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4-4 初等矩阵与初等变换

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矩阵的初等变换与初等矩阵

矩阵的初等变换与初等矩阵

§2.2 矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换定义2.1 下列三种变换称为矩阵的初等列变换： （1）交换矩阵的第,i j 列，用i j c c ↔记之； （2）用非零数k 乘矩阵的第i 列，用i kc 记之；（3）把矩阵的第i 列的k 倍加到第j 列，用j i c kc +记之。

矩阵的初等行变换与列变换，统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵A 经过有限次初等(行，列)变换，化为矩阵B ，就称矩阵A 与B (行，列)等价，记作~A B 。

矩阵的等价具有以下性质： （1）反身性 ~A A ；（2）对称性 如果~A B ，则~B A ；（3）传递性 如果~A B ，~B C ，则~A C 。

利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化为行最简形，从而得出方程组的解。

可见，讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵，在理论和实际应用上都是必要而有价值的。

对矩阵的行最简形再施行初等列变换，可得到一种结构最为简单的形式。

以§A 为例，矩阵A 的行最简形为11610039210103910001300000⎛⎫⎪⎪⎪-⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭，再经初等列变换344151425253116211,,,,,39393c c c c c c c c c c c c ↔---++化为10000010000010000000⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭F 。

称矩阵F 为矩阵A 的等价标准形。

定理 2.1 矩阵()ij m n a ⨯=A 经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形：()()()()rr n r m r r m r n r ⨯--⨯-⨯-⎛⎫=⎪⎝⎭I O F O O ，其中下方及右边的零行，零列可能空缺。

由行列式的性质可知，行列式不为零的方阵，其等价矩阵的行列式也不为零。

由此可得以下结论：可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵；可逆矩阵的行最简形就是等价标准形，且一定是单位矩阵。

2．初等矩阵定义2.2 由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵。

初等行变换和初等矩阵的关系

初等行变换和初等矩阵的关系

初等行变换和初等矩阵的关系初等行变换是矩阵运算中的一种重要操作，而初等矩阵是初等行变换的矩阵表示形式。

初等行变换和初等矩阵之间存在着密切的关系，它们是线性代数中不可或缺的概念。

初等行变换是指对矩阵的行进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行乘以一个非零常数后加到另一行上。

这些操作可以改变矩阵的形式，但不会改变它的行空间和列空间。

初等行变换的目的是简化矩阵的计算和处理，使得矩阵的求解更加方便。

而初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵。

初等矩阵的定义是一个主对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。

初等矩阵是一种特殊的矩阵，它具有很多重要的性质和应用。

初等行变换和初等矩阵之间的关系体现在以下几个方面：1. 初等矩阵可以表示初等行变换：对于给定的矩阵A，经过一次初等行变换可以得到一个新矩阵B，那么存在一个与初等行变换对应的初等矩阵P，使得B=PA。

这意味着对矩阵进行初等行变换等价于左乘一个初等矩阵。

2. 初等矩阵的乘积仍然是初等矩阵：对于两个初等矩阵P和Q，它们的乘积PQ仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵具有特殊的形式，满足乘法的封闭性。

3. 初等矩阵是可逆的：初等矩阵是方阵，且行列式不为零，因此是可逆的。

对于每一个初等矩阵P，存在一个逆矩阵P^-1，使得PP^-1=P^-1P=I，其中I是单位矩阵。

4. 初等矩阵的逆仍然是一个初等矩阵：对于一个初等矩阵P，它的逆矩阵P^-1仍然是一个初等矩阵。

这是因为初等矩阵的定义决定了它的逆矩阵的形式。

初等行变换和初等矩阵在线性代数中有着重要的应用。

它们可以用于求解线性方程组、求解矩阵的秩、求矩阵的逆等问题。

通过初等行变换和初等矩阵，可以将一个复杂的矩阵化简为一个更简单的形式，从而简化了问题的求解过程。

初等行变换和初等矩阵是线性代数中的重要概念，它们之间存在着紧密的联系。

初等行变换通过对矩阵的行进行一系列操作，而初等矩阵则是初等行变换的矩阵表示形式。

初等变换与初等矩阵

初等变换与初等矩阵

2.3初等变换与初等矩阵授课题目 2.3初等变换与初等矩阵授课时数：4课时教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵教学过程：用初等变换化简矩阵A为B,通过B的性质来探讨A的性质，这是研究矩阵的重要手段。

