练习1 质点运动学(一)参考答案
1. B ；
2. D;
3. 8m, 10m.
4. 3, 3 6;
5. 解：(1) 5.0/-==??t x v m/s
(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2
v (2) =-6 m/s
(3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m
6. 答：矢径r
是从坐标原点至质点所在位置的有向线段．
而位移矢量是从某一个初始时刻质点所在位置到后一个时刻质点所在位置的有向线段．它们的一般关系为
0r r r
-=?
0r 为初始时刻的矢径, r 为末时刻的矢径，△r
为位移矢量．
若把坐标原点选在质点的初始位置，则0r =0,任意时刻质点对于此位置的位移为△r =r
，
即r
既是矢径也是位移矢量．
1. D ；
2.
g /2 ， ()g 3/322v
3. 4t 3-3t 2 (rad/s)， 12t 2-6t (m/s 2)
4. 17.3 m/s, 20 m/s .
5. 解： =a d v /d t 4=t ， d v 4=t d t ??=v
v 0
d 4d t
t t
v 2=t 2
v d =x /d t 2=t 2 t t x t
x
x d 2d 0
20
??=
x 2= t 3 /3+x 0 (SI)
6. 解：根据已知条件确定常量k
()
222/rad 4//s Rt t k ===v ω
24t =ω, 24Rt R ==ωv
t=1s 时， v = 4Rt 2 = 8 m/s
2s /168/m Rt dt d a t ===v 22s /32/m R a n ==v
()
8.352
/12
2=+=n
t a a a m/s 2
1.D
2.C
3.
4. l/cos 2θ
5.如图所示，A ，B ，C 三物体，质量分别为M=0.8kg, m= m 0=0.1kg ，当他们如图a 放置时，物体正好做匀速运动。（1）求物体A 与水平桌面的摩擦系数；（2）若按图b 放置时，求系统的加速度及绳的张力。
解：(1)
m
M m )(m 0
0+=
+===μμ联立方程得：
g m M N N
T T g (2)
(1)
(2)
BA N
BA f A P
CA N
A P
B
g
M
m m m M T g
M
m m a Ma Mg T a m m T g m m ++=+==-+=-+）（计算结果，得到
利用）（）（0''0'0)1(μ
6.解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律
t
m
K d d v v =- ∴ ?
?=-=-v
v v v
v
v
d d ,
d d 0t t m K t m K ∴ m
Kt /0e -=v v
(2) 求最大深度 解法一： t
x
d d =
v
t x m
Kt d e
d /0-=v
t x m Kt t
x d e d /0
00
-?
?
=v
∴ )e
1()/(/0m
Kt K m x --=v
K m x /0max v =
解法二：
x
m t x x m t m
K d d )d d )(d d (d d v
v
v v v ===- ∴ v d K
m
dx -=
v v d d 0
max
?
?-=K m
x x ∴ K m x /0max v =
1. B
2. A
3.
2
11m m t F +?， 21
211m t F m m t F ?++?
4. 140 N·s， 24 m/s ，
???=+==2
1
2
s N 140d )4030(d t t t t t F I
1212;v v v v m I m I m m +==-
m /s 24/)(12=+=m m I v v
5. 解：(1) 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v '
有 mv 0 = mv +M v
v = m (v 0 v )/M =3.13 m/s
T =Mg+Mv 2/l =26.5 N
(2) s N 7.40?-=-=?v v m m t f (设0v
方向为正方向)
负号表示冲量方向与0v
方向相反．
6. 解：设V 为船对岸的速度，u 为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒：
0)(=++u V m MV 即 u m
M m
V +-=
船走过的路程为 l m M m
t u m M m t V L t
t
+=+==??0
0d d 狗离岸的距离为 l m
M M
S L l S S +-
=--=00)(
1. B
2. C
3. 18J, 6 m/s
4. m
t F 22
2,
t F m t F 0222v +
5. 解：(1) 0sin kx mg =θk mg x /sin 0θ=
(2) 取弹簧原长处为弹性势能和重力势能的零点，平衡位置处 θsin 2
102
000mgx kx E E K -+
= 伸长x 处系统的机械能 θsin 2
12
mgx kx E E K x -+
