4－ y2 12＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲 线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________． 方法2：数形结合（切线法） 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值． 例2、求椭圆x2 2＋y 2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求 取得最值时椭圆上点的坐标． 方法3：参数法（函数法） ①选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值 例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x2 3＋y 2＝1上的一个动点，则 S＝x＋y的最大值为________． 方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示． ②利用基本不等式求得表达式的最值． 例4、求椭圆x2 3＋y 2＝1内接矩形ABCD面积的最大值． 二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法 ①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解． 例1、已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中a c 的取值范围是________． 方法2：判别式法 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程，消元后求判别式； ②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解． 例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围； (2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由． 三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点； ②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明． 例1、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ， 若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值． 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 热点一 最值问题 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 例1 (2019·邯郸模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为E 上 的一个动点，且|PF 2|的最大值为2＋3，E 的离心率与椭圆Ω：x 22＋y 2 8＝1的离心率相等. (1)求E 的方程； (2)直线l 与E 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧)，当F 1M ∥F 2N 时，求四边形F 1F 2NM 面积的最大值. 解 (1)依题意可知???? ? a ＋c ＝2＋3，c a ＝1－2 8， 解得??? a ＝2， c ＝3， 则 b 2＝a 2－ c 2＝1，故 E 的方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)延长MF 1交E 于点M ′， 由(1)可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设M (x 1，y 1)，M ′(x 2，y 2)， 设MF 1的方程为x ＝my －3， 由????? x ＝my －3，x 24＋y 2 ＝1 得(m 2＋4)y 2－23my －1＝0， 故? ???? y 1 ＋y 2 ＝23m m 2 ＋4，y 1y 2 ＝－1 m 2 ＋4. 设F 1M 与F 2N 的距离为d ， 四边形F 1F 2NM 的面积为S ， 则S ＝12(|F 1M |＋|F 2N |)d ＝1 2(|F 1M ′|＋|F 1M |)d ＝1 2|MM ′|d ＝2MF M S △′， 而2MF M S △′＝1 2|F 1F 2||y 1－y 2| ＝3(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝43m 2＋1m 2＋4 ＝ 43m 2＋1＋ 3m 2＋1 ≤ 43 23 ＝2， 当且仅当m 2＋1＝ 3 m 2＋1 ， 即m ＝±2时，等号成立， 故四边形F 1F 2NM 面积的最大值为2. 跟踪演练1 (2019·焦作模拟)已知椭圆C ：x 22 ＋y 2 ＝1，点A ????1，12，B (1,2). (1)若直线l 1与椭圆C 交于M ，N 两点，且A 为线段MN 的中点，求直线MN 的斜率； (2)若直线l 2：y ＝2x ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的面积的最大值. 解 (1)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 故x 2 12＋y 2 1＝1，x 222 ＋y 22＝1. 将两式相减，可得x 212＋y 2 1－????x 222＋y 22 ＝0， 即 (x 1＋x 2)(x 1－x 2) 2 ＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为A 为线段MN 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1. 得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝0， 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a(实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式0。 第9讲 圆锥曲线的综合问题 [学生用书P180] 一、知识梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0. 由? ????Ax ＋By ＋C ＝0，f （x ，y ）＝0消元(如消去y )，得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)； ②若a ≠0，Δ＝b 2－4ac . a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝??? ?1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|． (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (3)直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，联立直线方程与曲线方程，消去y 得Ax 2＋Bx ＋C ＝0，Δ＝B 2－4AC >0，则|PQ |＝ Δ（1＋k 2） |A | . 3．圆锥曲线的中点弦问题 课时考点14 圆锥曲线中的最值及范围问题 高考透析 高考大纲：椭圆、双曲线、抛物线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系. 解析几何与代数方法的综合. 新题型分类例析 热点题型1：重要不等式求最值 （05浙江?理17）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使 12F PF ∠最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．本 题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角，点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力满分14分 解：(Ⅰ)设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则 2 111,a MA a A F a c c =-=- ()2 222224 a a a c c a a b c ?-=-??? =??=+??? 由题意,得2,1a b c ∴=== 22 1.43 x y +=故椭圆方程为 (Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >， 当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102 F PF PF M π <∠<∠< ， ∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可 设直线1PF 的斜率011y k m = +，直线2PF 的斜率0 21 y k m =-， 021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠= =≤=+-+ 0||y =时，12F PF ∠最大， (,,||1Q m m ∴> [变式新题型1]： 已知椭圆C 的方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，双曲线122 22=-b y a x 的两条渐近线为21,l l ， 过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使l 1l ⊥，又l 与2l 的交于P 点，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A 、B （如图） （1）当1l 与2l 的夹角为?60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C 的方程及离心率， （2）若AP FA λ=，求λ的最大值. [启思] 热点题型2：利用函数求最值 （05上海?理19）点A 、B 分别是椭圆 22 13620 x y +=长轴的左、右焦点，点F 是椭圆的右焦点点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥ （1）求P 点的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值 解：（1）由已知可得点A (－6,0),F (0,4) 设点P (x ,y ),则={x +6,y },={x －4,y }, 由已知可得 22 213620(6)(4)0x y x x y ?+ =???+-+=? 则2x 2 +9x －18=0,解得x = 2 3 或x =－6. 由于y >0,只能x = 2 3 ,于是y =235. ∴点P 的坐标是( 2 3,23 5) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0.圆锥曲线中的最值和范围问题
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