为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。

一.初等变换与初等矩阵1.初等变换（1）定义定义1矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置；2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，k为任意数。

矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

（2）记法分别用[i,j],[i（k）],[i • j（k）]表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换,写在箭头下面表示列变换。

或者行变换用R.. R j,kR j,R j ■ kR j，列变换用C- C j,kC i,C i kC j例110-12if T10-12100 2A =2312033-203 3 -2-121丿J-121丿-1 3 1丿2.初等矩阵（1 ）初等矩阵的定义定义2由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵(110 1 :11 : 1 0 1i 行二 Di（k ）i 行= T j (k) j 行1 k+ .a1j 列(1i 行 = T j (k) j 行 bR j 、D j (k)、T ij (k)分别叫做换法阵、倍法阵、消法阵。

* T j (k)是从行的角度来定义，进行列消法变换时，要转化为行来表示。

二. 初等变换与初等矩阵的关系1、 问题能否用矩阵的乘积的等式把初等变换的过程表示出来？ 如果能够，这对研究矩阵的关系是有很大帮助的。

矩阵的初等变换和初等矩阵

矩阵的初等变换和初等矩阵

23xxx111
x2 3x2 6x2
2x3 x3 9x3
x4 x4 7 x4
4 2 9
增广矩阵的比较
B
2 1 4 3
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
B2
1 2 2 3
1 1 3 6
2 1
1 9
1 1 1 7
24 92
显然 把B的第3行乘以(1/2)即得B2
即 方程③两端乘以(1/2) B的第3行乘以(1/2)
E1ij(k)Eij(-k)
Henan Agricultural University
四、初等矩阵与初等变换的关系
设A是一个mn矩阵 对A施行一次初等行变换 相当于在 A的左边乘以相应的m阶初等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵
3 0 1
例如
设
A 10
1 1
4 4 9
①②
①②
x1 x2 2x3 x4 4
423xxx111
x2 6x2 6x2
x3 2x3 9x3
x4 2x4 7 x4
2 4 9
增广矩阵的比较
B
21 43
1 1
6 6
1 2
2 9
1 1 2 7
42 94
1 1 2 1 4
B1
2 4 3
1 6
6
1 2 9
1 2
7
2 94
[i,j]
以数k乘第i行加到第j行上 记作 [i(k)j]
Henan Agricultural University
三、初等矩阵
例如，对于3阶单位矩阵E

初等变换与初等矩阵

初等变换与初等矩阵
上面的“和” 字换成分块线），左乘初等矩阵（即进行初等行变换），最后求
⎡ A⎤ 出 A-1[见 P.68 例 2 的运算（有小错）]；也可把 A 和 I 做成列分块矩阵 ⎢⎢L⎥⎥ ，右
⎢⎣ I ⎥⎦ 乘初等矩阵（即进行初等列变换），最后求出 A-1（结果相同）．
作业(P.71)：1(1) ； 2(2) ； * 6(1).
和
⎢⎢⎢⎡−116
⎢2
⎢⎢⎣−
1 6
− 13 6 3
2 −1
6
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎥
1⎥
3 ⎥⎦
即
A−1 = ⎢⎢⎢⎡−116
− 13 6 3
4⎤
3
⎥ ⎥
−1⎥ ．
⎢2 2
⎥
⎢⎢⎣−
1 6
−1 6
1⎥ 3 ⎥⎦
四.分块矩阵的初等变换（简介）
仍以上面求 A 的逆矩阵 A-1 为例，可把 A 和 I 做成行分块矩阵 [A M I ]（把
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
1⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦ ⎢⎣ Am ⎥⎦
2.[ 关于矩阵的等价标准形 ] 表述①任意矩阵 Am×n 都有自己的等价标准形
⎡ Ir ⎢⎣0 q ×r
0r × p 0q×p
⎤ ⎥ ⎦
，其中
0
≤
r
≤
min(m,
n)
；表述②对任意矩阵
Am×n
都存在有限个
m
阶
的初等矩阵 P1 、P2 、… 、P s 和 n 阶的初等矩阵 Q1 、Q 2 、… 、Q t 、、、，使得
⎡2 3 1⎤ 以 A = ⎢⎢0 1 3⎥⎥ 为例[P.68 例 2]，对 A 和 I 进行同样的初等行变换：

