2017-2018学年湖北省恩施州利川市九年级（上）期末数
学试卷
1.天气预报显示，利川市明天13：00下雨的概率是50%.则明天13：00利川市()
A. 下雨和不下雨的可能性相同
B. 下雨的可能性很大
C. 一定不会下雨
D. 一定会下雨
2.一元二次方程x2?√3x=0的根是()
A. x1=x2=√3
B. x1=0，x2=?√3
C. x1=0，x2=√3
D. x1=√3，x2=?√3
3.已知点M在第一象限，若点N与点M关于原点O对称，则点N在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4.二次函数y=9x2?6x+1的图象与y轴的交点是()
A. (1,0)
B. (0,1)
C. (1
3,0) D. (0,1
3
)
5.下列交通标志图案中，是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
6.解一元二次方程4x2?8x?1=0，配方后正确的是()
A. (2x?2)2=0
B. 4(x?1)2=5
C. (2x?2)2=?3
D. 4(x?1)2=2
7.将二次函数y=x2?4x?4化为y=a(x??)2+k的形式，正确的是()
A. y=(x?2)2
B. y=(x+2)2?8
C. y=(x+2)2
D. y=(x?2)2?8
8.如图，A，B，C是⊙O上三点，若∠ABO=30°，∠ACO=40°，
则∠BOC(小于平角)的度数为()
A. 70°
B. 100°
C. 110°
D. 140°
9.如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上的一点，若BD的弦心
距OE=1，∠ABD=30°，则图中阴影(弓形)部分的面积等
于()
A. √3?2π
3B. 2π
3
?√3 C. √3?π
3
D. π
3
?√3
10.如图，在△ABC中，已知A(?4,4)，B(?3,1)，C(?1,2)，若将△ABC绕点C顺时针
方向旋转180°，得到△A′B′C，则A′，B′的坐标依次是()
A. (2,0)和(1,3)
B. (2,0)和(3,1)
C. (4,?4)和(3,?1)
D. (?4,4)和(?3,1)
11.已知x1，x2是方程x2+2x?3=0的两个实数根，则1
x1+1
x2
的值为()
A. 2
B. 2
3C. ?2
3
D. ?2
12.如图，直线y=ax+c与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象经过y轴上的点A和x轴上的点B，且抛物线的对
称轴为x=1.下列结论：①b2>4ac；②a+b+c>0；
③abc>0；④a+c=b.其中正确的个数有()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13.已知方程mx?m2+m+2?(m+1)x+m2=0是关于x的一元二次方程，则m的值为
______．
14.已知，二次函数y=x2+x?c的图象与x轴的一个交点是(?2,0)，则其与x轴的另
一个交点是______．
15.如图，是一个圆锥形纸帽的示意图，则围成这个纸帽的扇形纸
的弧长等于______．
16.如图所示，点阵从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，
第二行有4个点…第n行有2n个点…这个点阵中前n行的点数
和等于______.(用含n的式子表示，n为正整数)
17.已知，抛物线y=?2x2．
(1)在平面直角坐标系中画出y=?2x2的图象(草图)；
(2)将y=?2x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，求所得
新抛物线的解析式．
18.解方程：x(2x?3)=5?7x
19.将分别标有数字1，2，3的三个小球(小球除数字外其余完全相同)放在不透明的箱
子内，做摸球试验．
(1)随机摸出一个小球，求P(所标数字是奇数)；
(2)先摸出1个小球，所标数字作个位数，不放回箱子内，再摸出1个小球，所标
数字作十位数，组成一个两位数，求这个两位数能被3整除的概率．
20.如图，CD是⊙O的直径，并且AC=BC，AD=BD.求证：直
线AB是⊙O的切线．
21.已知关于x的一元二次方程(a+3)x2?ax+1=0有相等的实数根．
(1)求a的值；
(2)求方程的根．
22.如图，已知矩形ABCD的周长为36cm，绕矩形的一条边CD旋
转形成一个圆柱．设矩形的一边AB长为xcm(x≠0)，旋转形
成的圆柱的侧面积为Scm2
(1)求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)求x取何值时圆柱的侧面积最大？最大值是多少？
(3)若圆柱的侧面积等于18πcm2，求矩形的长和宽各是多少cm？
23.如图，△ABC内接于⊙O，AB⊙O的直径，∠ACB的平
分线交⊙O于D，连接AD和BD，过点D作DP//AB交
CA的延长线于P．
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)当AC=6，BC=8时，求CD的长．
24.如图，边长为2的正方形ABCO的顶点O在原点，AO和CO在坐标轴上，点D的
