连续系统零极点分布与频响特性的关系 班级：02 学号：2014210 请利用MATLAB软件绘制下列因果系统的零极点图和频率响应特性曲线，并分析系统的滤波特性。 (1) H1(s); 程序如下： close all b=[2]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。
-2-1.5-1-0.5 00.511.52 Real Axis (seconds -1 ) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) -10 1 -80 -60-40-200 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 -0.7 10 -0.4 10 -0.1 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e (2) H 2(s) ; 程序如下： close all b=[1 0]; a=([1 2]); SYS=tf(b,a); pzplot(SYS); axis([-4,4 -2,2]); figure; freqs(b,a); MATLAB 绘制的零、极点图和频率响应特性曲线如图所示。 零极点图 频率特性曲线图
Real Axis (seconds -1) I m a g i n a r y A x i s (s e c o n d s -1) 10 10 10 10 Frequency (rad/s) P h a s e (d e g r e e s ) 10 10 10 10 10 101010 Frequency (rad/s) M a g n i t u d e
传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现 一、引言 微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。 二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型 1、MATLAB算法 %将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s) %或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m %调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1 %时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型 function G=ssto2(key,A,B,C,D) if key==1 sys=ss(A,B,C,D); G=tf(sys), elseif key==2 sys=ss(A,B,C,D); G=zpk(sys), end 2、例题分析 【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为 H(t) ?(t)=?0.39120.01234 ?0.0220 H(t) ?(t)+ 0.033440.01234 0.0008960 u1(t) u2(t) y1(t) y2(t)=11 H(t) ?(t)+00 u1(t) u2(t) 求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。>> clear; A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0]; B=[0.03344,0.01234;0.000896,0]; C=[1,1];D=[0,0]; key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D); key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D); G = From input 1 to output: 0.03434 s - 0.0003741 -------------------------- s^2 + 0.3912 s + 0.0002715 From input 2 to output: 0.01234 s - 0.0002715
摘要 本文详细分析了系统函数零极点的分布与冲击响应时域特性之间的关系。首先论述了如何通过MATLAB软件绘制出系统函数的零极点分布图。然后根据系统函数极点的不同分布情况，通过MATLAB软件绘制出冲击响应的时域函数，通过对图像的观察和比较，得出了极点的类型决定时间函数的时间连续形式，极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点。最后，在极点相同，但零点不同的情况下，通过比较时域函数的波形，得出零点分布与时域函数的对应关系，即零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位。 关键词：系统函数的零极点；时域特性；MATLAB软件
目录 1课程设计目的 (1) 2实验原理 (1) 3实现过程 (1) 3.1MATLAB简介 (1) 3.2系统函数极点分布情况 (2) 3.2.1极点为单实根 (2) 3.2.2极点为共轭复根 (2) 3.2.3极点为重根 (2) 3.2.4用MATLAB绘制系统函数的零极点分布图 (2) 3.3系统函数的零极点分布与冲击响应时域特性的关系 (6) 3.3.1用MATLAB绘制冲击响应的时域函数 (6) 3.3.2极点的类型决定时间函数的时间连续形式 (19) 3.3.3极点在S平面的位置决定时间函数的波形特点 (19) 3.3.4零点分布与时域函数的对应关系 (19) 4设计体会 (23) 5参考文献 (24)