初等矩阵及初等变换

初等矩阵及初等变换

初等矩阵及初等变换矩阵的初等变换⼜分为矩阵的初等⾏变换和矩阵的初等列变换。

1）初等⾏变换：所谓数域P上矩阵的初等⾏变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i⾏，即为E i(k)，那它的逆矩阵⾃然就是E i(1 k)。

b. 把矩阵第i⾏的k倍加到第j⾏，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)，要想把第j⾏变回去，⾃然得减掉第i⾏的k倍，即E ij(−k)。

c. 互换矩阵中第i⾏和第j⾏，记为E ij，逆矩阵为E ij，这是很显然的，就是再交换⼀次就变回去了。

2）初等列变换：所谓数域P上矩阵的初等列变换是指下列 3 种变换：a. 以P中⼀个⾮零的数k乘矩阵的第i列，记为E i(k)。

b. 把矩阵的第i列的k倍加到第j列，这⾥k是P中的任意⼀个数，记为E ij(k)。

c. 互换矩阵中第i列和第j列，记为E ij。

初等矩阵：由单位矩阵E经过⼀次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

矩阵经过初等变换后不会改变它原来的秩，因为初等矩阵是满秩的⽅阵，所以它是可逆的，如PA=B于是有r(B)≤r(A)因为P可逆，所以有A=P−1B于是r(A)≤r(B)所以r(A)=r(B)注：如果不了解这个过程，可以先去阅读。

左⾏右列定理：初等矩阵P左乘或(右乘) A得到PA(AP)，就是对A做了⼀次与P相同的初等⾏(列)变换。

即要使矩阵A做出和初等阵相同的列变换，则A右乘P。

要使矩阵A做出和初等阵相同的⾏变换，则A左乘P。

为什么是这样的呢？可以阅读。

其实就是从向量⾓度来理解矩阵乘法，对于矩阵相乘AB=C，我们可以这样理解：1）矩阵C的每⼀个⾏向量是矩阵B的⾏向量的线性组合，组合的系数是矩阵A的每⼀⾏。

2）矩阵C的每⼀个列向量是矩阵A的列向量的线性组合，组合的系数是矩阵B的每⼀列。

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线性代数：矩阵的初等变换和初等矩阵


a12 3a22
a13 3a23
a11 a21
a12 a22
a13 a23
2 0 0
0 1 0
0 0 1
2a11 2a12
a12 a22
a13 a23
10
a11 a21
a12 a22
a13 a23
c1 2
2a11 2a12
a13 a23
a12 a22
3、以数k 0乘某行(列)加到另一行(列)上去
矩阵的初等变换和 初等矩阵
1
一、矩阵的初等变换初等矩阵
定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素;
（第 i 行乘 k,记作 ri k）
3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上
相当于对矩阵 A 施行第一种初等列变换： 把 A 的第 i 列与第 j 列对调(ci c j ).
7
2、以数 k 0 乘某行或某列
以数k 0乘单位矩阵的第i行(ri k)，得初等 矩阵E (i (k )).
1
1
E(i(k))
k
第
i
行
1
1
8
以 Em (i(k)) 左乘矩阵A，
25
三、初等变换法求逆矩阵
当A可逆时，由推论4，A P1P2 Pl，有 Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11P11 A E
Pl1Pl11P11 A Pl1Pl11P11E E A1
即对 n 2n 矩阵 ( A E) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 E 就变成 A1.

