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??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含
内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆
圆和圆的基本性质
【知识回顾】
1．圆的定义（两种）
2．有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3．“三点定圆”定理 4．垂径定理及其推论 5．“等对等”定理及其推论
【考点分析】 1、 确定条件：
圆心确定位置；半径确定大小。 2、 圆的对称性：
圆是轴对称图形也是中心对称图形。 对称轴是直径，对称中心是圆心。 3、 垂径定理： 4、 点与圆的位置关系 设圆的半径为R ，一点到圆心的距离为d ，
点在圆外R d >?；点在圆上R d =?；点在圆内R d
【典型例题】
例1 ⑴下列语句中正确的有 （ ） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
⑵如图1，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E 点，BF ⊥CD 于F 点，BF 交⊙O 于G 点，下面的结论：①EC=DF ；②AE+BF=AB ；③AE=GF ；④FG ·FB=EC ·ED ，其中正确的结论是 （ ） A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④
例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm ，拱高CD=8cm ，则桥拱的半径是__________。
⑵已知：如图3，⊙O 的半径为5，AB 所对的圆心角为120°，则弦AB 的长是（ ） A. B. C.5 D.8
例3 已知：⊙O 的半径OA=1，弦AB 、AC 的长分别是 、 ， 求∠BAC 的度数。
例4已知：F 是以O 为圆心、BC 为直径的半圆上的一点，A 是BF 的中点，AD ⊥BC 于点D ，求证：AD=BF.
【基础练习】
1、如图5，乒乓球的最大截口⊙O 的直径AB ⊥弦CD ，P 为垂足，若CD=32mm ，AP ：PB=1：4，则
AB=________.
2、平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为_______cm.
3、已知：如图6，Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC=1.
若以C为圆心，CB长为半径的圆交AB于P，则AP=________.
4、已知一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12 cm，那么这个直角三角形外接圆的半径是___________cm.
5、如图7，已知AB是⊙O的直径，D为弦AC的中点，BC=6cm，则OD=________cm.
6、如图8，在⊙O中，弦AB=CD，图中的线段、角、弦分别具有相等关系的
量有（不包括AB=CD）（）
A.6组
B.5组
C.4组
D.3组
7、圆的直径是26cm，圆中一条弦的长是24cm，则这条弦的弦心距是（）
A.5cm
B.6cm
C.10cm
D.12cm
8、如图9，在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足是C，则下列结论中错误的是（）
A.AC=CB
B.AN=BN
C.AM=BM
D.OC=CN
9、如图10，已知：在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD.
求证：△OCD为等腰三角形.
【能力创新】
10、等腰△ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm，则S△ABC为（）
A.32cm
B.128cm
C.32cm或8cm
D.32cm或128cm
11、已知：如图11，在⊙O中CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求证：CB2=CF·CE.
12、如图12，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM，垂足为N，其延长线交⊙O于C点，弦CD交AM于点E.⑴如果CD⊥AB，求证EN=NM；⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF·ED；⑶如果弦CD、AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
第二节直线和圆的位置关系
【知识回顾】
1.三种位置及判定与性质：
2.切线的性质（重点）
3.切线的判定定理（重点）。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4．切线长定理 【考点分析】
1、直线和圆的位置关系及其数量特征：
和圆的位置 的关系 点个数 点名称 名称
2、有关定理和概念 切线的判定定理： 判定方法：①②③
切线的性质定理及推论： 切线长定理：
三角形的内切圆和内心： 【典型例题】
例1、如图80303，已知AB 是⊙O 的直径，C 在AB 的延长线上，CD 切⊙O 于D,DE ⊥AB 于E,求证：∠EDB=∠CDB 。
例2、如图80304，已知AB 是⊙O 的一条直
径，过A 作圆的切线AC,连
结OC 交⊙O 于D;连结BD 并延长交AC 于E,AC=AB ①求证：CD 是ΔADE 外接圆的切线。 ②若CD 的延长线交⊙O 于F,求证：AD DC = FA
AB
③若⊙O 的直径AB=2,求tg ∠CDE 的值。 ④若AC ≠AB 结论①还成立吗？
d>R d=R d 【基础训练】 1、若⊙O 的半径为3cm ，点P 与圆心O 的距离为6cm ，则过点P 和⊙O 相切的两条切线的夹角为 度。 2、已知圆的直径为13cm ，如果直线和圆只有一个公共点，那么直线和圆心的距离为 。 3、已知PA 与⊙O 相切于A 点，PA=3,∠APO=45°,则PO 的长为 。 4、已知ΔABC 中，∠A=70°,点O 是内心，则∠BOC 的度数为 。 5、已知OC 平分∠AOB,D 是OC 上任意一点，⊙D 与OA 相切于点E 且DE=2cm,则点D 到OB 的距离为 。 6、如图80301，AE 、AD 和BC 分别切⊙O 于E 、D 、F,如果AD=20,则ΔABC 的周长为 。 7、如图80302，梯形ABCD 中，AD ∥BC,过A 、B 、D 三点的⊙O 交BC 于E ，且圆心O 在BC 上，①四边形ABED 是什麽四边形？请证明你的结论。②若∠B=60°,AB ：AD ：BC=1：1：3则有哪些结论？至少写出两个并加以证明。 【发展探究】 1、如图80305，设PMN 是⊙O 通过圆心的一条割线，①若PT 切⊙O 于点T,求证：TM 2TN 2= PM PN ②若将PT 绕点P 逆时针旋转使其与⊙O 相交于A 、B 两点，试探求AM ·BM AN ·BN 与PM PN 间的关系。 2、如果上题中的割线PMN 不通过圆心，上述结论是否仍然成立？ 【优化评价】 1、⊙O 的半径是8, ⊙O 的一条弦AB 长为83,以4为半径的同心圆与AB 的位置关系是 。 2、在Rt ΔABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C 为圆心，R 为半径新作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 。 3、在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,∠B=90°,以CD 为直径的圆切AB 于E 点，AD=3,BC=4,则⊙O 的直径为 。 4、Rt ΔABC 中，∠A=90°, ⊙O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F,圆心O 在BC 上，若AB=a,AC=b,则⊙O 的半径等于（ ）。 A 、ab B 、a+b 2 C 、ab a+b D 、a+b ab 5、如图80306，ΔABC 是⊙O 的内接三角形，DE 切圆于F 点，且DE ∥BC,那么图中与∠BFD 相等的角 的个数是（ ）。 A 、5 B 、3 C 、4 D 、2 6、如图80307，AB ⊥BC,且AB=BC,以AB 为直径作半圆O 交AC 于D,则图中阴影部分的面积是ΔABC 面积的（ ）。 A 、1倍 B 、12 倍 C 、13 倍 D 、14 倍 7、如图80308，OA 和OB 是⊙O 的半径，并且OA ⊥OB,P 是OA 上的任一点，BP 的延长线交⊙O 于点 Q,点R 在OA 的延长线上，且RP=RQ 。 ①求证：RQ 是⊙O 的切线。 ②求证：OB 2=PB ·PQ+OP 2。 ③当RA ≤OA 时，试确定∠B 的范围。 