立体几何
一、选择题：
1．（石庄中学）设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则BC AD EF ,,满足（ ）
A 共线
B 共面
C 不共面
D 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
2．（石庄中学）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、
D 1C 1的中点，则直线OM( )
A 是AC 和MN 的公垂线
B 垂直于A
C 但不垂直于MN
C 垂直于MN ，但不垂直于AC
D 与AC 、MN 都不垂直 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。
3．（石庄中学）已知平面α∥平面β，直线L ?平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8，则在β到点P 的距离为10，且到L 的距离为9的点的轨迹是（ ）
A 一个圆
B 四个点
C 两条直线
D 两个点
正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。 4．（石庄中学）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总
保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（ ）
A 线段
B 1
C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段 C 线段BC 1
D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段
正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。 5． （石庄中学）下列命题中：
① 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则∥ 。 ② 若∥， ∥，则∥ .
③ 若 、 、是空间一个基底，且 =
31＋31 OB ＋3
1
,则A 、B 、C 、D 四点共面。
④ 若向量 + ， + ， + 是空间一个基底，则 、 、 也是空间的
一个基底。其中正确的命题有（ ）个。
A 1
B 2
C 3
D 4
正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。
6．(磨中)给出下列命题：①分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )
正确答案：①
错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清
7．(磨中)已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )
A 、7
B 、8
C 、9
D 、10 正确答案：A
错误原因：4+8—2=10
8．(磨中)下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
正确答案：D
错误原因：空间观点不强
9．(磨中)a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( ) A 、有且只有一个 B 、一个面或无数个 C 、可能不存在 D 、可能有无数个 正确答案：C
错误原因：过a 与b 垂直的夹平面条件不清 10．（一中）给出下列四个命题：
（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F
－V=4.
（3）若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β.
（4）命题“异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是
（ ）
A ．（2）（3）
B ．（1）（4）
C ．（1）（2）（3）
D ．（2）（3）（4）
正确答案：A
11．（一中）如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正向射出的太线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．50°
D ．45° 正确答案：C 12．（蒲中）一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）
A 、α+β<900
B 、α+β≤900
C 、α+β>900
D 、α+β≥900
Q R · · S · P · · P · B S · R ·
· S · P Q ·
R · C · R P · · · D Q A Q S
答案：B
点评：易误选A ，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。
13．（蒲中）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300
角的平面
的个数为（ ）
A 、2个
B 、4个
C 、6个
D 、8个 答案：B
点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。 14．（蒲中）△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ
的二面角B-AD-C ，若b
a
=
θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、形状与a 、b 的值有关的三角形 答案：C
点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。
15．（江安中学）设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。
A. α⊥c ，若β⊥c ，则βα//
B. α?b ，α?c ，若α//c ，则c b //
C.
β?b ，若β⊥b ，则αβ⊥
D. β?b ，c 是α在β的射影，若c b ⊥，则α⊥b 正解：C
C 的逆命题是β?b ,若αβ⊥，则a b ⊥显然不成立。 误解：选B 。源于对C 是α在β的射影理不清。
16．（江安中学）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（ ）。
A. α和β都垂直于平面
B. α不共线的三点到β的距离相等
C.
m l ,是α平面的直线且ββ//,//m l
D. m l ,是两条异面直线且ββαα//,//,//,//l m m l 正解：D
对于βα,,A 可平行也可相交；对于B 三个点可在β平面同侧或异侧；对于m l C ,,在平面α可平行，可相交。
对于D 正确证明如下：过直线m l ,分别作平面与平面βα,相交，设交线分别为
11,m l 与22,m l ，由已知βα//,//l
l 得21//,//l l l l ，从而21//l l ，则β//1l ，同理β//1m ，βα//∴。
误解：B
往往只考虑距离相等，不考虑两侧。
17．（江安中学）一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
A.
2923
B. 2719
C. 3130
D. 27
23
正解：D 。
当平面EFD 处于水平位置时，容器盛水最多
2121sin 3
1sin 313131h ASB SB SA h DSE SE SD h S h S V V SAB SDE SAB
C SDE F ?∠????∠???=??=∴
??-- 27
431323221=??=??=
h h SB SE SA SD 最多可盛原来水得1－
27
23
274=
误解：A 、B 、C 。由过D 或E 作面ABC 得平行面，所截体计算而得。
18．（江安中学）球的半径是R ，距球心4R 处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。
A. 2
R π
B.
2
1615R π C.
2169
R π D. 22
1R π 正解：B 。
如图，在Rt OPA ?中，AB OP ⊥于B 则2
OA OB OP =?即2
4R OB R =?
14OB R ∴=
又22221516
AB OA OB R =-= ∴以AB 为半径的圆的面积为215
16
R
误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。
19．（江安中学）已知AB 是异面直线的公垂线段，AB=2，且a 与b 成ο
30角，在直线a 上取AP=4，则点P 到直线b 的距离是（ ）。
a
E. 22
F. 4
G.
142 b
H. 22或142
正解：A 。过B 作BB ’∥a ，在BB ’上截取BP ’=AP ，连结PP ’，过P ’作P ’Q ⊥b 连
结PQ ，∴PP ’⊥由BB ’和b 所确定的平面，∴PP ’⊥b
∴ PQ 即为所求。在Rt ?