= 由机械能守恒定律， x E E =0 解出 20]sin )/1([2
1
θmg k x k E E K K --
= 另解: (2) 取平衡位置为振动势能零点，可证明振动势能(包括弹性势能和重力势能)为
20)(2
1
x x k -, 则由A 、弹簧、地球组成系统，在振动过程中机械能守恒： 020)(2
1
K K E x x k E =-+ 200)(21x x k E E K K --
=20]sin )/1([2
1
θmg k x k E K --=
6. 解：两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒．设两质点的间距变为l /2时，它们的速度分别为v 1及v 2，则有
02211=-v v m m ①
l
m Gm m m l m Gm 212222112122121-+=-v v ② 联立①、②，解得 )(2212
1m m l G m +=v ，)
(22112m m l G
m +=v
练习6 刚体力学(一)参考答案
1. B
2. C
挂重物时， mg －T = ma =mR β, TR =J ,
P =mg
由此解出 J
mR mgR
+=
2β
而用拉力时， mg R = J β' J
mgR
=/
β 故有
β'＞
3. ma 2 ,
21 ma 2 , 2
1
ma 2 . 4. 4.0rad/s
5. 质量为m 1， m 2 （ m 1 > m 2）的两物体，通过一定滑轮用绳相连，已知绳与滑轮间无相对滑动，且定滑轮
是半径为R 、质量为 m 3的均质圆盘，忽略轴的摩擦。求： (1)滑轮的角加速度b 。（绳轻且不可伸长）
解：
β
βR a R m I I R T R T a T a m ===-=-=2
3212221112121
m g m m T -g m m 上升下降，设
联立方程得到， m 3
m m m m g
m m m m m m m T g
R m m m m m g
m m m m m a 3
2213213
121132121321214)(24])(2[)
(2)(2)
(2++++=
++-=
++-=
β
6 解：撤去外加力矩后受力分析如图所示． m 1g －T = m 1a Tr ＝J
a ＝r
a = m 1gr / ( m 1r + J / r ) 代入J ＝
2
2
1mr , a =m
m g m 2
111+= 6.32 ms 2
∵ v 0－at ＝0 ∴ t ＝v 0 / a ＝0.095 s
m 1 m , r β
0v P T a
练习7 刚体力学(二)参考答案
1. E
2. C
3. 2275 kgm 2·s
1 ,
13 m·s
1
4. θsin 3gl
5. 解：由人和转台系统的角动量守恒
J 11
+ J 2
2
= 0
其中 J 1＝300 kg ·m 2
，
1
=v /r =0.5 rad / s ， J 2＝3000 kg m 2
∴ 2
＝－J 1
1
/J 2＝－0.05 rad/s
人相对于转台的角速度
r
＝1
－2
＝0.55 rad/s
∴ t ＝2 /r ω＝11.4 s
6. 一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为2
1
3
ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度；
(2) 棒转到水平位置时的角加速度．
解：设棒的质量为m ，当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律 M = J
其中 4/30sin 2
1
mgl mgl M ==
于是 2rad/s 35.743 ===l
g
J M β
当棒转动到水平位置时， M =2
1
mgl
那么 2rad/s 7.1423 ===
l
g
J M β
l O
60°
m g
1. B
2. B
3. c
4. c 5
4
5. 解：解：根据洛仑兹变换公式:
2
)
(1/c t x x v v --=
' ，2
2)
(1//c c x t t v v --=
'
可得 2
222
)
(1/c t x x v v --=' ，2
111
)
(1/c t x x v v --='
在K 系，两事件同时发生，t 1 = t 2，则
2
1212
)
(1/c x x x x v --='-' ，
∴
2
1
)/()()/(112
122='-'-=-x x x x c v 解得 2/3c =v ．
在K ′系上述两事件不同时发生，设分别发生于1
t '和 2t '时刻， 则 2
2111
)
(1//c c x t t v v --='，2
2222
)
(1//c c x t t v v --='
由此得 2
2
1221
)(1/)(/c c x x t t v v --='-'=5.77×10－6
s
6. 解：设两系的相对速度为v ．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有
2
)
/(1c t x x v v -'
+'=
???
2
2
)
/(1(c x )/c
t t v v -'
+'=
???