坐标为(2,1)，连接AD，将△ABD绕点A顺时针方向旋转90°，与点D对应的点为F．
(1)求点F的坐标；
(2)求四边形ADCF的面积；
(3)求过A，D，F三点的抛物线的解析式；
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APF的周长最短？若存在，请求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵利川市明天13：00下雨的概率是50%．
∴明天13：00利川市下雨和不下雨的可能性相同，
故选：A．
根据概率的意义解答即可得．
本题主要考查概率的意义，解题的关键是掌握在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率．
2.【答案】C
【解析】解：x(x?√3)=0，
x=0或x?√3=0，
所以x1=0，x2=√3．
故选：C．
利用因式分解法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
3.【答案】C
【解析】解：点M在第一象限，得
M的横坐标大于零，纵坐标大于零．
由点N与点M关于原点O对称，得
N点的横坐标小于零，纵坐标小于零，
点N在第三象限，
故选：C．
根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．
把x=0代入即可求得．
【解答】
解：把x=0代入y=9x2?6x+1得，y=1，
所以二次函数y=9x2?6x+1的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】解：四张交通标志图案的卡片中，只有第三张为中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的定义进行判断．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程?配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先把常数项移到方程的右边，然后把方程两边都加上4，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方的形式即可．
【解答】
解：4x2?8x?1=0，
4x2?8x=1，
4(x2?2x+1)=5，
4(x?1)2=5．
故选：B．
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．
利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
【解答】
解：y=x2?4x?4
=x2?4x+4?8
=(x?2)2?8，
故选D．
8.【答案】D
【解析】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠ABO+∠OAB=2×30°=60°，
同理可得：∠COD=∠ACO+∠OAC=2×40°=80°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选：D．
过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC=2∠ABO+2∠ACO．
本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
9.【答案】B
【解析】解：连接OD，
在Rt△OBE中，
∵∠ABD=30°，OE=1，
∴OB=2，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴S
阴影=S
扇形AOD
?S△AOD=60π×22
360
?1
2
×2×√3=2π
3
?√3．
故选：B．
在Rt△OBE中，∠ABD=30°，OE=1，可求得OB的长，∠AOD的度数，又由S阴影=
S
扇形AOD
?S△AOD，即可求得答案．
此题考查了垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
10.【答案】A
【解析】解：如图，A点的对应点A′的坐标是(2,0).B点的对应点B′的坐标是(1,3)．
故选：A．
建立平面直角坐标系，作出△ABC绕点C顺时针旋转180°后的△A′B′C，再根据平面直角坐标系写出点A′、B′的坐标即可．
本题考查了坐标与图形变化?旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便．11.【答案】B
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+2x?3=0的两个实数根，
∴x1+x2=?2，x1x2=?3，
∴1
x1+1
x2
=x1+x2
x1x2
=?2
?3
=2
3
，
故选：B．
根据根与系数的关系可得出x1+x2=?2、x1x2=?3，即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．12.【答案】B
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2?4ac>0，