PQP ’中，PP ’=AB=2,P ’Q=BP ’,BQ P 'sin ∠=AP ?ο
30sin =2, ∴PQ=2。
误解：D 。认为点P 可以在点A 的两侧。本题应是由图解题。
20．（丁中）若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值围是 （ ） （A ）)2
,
0(π
（B ）)2
,
0[π
（C ）]2
,
0(π
（D ）]2
,
0[π
错解：C
错因：直线在平面α外应包括直线与平面平行的情况，此时直线a 与平面α所成的角为0 正解：D 21．（薛中）如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 答案：B
错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对
错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。 22．（薛中）空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ） A 、1对 B 、2对 C 、3对 D 、4对 答案：C 错解：D
错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。 23．（案中）底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是
A 、一定是正三棱锥
B 、一定是正四面体
C 、不是斜三棱锥
D 、可能是斜三棱锥
正确答案：（D ）
错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D 24．（案中）给出下列四个命题：
（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱
（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V ，面数F 满足的关系式为
2F-V=4
（3） 若直线L ⊥平面α，L ∥平面β，则α⊥β
（4） 命题“异面直线a,b 不垂直，则过a 的任一平面和b 都不垂直”的否定，其中，正确的
命题是 （ ）
A 、（2）（3）
B 、（1）（4）
C 、（1）（2）（3）
D 、（2）（3）（4） 正确答案：（A ）
错误原因：易认为命题（1）正确
二填空题：
1. （如中）有一棱长为a 的正方体骨架，其放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持
为球的形状），则气球表面积的最大值为__________.
错解：学生认为球最大时为正方体的切球，所以球的直径为a ，球的表面积为2
a π。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为
，所以正确答案为：22a π。
2. （如中）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，
椭圆的离心率为2
e =
，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。 错解：答
6π。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：3
π。 3. （如中）已知正三棱柱1
1
1
ABC A B C -底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与
底面ABC 成0
60角的截面面积是___________________。
错解：学生用面积射影公式求解：
01004cos 60
S S S ===底底截＝
错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是： 4. （如中）过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。
错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。 正确答案是不能确定。
5. （如中）判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面一点作它们的交线的垂线，则
此直线垂直于另一个平面。 正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。
6. （如中）平面α外有两点A,B ，它们与平面α的距离分别为a,b ，线段AB 上有一点P ，
且AP:PB=m:n ，则点P 到平面α的距离为_________________.
错解为：
na mb
m n
++。错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的
情况。正确答案是：|na mb mb na
m n m n
+-++或|
。 7. （如中）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成0
30的角，则AB 的长等于_____.
错解：16. 错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的情况。正确答案是：16或64。
8. （如中）判断若a,b 是两条异面直线，p 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面
与a,b 都平行。
错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面时恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行。
9．(磨中)与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个。 正确答案：7个 错误原因：不会分类讨论
10．(磨中)在棱长为1的正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，若G 、E 分别为BB 1，C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心，则四边形BGEF 在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。 正确答案：
2
1 错误原因：不会找射影图形
11．(磨中)△ABC 是简易遮阳板，A 、B 是南北方向上两个定点，正向射出的太线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD 面积最大，遮阳板ABC 与地面所成角应为_________。 正确答案：50°
错误原因：不会作图
12．(磨中)平面α与平面β相交成锐角θ，面α一个圆在面β上的射影是离心率为
2
1
的椭圆，则角θ等于_______。
正确答案：30°
错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。
13．(磨中)把半径为r 的四只小球全部放入一个大球，则大球半径的最小值为__________。
正确答案：(
12
6
+)r
错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上
14．（一中）AB 垂直于BCD ?所在的平面，4:3:,17,10===BD BC AD AC ，当
BCD ?的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 。正确答案：
13
5
15．（蒲中）在平面角为600
的二面角βα--l 有一点P ，P 到α、β的距离分别为PC=2cm ，
PD=3cm ，则P 到棱l 的距离为____________
答案：
3
57
2cm 点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。 16．（蒲中）已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形一点，
且∠DPA=450，∠DPB=600
，则∠DPC=__________
答案：600
点评：以PD 为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD 与棱PC 的夹角，利用
cos 2450+cos 2600+cos 2α=1得α=600
，构造模型问题能力弱。
17．（蒲中）正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角
都相等，试写出满足条件的一个截面____________ 答案：面AD 1C
点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥
D-AD 1C ，易瞎猜。
18．（江安中学）一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。
正解：
5
2。 设5242,22=+=
=AB x BD
55
25
25
222=
=
=
x 58
555252=-
=AD CD AD CD BD AB CD ⊥⊥∴⊥,,Θ
ADB ∠Θ为二面角的平面角，2
π
=
∠∴ADB
22)55
8
()552(
+=∴AB 5
852*******=+=
5
2422)8552
(
42cos 2
22=??-+=
∠∴ACB
误解：折叠后仍然CD AD CD BD ⊥⊥,判断不了，找不到AB ADB Rt ,?的长求不出。
19．（江安中学）某地球仪上北纬ο
30，纬线的长度为cm π12，该地球仪的半径是_____cm ，表面积是_____ cm 2
。
正解：π192,34
设地球仪的半径为R ，纬线的半径为r 。 由已知ππ122=r ，6=r
πππ1924844,34,2
3
6,30cos 2=?===?