由题意： 0='?t 可得 x c t ??=)/(2
v 及 2
)/(1c x x v -='?? 由上两式可得 x '?2
/122
2
]
)/()[(c t c x ??-=2/1222][t c x ??-== 4×106 m
1. C
2. C
3. C
4. 2/3c =v , 2/3c =v
5. 5.8×10-13, 8.04×10-2
6. 解：据相对论动能公式 202c m mc E K -=
得 )1)/(11(
2
2
0--=c c m E K v 即
419.11)/(112
02
==
--c m E c K
v 解得 v = 0.91c 平均寿命为 82
1031.5)/(1-?=-=
c v ττ s
7. 解：根据功能原理，要作的功 W =
E
根据相对论能量公式
E = m 2c 2- m 1c 2
根据相对论质量公式 2/12202])/(1/[c m m v -=
2/12101])/(1/[c m m v -=
∴ )1111
(
2
212
2220c
c
c m W v v --
-=＝4.72×10-14 J ＝2.95×105
eV
1. D
2. E
3. )212cos(π-πT t A , )312cos(π+πT t A
4. 3.43 s, -2/3
5. 解: (1) v m = A ∴ = v m / A =1.5 s -1
∴ T = 2/ 4.19 s
(2) a m = 2
A = v m = 4.5×10-2 m/s 2
(3) π=
2
1
φ x = 0.02)2
1
5.1cos(π+
t (SI)
6. 证：(1) 当小物体偏离圆弧形轨道最低点角时，其受力如图
所示．
切向分力 θsin mg F t -= ① ∵
角很小， ∴ sin
≈
牛顿第二定律给出 t t ma F = ② 即 2
2
d /)(d t R m mg θθ=- θωθθ2
2
2
//d d -=-=R g t ③ 将③式和简谐振动微分方程比较可知，物体作简谐振动． (2) 由③知 R g /=
ω
周期 g R T /2/2π=π=ω
θg
m t
F N
练习11 机械振动(二)参考答案
1. B
2. B
3.
2
2
22T
mA π
4. )2
1cos(04.0π-πt
5. 解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=．
16.02
1
212===
m m m x F kx E J (2) π===
2m
m
m x A v v ω rad /s 由 t = 0， φcos 0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v 可得 π=3
1φ
则振动方程为 )3
1
2cos(4.0π+
π=t x
6. 解：(1) 2
2
1kA E E E p K =
+= 2
/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m
(2)
222
1
21v m kx = )(sin 2
2
2
2
2
φωωω+=t A m x m
)(sin 2
2
2
φω+=t A x 2
2
2
2
)](cos 1[x A t A -=+-=φω
2
22A x =， 0566.02/±=±=A x m
(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量 22
1
v m E E E p K =
+= 8.0]
/)(2[2
/1±=+=m E E p K v m/s
练习12 机械波(一)参考答案
1. C
2. B
3. 30, 30.
4. ]/2cos[1φ+π=T t A y , ])//(2cos[2φλ++π=x T t A y
5. 解：(1) O 处质点振动方程
])(cos[0φω++
=u
L
t A y (2) 波动表达式
])(cos[φω+--
=u L
x t A y (3) ω
u
k
L x L x π±=±=2 (k = 0，1，2，3，…)
6. 解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
])4/2cos[(π+π=t A y P )2
1cos(π+π=t A (SI) (2) 波动表达式为
])4
(2cos[π+-+
π=λ
d
x t A y (SI)
(3) O 处质点的振动方程
)2
1cos(0t A y π=
练习13 机械波(二)参考答案
1. A
2. D
3. )2
2cos(1π
-π=t T A y x 或写成 )/2sin(1T t A y x π=
4. π
5. 解：(1) 坐标为x 点的振动相位为
)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 波的表达式为 )]20/([4cos 10
32
x t y +π?=- (SI)
(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为 ]20
5
[4-+π='+x t t φω (SI) 波的表达式为 ])20
(4cos[10
32
π-+
π?=-x
t y (SI)
6. 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播．
原点O 处质点，t = 0 时
φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v 所以 4/π=φ
O 处振动方程为 )4
1
500cos(0π+
π=t A y (SI) 由图可判定波长 = 200 m ，故波动表达式为 ]41
)200250(2cos[π++
π=x t A y (SI) (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是 )4
5500cos(1π+
π=t A y 振动速度表达式是 )4
5
500cos(500π+
ππ-=t A v (SI)