∴b2>4ac，故①正确；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c>0，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
=1，
∴?b
2a
即b=?2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c>0，
∴abc<0，故③错误；
把x=?1代入y=ax2+bx+c得：y=a?b+c<0，
即a+c 即正确的个数是2个， 故选：B． 根据图形和抛物线的性质逐个判断即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，能灵活运用性质进行计算和求解是解此题的关键．13.【答案】?1 【解析】解：∵mx?m2+m+2?(m+1)x+m2=0是关于x的一元二次方程， ∴m≠0，m2+m+2=2， 解得：m=?1， 故答案为：?1． 根据一元二次方程的定义得出m≠0，m2+m+2=2，求出即可． 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 14.【答案】(1,0) 【解析】解：∵二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为(?2,0)， ∴0=1+1+c， ∴c=?2， ∴y=x2+x?2， 当y=0时， x2+x?2=0， 解得x1=1，x2=?2． 故另一个交点坐标是(1,0)． 故答案为：(1,0)． 先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出c值，再当y=0时，求出关于x的一元二次方程的解，就可以求出另一个交点坐标． 本题是一道关于二次函数的运用的试题，考查了待定系数法的运用和抛物线与x轴的交点坐标． 15.【答案】20πcm 【解析】解：底面圆的半径为10cm，则底面周长=20πcm， 即这个纸帽的扇形纸的弧长为20πcm． 故答案为：20πcm． 圆锥的底面周长=这个纸帽的扇形纸的弧长=2πr，代入可得结论． 本题利用了圆的周长公式，重点是理解圆锥与展开后扇形的关系． 16.【答案】n(n+1) 【解析】解：根据题意知，2+4+6+8+? (2) =2(1+2+3+?+n) =2×1 2 n(n +1) =n(n +1)． 故答案为n(n +1)． 根据题意得出这个点阵中前n 行的点数和等于2+4+6+8+?…+2n ，再计算即可． 此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，利用规律解决问题． 17.【答案】解：(1)如图： (2)将y =?2x 2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为： y =?2(x ?2)2?1． 【解析】(1)由函数解析式可确定顶点坐标为(0,0)，对称轴为y 轴，进而可得图象； (2)根据上加下减、左加右减可得答案． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 18.【答案】解：方程整理为一般式得2x 2+4x ?5=0， ∵a =2，b =4，c =?5， ∴△=16?4×2×(?5)=56>0， 则x = ?4±2√14 4= ?2±√14 2 ， 即x 1=?2+√14 2 ，x 2= ?2?√14 2 ． 【解析】方程整理成一般式后，利用公式法求解可得． 此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键． 19.【答案】解：(1)∵随机摸出一个小球共有3种等可能结果，其中所标数字为奇数的 有2种结果， ∴P(所标数字是奇数)=2 3； (2)画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中这个两位数能被3整除的有3种， 所以这个两位数能被3整除的概率为3 9=1 3 ． 【解析】(1)根据符合要求的有两个，除以所有可能的情况即可得出； (2)列举出所有可能，进而求两位数能被3整除的概率． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 20.【答案】证明：∵CA=CB，AD=DB， ∴CD⊥AB， ∵CD是直径， ∴AB是⊙O的切线． 【解析】欲证明AB是⊙O的切线，只要证明CD⊥AB即可； 本题考查切线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 21.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程(a+3)x2?ax+1=0有相等的实数根．∴a+3≠0，且△=a2?4(a+3)=(a?6)(a+2)=0， ∴a=6或a=?2， (2)由(1)知，a=6或a=?2， 当a=6时，原方程可化为9x2?6x+1=0， ∴(4a?1)2=0， ∴x1=x2=1 3 ， 当a=?2时，原方程可化为x2+2x+1=0， ∴(2a+1)2=0， ∴x1=x2=?1 ． 