数学建模论文
论文题目：中国人口的预测模型
姓名1：08101127学号：数学与应用数学专业：张强姓名1：08101215学号：数学与应用数学专业：孙铎姓名1：08101125学号：数学与应用数学专业：张银萍
2010 年5月9日
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目录
一摘要 (3)
二问题的提出 (3)
三问题分析 (3)
四模型假设 (4)
五符号说明 (4)
六模型建立 (5)
模型一 (5)
模型建立 (5)
模型求解 (5)
模型二 (7)
模型建立 (7)
模型求解 (8)
七模型检验 (9)
九参考文献 (10)
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10)
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11)
【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要
日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MA TLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。
关键词：人口模型中国人口数量
二问题的提出
人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。
三问题分析
通过对数据的观察，运用MA TLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
较符合，但是2005到2008期间误差越来越大，通过对指数的性质可以了解到，当自变量无穷大时，函数趋于去穷大，这与事实相悖，因为现实资源是有限的，当人口到达某一数值后，由于各种资源、环境因素的限制，人口数量将达到某一稳定值，所以，不妨假设最大人口数为，当人口数达到最大的时候，增长率为0，建立第二个数学模型。
四模型假设
1 假设：表中所给出的数据是中国人口的真实值。
2 假设：一些大型自然灾害不考虑在内，如战争，地震等。
3假设：中国实行的生育模式一直不变。
4假设：医疗水平五太大变化对人口数量。
五符号说明
r——人口增长率
t——时间
——1978年人口数量
x(t)——时刻t的人口数
r(x)——增长率的函数
——人口最大容量
六 模型建立
模型一： 模型建立：
图表是从1978年到2008年间的人口数：
记时刻t=0是人口数为0x ，时刻t 的人口为()x t ，由于量大，()x t 可视为连续、可微函数。t 到+ t t 时间段内人口的增量为
()()
()+-= x t t x t rx t t
于是()x t 满足微分方程0(0)?=??
?=?
dx
rx
dt x x
（1）
模型求解：
解微分方程（1），得
0()=rt
x t x e
()1(
1)-=
+-m rt
m x x t x e
x
由上述模型微分方程的解，通过对上表进行数据拟合，得到参数r ： 程序：
y=[9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851
10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517
11.9850 12.1121 12.2359 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627
12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 13.1448 13.2129 13.2802]';
t=[0:1:30]';
b=ones(31,1);
z=log(y)-b*log(9.6259);
r=t\z
结果为：
r =0.0122
将r=0.0122代到上述模型中，得到指数增长模型，方程为：
求出的1978到2008年的人口数为：
画出两表的数据图像，得到：
从图表可以看出，1978到2004年预测的人口数和实际人口数吻合，但从2005到2008这四年误差较大。原因在于，指数模型当t
时，
，即人口数无穷增长，但自然环境下，因为资源，环境条
件等人口最终将稳定在某一特定的值，无论t 再变，y 值都不会再改变。
模型二： 模型建立
当=
m x x 时，增长率应为
0，即()
=m r x ，于是=
m
r s x ，带入()=-r x r sx ，
得()(1=-
）m
x r x r x （3）
将（3）式带入（1）得
模型：0(1)(0)?=-???=?
m dx
x r x dt x x x
（4）
模型求解：
解方程（4），得0
()1(
1)-=
+-m rt
m x x t x e
x （5）
通过求的模型，对表中1978到2008年的数据r
和进行数据拟合：
function f=fun2(k,t)
f=k(1)./(1+(k(1)/9.6259-1)*exp(-k(2)*t)); t=0:1:30;
x=[9.6259 9.7542 9.8705 10.0072 10.1654 10.3008 10.4357 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 13.1448 13.2129 13.2802 ]; k0=[0.05 0.05];
k=lsqcurvefit('fun2',k0,t,x) f=fun2(k,t) 运行结果： k =
15.5731 0.0441 f =
Columns 1 through 8
9.6259 9.7870 9.9463 10.1036 10.2589 10.4120
10.5629 10.7115
Columns 9 through 16
10.8575 11.0011 11.1421 11.2804 11.4161 11.5490
11.6790 11.8063
Columns 17 through 24
11.9306 12.0521 12.1707 12.2864 12.3992 12.5091
12.6161 12.7202
Columns 25 through 31
12.8214 12.9198 13.0154 13.1082 13.1982 13.2856
13.3702
由此得到阻滞增长模型方程式：
其中t为时间，y为人口数。
七模型检验
将得到的数据与实际数据比对，画出图像可以看出，预测的数据与实际数据误差较小，较吻合，比对结果如图所示：
由此我们可以预测出2009年到2018年的中国人口数据，
f =
Columns 1 through 9
13.4546 13.5341 13.6110 13.6853 13.7573 13.8268 13.8941 13.9590 14.0217
Column 10
14.0822
九参考文献
【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1
【2】冉启康张振宇张立柱常用数学软件教程人民邮电出版社
2008.10
【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1
【4】郑汉鼎，刁在筠，数学规划[M]，山东：山东教育出版社，1997.12 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社2002.12
【6】戴树桂环境化学（第二版）高等教育出版社 2006.10