矩阵的初等变换与初等矩阵






Er O
O O

0
00
0
的矩阵等价，称之为 A 的标准形.其中r是行阶梯形矩
阵非零行的行数.
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
二、初等矩阵
定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的
矩阵，称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等矩阵:
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
行阶梯形矩
阵的特点: 阶梯 线下方的元素全 为零; 每个台阶 只有一行, 台阶 数即是非零行的 行数, 阶梯线的 竖线(每段竖线 的长度为一行) 后面的第一个元 素为非零元,也 就是非零行的第 一个非零元.
例如
1 2 0 0

0
0
1
0

0 0 0 1
1 2 1 0

E(i, j)A: 对换 A的 i, j 两行； AE(i, j): 对换 A的 i, j 两列． E(i(k))A ：用非零数 k乘 A 的第 i 行； AE(i(k)) ：用非零数 k 乘 A 的第 i 列．
E(i, j(k))A ：A 的第 j 行乘以 k加到第 i 行 ;
第二章 矩阵
§1 矩阵的概念与运算 §2 可逆矩阵与逆矩阵 §3 矩阵的初等变换与初等矩阵 §4 矩阵的秩与矩阵的分块
习题课
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换 二、初等矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
§3 矩阵的初等变换与初等矩阵
一、矩阵的初等变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：
1) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）； k ri，k ci 2) 把矩阵的某行(列)的k倍加到另一行() 互换矩阵中两行(列)的位置． ri rj，ci c j 矩阵A经初等行(列)变换变成矩阵B，一般地A≠B．

矩阵的初等变换与初等矩阵


定义3 ：如果行阶梯型矩阵满足下列两个 条件，则称其为行最简阶梯型矩阵
非零行的首非零元都是1 b 首非零元所在列的其余元素都 是零
a
例
1 0 0 r r 1 1 3 A 0 2 0 0 1 0 3 0

0 0 1 r2 1 0 0 2 2 0 0 1 0 1 3 r3 0 0 1 0 3
0 3 2 2 A与B之间用记号 或 0 0 0 0 连接。
2 3
定义2：满足下列条件的矩阵称为行阶梯型矩阵
a 矩阵的零行（元素全为零的行）在非 零行（元素不全为零的行）的下方 b 矩阵的每一个非零行的非零首元都出 现在上一行非零首元的右边 1 2 1 3 0 3 2 0 例 0 6 4 8
1 3 1 4 0 6 4 4 0 0 0 0
r( A) 2
1 1 2.B 3 1 1 1 ( )r 2 0 0 0
2
2 3 0 1 1 1 2 0 2 3 1 1 7 10 0 3
2 1 0 0 3 1 3 0
例:求矩阵的秩:
2 2 3 8 1. A 2 12 2 12 1 3 1 4
1 4 1 3 A 2 12 2 12 r1 r3 2 3 8 2
3 r2 r3 2
1 4 1 3 ( 2 ) r1 r2 0 6 4 4 ( 2 ) r1 r3 0 9 6 6
矩阵的初等变换
矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.
以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初 等变换：
(i ) 对换矩阵中第 , j两行(列)的位置，记作 i rij (cij )或ri rj (ci c j )