=∴?=R S R R R r 表故οΘ。 误解：误将πππππ1443644,61222
=?====R S R R 得
20．（江安中学）自半径为R 的球面上一点P 引球的两两垂直的弦PA 、PB 、PC,则
222PC PB PA ++=_____。
正解:24R ,可将PA,PB,PC 看成是球接矩形的三度,则2
22PC PB PA ++应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。
误解：没有考虑到球接矩形，直接运算，易造成计算错误。
21．（丁中）直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β各有一条射线AB ，AC 与l 成450
，AB βα??AC ,，则∠BAC= 。
错解：600
错因：画图时只考虑一种情况
正解：600或1200
22．（丁中）直线l 与平面α成角为300
，m A m A l ??=?,,αα则m 与l 所成角的取值围
是
错解：[ 300 , 1200
]
错因：忽视两条直线所成的角围是]90,0[0
正解：[ 300
, 900
] 23．（丁中）若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B
到平面α的距离为_________cm 。
错解：2
错因：没有注意到点A 、B 在平面α异侧的情况。 正解：2、14
24．（薛中）已知直线L ∩平面α=O ，A 、B ∈L ，→
OA = 4 ，8=→
AB ；点A 到平面α距离为1，则点B 到平面α的距离为 。
答案：1或3 错解：3
错因：考虑问题不全面，点A ，B 可能在点O 的同侧，也可能在O 点两侧。 25．（薛中）异面直线a , b 所成的角为?60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为?60，这样的直线L 有 条。 答案：三条 错解：一条
错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P 作b a b b a a '''',,//,//由确定一平面α，画b a '',相交所成角的平分线m 、g ，过m, g 分别作平面α的垂面γβ,，则在γβ,中易找到所求直线共有3条。
26．（薛中）点P 是?ABC 所在平面外一点，且P 在?ABC 三边距离相等，则P 点在平面ABC 上的射影是?ABC 的 心。 答案：心或旁心 错解：心
错因：P 在平面ABC 的正射影可能在?ABC 部，也可能在?ABC 外部。 27．（案中）四面体的一条棱长为x ，其它各棱长为1，若把四面体的体积V 表示成x 的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。
正确答案：（0，
2
6
] ???
????326， 错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x 的隐藏围。
28．（案中）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AD 的中点，则点A 1到平面为EF 的距离为 正确答案：
3
2 错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。 29．（案中）点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 正确答案：
5
70
2 错误原因：找不到解题思路
三、解答题：
1. （如中）由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC ，O 为⊿ABC
的外心，求证：OP α⊥。
错解：因为O 为⊿ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以⊿POA ，⊿POB ，⊿POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，所以
OP α⊥。
错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，是对的，但它们为什么是直
角呢？这里缺少必要的证明。 正解：取BC 的
中点D ，连PD ，
OD ，
,,,,,,AB PO PO .
PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥Q 面同理，
2. （如中）一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。
错解：认为是正方体的切球。用正方体的体积减去切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。
正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间，小球不能到达的空间为：
33144
8[1(1)]8833
ππ-?=-，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个114??的
正四棱柱空间，小球不能到达的空间共为2
1[114(1)4]48124
ππ??-??=-。其他空
间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：
3440
(8)481256()33
cm πππ-+-=-。
3．（石庄中学）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=8，AA 1=4，M 为B 1C 1上一
点，且B 1M=2，点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN ，求：
(1) ),cos(1AM D A ；
(2) 直线AD 与平面ANM 所成的角的大小；
(3) 平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大
小. 解：(1) 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴. 则D(0,8,0)，A 1 (0，0，4)，M(5,2,4) 4,8,0(1-=∴D A ) )4,2,5(=AM
∵01=?AM D A ∴0,cos 1>=∠AM D A
(2) 由(1)知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，⊥∴D A 1平面AMN ，垂足为N. 因此AD 与平面所成的角即是.DAN ∠ 易知2arctan 1=∠=∠D AA DAN
(3) ∵⊥1AA 平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，
∴11NA AA 和分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则
5
5
arccos
),(1111=∠=∠==D AA N AA NA AA θ 4．（一中）点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中
点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ．
（Ⅰ）求EOF ∠的大小； （Ⅱ）求二面角E OF A --的大小．
解法一：（Ⅰ）如图，过点
作⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则
EG FH =
=，GH =．
22222
EF GH EG FH EG FH ∴=++-?
222012.=++-=
又在EOF ?中，2OE OF ==，
2221cos 22
OE OF EF EOF OE OF +-∴∠===-?．
120EOF ∴∠=o ．
（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．
∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．
∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ?EGM 中，90EGM ∠=o
，EG =，1
12
GM OE ==，
∴tan EG
EMG GM
∠=
=∴EMG ∠= 所以，二面角E OF A --的大小为arctan ．
解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ，
则(1,1,2)OE =-u u u r ，(0,2,0)OF =u u u r
．
1
cos ,2||||
OE OF OE OF OE OF ?∴<>==-u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u u
r u u u r ． 120EOF ∴∠=o ．
（Ⅱ）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z =u r
． 由110,0,n OE n OF ?=?=u r u u u r u r u u u r
得
120,
20,
y z y ?-+=??
=??解得20,y z ==-． 所以，12
(1,0,)2
n =-u r ． 又因为平面AOF 的法向量为2(0,0,1)n =u u r
，
1212123
cos ,3
||||n n n n n n ?∴<>==u r u u r
u r u u r u u
r u u r ．∴123,arccos n n <>=u r u u r ． 所以，二面角E OF A --的大小为3
arccos
3
． 5．（蒲中）斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧棱
长等于b ，一条侧棱AA 1与底面相邻两边AB 、AC 都成450
角，求这个三棱柱的侧面积。
解：过点B 作BM ⊥AA 1于M ，连结CM ，在△ABM 和△ACM 中，∵AB=AC ，∠MAB=∠MAC=450，MA 为公用边，∴△ABM ≌△ACM ，∴∠AMC=∠AMB=900
，∴AA 1⊥面BHC ，即平面BMC 为直截面，又BM=CM=ABsin450
=2
2a ，∴BMC 周长为
2x 2
2a+a=(1+2)a ，且棱长为b ，∴S 侧=(1+2)ab
点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，
即“过BC 作平面与AA 1垂直于M ”；三是由条件“∠A 1AB=∠A 1AC ?∠AA 1在底面ABC 上的射影是∠BAC 的平分线”不给出论证。
6．（江安中学）如图在三棱柱ABC-'''C B A 中，已知底面ABC
是底角等于ο
30，底边AC=34的等腰三角形，且
x
y
z A
B
C D
E
F
O
A 1
C 1C B
A M
B 1
22','=⊥C B AC C B ，面AC B '与面ABC 成ο45，B A '与'AB 交于点E 。
1) 求证：'BA AC ⊥；
2) 求异面直线AC 与'BA 的距离； 3) 求三棱锥BEC B -'的体积。 正解：①证：取AC 中点D ，连ED ，
ED AB E ∴的中点，是'Θ//2'2
1
=C B
AC DE AC C B ⊥∴⊥,'Θ
又ABC ?Θ是底角等于ο
30的等腰?，D DE BN AC BD =⊥∴I ,
',,BA AC BE AC BDE AC ⊥⊥∴⊥∴即面
②解：由①知的一个平面角，是二面角B AC B EDB --∠'
23
3
3230tan ,245=?
