和式的恒等变换
一.知识归纳
在不等式的证明过程中，我们时常要对和式进行处理，对和式作一些恒等变形.因此，有必要了解一下一些重要的恒等变换式以及变换法：
（1）()()i j i j i j j i i i j j a a bb a b a b a b a b +--=--；
（2）2
21
1
1()2
n
n
i i i j i i i j n
a a a a ==<=+∑∑∑
剟；
（3）
2
2
211
1
()()n n
i j i i i j n
i i a a n a a <==-=-∑
∑∑剟；
（4）1
1
11
11
()()n
n
n
n
n
n
i i i j j i i i i j i j a b a b a b ========∑∑∑∑∑∑；
（5）
1
11
1
2
1
()()j n
n
n
i j i j i j i j n
i j i j i a a a a a a -<==+====∑∑∑∑∑剟；
（6）11
111()2n n
n n
i j i j j i i j i j a b a b a b =====+∑∑∑∑；
（7）1
111
()n n k k k a a a a -+=-=-∑.
Abel 分部求和公式：
111
1
1
1
()()n
n n k
k k
n k i k k k k k i a b
b a a b b -+=====+-∑∑∑∑
Abel 不等式： 设121
012t
n k
k b b b m a
M t n =???>=???∑，，，，，厖厔?.则有：
111n
k k
k b m a b b M =∑剟
二.赛题精讲
例1. 证明Lagrange 恒等式：
2
2221
1
1
1()()()()n
n
n
i
i
i i i j j i i i i i j n
a b a b a b a b ===
-∑∑∑∑
剟.
例2. 实数集01{}n a a a ???，，，满足以下条件： （1）00n a a ==； （2）对1
111()n k i k i i i k k
n a c a a a --+=-=++∑，剟. 求证：1
4c n
…
.
例3.已知122i x R i n n ∈=???，，，，，…，满足1
1
||10n n
i i i i x x ====∑∑，.
求证：1
11||22n
i i x i n
=-∑
…（1989年全国高中数学联赛）
例4.设x R n ∈∈N ，.求证：1[]
[]n
i ix nx i
=∑…，这里[]x 表示不超过x 的最大整数.（第10届美国数学奥林匹克）
例5.设012i x i n =???，，，，…
，且2
1
12
1n
i k j i k j x x x =<+=∑∑
剟，求1
n
i i x =∑的最大值和最小值.
例 6.实数12200x x x ???，，，满足2000
11
||2001k k k x x +=-=∑，令11122001k
k i i y x k k ===???∑，，，，.求
200011
||k
k k y
y +=-∑的最大可能值.（2001年上海市高中数学竞赛）
例7.已知12n a a a ???，，，和12n b b b ???，，，是实数.证明：使得对任何满足12n x x x ???剟?的实数，
不等式11
n
n
i i i i
i i a x b x
==∑∑…
恒成立的充要条件是1
1
121k k
i i i i a b k n ===???-∑∑，，，，…，且1
1
n
n
i i i i a b ===∑∑.（第
27届IMO 国家集训队选拔考试）
例8.证明：对每个正整数n ，
1
n
i =.不等式两边等号成立当且仅当1n =.
三.赛题训练
1.设n 是给定的正整数，3n …，对于n 个给定的实数12n a a a ???，，，，记m 为||(1)
i j a a i j n -<剟的最小值.求在211n
i i a ==∑的条件下m 的最大值.