初等变换与初等矩阵

多媒体教学课件
华南农业大学理学院应用数学系
1.2 初等变换与初等矩阵
➢1.2.1 初等变换 ➢1.2.2 初等矩阵及其性质 ➢1.2.3 初等变换与逆矩阵
1.2.1 初等变换
a11x1a12x2 a1nxn b1
( 1 )
a21x1a22x2 a2nxn b2 ........................................
am1x1am2x2 amnxn bm
m个方程 ，
n个未知数
对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换.
这三种 变换都 是可逆
的
设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组,
R1 ij
Rij
(Ri())1Ri(1)
(R ij())1R ij()
定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.
性质1.5 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作
相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该 矩阵作相应的初等列变换.
例
1 0 01 2 3 1 2 3
R12(1)A1
k ri
第i行变
rj kri 第j行变
列变换 Column
交换i, j两列 第 i 列乘数K
第 i 列乘数K后加 到第 j 列上去
ci cj k ci
第i、j列变 第i列变
cj kci 第j列变
例 利用矩阵的行初等变换解方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
的对应元素上去。
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A 后, 右边E对应部分即为 A (或对 施行初等列 E 变换, 将A划为单位阵 E后, E对应部分即为 A−1 .
−1
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j + kci )， 1 O 1 ← 第 i行 Ri j ( k ) = C ji (k ) = M O k L 1 ← 第 j行 O 1
的方法， 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求 矩阵A−1 B .
Q
即
A ( A B) = ( E A B)
−1
−1
( A B)
初等行变换
E A −1 B
例 例3
求矩阵 X , 使 AX = B，其中 2 3 2 5 2 1 , B = 3 1 . 4 3 4 3 −1 可逆， 若 A 可逆，则 X = A B . 1 2 3 2 5 2 3 ( A B ) = 2 2 1 3 1 ∴ X = − 2 − 3 . 3 4 3 4 3 1 3 1 A = 2 3 解
类似有初等列变换(所用记号是把“ 换成 类似有初等列变换 所用记号是把“r”换成 所用记号是把 “c”)． ． 初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 统称为初等变换 初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
（第 i 行乘 k , 记作 ri × k）
m × n 矩阵 通过有限次初等行变换 矩阵,通过有限次初等行变换
初等矩阵都是可逆矩阵， 定理 初等矩阵都是可逆矩阵，且其逆阵也为 同型的初等矩阵，且有： 同型的( k ) = Ri ( ), Rij 1 ( k ) = Rij ( − k ) k 1 −1 −1 −1 Cij = Cij , Ci ( k ) = Ci ( ), Cij ( k ) = Cij ( − k ) k
对调两行或两列； 1. 对调两行或两列； 乘某行或某列； 2. 以数 k ≠ 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一 行（列）上去． 乘某行（ 上去．
1、 对调两行或两列 两行， 对调 E 中第 i , j 两行，即 ( ri ↔ rj )，得初等方阵
1 O 1 0 L 1 ←第i 行 1 Rij = C ij = M O M 1 1 L 0 ←第 j 行 1 O 1
1 1 0 1 0 0 0 0 1 P = 0 1 0 , P = 1 1 0 , P = 0 1 0 1 2 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0
则 B=(
). 案 答 : (4) .
(1) P2 AP3 (2) AP P3 (3) AP3P (4) AP2P3 1 1
可以把它化为行阶梯形. 可以把它化为行阶梯形 行阶梯形的特点 行阶梯形的特点: 特点 (1) 若有零行 则零行全部在矩阵的下方 若有零行,则零行全部在矩阵的下方 则零行全部在矩阵的下方; (2) 位于每一个非零行的首个非零元下 方以及它们左边的所有的元素全为零. 方以及它们左边的所有的元素全为零
如 矩 A经 限 初 变 变 矩 B 果 阵 有 次 等 换 成 阵 ， 就 矩 A与B 等 ， 称 阵 价
(1)r ↔ r (c ↔ c ); i j i j 1.初等行 初等行( 1.初等行(列)变换 (2)ri × k (ci × k ); (3)r + kr (c + kc ). i j i j
初等变换的逆变换仍为初等变换, 初等变换的逆变换仍为初等变换 且变换类型相同． 且变换类型相同． 2. A 初等变换
小结
B ⇒ A ~ B.
3.矩阵等价具有的性质 3.矩阵等价具有的性质