1 课程设计目的 1.掌握系统函数的零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系。 2.学习MATLAB 软件知识及应用。 3.利用MATLAB 编程，完成相应的信号分析和处理。 2 实验原理 拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为s 域函数F(s)；反之，拉普拉斯逆变换将F(s)变换为相应的f(t)。由于f(t)与F(s)之间存在一定的对应关系，故可以从函数F(s)的典型形式透视出f(t)的内在性质。当F(s)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式皆可分解为因子形式，各项因子指明了F(s)零点和极点的位置，显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的性质。 设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 ?+∞ -=0)()(dt e t h s H st 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。 对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即 其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。 3 实现过程 3.1 MATLAB 简介 MALAB 译于矩阵实验室（MATrix LABoratory ），是用来提供通往 LINPACK 和EISPACK 矩阵软件包接口的。后来，它渐渐发展成了通用科技计算、图视交互系统和程序语言。 MATLAB 的基本数据单位是矩阵。它的指令表达与数学、工程中常用的习惯形式十分相似。比如，矩阵方程Ax=b ，在MATLAB 中被写成A*x=b 。而若要通过A ，b 求x ，那么只要写x =A \b 即可，完全不需要对矩阵的乘法和求逆进行编程。因此，用MATLAB 解算问题要比用C 、Fortran 等语言简捷得多。 MATLAB 发展到现在，已经成为一个系列产品：MATLAB “主包”和各种可选的toolbox “工具包”。主包中有数百个核心内部函数。迄今所有的三十几个工具包又可分为两类：功能性工具包和学科性工具包。功能性工具包主要用来扩充MATLAB 的符号计 ∏∏1 1) -()-() () ()(N i i M j j p s q s C s A s B s H ====
零极点对系统性能的影响分析 1任务步骤 1.分析原开环传递函数G0（s）的性能，绘制系统的阶跃响应曲线得到系 统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 2.在G0（s）上增加零点，使开环传递函数为G1（s），绘制系统的根轨迹, 分析系统的稳定性； 3.取不同的开环传递函数G1（s）零点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 4.综合数据，分析零点对系统性能的影响 5.在G0（s）上增加极点，使开环传递函数为G2（s），绘制系统的根轨迹， 分析系统的稳定性； 6.取不同的开环传递函数G2（s）极点的值，绘制系统的阶跃响应曲线得 到系统的暂态性能（包括上升时间，超调时间，超调量，调节时间）； 7.综合数据，分析极点对系统性能的影响。 8.增加一对离原点近的偶极子和一对距离原点远的偶极子来验证偶极子 对消的规律。
2原开环传递函数G0（s）的性能分析 2.1 G0（s）的根轨迹 取原开环传递函数为： Matlab指令： num=[1]; den=[1,0.8,0.15]; rlocus(num,den); 得到图形： 图1 原函数G0(s)的根轨迹 根据原函数的根轨迹可得：系统的两个极点分别是-0.5和-0.3，分离点为-0.4，零点在无限远处，系统是稳定的。 2.2 G0（s）的阶跃响应 Matlab指令： G=zpk([],[-0.3,-0.5],[1]) sys=feedback(G,1) step(sys) 得到图形：
图2 原函数的阶跃响应曲线 由阶跃响应曲线分析系统暂态性能： 曲线最大峰值为1.12，稳态值为0.87， 上升时间tr=1.97s 超调时间tp=3.15s 调节时间ts=9.95s ，2=? 超调量% p σ=28.3%
现代工程控制理论实验报告 学生姓名：??任课老师:???? 学号：??班级:
实验三：传递函数零极点对系统性能得影响 一、实验内容及目得 实验内容: 通过增加、减少与改变高阶线性系统得零极点,分析系统品质得变化，从中推导出零极点与系统各项品质之间得关系,进而总结出高阶线性系统得频率特性。 实验目得： （1）通过实验研究零极点对系统品质得影响，寻找高阶线性系统得降阶方法,总结高阶系统得时域特性。 （2）练习使用MATLＡB语言得绘图功能,提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。 二、实验方案及步骤 首先建立ＭAＴLAＢ脚本文件,使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化得高阶线性系统得响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线,分别分析其对系统输出得影响。 （1）改变主导极点，增减、改变非主导极点,加入非负极点,绘出多组线性系统在阶跃信号下得响应曲线。 （2）在不引入对偶奇子得前提下,加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下得响应曲线。 （3）引入对偶奇子,绘出多组线性系统在阶跃信号下得响应曲线。