8、如图80309，点A 在⊙O 外，射线AO 与⊙O 交于F,G 两点，点H 在⊙O 上，弧FH=弧GH,点D 是弧FH 上一个动点（不运动至F ），BD 是⊙O 的直径，连结AB,交⊙O 于点C,连结CD,交AO 于点E,且OA=5,OF=1,设AC=x,AB=y 。 ①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 ②若DE=2CE,求证：AD 是⊙O 的切线。 ③当DE,DC 的长是方程x 2-ax+2=0的两根时， 求sin ∠DAB 的值。 第三节与圆有关的角 【知识回顾】 与圆有关的角：⑴圆心角定义（等对等定理） ⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系） ⑶弦切角定义（弦切角定理） 【考点分析】 圆心角定理，圆周角定理，弦切角定理，圆内接四边形定理以及相关概念，能熟练地运用这些知识进行有关证明与计算。 【典型例题】 例1、⑴已知：A、B、C、D、E、F、G、H顺次是⊙O的八等分点，则∠HDF=_______. ⑵如图1，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，EC∥AB交⊙O于E，则图中与∠BOC的一半相等的角共有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 例2、⑴下列命题正确的是（） A.相等的角是对顶角； B.相等的圆周角所对的弧相等； C.等弧所对的圆周角相等角； D.过任意三点可能确定一个圆。 ⑵如图2，经过⊙O上的点A的切线和弦BC的延长线相交于点P， 若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（） A.40° B. 100° C. 120° D. 30° ⑶如图3，AB、AC是⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，若∠ADB=35°，则∠BOC=____. 例3、⑴如图4，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B点，DC的延长线交AB于点A，∠A=20°，则∠DBE=_________. ⑵如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么∠CAB=_____度。 例4、已知，如图6，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连结AC，过点C作直线CD⊥AB于D（AD ＜DB＝，点E是DB上任意一点（点D、B除外），直线CE交⊙O于点F，连结AF与直线CD交于点G。 ⑴求证：AC2=AG·AF；⑵若点E是AD（点A除外）上任意一点，上述结论是否任然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由。 【基础练习】 1、填空题：⑴如图7，OA、OB是⊙O的两条半径，BC是⊙O的切线， 且∠AOB=84°，则∠ABC的度数为___________. ⑵如图8，C是⊙O上的一点，AB为100°，则∠AOB=_____度， ∠ACB=_______度。 ⑶圆内结四边形ABCD中，如果∠A:∠B:∠C=2：3：4，那么∠D=_____度。 ⑷如图9，△ABC中，∠C=90°，⊙O切AB于D，切BC于E，切AC于F，则∠EDF=_____。 2、选择题：⑴如图10，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，∠CBE=40°，∠AOC等于（） A.20° B. 40° C. 80° D. 100° ⑵△ABC 内接于⊙O ，∠A=30°，若BC=4cm ，则⊙O 的直径为 （ ） A.6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm ⑶如图11，AB 为半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若CD=3，AB=4，则tan ∠BPD 等于（ ） A.37 B. 34 C. 35 D. 43 ⑷如图12，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB=29°，则∠ADC= （ ） A.109° B. 119° C. 120° D. 129° 3、如图13，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AB 、BD 相交于点E 。 ⑴求证：△ABD ≌△ACD ；⑵若AB=6cm ，BC=4cm ，求AE 的长。 【能力创新】 5、 如图14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于P 。⑴已知：CD=8cm ， ∠B=30°，求⊙O 的半径；⑵如果弦AE 交CD 于F ，求证：AC 2=AF ·AE. . 第四节 与圆有关的比例线段 【知识回顾】 与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 【考点分析】 1 弦定理及推论1 线定理及推论2 、PCD均为⊙O的割线 ⊙O的切线，PAB是⊙O ,CD相交于P点⊥直径AB交于P点 线 01 02 03 04 B=PC·PD A·PB A·PB B=PC·PD 2、可深化得出的结论：PA·PB为常数。设⊙O的半径为R，对于相交弦则有PA·PB＝R2-OP2,对于切割线则有PA·PB＝OP2- R2。 3、解题方法：①直接应用相交弦定理，切割线定理及其推论；②找相似三角形，当不能直接运用定理和推论时，通常用添加辅助线的方式以证明三角形相似得证。 【典型例析】 例1、如图80406，已知ΔABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于E点，交⊙O于D点，且PE=PA,∠ABC=60°,PD=1,BD=8。求CE的长。 例2、如图80407，已知PA切⊙O于A点，PBC为割线，弦CD∥AP,AD交BC于E点，F在CE上，且ED2=EF·EC。 求证：①∠EDF=∠P ②求证：CE·EB=EF·EP ③若CE：EB=3：2,DE=6,EF=4,求PA的长。 【基础训练】 1、已知：AB ·CD 为⊙O 得两条弦，AB 与CD 交于点P 且点P 为CD 得中点，PC ＝4，则PA ·PB ＝ 。 2、已知Rt ΔABC 的两条直角边AC,BC 得长分别为3cm,4cm 。以AC 为直径作圆于斜边AB 交于点D ，则BD 得长为 。 3、已知割线PBC 与⊙O 交于点B 点C 且PB=BC 。如果OP 与⊙O 交于点A ，且OA=7,AP=2,则PC 的长为 。 4、已知PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 时过点O 得割线，PA=10cm,PB=5cm,则⊙O 的半径为 。 5、⊙O 的一弦AB=10cm ，P 是AB 上一点，PA=4cm,OP=5cm ，则⊙O 的直径为 。 6、如图80405，已知ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，过A 、B 、D 作⊙O ，EF 切⊙O 于D 点，交AC 于E 点。求证：CD 2=CE ·AC 。 【发展探究】 如图80408，正方形ABCD 的边长为2a ，H 是以BC 为直径的半圆上的一点，过H 与半圆相切的直线交AB 于点E ，交CD 于点F ，①当H 在半圆上移动时，切线EF 在AB 、CD 上的两个交点分别在AB 、CD 上移动(E 与A 不重合，F 与D 不重合)，试问四边形AEFD 的周长是否也在变化？请证明你的结论；②若∠BEF=60°，求四边形BCFE 的周长；③设四边形BCFE 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 。 当H 在什么位置时，S 1＝13 24 S 。 【优化评价】 1、已知AEB 、ADC 是⊙O 的两条割线，且AB>AE,AC>AD,A T 切⊙O 于T ，若AD=4,DE=2,AE=3,A T=6,则BC= 。 2、已知P 为圆外一点，PA 切⊙O 于A 点，PA=8，直线PCB 交圆于C 、B 且PC=4,AD ⊥BC 于D 点，∠ABC=χ,∠ACB=β,则sin χ sin β 的值为 。 3、等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比为（ ）。 A 、1：2： 3 B 、 1：3：2 C 、1：2：3 D 、1：2： 3 4、已知梯形ABCD 外切于⊙O ，AD ∥BC,∠B=60°,∠C=45°, ⊙O 的半径为10，则梯形的中位线长为（ ）。 A 、10 B 、20 3 3+10 2 C 、20 D 、20 2 5、在半径为r 的⊙O 中，一条弦AB 等于r ，则以O 为圆心，3 3r 为半径的圆与AB 的位置关系是（ ）。 A 、相离 B 、相切 C 、相交 D 、不能确定 6、如图80409，PT 为⊙O 的切线，T 为切点，PA 为割线，它与⊙O 的交点是B 、A 与直线CT 的交点是D,已知DD=2,AD=3,BD=4,求PB 的长。 