===∠∴οοAD BD ED EDB ，＝ 在
22
2224245cos 2222=?
?-+=?-+=?αοBD ED BD ED EB DBE 中：ED BE ED Rt BDE EB ,,,2⊥??∴=∴是等腰是异面直线AC 与'BA 的距离，
为2
③连，面又BED AC BD D A ED EA ED D A ⊥⊥∴=
==,',2','
2'',','=⊥∴⊥∴?D A ABC D A AC D A BED D A 且面面
33
8
')(2131'31'=???=?=?-D A AC BD D A S V ABC ABC B
33
4
2121''''''====----ABC B ABB C BEB C BEC B V V V V
误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后
错解。
7．（江安中学）如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求
4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 5) PC 和NC 的长；
6) 平面NMP 和平面ABC 所成二面
角（锐角）的大小（用反三角函数表示）
正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为974922=+
②如图1，将侧面BC 1旋转ο
120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，
在2,292)32
2
1==+?x x MAP Rt ＋中，（
5
4
,5211=∴==∴
NC A P C P MA MC ③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥。
所成二面角的平面角。与平面就是平面ABC NMP NHC ∠∴
1,602
11=∴=∠=
∠?CH PCP PCH PHC Rt ο
Θ中，在 54
tan ==∠?CH NC NHC NCH Rt 中，在
误解：①不会找29 的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。
… 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15
6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C
三年级（上）数学易错题集(共111题) 1. 一个正方形游泳池走一圈要走120分米，这个游泳池的边长是 （）米。 2. 把两个边长3厘米的正方形拼成一个长方形，所拼长方形的周长 是（）厘米。 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 上面图形中，（）是四边形， 其中（）是平行四边形。 4. 长方形的（）相等。 A.四条边； B.四个角； C.邻边 5. 5个同样大小的小正方形拼成一个大长方形，周长减少了24厘 米，小正方形的边长是（）厘米。（画图） 6. 24×30＝940-58＝359+471＝ 229+385＝52×9≈498×5≈550×8≈7. 在方格纸上按要求画图形（每个小方格的边长是1厘米） （1）画一个边长2厘米的正方形。 （2）画一个周长是10厘米的长方形。
8. 长方形（）边相等，正方形（） 边相等。 9. 一根铁丝长8米，把它绕成正方形后，正方形边长为（）， 如果把它绕成长方形，那么此长方形的长与宽的和为（）。 10. 三个边长都是1厘米的小正方形拼成大长方形后， 周长是（）厘米。 11. 王伯伯想用篱笆围一个长6米，宽4米的长方形菜园，一面靠墙， 需要篱笆的长度是（）米或（）米。 12. 判断：长方形对角也相等（） 13. 选择：一个长方形的周长是18厘米，长和宽不可能是（） A.10厘米和8厘米； B.5厘米和4厘米； C.6厘米和3厘米； D.7厘米和2厘米 14. 用4个边长是1厘米的正方形拼成大长方形，周长是( )厘米。 A.8； B.8或10； C.10 15. 以下每一小格是边长1厘米的小正方形。 (1)已知图形的周长为( ) (2)画出与已知图形周长相等的一个正方形和一个长方形。
二次函数易错题、重点题型汇总 一、选择题 1、若二次函数52 ++=bx x y 配方后为k x y +-=2 )2(则b 、k 的值分别为（ ） A 0．5 B 0．1 C —4．5 D —4．1 2、在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋2x 与坐标轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 3、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax 2+bx+c -0.6 -0. 2 0. 3 0.9 判断方程ax 2+bx+c-0.4=0（a ≠0,a 、b 、c 为常数）一个解的范围是（ ） Ａ．3＜x ＜3.23 Ｂ．3.23＜x ＜3.24 Ｃ．3.24＜x ＜3.25 Ｄ．3.25＜x ＜3.26 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 2 5、把抛物线y=2x 2 －4x －5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） A ．y= －2x 2 －4x －5 B ．y=－2x 2+4x+5 C ．y=－2x 2+4x －9 D ．以上都不对 6、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a －b+c>0；③abc<0； ④2a+b=0．其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、函数y=x 2 -2x-2的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ） A ．31≤≤-x B ．31<<-x C ．31>-
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
二次根式易错题集 一、二次根式的概念： 二次根式的性质： 1.()0≥a a 是一个非负数。 2.()02≥=a a a 3.()()???-≥==002 a a a a a a 错题： 1.=25 5 2.()=-23 －（－3）=3 3.()=--2 1255－1=4 4.() =2 63()5469632 2 =?=?或()=2 63()()5454632 2 2 ==? 5.() =-- 2 666-=-- 6.= -2 5 5151512 2=?? ? ??= 7.根据条件，请你解答下列问题：（1）已知n -20是整数，求自然数n 的值； 解：首先二次根式有意义，则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式，即 ()0,202≥=-a a a n 且为整数。所以满足条件的平方数2a 有0，1，4，9，16。所以.4,11,16,19,20=n （2）已知n 20是整数，求正整数n 的最小值 解：因为n 20是整数，所以根号内的数一定是一个平方数，即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式，即()为整数a a n 220=，而()为整数a a n 25420??