（4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线得形成与零极点之间得关系. 三、实验结果分析 1、研究极点对系统品质得影响 （1）改变主导极点，得到得输出曲线如下： 将系统品质以表格方式列于下方。 主导极点-1、5 -０、5 -0、２5
从两张图片中不难发现,在极点都就是负数得条件下,当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大得变化。 从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时,超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标得变化速率随着主导极点离原点得距离减小而增大。衰减率则出现轻微得先增大后减小得趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近得过程中，衰减率存在极值。 将两幅图片中发现得规律总结如下: （1）主导极点对系统品质有很大影响。 （2）在极点都小于零得条件下，主导极点得代数值越小,系统得准确性越好、快速性也越好。 (2）增减、改变非主导极点,得到得输出曲线如下：
备注：(1)、按照要求独立完成实验内容。 (2)、实验结束后，把电子版实验报告按 要求格式改名(例：09 号_张三 _实验七.doc)后，实验室统一刻 盘留档。 实验三零极点分布对系统频 率响应的影响 一、实验目的 1. 掌握系统差分方程得到系统函数的方法； 2. 掌握系统单位脉冲响应获取系统函数的方法； 3. 掌握用系统函数零级点分布的几何方法分析研究系统的频率响应 二、实验原理 在MA TLAB 中，可以用函数[z，p，K]=tf2zp ( num ，den)求得有理分式形式的系统转移函数的零、极点，用函数zplane( z，p)绘出 零、极点分布图；也可以用函数 zplane( num，den)直接绘出有理分式形式的系统转移函数的零、极点分布图。 另外，在MA TLAB 中，可以用函数[r，p，k]=residuez(num，den)完成部分分式展开计算；可以用函数sos=zp2sos( z，p，K )完成三、实验内容(包括代码与产生的图形) 1. 假设系统用下面差分方程描述： y(n)=x(n)+ay(n-1) 假设a=0.7, 0.8, 0.9 ，分别在三种情况下分析系统的频率特性，并打印幅度特性曲线。 B=1; A=[1,-0.7]; subplot(3,3,1);zplane(B,A); xlabel(' 实部Re'); ylabel(' 虚部Im'); title('y(n)=x(n)+0.7y(n-1) 传输函数零、极点分布'); grid on [H,w]=freqz(B,A,'whole'); subplot(3,3,4); 将高阶系统分解为 2 阶系统的串联。plot(w/pi,abs(H),'linewidth',2);
绘制离散系统零极点图：zplane() 滤波器 绘制离散系统零极点图：zplane() zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜 色来表示。 zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root 函数以求出它们的零极点。 [H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。如果有重零极点，它还包括显示在其右上方 的文本句柄。 例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是 wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减 为60dB 程序设计如下： wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=100 00Hz; rp=0.5; rs=60; wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2]; [n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs); [num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop'); [H, W]=freqz(num, den); figure; plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid; xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值'); figure; impz(num, den); figure; grpdelay(num, den); figure; zplane(num, den); FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数
实验四连续时间系统复频域分析和离散时间系统z域分析 一.实验目的： 1.掌握连续信号拉氏变换和拉氏反变换的基本实现方法。 2.熟悉laplace函数求拉普拉斯变换，ilaplace函数求拉氏反变换 的使用。 3.掌握用ztrans函数，iztrans函数求离散时间信号z变换和逆z 变换的基本实现方法。 4.掌握用freqs函数，freqz函数由连续时间系统和离散时间系统 系统函数求频率响应。 5.掌握zplane零极点绘图函数的使用并了解使用零极点图判断系 统稳定性的原理。 二、实验原理： 1.拉氏变换和逆变换 原函数()() ?象函数 f t F s 记作：[()]() =→拉氏变换 L f t F s 1[()]() -=→拉氏反变换 L F s f t 涉及函数：laplace,ilapace. 例如：