7、如图80410，PA 是⊙O 的直径，PC 是⊙O 的弦，过弧AC 中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B 。若HB=6,BC=4。求⊙O 的直径。 8、如图80411，⊙O 是以AB 为直径的ΔABC 的外接圆，D 是劣弧弧BC 中点，连AD 并延长与过C 点的切线交于点P 。①求证：DP AP = BD 2 AC 2 ②当AC=6,AB=10时，求切线PC 的长。 第五节 圆和圆的位置关系 【知识回顾】 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r d=R+r R-r 外离 外切 相交 内切 内含 2.相切（交）两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 【考点分析】 1、五种位置关系及其数量特征（注意“数形结合”）。 ★记忆方法： O R-r R+r ★ ★ ★ d 2、有关定理： 连心线的性质：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆相切时，连心线过切点；当两圆外离时，连心线过内（外）公切线的交点且连心线平分两条公切线的夹角；当两圆内含时，连心线是对称轴。 公切线的性质：两圆的两条外（内）公切线的长相等；两条外（内）公切线的交点在连心线上且夹角被连心线平分。 公切线长的计算公式： l 外公切线=d 2-(R-r)2 l 内公切线=d 2-(R ＋r)2. ．两个圆是轴对称图形，两圆的连心线是它的对称轴。 3、思想方法： （1）抓住“切点”，明辨圆与圆的相切及圆与直线的相切，并充分、合理地运用有关“切”的定理。 （2）全面思考问题：如两圆无公共点，则为外离或内含；相切分“外切”和“内切”；两个圆心可在公共弦和同侧或异侧。 （3）发现和建立两圆之间的联系，注意有些线段或角具有双重身份，应灵活使用。 【典型例题】 例1、如图80501，已知⊙01和⊙02相交于A,B 。0102交⊙01于P,PA,PB 的延长线分别是交⊙02于C,D,求证：AC=BD 。 证法一：连AB 作02M ⊥AC, 02N ⊥BD 。 证法二：连AB 。 例2、如图80502，⊙01和⊙02外切于点C,外公切线AB交0102的延长线于P,∠A01P=60°, 0102=2,求两圆的半径。 证法一：连02B。 证法二：作02D⊥01A。 【基础训练】 1、若（1）直径分别为6和8,圆心距为10；（2）只有一条公切线；（3）R2+d2-r2=2Rd则两圆的位置关系分别为、和。 2、若两圆既有外公切线，又有内公切线，则两圆半径R和r及圆心距d的关系是（）。 A、d B、d=R+r C、d>R+r D、d≥R+r 3、两圆外切于A,BC是外公切线，则ΔABC为（）。 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 4、两个等圆⊙01和⊙02相交于A、B两点，且O2在⊙01上。则四边形O1AO2B是（）。 A、平行四边形 B、菱形 C、正方形 D、梯形 5、两圆外切，当两圆外切时，圆心距为20.那么两圆内切时，圆心距（）。 A、8 B、12 C、4 D、小于4 6、两园外切，其半径分别为6和2,则两条外公切线的夹角等于（）。 A、30° B、45° C、60° D、90° 7、两圆半径分别为4和2,一条公切线为4,则两圆的位置关系为（）。 A、外切 B、内切 C、外离 D、相交 8、三个同心圆的半径分别为r1,r2,r3,且r1< r2< r3。如果大圆的面积被两个小圆三等分，那么r1：r2：r3 等于（ ）。 A 、1：2：3 B 、1：2： 3 C 、1：4：6 D 、2：3：5 9、两圆的圆心坐标分别为（3，0）和（0,1），它们的半径分别是4和6,则两圆的位置关系是（ ）。 A 、外离 B 、外切 C 、相交 D 、内切 10、相交两圆的公共弦为6,半径分别为4和5。则圆心距为（ ）。 A 、4+7 B 、4-7 C 、4+7 或 4-7 D 、不同于以上答案 【发展探究】 如图80503，半径为R 和r 的⊙01和⊙02外切于P,切点P 到外公切线AB 的距离PQ=d,写出R 、r 、d 之间的一个数量关系，并证明你的结论。 证明：ΔCP02∽ΔD0102＝＞d-r R-r = r R+r ＝＞1R + 1r = 2 d ·相似是平几的重要手段。 ·掌握“从未知看需知靠拢已知”“（分析法）”和从已知看可推知向未知”〔综合法〕。 【优化评价】 1、若︱R-d ︱=r,则两圆的位置关系是（ ）。 A 、相交 B 、外切 C 、相切 D 、内切 2、在两圆的五种位置关系中，没有内公切线的有（ ）。 A 、4种 B 、3种 C 、2种 D 、1种 3、两圆相外切，且它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆半径等于5cm,则外公切线的长为（ ）。 A 、5（3-22）cm B 、5cm C 、10（2-1）cm D 、5（5-32）cm 4、平面上三个圆两两相切，则切点个数最少是（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 5、圆A,圆B,圆C 两两外切于D ，E,F,则ΔDEF 的外心是ΔABC 的（ ）。 A 、内心 B 、外心 C 、垂心 D 、重心 6、⊙01和⊙02交于A,B,P 为0102的中点，直线MN 过A 且垂直于PA 交两圆于M,N,若MN=22,则AM 等于（ ）。 A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、2 7、⊙01和⊙02交于A,B,直线EF 平行于0102分别交两圆于E,F,若0102=3，则0102：EF=（ ）。 A 、12 B 、13 C 、14 D 、23 8、圆A,圆B,圆C 两两外切，半径分别为2、3、5,则ΔABC 为（ ）。 A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰直角三角形。 9、圆01和圆02相外切，又都内切于圆O3, 01、 02、 O3在一条直线上0102=8cm,则圆O3的半径为（ ）。 A 、4cm B 、5cm C 、6cm D 、8cm 10、定圆O 的半径为4cm,动圆P 的半径为1cm,若两圆外切，则PO= ,点P 在 上移动。 第六节 正多边形和圆 【知识回顾】 1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形） 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角： )(2360右图αα=? = n n 内角的一半： 21 180)2(??-= n n β(右图) （解Rt △OAM 可求出相关元素, n S 、 n P 等） 5、一组计算公式 （1）圆周长公式 （2）圆面积公式 （3）扇形面积公式 （4）弧长公式 （5）弓形面积的计算方法 （6）圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 【考点分析】 1、任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且是同心圆。 2、一个正n 边形，当n 为奇数时，它是一个轴对称图形，且有n 条对称轴；当n 为偶数时，它同时也是一个中心对称图形，其对称中心为其外（内）心。 3、弧长公式l 弧AB=n 180 πR 。 4、扇形面积公式：S 扇形=n 360 πR 2=1 2 l R 。 5、弓形面积公式： 6、正n 边形： 7、立体图形圆柱和圆锥，可将它们转化为平面图形进行研究。要掌握圆柱和圆锥转化成相关平面图形的特征，以及与圆柱和圆锥的联系。 ·圆柱与它相关平面图形的关系 圆柱可以看成是由旋转得到的图形，圆柱沿轴的剖面图是矩形，圆柱的侧面展开图是矩形。设圆柱的母线长为l ·圆锥与它相关平面图形的关系 圆锥可以看成是直角三角形旋转得到的图形，圆锥沿轴的剖面图是等腰三角形，圆锥的侧面展开图是扇形。设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，锥角为a,高为h ，圆锥与它的旋转面、轴剖面、侧面展开图元面（直角三角形〕 面（等腰三角形〕 展开图（扇形〕 长l 长l 圆半径r 轴的直角边r 长2r r 与轴上的直角边夹角1 2a 角 sin a 2 的直角边h 上的高h 8、 α 角 Rn n 距rn Pn Sn 9、结论及方法： （1）正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。 （2）正多边形的有关计算问题，常转化为解直角三角形的问题来研究。 （3）常用“隔离法”来按各元素之间的数量关系。 （4）求阴影部分面积常转化为规则图形来求，或采用“重叠法”及“代数法”。 【典型例题】 如图80505，在半径等于R 的圆内，引两条在圆心同旁且平行的弦，它们所对的弧分别是120°和60°。求两平行弦间所夹的图形的面积和周长。 S 等边梯形ABDC =1 6πr 2，周长是(1+3+ π3 )R 【基础训练】 1、已知ABCDE 是正五边形，则∠ADB=（ ）。 