=，4可以开平方，剩下不能开平方的数5，所以正整数n 的最小值就是5，因2555=?能被开平方。所以我们要把常数先进行分解，把能开平方的数分解出来，剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数，而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。 7-2.(2)已知n -12是正整数，求实数n 的最大值； 解：因为n -20是正整数，所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数，即 n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式，即()0,202 a a a n 且为整数=-。所以满足条件的平方数2a 有1，4，9。所以.3,8,11=n 最大值为11. 易错点：1.在计算或求值时，容易疏忽()0≥a a 是一个非负数。 2.在开方时，易出现()02 a a a =的错误。 3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。它们的结构相似，极易混淆，因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系
【易错题1】13（x-5）=156 【错因分析】这类方程非常典型；常见错误形式有13x-5=156、13x-18=156、 13x-5x=156 【思路点拨】这类题型部分同学计算第一步时会运用乘法分配律来计算；但经常由于分配的方法不正确从而导致错误。同学们在解此类方程时不妨紧扣等式的基本性质。等式两边同时除以13；得出x-5=12；从而快速正确地得到方程的解。 【易错题2】(1)2.5x+4.5=14.5 (2)3.5x+x=10.5 【错因分析】第（1）题部分同学会做成7x=14.5；第（2）题部分同学会做成3.6x=10.5同类项合并出错。 【思路点拨】第（1）题不能进行同类项合并有的同学却合并了；第（2）题需要进行同类项合并；有的同学却没有合并。解决此类题目同学们需要注意观察与比较数据的特点；并加强同类项的合并与非同类项计算的相应练习；这样就熟能生巧；不宜犯错啦。 【易错题3】如图所示（1) 【错因分析】这两题比较容易混淆。因为72cm的位置不同；解题方法就不一样了。【思路点拨】同学们首先要仔细观察线段图；明确图意；找对72cm所对应的线段。明确第一幅的72cm表示4段的长度；第二幅的72cm表示5段一共的长度。这样就不容易搞混犯错啦！ 【易错题4】在一次数学测试中；五(1)班的平均分是95分。如果把高于平均分的部分记为正数；低于平均分的部分记为负数；那么乐乐得了98分；应记作( )分；聪聪得了90分；应记作( )分。 【错因分析】学生没有仔细理解前面条件陈述的内容；看到“得了”两字就像抓到救命稻草一样立即填上+98和+90了。 【思路点拨】仔细读题看清条件；“五(1)班的平均分是95分。如果把高于平均分的部分记为正数；低于平均分的部分记为负数”；所以本题正确结果是98-95=3（分）；乐乐得了98分；应记作(+3 )分；95-90=5（分）；聪聪得了90分；应记作(-5 )分。
二次函数中考真题汇编 [解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当1 236 25 S S =时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+2 3 E'B的最小值． 【答案】（1）抛物线y＝﹣3 4 x2+ 9 4 x+3，直线AB解析式为y＝﹣ 3 4 x+3；（2）P（2， 3 2）；（3 410 【解析】 【分析】 （1）由题意令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式； （2）根据题意由△PNM∽△ANE，推出 6 5 PN AN =，以此列出方程求解即可解决问题； （3）根据题意在y轴上取一点M使得OM′＝4 3 ，构造相似三角形，可以证明AM′就是 E′A+2 3 E′B的最小值． 【详解】 解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点C（﹣1，0）与y轴交于点B （0，3），
则有 3 30 n m m n ? ? ?++ ＝ ＝ ，解得4 3 3 m n ? ? ? ? - ? ＝ ＝ ， ∴抛物线2 39 3 44 y x x =-++， 令y＝0，得到2 39 3 44 x x -++＝0， 解得：x＝4或﹣1， ∴A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，则 3 40 b k b + ? ? ? ＝ ＝ ， 解得 3 3 4 k b ? - ? ? ?? ＝ ＝ ， ∴直线AB解析式为y＝3 4 -x+3． （2）如图1中，设P（m，2 39 3 44 m m -++），则E（m，0）， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN＝∠AEN， ∵∠PNM＝∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∵△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，1 2 36 25 S S ＝， ∴6 5 PN AN =， ∵NE∥OB， ∴AN AE AB OA =， ∴AN＝5 4 5 4 5 4 5 4 （4﹣m），
典型例题一 例1 设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩 形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体； 命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体1111-D C B A ABCD 中 所有对角线相等，对角面11BDD B 是平行四边形，对角线 D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是矩形，即BD BB ⊥1，同理 四边形11ACC A 是矩形，所以AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥ 1BB 底面ABCD ，即该平行六面体是直平行六面体． 故选A ． 说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题． 下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表表