syms t;laplace(cos(2*t)) 结果为：ans =s/(s^2+4) syms s;ilaplace(1./(s+1)) 结果为：ans = exp(-t) 2. 系统传递函数H(s)或H(z)。 12121212...()()()...m m m n n n b s b s b B s H s A s a s a s a ----+++==+++ 112112...()()()...m m m n n n b z b z b B z H z A z a z a z a --+--++++==+++ 其中，B 为分子多项式系数，A 为分母多项式系数。 涉及函数：freqz,freqs. 3. 系统零极点分布与稳定性的判定。 对于连续时间系统，系统极点位于s 域左半平面，系统稳定。 对于离散时间系统，系统极点位于z 域单位圆内部，系统稳定。 涉及函数：zplane. 三、 实验内容 1． 验证性实验 a) 系统零极点的求解和作图
现代工程控制理论实验报告 学生：任课老师： 学号：班级：
实验三：传递函数零极点对系统性能的影响 一、实验容及目的 实验容： 通过增加、减少和改变高阶线性系统 21.05 （s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1) 的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。 实验目的： （1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。 （2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。 二、实验方案及步骤 首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。 （1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。 三、实验结果分析 1、研究极点对系统品质的影响 （1）改变主导极点，得到的输出曲线如下： 将系统品质以表格方式列于下方。
从两图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。 从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。 将两幅图片中发现的规律总结如下： （1）主导极点对系统品质有很大影响。 （2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。 （2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：
实验七、系统极零点及其稳定性 三、已知下列传递函数H(s)或H(z)，求其极零点，并画出极零图。 1. b=[3 -9 6]; a=[1 3 2]; zplane(b,a) 2. b=[1]; a=[1 0]; zplane(b,a)
3. b=[1 0 1]; a=[1 2 5]; zplane(b,a)
4. b=[1.8 1.2 1.2 3]; a=[1 3 2 1]; zplane(b,a) 五、求出系统的极零点，判断系统的稳定性。 5、先求出分子分母多项式系数 >> syms s >> zs=100*s*(s+2)^2*(s^2+3*s+2)^2; >> expand(zs) ans = 100*s^7+1000*s^6+4100*s^5+8800*s^4+10400*s^3+6400*s^2+1600*s >> syms s >> ps=(s+1)*(s-1)*(s^3+3*s^2+5*s+2)*((s^2+1)^2+3)^2; >> expand(ps) ans = -32-80*s-48*s^2+8*s^4-16*s^3+28*s^6+20*s^5+44*s^7+30*s^8+s^13+8*s^11+23*s^9+3*s^12 +11*s^10 再求出极零点 b=[100 1000 4100 8800 10400 6400 1600 0]; a=[1 3 8 11 23 30 44 28 20 8 -16 -48 -80 -32];
[z,p]=tf2zp(b,a) 求解结果： z = -2.0005 + 0.0005i -2.0005 - 0.0005i -1.9995 + 0.0005i -1.9995 - 0.0005i -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p = 1.0000 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i 0.7071 + 1.2247i 0.7071 - 1.2247i -1.2267 + 1.4677i -1.2267 - 1.4677i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -0.7071 + 1.2247i -0.7071 - 1.2247i -1.0000 -0.5466 极点不是都在左半平面，因此系统不稳定。 6、clear all; clc; num=conv([1 -1.414 1],[1 1]); den=conv([1 0.9 0.81],[1 -0.3]); [z,p]=tf2zp(num,den) zplane(z,p); z = -1.0000 0.7070 + 0.7072i 0.7070 - 0.7072i