A 、35° B 、36° C 、40° D 、54° 2、下列正多边形中，既是轴对称，又是中心对称的图形是（ ）。 A 、正三角形 B 、正方形 C 、正五边形 D 、正七边形 3、若正方形的内切圆的面积是π，则其外接圆的面积是（ ）。 A 、2π B 、92 π C 、94 π D 、259 π 4、弧长为l 圆心角为120°,那么它所对的弦长为 （ ）。 A 、3 3l 4π B 、3 2l 4π C 、3 3l 2π D 、3 2l 2π 5、圆柱的底面积为9π,侧面积为48π，那么它的母线长为（ ）。 A 、8 B 、16 C 、8π D 、16π 6、圆锥的高是8,母线长为10,则它的侧面积是（ ）。 A 、40π B 、50π C 、60π D 、70π 7、同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边长之比为（ ）。 A 、2：1 B 、2：3 C 、3：2 D 、2：2 8、一个扇形的面积是12π,弧长是4π,则它的半径为（ ）。 A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 9、弓形的弦长为23,弓形高为1,则弦长为（ ）。 A 、13π B 、23π C 、π D 、43 π 10、如图80504，正方形边长为a ，弧的半径为a ，阴影部分面积为（ ）。 A 、（π-1）a 2 B 、（π2 -1）a 2 C 、12( π-1) a 2 D 、14(π-12 ) a 2 【发展探究】 如图80506，在边长为23cm 的正方形ABCD 中，剪下一个扇形AEF 和一个圆O 分别作为圆锥的侧面和底面做成一个圆锥，求此圆锥的表面积。 S 表=S 侧+S 底=5π(52-2)2。 【优化评价】 1、正三角形的内切圆半径、外接圆半径、高之比为（）。 A、1：3：2 B、2：3：4 C、1： 2 ： 3 D、1：2：3 2、圆外切正六边形与圆内接正六边形边长之比为（）。 A、3：2 B、23：3 C、33：2 D、3：2 3、圆锥的锥角为60°,轴截面面积为3cm2,则圆锥的表面积为（）。 A、πcm2 B、2πcm2 C、3πcm2 D、4πcm2 4、圆锥的锥角是90°,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为（）。 A、90 B、90 2 C、180 D、180 2 5、如图80507，半圆O的半径为R,C,D把半圆三等分，则图中阴影部分的面积为。 6、半径为13的半径为5的两个圆相交于A,B圆心距O1O2=12,则公共弦AB的长为。第七节轨迹和作图 【知识回顾】 一、点的轨迹 六条基本轨迹 二、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 【考点分析】 1、轨迹：条件F 图形C 2、五条基本轨迹： ①圆：到定点距离等于定长的点的轨迹。②中垂线：到线段两个端点距离相等的点的轨迹。③角平分线：到角的两边距离相等的点轨迹。④平行线：到一直线距离为定值的点的轨迹是一条到该直线距离为定值的平行线。⑤平行线：到两平行线距离相等的点的轨迹是平行与两条直线且到两直线距离相等的直线。 3、相切在作图中应用 直线和圆弧在切点处连接；圆弧与圆弧在切点处外连接和内连接。 【典型例题】 例1已知圆弧AB，过B点作以半径为R的圆弧在B点外连结。 例2说明下点的轨迹： ①一边固定的菱形的对角线交点的轨迹； ②已知圆内等弦的中点轨迹； ③已知圆内平行弦的中点轨迹； ④四边形ABCD是已知圆O的内接梯形，且AB∥CD，若AB固定，写出这个梯形的对角线交点的轨迹； ⑤ 已知定长l 及半径r 的圆O ，若圆O 外一点P 向圆所作的切线长为l ，试写出点P 的轨 迹； ⑥ A 、 B 为两定点，且2 2PB PA 一定值，试写出动点P 的轨迹； ⑦ AB 、CD 是已给的两条平行线，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点，连接EF ，试写出EF 中点P 的轨迹； ⑧ ⊿ABC 为一已知的等边三角形，P 为一动点，若PA=PB+PC ，试求点P 的轨迹； ⑨ 已知⊿ABC 及一动点P ，若S ⊿PAB =S ⊿PAC ，试求动点P 的轨迹； ⑩ 动点P 与定圆O 的最短距离等于该圆的半径R ，试写出动点P 的轨迹； 例3 P 、Q 分别是已知∠XOY 的两边OX 、OY 上的两动点，且OP+OQ=k 为一定值，试求动点P 的轨迹。 4、在互相垂直相交的两条直线XX`、YY`上分别取任意一点A 、B ，以AB 为底边的等腰直角⊿PAB ，试求直角顶点P 的轨迹。 《圆》测试题 一、填空题。（3分×12＝36分） 1、和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是 。 2、一个半径是5cm 的圆，它的一条弦长是6cm ，则弦心距是 。 3、已知，等边ΔABC 内接于⊙O ，AB=10cm,则⊙O 的半径是 。 4、一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数是 。 5、已知PA 切⊙O 于A ，PBC 交⊙O 于B 、C,PA=43,PC=12,则PB= 。 6、已知圆O 的弦AB 经过弦CD 的中点P ，若AP=2cm,CD=8cm,则PB 的长是 。 7、如图80001，①在ABC 中，AB=AC,∠BAC=120°,②A 与BC 相切点D 。与AB 相交于点E ，则∠EDB ＝ ( )度。 8、已知⊙O 1与⊙O 2的直径分别为4cm 和2cm ，圆心距为6cm ，则两圆的公切线 有 条。 9、如图80002，⊙O 1与⊙O 2相交于A 和B ，PQ 交⊙O 1于M 和Q,切⊙O 2于P,交AB 延长线于N ，MN=3,QN=15,则PN= 。 10、弯制管道时，先按中心线计算“展直长度”，再下料。根据右图可算得管道的展直长度为 。（单位：mm,精确到1 mm 。） 11、如图80004，⊙O 的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是 （结果用π表示）。 教学资料参考范本 撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________ (见B本31页) , 类型 1 遇弦心距、弧中点及求弓形面积添半径)【例1】2017·启东期中有一石拱桥的桥拱是圆弧形的，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m时需要采取紧急措施．当水面宽MN ＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 1图 1答图 解：不需要采取紧急措施． 理由如下： 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18， ∴R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34. 连结OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16， ∴342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)； ∴DE＝4. ∵4＞3.5，∴不需采取紧急措施． 变式如图所示，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB 上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为( A ) A．2π－4 B．4π－8 C．2π－8 D．4π－4 , 类型 2 利用圆的轴对称性添辅助线)【例2】如图所示，在半径为6 cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为__6__cm2. 2图 变式如图所示，AB是⊙O的直径，弧AC的度数是60°，的度数是20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为 __50°__． , 类型 3 利用圆的旋转不变性补形) 圆的基本性质 复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。 知识梳理 1.圆的有关概念 （1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。 （2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角 （1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角； （3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性 （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 （2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。 （3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。 易错知识点 1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。 中考规律盘点及预测 本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用 主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=， ，则AB 的长为…【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得 ，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表 示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角 等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图 第三章圆的基本性质复习 一、 点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d “第3章圆的基本性质”教材分析 圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识． 圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值．由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形,学生可以通过多种方式来认识它，这样有助于培养学生的数学能力．同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样有助于学生形成基本的数学思想和方法．这些基本的数学思想方法有： ⑴对称思想：圆的轴对称性、中心对称性． ⑵推理思想：由对称性及其他方法来验证圆的有关结论． ⑶分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想． ⑷算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的意义． 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 3.1圆2课时 3.2圆的对称性 2课时 3.3圆心角 2课时 3.4圆周角 2课时 3.5弧长及扇形的面积 2课时 3.6圆锥的侧面积和全面积 1课时 复习、评估3课时，机动使用1课时， 合计15课时 一、教科书内容和课程教学目标 ⑴本章知识结构框图如下： ①通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形． ②理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系． ③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆． ④使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征． ⑤认识圆的轴对称性和中心对称性． ⑥了解三角形的外心． ⑦会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积． ⑶本章教材分析 本章主要学习圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念． 在“圆”这一节，主要是让学生通过圆的形成归纳出圆的定义．虽然在小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念．通过探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．另外，也使学生初步了解三角形的外心等有关知识．本节主要使学生体会圆的概念的形成过程．圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前面学习对称性时，学生已经有所了解．本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去探索“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想． 弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义． 二、本章编写特点 ⑴体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界 人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现 专题13 圆的基本性质 考纲要求: 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念；了解等圆、等弧的概念. 2．了解弧、弦、圆心角的关系；理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系. 3．能利用圆的有关概念、垂径定理、圆周角定理及其推论解决有关简单问题. 基础知识回顾: 知识点一：圆的有关概念 1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的 圆记做⊙O. （2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦. （3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧. （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角. （6）弦心距：圆心到弦的距离. 知识点二：垂径定理及其推论 2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 延伸 根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： ① 弧AC=弧AD; ②弧BC=弧BD ； ③CE=DE; ④AB ⊥CD;⑤AB 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三. 知识点三 ：圆心角、弧、弦的关系 3.圆心角、 弧、弦 的关 系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 知识点四 ：圆周角定理及其推论 4.圆周 角定 理及其推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a ，∠A= 12∠O. 图a 图b 图c ( 2 )推论： ① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b ，∠A=∠C. ② 直径所对的圆周角是直角.如图c ，∠C=90°. 圆内接四边形的对角互补.如图a ，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 应用举例: 招数一、垂径定理及其推论 【例1】13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=?，6AB =，1AE =，则CD 的长是( ) 圆的基本性质复习课教案 学习目标： 1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性； 2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、 圆周角定理. 3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解 决问题的能力。 学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。 学习难点：相关性质的应用 学习过程： 一基础过关 1、圆的对称性 （1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴. （2）、圆是___________图形，它的对称中心是________. （3）、圆具有_____________. 垂直于弦的直径弦，并且弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径弦，并且平分弦所对的两条弧． 中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm， OC⊥AB于点C，则OC=_______ 变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是 （） A.16 B.10 C.8 D.4 3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等． (2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所 对应的其余各组量也相等. 