2.已知12n a a a ???，，，为任意两两各不相同的正整数.求证：对任意正整数n ，下列不等式成立：
2111n
n k k k a k k ==∑∑…（第20届IMO ）（提示：由阿贝尔变换得1
222211111[](1)n n k n k k k a S S k n k k -===+-+∑∑，其中1
1
k k
k i i i S a i ===∑∑….）
3.（钟开莱不等式）设12(12)0k k n
a b R k n a a a ∈=??????，
，，，，厖厖，对12k n =???，，
，，恒有11k k i
i
i i a b ==∑∑….则必有221
1
n
n
i
i
i i a
b
==∑∑…
.（提示：先用阿贝尔变换证明2
1
1
n
n
i
i i
i i a a b
==∑∑…
，再用柯西）
4.已知12n a a a ??????，，，，是实数列，满足(12)i j i j a a a i j n ++=??????，，，，，….证明： （1）1
1
2(2)1n n i i a a n
n n -=∈-∑N ，剠；
（2）3
2123n n a a a a a n
+++???+…（2002年全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛） （提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿（1）得1
121k k i i a a k -=-∑…，再对求证式左边用阿贝尔变换）
5.设12
1112
1212120n
n n a a a b a b b a a b b b a a a ????????????，，，，厖厖厖?.求证：1
1
n
n
i i i i b a ==∑∑…
（提示：令(1)i i i
b
c i
n a =剟，结论转化为1
(1)0n
i i i c a =-∑…，用阿贝尔变换及均值不等式可得）
三角函数 cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ） tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） 二倍角 sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）] cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）] tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）] 三倍角 sin3α=3sinα-4sin^3（α） cos3α=4cos^3（α）-3cosα tan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α）） sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α） cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α) tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α） 半角公式 sin^2（α/2）=（1-cosα）/2 cos^2（α/2）=（1+cosα）/2 tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα） tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα 半角变形 sin^2（α/2）=（1-cosα）/2 sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限 =-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限 cos^2（α/2）=（1+cosα）/2 cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限 =-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限
《三角恒等变换》单元测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α= ，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（） A 、3365 B 5665D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是（） A 、2425-C 、2425D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+= ，且y 是第四象限角，则2y tan 的值是（） A 、23± B 、32± C 、23 - 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是（） A 、π B 、2π C 、1 D 、2
5'、若函数()()()sin g x f x x π=为以2为最小正周期的奇函数，则函数()f x 可以是（） A 、()sin x π B 、cos 2x π?? ??? C 、sin 2x π?? ??? D 、sin 2x π?? ??? 6 、某物体受到恒力是(F =u r ，产生的位移为()sin ,cos s t t =-r ，则恒力物体所做的功是（） A 1B 、2C 、D 6'、已知向量()2cos ,2sin a ??=r ，()90,180?∈o o ，()1,1b =r ，则向量a r 与b r 的夹角为（） A 、? B 、45?-o C 、135?-o D 、45?+o 7、要得到函数2sin 2y x = 的图像，只需要将函数2cos 2y x x = -的图像（） A 、向右平移6 π个单位B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6 π个单位D 、向左平移12π个单位 8、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ???的值为（） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 9 、函数sin 22 x x y =的图像的一条对称轴方程是（） A 、x =113πB 、x =53πC 、53x π=-D 、3 x π=- 10、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为（） A 45 -C 、35-D 、11、已知0, 4πα??∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（） A 、56π-B 、23π-C 、34π- 12、已知不等式( )2cos 04442x x x f x m =+--≤对于任意的566x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）
专题五《三角恒等变换》综合检测题含答案 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ．14 Ｂ．－1 4 2. 函数21()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ．1 6 Ｂ． 1322 Ｃ．322 Ｄ．1318 4. 化简1cos 2tan cot 22 ααα+-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+=-=，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ）