一、状态-输入间的传递函数 [例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数。 [解] 因为 u x x x x x x ??????????+????????????????????---=??????????011310301100321321 []???? ? ?????-=321210x x x y [] 22103111012=?? ?? ? ?????---==rank b A Ab b rank rankQ c 所以系统是不完全能控的。 状态-输入间的传递函数 ???? ? ?????+++=??? ? ? ?????++++++???? ? ????????? ? ?????+---=--132)1(113423)1(10113103110)() ()(22231 1s s s s s s s s s s s s b A sI s U s X ＝＝ ------------------------------------------------------------------------------ 由此例可以看出，系统不完全能控，在求状态-输入间的传递函数时，出现了零极点对消现象，显然此时系统的传递函数b A sI c 1 )(--中必会出现零极点对消现象。 定理 对单输入系统，b A sI 1 )(--无零极点对消是系统完全能控的充分必要条件。 注意，此定理对多输入系统仅是必要条件。 ------------------------------------------------------------------------------ [例] 判断下列系统的能控性，并求状态-输入间的传递函数和系统的传递函数。 x y u x x ? ? ? ???=???? ??????+??????????=100001,010010100240231 [解] 因为 301010101002001101210=?? ?? ? ?????=rank rankQ c 所以系统是状态完全能控的。其状态-输入间的传递函数为
实验七 连续时间系统S 域零极点分析 一、目的 （1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系 （2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 （3）掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法 二、零极点分布与系统稳定性 根据系统函数)(s H 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数)(s H 包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。 对任意有界信号)(t f ，若系统产生的零状态响应)(t y 也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。 上述稳定性的定义可以等效为下列条件： ● 时域条件：连续系统稳定充要条件为∞
增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应 和频率响应会造成很大影响。以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函 数。 零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。 在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。 在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90o。非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。 在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。 在s右半平面增加极点会导致系统不稳定。 最小相位系统 从传递函数角度看,如果说一个环节的传递函数的极点和零点的实部全都小于或等于零,则称这个环节是最小相位环节.如果传递函数中具有正实部的零点或极点,或有延迟环节,这个环节就是非最小相位环节. 对于闭环系统,如果它的开环传递函数极点或零点的实部小于或等于零,则称它是最小相位系统.如果开环传递函中有正实部的零点或极点,或有延迟环节,则称系统是非最小相位系统.因为若把延迟环节用零点和极点的形式近似表达时(泰勒级数展开),会发现它具有正实部零点. 最小相位系统具有如下性质: 1,最小相位系统传递函数可由其对应的开环对数频率特性唯一确定;反之亦然. 2,最小相位系统的相频特性可由其对应的开环频率特性唯返航一确定;反之亦然. 3,在具有相同幅频特性的系统中,最小相位系统的相角范围最小.
第七章：矩阵分式描述 传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。 采用矩阵分式描述（MFD ）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。 主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成 2、矩阵分式描述的真性和严真性 3、矩阵分式描述的不可简约性 7-1 矩阵分式描述的基本概念 矩阵分式描述（MFD ）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。 MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广 右MFD ： 对p 输入，q 输出线性时不变系统。有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵p q s N ?)(和多项式矩阵p p s D ?)(使下式成立： 称p p p q s D s N ?-?)()(1为G(s)的一个右MFD 。 左MFD ：p q L q q L p q s N s D s G ??-?=)()()(1 称p q L q q L s N s D ??-)()(1 为G(s)的一个左MFD 。 例：8.1 构造G(s)的一个右MFD ，=)(s G ?? ???++++?????210 210 1 1 2s s s s s s 方法：先确定各列的最小公分母，)2(1+=s s d c 22s d c = )2(3+=s d c 1 2 22)2(10)1(012210 ) 2() 1(01 ) 2(2)(-???? ? ?????++?? ???+++???? ? =?????++++++????? =s s s s s s s s s s s s s s s s s s s G p p p q p q s D s N s G ?-??=)()()(1