2 【解析】(1)利用一元二次方程的定义得出a+3≠0，再利用判别式△=0，求出a的值； (2)分a=6和a=?2两种情况，利用开平方法即可得出结论． 此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程，求出a的值是解本题的关键． 22.【答案】解：(1)由题意可得， ?x)?x=?2πx2+36πx， S=2π(36 2 即S与x的函数关系式是S=?2πx2+36πx(0 (2)∵S=?2πx2+36πx=?2π(x?9)2+162π， ∴当x=9时，圆柱的侧面积最大，最大值是162π； (3)令S=18π， 则18π=?2πx2+36πx， 解得，x=9±6√2， ?x=9?6√2， 当x=9+6√2时，36 2 ?x=9+6√2， 当x=9?6√2时，36 2 由上可得，矩形的长是9+6√2cm，宽是9?6√2cm． 【解析】(1)根据题意和图形可以得到S与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)根据(1)中的函数关系式可以求得圆柱的侧面积的最大值； (3)令S=18π，即可求得矩形的长和宽各是多少cm． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23.【答案】(1)证明：如图1中，连接OD． ∴∵∠DCA=∠DCB， ∴AD?=BD?， ∴OD⊥AB， ∵AB//PD， ∴OD⊥PD， ∴PD是⊙O的切线． (2)如图2中，连接AD、BD，作DE⊥CP与E，DF⊥BC于F． ∵AB是直径， ∴∠ECF=∠CED=∠CFD=90°， ∴四边形DECF是矩形， ∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB， ∴DE=DF， ∴四边形DECF是正方形， ∵∵∠DCA=∠DCB， ∴AD?=BD?， ∴AD=BD， ∴Rt△ADE≌Rt△FDB， ∴AE=BF， ∴CE+CF=AC+AE+CB?BF=AC+BC=14， ∴CE=CF=DE=DF=7， ∴CD=√2CE=7√2． 【解析】(1)欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PD即可； (2)如图2中，连接AD、BD，作DE⊥CP与E，DF⊥BC于F.只要证明四边形DECF是正方形且边长为7，即可解决问题； 本题考查切线的判定、正方形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、全等三角形的判 定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形或全等三角形解决问题． 24.【答案】解：(1)∵正方形ABCO的边长为2， ∴∠OAB=90°，OA=OC=AB=BC=2， ∵点D的坐标为(2,1)， ∴CD=1， ∴BD=1， 由旋转知，∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠OAF， 在△ABD和△AOF中，{∠BAD=∠OAF AB=OA ∠ABD=∠AOF ， ∴△ABD≌△AOF， ∴OF=BD=1， ∴F(?1,0)， (2)由(1)知，△ABD≌△AOF，∴S△ABD=S△AOF， ∴S 四边形ADCF =S 梯形ADCO +S△AOF=S 梯形ADCO +S△AOF=S 正方形ABCO =4． (3)由(1)知，F(?1,0)，OA=2， ∴A(0,2)， ∵D(2,1)， 设过点A，D，F的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∴{a?b+c=0 4a+2b+c=1 c=2 ， ∴{a=?5 6 b=7 6 c=2 ， ∴过点A，D，F的抛物线的解析式为y=?5 6x2+7 6 x+2； (4)∵过点A，D，F的抛物线的解析式为y=?5 6x2+7 6 x+2， ∴对称轴为直线x=7 10 ， 由(3)知，过点A，D，F的抛物线的解析式为y=?5 6x2+7 6 x+2， 令y=2， ∴2=?5 6x2+7 6 x+2， ∴x=0(舍)或x=7 5 ， ∴点A关于抛物线的对称轴对称的点A′(7 5 ,2)， 连接A′F交抛物线于点P，此时，△APF的周长最短，∵点F(?1,0)， ∴直线A′F的解析式为y=5 6x+5 6 ， 当x=7 10时，y=17 12 ， ∴P( 7 10 , 17 12 ). 【解析】(1)先确定出BD=1.再判断出△ABD≌△AOF，进而得出OF=BD=1，即可得出结论； (2)借助(1)得出△ABD≌△AOF，即：S△ABD=S△AOF，进而得出S四边形ADCF=S梯形ADCO+ S△AOF=S 梯形ADCO +S△AOF=S 正方形ABCO =4． (3)利用待定系数法即可得出结论； (4)先判断出点P是过点A关于抛物线的对称轴的对称点A′与点A的直线的交点，进而先确定出点A′的坐标，即可得出直线A′F的解析式，即可得出结论． 此题是二次函数综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是求出抛物线的解析式．
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