3A. 4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x = - 二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-=，则33sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、 证明过程和演算步骤. 15. 求函数2()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? -???? 上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α=，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ），求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间;
三角恒等变换单元测试基础篇 一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（2019?北京学业考试）cos（α﹣β）等于（） A．cosαcosβ+sinαsinβB．cosαcosβ﹣sinαsinβ C．sinαcosβ+cosαsinβD．sinαcosβ﹣cosαsinβ 【解析】解：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ．故选：A． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的公式，是基本知识的考查． 2．（2019秋?乃东区校级月考）求sin120°cos15°+cos60°cos105°的值（） A．1 B．3 C．D． 【解析】解：sin120°cos15°+cos60°cos105°＝sin60°cos15°﹣cos60°sin15° ＝sin（60°﹣15°）＝sin45°．故选：C． 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查． 3．（2019秋?湛江校级月考）已知，则cos2α＝（） A．B．C．D． 【解析】解：由，得﹣sinα，即sin． ∴cos2α． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与二倍角的余弦，是基础题． 4．（2019秋?太和县校级月考）若，且θ为第三象限角，则的值等于（）A．B．C．﹣7 D．7 【解析】解：若，且θ为第三象限角，则sinθ， ∴tanθ，7， 故选：D． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
5．（2019?西湖区校级模拟）已知若，且θ∈（0，π），则（） A．B．C．±D． 【解析】解：∵，且θ∈（0，π）， ∴∈（0，）， ∴cos0， ∴． 故选：A． 【点睛】本题注意考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 6．（2019秋?兴庆区校级月考）已知2sinα＝cosα，则（） A．B．3 C．6 D．12 【解析】解：∵已知2sinα＝cosα，∴tanα，则2+2tanα＝3，故选：B． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． 7．（2019秋?辛集市校级月考）已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，则（）A．B．C．D． 【解析】解：已知tanα＝﹣3，α是第二象限角，根据三角函数的定义求出， 所以sin（）＝cos． 故选：A． 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和
普通高中课程标准实验教科书·数学·必修④第三章 《三角恒等变换》单元测试题 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1、已知3cos 5α=-，,2παπ??∈ ???，12sin 13β=-，β是第三象限角，则()cos βα-的值是 （ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 2、已知α和β都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是 （ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 3、已知32,244x k k ππππ? ?∈- + ???()k Z ∈，且3cos 45x π??-=- ???，则cos2x 的值是 （ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、725 4、设()()12cos sin sin cos 13 x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则2 y tan 的值是 （ ） A 、23± B 、32± C 、32- D 、23- 5、函数()sin cos 22f x x x π π =+的最小正周期是 （ ） A 、π B 、2π C 、1 D 、2
6、已知12sin 41342x x πππ????+=<< ? ?????，则式子cos 2cos 4x x π??- ??? 的值为（ ） A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、1213 - 7 、函数sin 22 x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113 π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 8、已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则sin x 的值为 （ ） A 、45 B 、45 - C 、35- D 、9、已知0,4πα? ? ∈ ???，()0,βπ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7 β=-，则2αβ-的值是 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 10、已知不等式( )2cos 0444x x x f x m =+≤对于任意的566 x ππ-≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A 、m ≥ 、m ≤ C 、m ≤ 、m ≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中的横线上） 11 、函数sin 234y x x π??=+++ ??? 的最小值是 12、关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题：