现代工程控制理论实验报告学生：任课老师： 学号：班级：
实验三：传递函数零极点对系统性能的影响 一、实验容及目的 实验容： 通过增加、减少和改变高阶线性系统 21.05 （s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1) 的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。 实验目的： （1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。 （2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。 二、实验方案及步骤 首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。 （1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。
（3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。 三、实验结果分析 1、研究极点对系统品质的影响 （1）改变主导极点，得到的输出曲线如下： 将系统品质以表格方式列于下方。
从两图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。 从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。 将两幅图片中发现的规律总结如下： （1）主导极点对系统品质有很大影响。 （2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。 （2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：
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实验三：传递函数零极点对系统性能的影响 一、实验内容及目的 实验内容： 通过增加、减少和改变高阶线性系统 21.05 （s+s+1）(0.5s+1)(0.125s+1) 的零极点，分析系统品质的变化，从中推导出零极点和系统各项品质之间的关系，进而总结出高阶线性系统的频率特性。 实验目的： （1）通过实验研究零极点对系统品质的影响，寻找高阶线性系统的降阶方法，总结高阶系统的时域特性。 （2）练习使用MATLAB语言的绘图功能，提高科技论文写作能力，培养自主学习意识。 二、实验方案及步骤 首先建立MATLAB脚本文件，使其能够绘出在阶跃输入下特征多项式能够变化的高阶线性系统的响应曲线。之后在以下六种情况下绘出响应曲线，分别分析其对系统输出的影响。 （1）改变主导极点，增减、改变非主导极点，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （2）在不引入对偶奇子的前提下，加入非负极点，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲线。 （3）引入对偶奇子，绘出多组线性系统在阶跃信号下的响应曲
线。 （4）探究系统稳定条件下单调曲线、振荡曲线的形成与零极点之间的关系。 三、实验结果分析 1、研究极点对系统品质的影响 （1）改变主导极点，得到的输出曲线如下： 将系统品质以表格方式列于下方。
从两张图片中不难发现，在极点都是负数的条件下，当主导极点出现较小变动时，整条输出曲线会出现很大的变化。 从表格中可以发现当主导极点由负半轴向原点靠近时，超调量、稳定时间逐渐增大，而且这两项指标的变化速率随着主导极点离原点的距离减小而增大。衰减率则出现轻微的先增大后减小的趋势，猜测在主导极点由负半轴向原点靠近的过程中，衰减率存在极值。 将两幅图片中发现的规律总结如下： （1）主导极点对系统品质有很大影响。 （2）在极点都小于零的条件下，主导极点的代数值越小，系统的准确性越好、快速性也越好。 （2）增减、改变非主导极点，得到的输出曲线如下：
知识点K1.17 H(S)的零极点分布与时域特性 主要内容： 1.连续系统函数的零极点分布 2.连续系统函数的时域特性 基本要求： 1.掌握系统函数的零点与极点 2.熟练求解系统函数H(s)与时域响应h(t)
K1.17 H(S)的零极点分布与时域特性 1.系统函数的零点与极点 LTI 连续系统的系统函数是复变量s 的有理分式，即 A (s )=0的根p 1，p 2，…，p n 称为系统函数H (s )的极点； B (s )=0的根ξ1，ξ2，…，ξm 称为系统函数H (s )的零点。 ) ()()(s A s B s H =将零极点画在复平面上－－零极点分布图。 例：) 1()1()2(2)(22+++=s s s s H σj ω0(2)-1-2j -j
例： 已知H (s )的零、极点分布图如示，并且h (0+)=2。求H (s )的表达式。σj ω0 -1j2-j2 解：由分布图可得 524)1()(22++=++=s s Ks s Ks s H 根据初值定理，有K s s Ks s sH h s s =++==+∞→∞→5 2lim )(lim )0(225 22)(2++=s s s s H