4、圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对 的圆心角的． 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是． 中考链接： 1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为 弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度. 2、（2016湖南娄底）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D=40°， 则∠CAB的度数为（） A．20° B．40° C．50° D．70° 二典例精析 例1、如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。求证： CD=BD （学生以小组为单位，合作交流各自的想法，尽可能多角度、多途径来证明 这两条弦相等分组交流，派学生代表汇报成果。） 一、基础知识 （一）圆的有关概念： 圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。其中，定点为圆心，定长为半径。弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫弧。圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧角做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 （二）圆的性质： 1.同圆或等圆中：半径、直径都相等。 2.圆有无数条弦，其中最长的弦为直径。 3.圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。 二、重难点分析 本课教学重点：弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系． 本课教学难点：点和圆的位置关系及判定。通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣。 三、典例精析： 例1：（2014?长春二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（） A．70°Ｂ．60°Ｃ．50°Ｄ．40° ∴∠DAO=∠AOC=70° 例2．如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是。 四、感悟中考 １、（2013?温州）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 BAC ，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1-S 2=4 π，则S 3-S 4的值是（ ） Ａ．429π Ｂ．423π Ｃ．411π Ｄ．4 5π 2、如图，已知同心圆O ，大圆的半径AO 、BO 分别交小圆于C 、D ，试判断四边形ABDC 的形状．并说明理由． 九年级数学下册解法技巧思维培优 专题13 与圆的基本性质有关的计算与证明 考点一弧、弦、圆心角 ?、CD?的度数【典例1】（2019?港南区四模）P是⊙O外一点，P A、PB分别交⊙O于C、D两点，已知AB 别为88°、32°，则∠P的度数为（） A．26°B．28°C．30°D．32° 【典例2】（2019?福建模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD 于点E，DE＝1，则AE的长为（） A．√3B．√5C．2√3D．2√5 【典例3】（2019?洛阳一模）如图，矩形ABCD、半圆O与直角三角形EOF分别是学生常用的直尺、量角 器与三角板的示意图．已知图中点M处的读数是145°，则∠FND的读数为． 【典例4】（2019?长白期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝． 【典例5】（2019?句容市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC∥OD． ?=CD?． （1）求证：BD ?的度数为58°，求∠AOD的度数． （2）若AC 考点二圆周角 【典例6】（2019?陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C， 连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（） A．20°B．35°C．40°D．55° ?所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为AB?上一点，∠AOP 【典例7】（2020?望花区二模）如图，在⊙O中，AB ＝55°，则∠POB的度数为． 【典例8】（2019?黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝． 【典例9】（2019?肇源期末）如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且∠D＝∠E． （1）求证：∠ADC＝∠CBE； （2）求证：CB＝CE； （3）设AD不是圆O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 卡点三垂径定理 【典例10】（2019?渝中区校级三模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（） 浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点 一、圆的有关概念及圆的确定 要点一、圆的定义 1、圆的描述概念 （1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： （1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； （2）圆是一条封闭曲线. 2、圆的集合概念 （1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. （2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. （3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点诠释： （1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面； （3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面， 一个闭合的曲面. 要点二、点与圆的位置关系 （1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. （2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 要点三、与圆有关的概念 1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径. （3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 3.2 圆的轴对称性(2) 教学目标 1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和 作图问题； 2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学 问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育. 教学重点和难点 垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点. 教学方法：类比启发 教学辅助：投影片 教学过程： 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述) 2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式： 题设结论 指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤. 提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题 二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论 1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得： 由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件. 