章末综合测评(二) 三角恒等变换 (满分：150分 时间：120分钟) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知sin ????π4－x ＝35，则cos ????π 2－2x ＝( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．7 25 D [cos ????π2－2x ＝cos2????π4－x ＝1－2sin 2????π4－x ＝1－1825＝7 25.] 2．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－2 5，那么tan(β－2α)的值为( ) A ．－3 4 B ．－112 C ．－98 D ．98 B [tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β) 1－tan αtan (α－β) ＝－12－251＋12×25＝－ 112 .] 3．已知α∈????0，π 2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A ．1 5 B ． 55 C ． 33 D ．255 B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈????0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55 ，故选B ．] 4．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－4 5，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或24 25 C ．24 25 D ．0或－24 25 C [因为0＜α＜π2＜β＜π，sin α＝3 5， cos(α＋β)＝－4 5 ，
第三章 三角恒等变换 一、选择题. 1. sin 7°cos 37° - sin 83°sin 37° 的值为( )． A.2 3 - B.2 1 - C.2 1 D.2 3 2. sin 15° sin 30° sin 75° 的值等于( )． A.4 3 B. 83 C.8 1 D.4 1 3. 函数y =??? ??-??? ? ? +4πsin 4πsin x x 的周期为( )． A. 4 π B. 2 π C. π D. 2π 4. 函数y = 2sin x (sin x + cos x )的最大值是( )． A.21+ B.12- C.2 D. 2 5. 化简2 cot 2tan 2cos 1ααα-+，其结果是( )． A.2 1-sin 2α B.2 1sin 2α C. - 2sin α D. 2sin 2α 6. 若sin (α + β)=2 1，sin (α - β)=31，则β αtan tan 为( )． A. 5 B. - 1 C. 6 D.6 1 7. 设tan θ和tan ?? ? ??-θ4 π 是方程x 2 + px + q = 0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )． A. p + q + 1 = 0 B. p - q + 1 = 0 C. p + q - 1 = 0 D. p - q - 1 = 0 8. 若不等式4≤3sin 2 x - cos 2 x + 4cos x + a 2≤20对一切实数 x 都成立，则a 的取值范围是( )． A. -5≤a ≤-3，或3≤a ≤5 B. -4≤a ≤4 C. -3≤a ≤3 D. -4≤a ≤-3，或3≤a ≤4 9. 若α∈??? ?? ?2π3 ,π，则α αααsin 1sin 1sin 1sin 1-++--+等于( )． A.2 tan α B. 2 sin α C. 2 cot α D. 2 cos α 二、填空题. 1.? +?-15tan 3115tan 3 = ___________．
三角恒等变换综合（习题） ? 巩固练习 1. 已知1sin cos 5θθ+=，且π3π 24 θ≤≤，则cos2θ=（ ） A ．725 B ．725- C ．2425- D ．1 25 2. 已知θ为第二象限角，225sin sin 240θθ+-=，则cos 2 θ 的值为（ ） A ．53- B ．5 3± C ． 2 2 D ．5 4± 3. 已知θ是第三象限的角，且445 sin cos 9 θθ+=，那么sin2θ的值为（ ） A ． 3 B ．3 - C ． 23 D ．23 - 4. 已知 11 1cos sin αα -=，则sin 2α的值为（ ） A 1 B ．12- C ．2 D ．2- 5. 已知sin cos αα-=(0π)α∈，，则tan α=（ ） A ．-1 B ．2 - C ． 2 D ．1 6. 设(2cos sin )(sin cos 3)0x x αα-++=，则x x x tan 12sin cos 22++的 值为（ ）
A ．85 B ．58 C ． 25 D ． 52 7. 若1 tan 4tan θθ+ =，则sin2θ=（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．12 8. 设α为第四象限的角，若sin 313 sin 5 αα=，则tan2α=_________． 9. 已知sin 2cos 0θθ+=，则θ θ θ2cos 12sin 2cos +-的值为_________． 10. 若3sin cos 0θθ-=，则21 cos sin 22 θθ+的值是_________． 11. 已知1sin sin 4αβ+=，1 cos cos 3 αβ+=，则tan()αβ+的值 为__________． 12. 已知1 sin cos 3 αα+=，则cos4α=_____________． 13. 已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+（x ∈R ），则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数
1. 已知),1,4(),1,2(-=-=AC AB 则__________=BC 2. 以下给出了4个命题 （1）两个长度相等的向量一定相等； （2）相等的向量起点必相同； （3）若c a b a ?=?，且0 ≠a ，则=； （4）若向量的模小于的模，则<； 其中正确命题的个数共有 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 3. 在ABC △中，=，=．若点D 满足2BD DC = ，则AD = A ．3 132+ B ． 3 2 35- C ． 3 1 32- D ． 3 2 31+ 4. 在下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 A ．)0,0(1=e )6,1(2-= B ．)5,3(1=e )10,6(2= C ．)2,1(1-=)1,5(2-= D ．)3,2(1-=e )4 3,21(2-=e 5. 函数tan 4 2y x π π??=- ???的部分图象如下图所示，则() OA OB AB +?= A ．－6 B ．－4 C ．4 D ．6 6. 已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为 A ．|,3x k x k k Z π πππ? ? + ≤≤+∈??? ? B ．|22,3x k x k k Z π πππ? ? + ≤≤+∈??? ?