平行四边形 平行六面体 ①对边平行且相等 ①相对的侧面平行且全等 ②对角线交于一点，且在这一点互相 平分 ②对角线交于一点且在这一点互相平分 ③四条边的平方和等于两条对角线的平方和 ③十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和 典型例题二 例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为 30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角； （3）正四棱柱的全面积． 分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面ABCD 、 1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直关系，而线面 垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件．题中无论是已知 线面成角，还是求线面成角，都要把它们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式． 解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11， ∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即 3011=∠BC D ． ∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ， ∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ， ⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角， 在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ，
一、选择题 1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 2．下列计算正确的是（ ） A ．93=± B ．8220-= C ．532-= D ．2(5)5-=- 3．在函数y= 2 3 x x +-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 4．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 5．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ） A ．2c -b B ．2c -2a C ．-b D ．b 6．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 7．设0a >，0b >( 35a a b b a b =23ab a b ab ++的值是 （ ） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 8．下列计算正确的是（ ） A 1233= B 235= C ．43331= D ．32252+= 9．给出下列化简①（2-）2=222-=（）2221214+=3
1 2 =，其中正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．①② D ．③④ 10．下列运算一定正确的是( ) A a = B = C ．222()a b a b ?=? D ()0n a m = ≥ 二、填空题 11．已知x =( )21142221x x x x -??+?= ?-+-??_________ 12．若0a >化成最简二次根式为________． 13．若m m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____． 14．定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为()f x z ， 即：当n 为非负整数时，如果11 22 n x n -<+≤，则()f x n =z ． 如：(0)(0.48)0f f ==z z ，(0.64)(1.49)1f f ==z z ，(4)(3.68)4f f ==z z ， 试解决下列问题： ①f =z __________；②f =z __________； + =__________． 15．3 =，且01x <<=______． 16．甲容器中装有浓度为a ，乙容器中装有浓度为b ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________． 17．把 18．=== 据上述各等式反映的规律，请写出第5个等式：___________________________． 19．a ，小数部分是b b -=______. 20．1 =-=
五年级下册易错题集 一、填空 1．把5米长的绳子平均剪成4段，每段长（ ）米，每段是全长的（ ） 2．把3kg 水果平均分给4个小朋友，每个小朋友分得这3kg 水果的（ ），每个小朋友分到（ ）kg 3．王师傅8分钟制作了5个零件，他每分钟能制作（ ）个零件，制作一个零件要（ ）分钟 4．5米长的绳子剪去15 米，还剩下（ ）米 5米长的绳子剪去它的15 ，还剩下（ ）米 5． 68 的分子加上9，分母加（ ）分数的大小才不会变 6．能同时被2、3整除的最小三位数是（ ） 能同时被3、5整除的最小三位数是（ ） 能同时被2、3、5整除的最小三位数是（ ） 能同时被2、3整除的最大二位数是（ ） 能同时被3、5整除的最大二位数是（ ） 能同时被2、3、5整除的最大二位数是（ ） 100以内最大的质数是（ ） 50以内最大的质数是（ ） 7．20以内所有质数的和是（ ） 20以内所有合数的和是（ ） 20以内所有奇数的和是（ ） 20以内所有偶数的和是（ ） 8．一个三位数，个位是最小的合数，十位是最小的质数，百位是最小的奇数，这个三位数是（ ） 9．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都会剩下一个，这筐苹果至少有（ ）个 10．一个数既是6的倍数，又是48的因数，这个数可能是（ ）
11．20以内既是奇数，又是合数的数有（ ） 12．分母是8的所有最简真分数的和是（ ） 分母是8的所有真分数的和是（ ） 13．一个正方体的棱长总和是60cm ，它的表面积是（ ）体积是（ ） 14．用四个不同的数字组成一个能同时被2、3、5整除的最大四位数是（ ） 15．把一个涂色的大立方体，割成8个小立方体，3面涂色的有（ ）块 把一个涂色的大立方体，割成27个小立方体，3面涂色的有（ ）块 2面涂色的有（ ）块，1面涂色的有（ ）块，0面涂色的有（ ）块 16．A=2×2×3×5×7 B=2×3×7 A 和 B 的最大公因数是（ ） A 和 B 的最小公倍数是（ ） 17．一个分数的分子扩大3倍，分母缩小2倍，分数值（ ） 一个分数的分子缩小3倍，分母扩大2倍，分数值（ ） 一个分数的分子扩大3倍，分母扩大3倍，分数值（ ） 18．正方体的棱长扩大a 倍,它的棱长总和扩大( )倍,表面积扩大( )倍,体积扩大 ( )倍 正方体的棱长扩大3倍,它的棱长总和扩大( )倍,表面积扩大( )倍,体积扩大 ( )倍 19.分母是9的最简真分数有( )个,它们的和是( ) 分母是9的真分数有( )个,它们的和是( ) 分子是9的假分数有( )个 20.36的因数有( )个 21.全班有学生44人,女生有24个,女生占全班的( ),男生占全班的( )男生是女生的( ),如果把男女生分成人数相等的小组,能分( )个组,每组最多( )个 22．58 米是（ ）米的18 ，还可以是（ ）米的（ ）（ ） 23．一个魔方的体积大约是30（ ）汽车油箱的容积大约是30（ ） 一块橡皮的体积大约是8（ ）一步的长度大约是6（ ） 24．152分解质因数是（ ）