已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点. 求证：CD⊥AB，. 分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD. 证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形. 因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB， 又因为CD是直径，所以 2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得： (2)若选①④为题设，可得： 3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧. 4.垂径定理的推论2. 在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37) 学生答 接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF， 与圆的基本性质有关的计算与证明 专题练习题 1．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( ) A ．60° B ．45° C ．35° D ．30° 2．如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB＝3∠ADB ，则( ) A ．DE ＝E B B.2DE ＝EB C.3DE ＝DO D ．DE ＝OB 3．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CAB ＝40°，则∠ABD 与∠AOD 分别等于( ) A ．40°，80° B ．50°，100° C ．50°，80° D ．40°，100° 4．如图，C ，D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA ＝CD ，且∠ACD ＝40°，则∠CAB ＝( ) A ．10° B ．20° C ．30° D ．40° 5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( ) A ．45° B ．50° C ．60° D ．75° 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ， 连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( ) A．45° B．50° C．55° D．60° 7．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是( ) A．120°B．135°C．150°D．165° 8．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________． 9．如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝_______度． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，且MD＝2，则BE长为_______． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是_________．12．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E.水位正常时测得OE∶CD＝5∶24. 《圆的基本性质复习》教案 教学目标: 熟悉本章所有的定理。 教学重点：圆中有关的定理 教学难点: 圆中有关的定理的应用 教学方法：谈话法 教学辅助：多媒体 教学过程： A随之旋转所形成的图形叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O 3、篮球是圆吗？ –圆必须在一个平面内 ?以3cm为半径画圆，能画多少个？ ?以点O为圆心画圆，能画多少个？ ?由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？ –半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置 ?圆是“圆周”还是“圆面”？ –圆是一条封闭曲线 ?圆周上的点与圆心有什么关系？ 4、点与圆的位置关系 ?圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 ?圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 ?圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 ?由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 5、圆的有关性质 思考：确定一条直线的条件是什么？ 类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 6、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形。 7、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ? 如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 8、（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。 圆的两条平行弦所夹的弧相等 9、圆的性质 ? 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。 ? 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ? 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。 10、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 圆心角: 顶点在圆心的角. 11、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 ? 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 ? 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ ? 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ ? 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？ 12、推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 13、思考： （1）、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ （2）、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。 14、推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。 15如果用字母S 表示扇形的面积，n 表示所求面积的扇形的圆心角的度数，r 表示圆的半径，那么 弧长L 公式是------------- 扇形的面积计算公式是 ---------------- 圆锥的侧面积和全面积:S 侧= 16、小结和同步作业 P B O 复习:圆的基本性质 灵宝实验中学许怀权 导入: 同学们,我们中国人对圆情有独衷,因为它寓意着团圆、完美、和谐，而数学中，圆以简洁的曲线之中，却蕴含神奇多彩的数学知识。今天我们再次走进圆的世界，共同复习圆的基本性质。 一．复习目标: 1.复习圆的有关概念,掌握圆的基本性质。 2.理解圆的对称性，掌握圆的四个定理。 3.会运用圆的基性质定理进行推理和计算。 千里之行，始于足下。明确了目标，就让我们从知识梳理开始今天的复习之旅！二．知识梳理 1.以小组为单位共同复习圆的一组概念。（组里互查,教师出示四个图形检查） 2.两个特性：同学观察两个图形回答一下问题： (1)圆是______ 图形,经过_____________是它的对称轴.圆有_______对称轴. (2)圆是_________ 图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即____________ (3)跟踪练习,概念解读： 1.下列说法正确的是______________ : （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （3）两条等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧； （4）顶点在圆心上的角为圆心角，顶点在圆周上的角为圆周角； （5）圆的对称轴是它的直径。 