C ．5{|,} 66x k x k k Z π π ππ+ ≤≤+ ∈ D ．5{|22,}66 x k x k k Z ππ ππ+≤≤+ ∈ 7. 把函数sin 3y x =的图象适当变化就可以得到3cos3)2 y x x =-的图象，这个变化可以是 A ．沿x 轴方向向右平移4π B ．沿x 轴方向向左平移4π C ．沿x 轴方向向右平移12π D ．沿x 轴方向向左平移12 π 8. 函数()sin()4 f x x π =-的图像的一条对称轴是 A ．4 x π = B ．2 x π = C ．4 x π =- D ．2 x π =- 9. 函数2 ()2sin ( )1()4 f x x x R π =--∈是 A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 10. 函数()2sin cos f x x x =的最小值是 A ．1- B ．2- C ．2 D ．1 11. 设函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π＜φ＜0），y ＝f （x ）图象的一条对称轴是直线x ＝π 8． （1）求φ； （2）求函数y ＝f （x ）的单调增区间； （3）画出函数y ＝f （x ）在区间[0，π]上的图象．
三角恒等变换中的综合问题 新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类: 1 三角函数式的化简 解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。 例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一 解原式= = == ∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα 点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。 练习:已知函数f(x)= ①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:) 2 三角函数的求值 求值题常见的类型及解法。 2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。
必修4第三章《三角恒等变换》 一、选择题 1、sin105cos105 的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数21()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5.等于 （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== ，则αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ）
Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则33 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 4020tan 40++ 的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．
综合检测(三) 第三章三角恒等变换 (时间：90分钟，满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013·新余高一检测)cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是() A．－ 3 2 B. 1 2 C. 3 2D．－ 1 2 【解析】原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°) ＝－1 2. 【答案】 D 2．已知tan(π－α)＝2，则 1 sin αcos α等于() A.5 2 B. 7 5 C．－5 2D．－ 7 5 【解析】由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2， ∴ 1 sin αcos α＝ sin2α＋cos2α sin αcos α＝ tan2α＋1 tan α＝－ 5 2. 【答案】 C 3．(2013·德州高一检测)函数f(x)＝2sin(π 4－x) cos(π 4＋x)－1是() A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 【解析】 f (x )＝2sin(π4－x )cos(π 4＋x )－1 ＝2cos[π2－(π4－x )]·cos(π 4＋x )－1 ＝2cos(π4＋x )·cos(π4＋x )－1＝2cos 2(π4＋x )－1 ＝cos 2(π4＋x )＝cos(π 2＋2x )＝－sin 2x . ∴T ＝π，且f (x )是奇函数．故选B. 【答案】 B 4．(2013·合肥高一检测)tan(α＋β)＝25，tan(α＋π4)＝322，那么tan(β－π 4)＝( ) A.15 B.1318 C.14 D.1322 【解析】 tan(β－π4)＝tan[(α＋β)－(α＋π 4)]＝tan (α＋β)－tan (α＋π 4) 1＋tan (α＋β)tan (α＋π4)＝ 25－3221＋25×322 ＝1 4. 【答案】 C 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π 6] B ．[－5π6，－π 6] C ．[－π 3，0] D ．[－π 6，0] 【解析】 f (x )＝2sin(x －π 3)，x ∈[－π，0]， 由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，得2k π－π6≤x ≤2k π＋5 6π
第三章三角恒等变换单元测试题及答案 一、选择题 1、sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 1 4 Ｃ．4 Ｄ．－4 2、函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3、已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4、化简1cos 2tan cot 2 2 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 22α- Ｂ．1sin 22α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0..2A B C D -7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23 αβαβ+= -= ，则tan tan αβ为 （ ） A.5 B .1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、 满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.4 4 ππ或 C.4 π ()3D.24 k k π π+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ）