(1)反身性; (2) 对称性; (3)传递性 .
４. 单位矩阵
一次初等变换
初等矩阵. 初等矩阵.
利用初等变换求逆阵的步骤是: ５. 利用初等变换求逆阵的步骤是 A (1) 构造矩阵 ( AM E )或 ; E (2) 对( AM E )施行初等行变换 , 将A化为单位矩阵 E
2、以数 k ≠ 0 乘某行或某列
以数k ≠ 0乘单位矩阵的第 i行( ri × k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 O 1 ←第i Ri ( k ) = C i (k ) = k 1 O 1
行
3、以数k ≠ 0乘某行(列)加到另一行 (列)上去
A 与 B 等价：A 等价： 初等变换 B.
矩阵等价具有以下性质:
(1) 反身性 A≅ A ; (2) 对称性 A ≅ B ⇒ B ≅ A; ≅ (3) 传递性 A ≅ B 且B ≅ C ⇒ A ≅ C .
二、初等矩阵
初等变换的矩阵操作形式 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
ci ↔ C j (4)若Am×n Bm×n , 则 B = ACij →
kci (5)若Am×n Bm×n , 则 B = ACi (k ) → kci + c j (6)若Am×n Bm×n , 则 B = ACij (k ) →
行 左， 列 右
作一次行（ 初等变换， 对矩阵A作一次行（列）初等变换，相当于在A 的左（ 边乘上相应的初等矩阵. 的左（右）边乘上相应的初等矩阵.
r1 + r2
r3 − r2
1 0 −2 −1 1 0 r − 2r 3 1 0 −2 −5 −2 1 0 0 0 −1 −1 −1 1 r2 − 5r3 1 0 0 3 − 2 r ÷ − 2） 2 （ − 2 0 3 6 − 5 （ r3 ÷ − 1） 0 −1 −1 −1 1 0 0 1
r1 − 2r3
r2 − 5r3
3 1 0 10 1 − 2 − 2 3 r2 ÷ − 2） （ 3 3 5 5 ∴ A−0 = 1 − 0 − 3 − 3 . − 1 2 2 2 r3 ÷ − 1） （ 2 1 0 0 11 1 − 1 − 1
为可逆方阵， 定理 设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵
P1 , P2 ,L , Pl , 使 A = P1 P2 L Pl .
初等变换求逆法： 初等变换求逆法：
由 A = P1 P2 L Pl，有
Pl −1 Pl −1 L P1−1 A = E , 及 −1 ∴ Pl −1 Pl −1 L P1−1 E = A−1 , −1 Pl −1 Pl −1 L P1−1 ( A E ) −1
定理的应用： 定理的应用： 1.若矩阵 是 经有限次 初等变换得到的， 经有限次行 1.若矩阵B是A经有限次行初等变换得到的，则存 若矩阵 有限个初等矩阵E 在 有限个初等矩阵 1, …, Ek , 使得 B = Ek Ek−1LE1A 2.若矩阵 是 经有限次 初等变换得到的， 经有限次列 2.若矩阵B是A经有限次列初等变换得到的，则存 若矩阵 有限个初等矩阵E 在 有限个初等矩阵 1, …, Ek , 使得 B = AE1E2LEk 3.若矩阵 是A经有限次初等变换得 3.若矩阵B是 经有限次初等变换得 若矩阵 到的，则存在有限个初等矩阵P 到的，则存在有限个初等矩阵 1, …, Pk , Q1, …, Qt使得
−1 ij −1 i
初等变换与初等方阵的关系) 定理 (初等变换与初等方阵的关系 初等变换与初等方阵的关系
i j (3)若Am×n Bm×n , 则 B = Rij (k ) A →
ri ↔ rj (1)若Am×n Bm×n , 则 B = Rij A → kri (2)若Am×n → Bm×n , 则 B = Ri (k ) A kr + r
2 3 2 1 , 求 A −1 . 4 3 2 3 1 0 0 2 1 0 1 0 4 3 0 0 1
1 2 3 1 0 0 r + r r2 − 2r1 1 2 0 − 2 − 5 − 2 1 0 r3 − 3r1 0 − 2 − 6 − 3 0 1 r3 − r2
4-4 初等矩阵与初等变换
一、矩阵的初等变换
回顾 矩阵的初等行变换: 矩阵的初等行变换
(1) 对调两行（对调 i , j 两行 , 记作 ri ↔ r j）； 对调两行（
(2 ) 以数 k ≠ 0 乘以某一行的所有元素 ;
(3 ) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行
对应的元素上去（ 对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 . 记作 ri + kr j）
定理 初等变换 不改变退化性。 不改变退化性。
非零矩阵A,必可经过有限次 定理 对任一 m × n 非零矩阵 必可经过有限次 I r 0 初等变换之后都可化为标准形
0 0
也就是说, 对任一m × n矩阵必可找到有限个初等 矩阵R1 , R2 ,L , Rl 及C1 , C2 ,L , Cs 使 I r 0 R1 R2 L Rl AC1C2 L Cs = 0 0 其中r是随矩阵A而定, 并约定当r = 0使I 0为零矩阵.
B = P LP AQ1 L t −1Qt Q k 1
例1 设矩阵 a11 a12 a13 a13 a12 a11 + a12 A = a21 a22 a23 , B = a23 a22 a21 + a22 a a a32 a33 a32 a31 + a32 31 33
= (E A − 1 )
= (Pl −1 Pl −1 L P1−1 A Pl −1 Pl −1 L P1−1 E ) −1 −1