2. 系统函数H(s)与时域响应h(t) 问题：冲激响应的函数形式由H(s)的极点关系？ 以下讨论的系统均为连续因果系统。 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。 （1）极点在左半开平面 (a)若系统函数有负实单极点p= –α(α>0)，则A(s)中 有因子(s+α)，其对应的响应函数为K e-αt ε(t)
实验四 传递函数的零极点对系统过渡过程的影响 1、增加闭环极点对系统性能指标的影响 （1）T =0，0=τ时（标准二阶系统） 零极点分布图 num=[0 0 1]; den=[1 2*0.5*1 1*1]; pzmap(num,den) 单位阶跃响应 num=[0 0 1]; den=[1 2*0.5*1 1*1]; step(num,den) grid -0.5 -0.45-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.050 Pole-Zero Map Real Axis I m a g i n a r y A x i s
（2）当0=τ时，增加附加闭环极点：① n T ζω51> ②n T ζω≈1 ③n T ζω<1 零极点图 num2=[0 0 1]; den2=conv([0 1/3 1],[1 1 1]); num3=[0 0 1]; den3=conv([0 1/0.5 1],[1 1 1]); num4=[0 0 1]; den4=conv([0 1/0.1 1],[1 1 1]); pzmap(num1,den1) hold on pzmap(num2,den2) hold on pzmap(num3,den3) hold on pzmap(num4,den4) 024681012 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Step Response Time (sec) A m p l i t u d e
单位阶跃响应 num2=[0 0 1]; den2=conv([0 1/3 1],[1 1 1]); num3=[0 0 1]; den3=conv([0 1/0.5 1],[1 1 1]); num4=[0 0 1]; den4=conv([0 1/0.1 1],[1 1 1]); step(num2,den2) hold on step(num3,den3) hold on step(num4,den4) -3 -2.5-2-1.5-1-0.50 Pole-Zero Map Real Axis I m a g i n a r y A x i s
课程设计报告 课程名称数字信号课程设计 系别：XXXXXXXX 专业班级：XXXXXXXXXXXXXXX 学号：XXXXXXXXXX 姓名：XXXXX 课程题目：离散系统的频域分析与零极点分布 完成日期：2012年6月29日 指导老师：XXXXX 2012 年6 月29 日
离散系统的频域分析与零极点分布 摘要 本课题主要是根据系统函数求出系统的零极点分布图并且求解系统的单位脉冲响应,利用MATLAB软件绘制出系统零极点的分布图,根据零极点在单位圆的分布,判断因果系统的稳定性.再比较不同零极点对系统频率响应特性的影响。从课题研究和设计过程当中对系统稳定性的判断有了清楚的认识,既极点在单位圆内,则该系统稳定,极点在单位圆外，则该系统为非稳定系统。同时也对系统函数零极点分布对系统频率响应特性的影响有了深入的了解。既极点位置主要影响频率响应的峰值及尖锐程度,零点位置主要影响频率响应的谷点位置及形状。本次课题也对系统的幅频特性曲线和相频特性曲线进行了绘制,并求出了系统的单位脉冲响应以及绘制出了波形图。 关键字：离散系统，频域分析，零极点分布
目录 一、绪论 (1) 二、方案 (1) 实验原理 (1) 三、过程论述及结果分析 (2) 1.分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性 (2) 2.分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线 (5) 3.分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形 (9) 四、结论 (12) 致谢 (13) 参考文献 (13)
一、绪论 编制Matlab 程序，完成以下功能，根据系统函数求出系统的零极点分布图，并求解系统的单位脉冲响应；根据零极点分布图判断系统的稳定性；比较不同零极点发布对系统频率响应特性的影响；绘制相关信号的波形。具体要求如下： 下面四种二阶网络的系统函数具有相同的极点发布： 112 1 ()1 1.60.9425H z z z --= -+ 1 21210.3()1 1.60.9425z H z z z ----=-+ 1 312 10.8()1 1.60.9425z H z z z ----=-+ 12 412 1 1.60.8()1 1.60.9425z z H z z z -----+=-+ （1）分别画出各系统的零极点分布图，并判断系统的稳定性； （2）分别画出系统的幅频特性和相频特性曲线； （3）分别求出系统的单位脉冲响应，并画出其波形。 二、方案 实验原理 离散系统的时域方程为 ∑∑==-= -M k k N k k k n x p k n y d ) ()( 其变换域分析方法如下： 频域 ) ()()(][][][][][ΩΩ=Ω?-= *=∑∞ -∞ =H X Y m n h m x n h n x n y m 系统的频率响应为 Ω -Ω-Ω -Ω-++++++=ΩΩ=ΩjN N j jM M j e d e d d e p e p p D p H ......)()()(1010