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
《二次根式》易错题集 易错题知识点 1．忽略二次根式有意义的条件，只有被开方数 a≥0时，式子a才是二次根式；若a<0，则 式子a 就不能叫二次根式，即 a 无意义。 2．易把 2 a与2) (a混淆。 3．二次根式的乘除法混合运算的顺序，一般从左到右依次进行或先把除法统一成乘法后，再用乘法运算法则计算。 4．对同类二次根式的定义理解不透。 5．二次根式的混合运算顺序不正确。 典型例题 选择题 1．当a＞0，b＞0时，n是正整数，计算的值是（） A．（b﹣a）B．（a n b3﹣a n+1b2）C．（b3﹣ab2）D．（a n b3+a n+1b2） 考点：二次根式的性质与化简。 分析：把被开方数分为指数为偶次方的因式的积，再开平方，合并被开方数相同的二次根式． 解答：解：原式=﹣ =a n b3﹣a n+1b2 =（a n b3﹣a n+1b2）． 故选B． 点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数． 2．当x取某一范围的实数时，代数式的值是一个常数，该常数是（）A．29 B．16 C．13 D．3 考点：二次根式的性质与化简。 分析：将被开方数中16﹣x和x﹣13的取值范围进行讨论． 解答：解：=|16﹣x|+|x﹣13|， （1）当时，解得13＜x＜16，原式=16﹣x+x﹣13=3，为常数； （2）当时，解得x＜13，原式=16﹣x+13﹣x=29﹣2x，不是常数； （3）当时，解得x＞16；原式=x﹣16+x﹣13=2x﹣29，不是常数；
（4）当时，无解． 故选D 点评：解答此题，要弄清二次根式的性质：=|a|，分类讨论的思想． 3．当x＜﹣1时，|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1|的值为（） A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4 考点：二次根式的性质与化简。 分析：根据x＜﹣1，可知2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算． 解答：解：∵x＜﹣1 ∴2﹣x＞0，x﹣1＜0 ∴|x﹣﹣2|﹣2|x﹣1| =|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x） =|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x） =﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x） =2． 故选A． 点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，=a；a＜0时，=﹣a；a=0时，=0；解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算． 4．化简|2a+3|+（a＜﹣4）的结果是（） A．﹣3a B．3a﹣C．a+D．﹣3a 考点：二次根式的性质与化简；绝对值。 分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相加即可得出结论． 解答：解：∵a＜﹣4， ∴2a＜﹣8，a﹣4＜0， ∴2a+3＜﹣8+3＜0 原式=|2a+3|+ =|2a+3|+ =﹣2a﹣3+4﹣a=﹣3a． 故选D． 点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则容易计算错误． 5．当x＜2y时，化简得（）
小学数学总复习易错题集 一、填空 1、一个三角形的底角都是45度，它的顶角是（）度，这个三角形叫做（）三角形。（注意答案的准确完整） 2、有一根20厘米长的铁丝，用它围成一个对边都是4厘米的四边形，这个四边形可能是 （）。（注意答案的准确完整） 3、一项工程，甲乙两队合作20天完成，已知甲乙两队的工作效率之比为4：5，甲队单独完成这项工程需要（）天。（注意工作时间和工作效率的转化） 4、一座钟的时针长3厘米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是（）厘米。（注意两个关键词） 5、在一块长10分米，宽6分米的长方形铁板上，最多能截取（）个直径是2分米的圆形铁板。（可把圆看作正方形） 6、3/4吨可以看作3吨的（/ ），也可以看作9吨的（/ ）。（可看成求一个数是另一个数的几分之几） 7、两个正方体的棱长比为1∶3，这两个正方体的表面积比是（）∶（），体积比是（）∶（）。（长度比不变，面积成平方比，体积变立方比） 8、长方体货仓1个，长50米，宽30米，高5米，这个长方体货仓最多可容纳8立方米的正方体货箱（）个。（注意高度上不能放整个数，不能用大体积除以小体积，要分层计算） 9、棱长1厘米的小正方体至少需要（）个拼成一个较大的正方体，需要（）个可以拼成一个棱长1分米的大正方体。如果把这些小正方体依次排成一排，可以排成 （）米。（较大即棱长多1，另注意单位的变化） 10、一个数的20%是100，这个数的3/5是（）。（先求单位1，再已知单位1求对应量） 11、六（1）班今天出勤48人，有2人因病请假，这天的出勤率是（）。（注意出勤率＝出勤人数除以应出勤总人数乘以100%，得数一定要写成百分数） 12、A除B的商是2，则A∶B=（）∶（）。（看到除和除以一定要小心） 13、甲数的5/8等于乙数的5/12，甲数∶乙数=（）∶（）。（甲乙之比不等于两分数之比，另最后一定要写成最简整数比） 14、把4∶15的前项加上2.4，为了要使所得的比值不变，比的后项应加上（）。（根据比的基本性质，前项增加它的几倍，后项也要增加它的几倍，而不能加或减相同的数） 15、6/5吨：350千克，化简后的比是（），比值是（）。（注意化单位） 16、把甲班人数的1/8调入乙班后两班人数相等，原来甲、乙两班人数比是（）。（调入不是相差甲班的1/8，而是甲班的两个1/8） 17、甲走的路程是乙的4/5，乙用的时间是甲的4/5，甲、乙速度比是（）。（速度＝路程除以时间，一定要注意前后两条件顺序不一，最后写成最简整数比）18、一个数由6个百亿、500个万，8个千，40个十组成，这个数写作（），改写成万为单位的数写作（），省略亿后面的尾数是（）。（注意改写和省略尾数的区别） 19、50以内只含有质因数2的数有（）。（即不同个数的2相乘） 20、4米的绳，把它平均分成5段，每段是这根绳子的（），每段长（）米，等于1米的（）。（不带单位是分率，是分数的一般意义，平均分成若干份是分母，选其中的几份是分子，和整体的大小无关；带上单位是量，是分数的除法意义，用整体除以份数） 21、3/8的单位是（），要添上（）个这样的单位是87.5%。 22、在括号里填上一个分母是一位数的分数，3/4＜（）＜4/5。（可分子分母同时乘以2，找中间数） 23、16和24的最小公倍数是（），最大公约数是（），最大公约数是最小公倍数的（）。 24、用字母表示： （1）一项工程，甲队独做a天完成，乙队独做b天完成。两队合作，（）天完成。 （2）a和7所得和的3倍除以5的商。（） （3）n除m的商。（）（看到除和除以一定要小心） 25、一根长2米，横截面直径是6厘米的木棍，截成4段后表面积增加了（），它原来的体积是（）。（想一想截成4段截了几次增加了几个横截面，另注意单位的变化） 26、x=5b-2b b和x成（）比例（把算式化简改写，x和b凑一起是乘还是除，是反比例还是正比例） 27、甲绳是乙绳的4/5，乙绳比甲绳长（）（注意两个量的前后顺序） 28、一个整数以万为单位的近似数是5万，这个数最大是（），最小是（）。（最大是四舍去一个最大的尾数得到的，最小是五入得到的即进一才是5万尾数必满5且最小）29、一个直角三角形中，三条边的长分别是6厘米、8厘米、10厘米，这个三角形的面积是 （）平方厘米。（找到两条直角边，分别是底和高） 30、一个圆柱形的玻璃杯，测得内直径是10厘米，内装药水深度有16厘米，正好占杯内容量的80%。如果装满药水，应是（）毫升。（注意实际高度，可先求药水体积再求容积或先求杯子实际高度再求容积） 31、一本书若定价每本10元，获得的纯利润是25%；如果想使获得的纯利润是40%，则每本书应定价（）元。（注意单位1是成本，纯利＝定价-成本，定价＝成本×（1+利润率）） 32、4/11的分子加上12，要使分数的大小不变，分母应加上（）。