3.四个定理： (1) 垂径定理及其推论:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 提问：○1.联想垂径定理基本图形是什么 ○2.根据图说说几何语言怎么叙述？ ∵CD 是直径 ①经过圆心 CD ⊥AB ②垂直于弦 ∴AP=BP ③平分弦（不是直径） ④平分优弧 ⑤平分劣弧 ○ 3你能从这几个条件中任选两个推出其它的结论吗？ 找几个同学说说，由此总结： （知二，得三） ○ 4.垂径定理的几个基本图形： ○ 5.定理辨析：下列说法正确吗？为什么？ （1）过弦的中点的直线平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂线平分它所对的两条弧； （3）过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 ○ 6.典例精析 例1.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块20cm 厚的砖塞在两侧他量的两砖之间的距离刚好是 80cm ，聪明的你算出大石头的半径是（ ） A.40cm B.30cm C.20 cm D.50cm 先独立完成然后找学生讲解，最后老师进行解题方法总结。 解题策略：求圆中的弦、弦心距、和半径时，通过连半径，作垂直， 构造垂径定理基本图形，用方程思想解题。 学以致用 备战中招（一） 1.（2015.盐城）如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦, DC ⊥AB 于E,则下列结论不一定正确( ) A.∠COE=∠DOE B.CE=DE ⌒ ⌒ C.OE=BE D.BD=BC 2.如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，⊙O 的半径____厘米。 O B A C D O B C A O B C A D E D C O A B E O D B C A 圆的基本性质的综合 一、选择题 1. 已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在⊙O中，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（） A．15°B．20°C．30°D．40° 3．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（） A．28°B．31°C．38°D．62° 4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是（） A．120°B．135°C．150°D．165° 5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是( D ) A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤ 二、填空题 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为________ ． 7．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是弧AB上一点，则_____°. 8. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，则此时排水管水面宽CD等于________m. 9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为_______. 10．如图6，AB 是⊙O 的直径，AC、BC 是⊙O 的弦，直径DE⊥AC 于点P，若点D 在优弧ABC上，AB=8，BC =3，则DP=_________． 初中数学：圆的基本性质章末总结提升练习 , 探究点 1 圆的定义应用的延伸性) 【例1】 如图所示,在四边形 ABCD 中,∠ABC ＝∠ADC ＝90°,E 为对角线AC 的中点,连结BE,ED,BD,若∠BAD＝58°,则∠EBD 的度数为__32__度． 例1图 变式图 变式 如图所示,在Rt △ABC 中,∠BCA ＝90°,∠BAC 的平分线交△ABC 外接圆于点D,连结BD,若AB ＝2AC ＝4. (1)则BD 长为__2__； (2)设点P 在优弧CAB 上由点C 向点B 移动(不与点C,B 重合),记∠PBC 的角平分线与PD 交点为I,点I 随点P 的移动所经过的路径长l 的取值范围是__0＜l ＜4π 3 __． , 探究点 2 “弧”与“圆周角”的主角性) 【例2】 如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点E,点P 在⊙O 上,∠1＝∠C. 求证：(1)CB∥PD；(2)BC ︵＝PC ︵ . 例2图 证明：(1)∵∠P ,∠C 所对的弧都是BD ︵ , ∴∠P ＝∠C.∵∠1＝∠C ,∴∠1＝∠P , ∴CB ∥PD. (2)∵∠1＝∠C ,∴BD ︵＝PC ︵ . ∵AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB , ∴BC ︵＝BD ︵,∴BC ︵＝PC ︵. 变式图 变式 如图所示,BC 是⊙O 的直径,点A 在⊙O 上,AD ⊥BC,垂足为D,AB ︵ ＝AE ︵ ,BE 分别交AD,AC 于点F,G.求证：FA ＝FB. 例2答图 证明方法1：连结OA,OE,∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BAC ＝90°,∴∠BAF ＋∠CAD＝90°, ∵AD ⊥BC,∴∠C ＋∠CAD＝90°, ∴∠C ＝∠BAF , ∵AB ︵＝AE ︵ ,∴∠C ＝∠ABF , ∴∠BAF ＝∠ABF ,∴FA ＝FB. 方法2：延长AD 交⊙O 于H, 由AD⊥BC 易得BH ︵＝AB ︵＝AE ︵ ,∴∠ABF ＝∠BAF ,∴FA ＝FB. , 探究点 3 圆与正多边形、扇形、弓形的关联性) 圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 11____________，所对常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○ 的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。 一、 第三章圆的基本性质复习点和圆的位置关系： 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则： （1）d 3.1 圆（1） 在同一平面内，线段0P 绕它固定的一个端点C 旋转一周，所经过的圭寸闭曲线叫做 圆，定点C 叫做，线段OF 叫做。 如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有: d v r 0点P 在圆； dr 点；P 在圆上； d > r :-点P 在圆； 如图，在 ABC 中，/ BAC= Rt Z ，AO 是BC 边上的中线, 为一 C 的直径. (1) 点A 是否在圆上？请说明理由. (2) 写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A 岛附近，半径约250knm 勺范围内是一暗礁区， 往北300kn 有一灯塔B,往西400km 有一灯塔C.现有一渔船 沿CB 亢行，问：渔船会进入暗礁区吗？ 3.1 圆(2) (1) 经过一个已知点能作个圆； (2) 经过两个已知点A,B 能作个圆；过点A,B 任意作一个圆 圆心应该在怎样的一条直线上？ (3) 不在同一条直线上的三个点一个圆 经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆 的； 三角形的外心是的交点。 锐角三角形的外心在; 直角三角形的外心在; 钝角三角形的外心在。 BC 作图：已知△ ABC，用直尺和圆规作出△ ABC的外接圆 3.2图形的旋转 图形旋转的性质 图形经过旋转所得的图形和原图形； 对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 1、如图，射线0P经过怎样的旋转，得到射线0Q ? 3、如图，以点0为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数 -B 径定理（1） 圆是图形，它的对称轴是。 2、如图，以点O为旋转中心，将A ABC按顺时针方向旋转60° ,作出经旋 转所得的图形 根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：V CD是直径，CD丄AB2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质专题分类突破三圆的辅助线及多解性练习新版浙教版
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