Ａ．()sin 2f x x = ()2sin cos g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12sin g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 2 2tan ()1tan x g x x =- 二、填空题 11. 已知cos α= 35,且α∈3,22ππ?? ??? ,则cos(3πα- )=＿＿＿＿. 12. 已知1sin cos 2 θθ-= ，则3 3 sin cos θθ-=＿＿＿＿. 13. tan 20tan 403tan 20tan 40++的值是 . 14. ABC 中，3sin 5A =，5 cos 13 B =，则cos C = . 三、解答题 15. 求函数2 ()2cos 3sin f x x x =+在,22ππ?? - ??? ?上的最值. 16. 已知α，β为锐角，1 tan 7 α= ，sin 10β=，求2αβ+. 17. 已知2tan 3tan A B =，求证：sin 2tan()5cos 2B A B B -=-. 18. 已知函数2 ()5sin cos f x x x x =-（其中x ∈R ） ，求： (1)函数()f x 的最小正周期; (2)函数()f x 的单调区间; (3)函数()f x 图象的对称轴和对称中心．
专题五《三角恒等变换》综合检测 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. sin105cos105的值为 （ ） Ａ． 14 Ｂ．－ 14 2. 函数2 1()cos 2 f x x =- 的周期为 （ ） Ａ． 4π Ｂ．2 π Ｃ．2π Ｄ．π 3. 已知2tan()5αβ+= ，1 tan()44 πβ-=，则tan()4πα+等于 （ ） Ａ． 16 Ｂ．1322 Ｃ．322 Ｄ．13 18 4. 化简1cos 2tan cot 22 α α α +-，其结果是 （ ） Ａ．1 sin 2 α- Ｂ．1sin 22 α Ｃ．2sin α- Ｄ．2sin 2α 5. （ ） A.2sin 44cos 4 B.2sin 44cos 4 C.2sin 4 D.4cos 42sin 4----- 6. sin 12 12 π π 的值为 ( ) .0 ..2A B C 7. 已知α为第三象限角，24 sin 25α=- ，则tan 2 α= （ ） 4A. 3 4B.3 - 3C.4 3D.4 - 8. 若()()11 sin ,sin 23αβαβ+= -=，则 tan tan αβ 为 （ ） A.5 B.1- C.6 1 D.6 9. 已知锐角αβ、满足sin αβ== αβ+等于 （ ） 3A.4 π 3B.44ππ或 C.4π ()3D.24 k k ππ+∈Z 10. 下列函数f (x )与g (x )中，不能表示同一函数的是 （ ） Ａ．()sin 2f x x = ()2s i n c g x x x = Ｂ．()cos 2f x x = 22()cos sin g x x x =- Ｃ．2()2cos 1f x x =- 2()12s i n g x x =- Ｄ．()tan 2f x x = 22tan ()1tan x g x x =-
2 2 2 - 《三角恒等变换》单元练习题 一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） 1．已知 x ∈(- 2 ， cos x = 4 ，则tan 2x = （ ） 5 A. 7 24 B. - 7 24 C. 24 7 D． - 24 7 2. 已知 x 为第三象限角，化简 = （ ） A. 2 sin x B. - sin x C. cos x D. - cos x 3. 在△A BC 中， cos A c os B > sin A sin B ，则△ABC 为（ ） A. 锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ． 无法判定 4． 设 a = sin140 + cos140 ， b = sin160 + cos160 ， c = 6 ， 则 a , b , c 大小关 系（ 2 ） A． a < b < c B． b < a < c C． c < b < a D． a < c < b 5．函数 y = 2 s in(2x -) c os[2(x +)] 是（ ） A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 4 4 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶 函数 2 6. 已知cos 2= 2 2 ，则sin 4+ cos 4的值为（ ） 3 A. 13 18 B. 11 18 C. 7 9 D. -1 7. 已知是第三象限的角,若sin 4+ c os 4= 5 ,则sin 2等于( ) 9 A. B. - 3 3 2 2 C. D. 3 3 8． (1+ tan 210 )(1+ tan 220 )(1+ tan 230 )(1+ tan 240 ) 的值是( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 9．求值sin 2 - cos 2 =（ ） 12 A ．1 12 B. 1 2 C. - 1 2 D. - 3 2 1 - cos 2x 2 2 2 2 , 0)
、选择题 三角恒等变换单元测试题（含答案）（本大题共12个小题，每小题5分，共60 分) 1、cos 24 cos36 cos66 cos54的值为（ 2. cos sin 12 13 ， 是第三象限 角， 则cos( 33 65 63 65 56 65 16 65 3. tan 20 tan 40 、.3ta n20 tan 40的值为（ D .3 4.已知tan 3,tan 则tan 的值为（ 5. 都是锐 角， sin 33 13 16 cos 56 sin 的值是（ 63 65 6.,x (-,)且cos —x则cos2x的值是 4 445 72424 A、B、—c、 252525 7.函数y?4 sin x 4 cos x的值域是（) A 0,1 1, 1 1 3 B C-,- C 、 A 、 B 、 656565 2 2 7 25 已知等腰三角形顶角的余弦值等于4,则这个三角形底角的正弦值为（ 5 8.