二次根式单元 易错题难题质量专项训练 一、选择题 1．下列计算正确的是( ) A ．235+= B ．3223-= C ．623÷= D ．(4)(2)22-?-= 2．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ．22a b + B ．2a C ．12a D ．12 3．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．21x + C ．12 D ．40.5 4．若a 是最简二次根式，则a 的值可能是（ ） A ．2- B ．2 C ．32 D ．8 5．对于所有实数a ，b ，下列等式总能成立的是（ ） A ．()2b a b a +=+ B ．22222(b a b )a +=+ C ．22b a b a +=+ D ．2(b)a b a +=+ 6．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1﹣2a D ．2a ﹣1 7．下列根式中，最简二次根式是（ ） A ．13 B ．0.3 C ．3 D ．8 8．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12 B ．3 C ．0.01 D ．12 9．下列各式计算正确的是（ ） A ．6 232126()b a b a b a ---?= B ．（3xy ）2÷（xy ）=3xy C ．23a a a += D ．2x ?3x 5=6x 6 10．已知a 满足2018a -＋2019a -＝a ，则a －2 0182＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 018 D ．2 019 11．若a 、b 、c 为有理数，且等式 成立，则2a ＋999b ＋1001c 的
人教版小学五年级下册 数学易错题集 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
五年级下册易错题集 一、填空 1．把5米长的绳子平均剪成4段，每段长（ 5/4 ）米，每段是全长的 （1/4 ） 2．把3kg水果平均分给4个小朋友，每个小朋友分得这3kg水果的（ 1/4 ），每个小朋友分到（ 3/4 ）kg。 3．王师傅8分钟制作了5个零件，他每分钟能制作（ 5/8 ）个零件，制作一个零件要（ 8/5 ）分钟。 4．5米长的绳子剪去1 5 米，还剩下（ 4 4/5 ）米.。 5米长的绳子剪去它的1 5 ，还剩下（ 4 ）米。 5．6 8 的分子加上9，分母加（ 12 ）分数的大小才不会变.。 6．能同时被2、3整除的最小三位数是（ 102 ）。能同时被3、5整除的最小 三位数是（ 105 ）。能同时被2、3、5整除的最小三位数是（ 120 ）。 能同时被2、3整除的最大二位数是（ 96 ）。能同时被3、5整除的最大二位 数是（ 90 ）。能同时被2、3、5整除的最大二位数是（ 90 ）。100以 内最大的质数是（ 97 ）。 50以内最大的质数是（ 47 ）。 7．20以内所有质数的和是（ 77 ）。 20以内所有合数的和是（ 112 20以内所有奇数的和是（ 100 ）。 20以内所有偶数的和是 （ 100 ）。 8．一个三位数，个位是最小的合数，十位是最小的质数，百位是最小的奇数，这个 三位数是（ 1 2 4 ）。 9．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都会剩下一个，这筐苹果至 少有（ 61 ）个。 10．一个数既是6的倍数，又是48的因数，这个数可能是（ 12 24 48 ）。11．20以内既是奇数，又是合数的数有（ 9 15 ）。
《 二次函数 》经典习题汇编 模块一：二次函数的相关概念 1．（2014山东东营，9）若函数21(2)12 y mx m x m =++++的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ） A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 2．（2015江苏宿迁，16）当x m =或x n =（m n ≠）时，代数式223x x -+的值相等，则x m n =+时，代数 式223x x -+的值为 。 3．（2013江苏南通，18）已知22x m n =++和2x m n =+时，多项式2 46x x ++的值相等，且20m n -+≠，则当3(1)x m n =++时，多项式246x x ++的值等于________。 模块二：二次函数的顶点问题 1．（2015湖南益阳，8改编）若抛物线2()(1)y x m m =+++的顶点在第一象限，则m 的取值范围为________。 2．(2013吉林，6)如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为22()y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k < D ．0h >，0k < 模块三：二次函数的对称轴问题 1．（2014福建三明，10）已知二次函数2 2y x bx c =-++，当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．1b ≥- B ．1b ≤- C ．1b ≥ D ．1b ≤ 2．（2013贵州贵阳，15）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________。 3．（2015江苏常州，7）已知二次函数2(1)1y x m x =+-+，当1x >时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值范围是（ ） A ．1m =- B ．3m = C ．1m ≤- D ．1m ≥- 模块四：二次函数的图象共存问题 1．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（ ）
【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）
A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A