J10 J10 3J10 3J10 AB C D 10 10 10 10 9.要得到函数y 2sin 2x的图像，只需将y , 3sin 2x cos2x的图像（） A、向右平移一个单位 B、向右平移一个单位C向左平移—个单位D向左平移—个单位 612612 10.函数y.x sin」3 cos—的图像的一条对称轴方程是( ) 22 A 、 115 - C 、x 5 x -- B、x D、x —3333 11.已知1cosx sin x 2，则tanx的值为( ) 1cosx sin x A 、4 B 433 、 - C 、一 D 、3344 12.若0,—0,且ta n1tan1,则2 () 427 A 、 5273 B、 C 、- D、 63124 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分?请把答案填在题中的横线上） 13??在ABC中，已知tanA ,tanB是方程3x27x 2 0的两个实根，则tanC ________ 3sin 2x 2cos 2x 砧 14. 已知tanx 2，贝U 的值为 ______________________ cos2x 3sin 2x 15. 已知直线IJ/12, A是"J之间的一定点，并且A点到「J的距离分别为h1,h2 , B是直线I?上一 动点，作AC AB，且使AC与直线|1交于点C,则ABC面积的最小值为__________________ 。 16.关于函数f x cos2x 2 3sin xcosx，下列命题： ①若存在x1, x2有x! x2时，f N f x2成立；②f X在区间，上是单调递增； 6 3 ③函数f x的图像关于点一,0成中心对称图像； 12 5 ④将函数f x的图像向左平移个单位后将与y 2sin 2x的图像重合. 12
必修4三角函数三角恒等变换综合练习 时间：2小时 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是最符合题目要求的.) 1. )4,3(-P 为α终边上一点，则sin a =（ ） A 、53 B 、54- C 、43 D 、3 4- 2. 下列函数中，以π为周期且在区间(0,)2π 上为增函数的函数是（ ）. A.sin 2 x y = B.sin y x = C.tan y x =- D.cos 2y x =- 3. 已知cos 2θ=则44sin cos θθ+的值为( ) A. 1813 B.1811 C.9 7 D.1- 4. 函数 x x y 2cos 2sin =的值域是（ ） A 、?? ? ???-21,21 B 、 []2,2- C 、[]1,1- D 、?? ? ? ??-41,41 5. 为了得到函数3sin(23y x π =-的图象，只需要把函数x y 2sin 3=的图象上所有的点( ) A.向右平移3π B.向右平移6 π C.向左平移3 π D.向左平移6 π 6. 函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是( ) A. 2( ,)32π- B.5 (,62 π C. 2(32π- D.(,3π 7. 在△ABC 中，若3a = 2b sin A ，则∠B 为( ) A. 3π B.6 π C. 6π或6 π 5 D. 3π或3 π 2 8. 已知函数sin()y A x B ωφ=++(0,0,||2 A ωφπ >>< )的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（ ）. A.3,2A T ==π B.2,1=-=ωB
必修4第三章三角恒等变换单元教学设计 案例 3.1.1两角和与差的余弦 （一）教学目标 知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识， 进而获取知识的能力． 情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质． （二）教学重点，难点 本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明． 、 （三）学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 （四）教学过程
思考并讨论：（投影） 1） 问题解决的思路与方法 2） 体现了α与β的任意性吗 3）探究 cos()的公式 — 由学生回答上述问题，教师点评：结论如下 1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利 之处.。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位 圆简化了计算。 2）α与β有任意性，有Z k k OQ OP ∈+±=-,2,πβα 说一该公式具有一般性。 3）把公式C α-β中的β换成-β，则有 板书： cos ［α-（-β）］=cos α·cos （-β）＋sin α·sin （-β） ＝cos α·cos β-sin α·sin β， /
案例３.1(２) （一）教学目标 １．知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值． ２．# ３．能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力． ４．情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质． （二）教学重点，难点 重点是公式的结构特点，会用公式求值． 难点是公式的逆向和变形运用． （三）教学方法 教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中． （四）教学过程 `