点集拓扑复习题(答案)
点集拓扑复习题
一、名词解释
1、同胚映射：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
2、不连通空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个不连通空间.
3、拓扑：设X 是一个非空集合。X 的一个子集族τ称为X 的一个拓扑，如果它满足：
1．X 和空集?都属于τ
2．τ中任意多个成员的并集仍在τ中
3．τ中有限多个成员的交集仍在τ中。
4、导集：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
5、度量：设集合X 的一个映射:d X X R ?→.若对于任何,,x y z X ∈，有 （I ）（正定性）d (x,y ）≥0，且d (x,y)=0当且仅当 x = y ；
（Ⅱ）（对称性）d (x,y)= d (y,x ）；
（Ⅲ）（三角不等式）d (x,z ）≤d (x,y)+ d (y,z ）
则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。
二、证明题（4选3）
1、证明：度量空间X 中的开集且有以下性质：
（1）集合X 本身和空集?都是开集；
（2）任意两个开集的交是一个开集；
（3）任意一个开集族的并是一个开集。
证明:
（1）根据定理 2.1.1(1)X 中的每一个元素x 都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X 满足开集的条件；空集?中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件．
（2）设U 和V 是X 中的两个开集．如果x U V ∈I ，则存在x 的一个球形邻域1(,)B x ε包含于U ，也存在X 的一个球形邻域2(,)B x ε包含于V ．根据定理
2.1.1(2)，x 有一个球形邻域(,)B x ε同时包含于1(,)B x ε和2(,)B x ε，因此
12(,)(,)(,)B x B x B x U V εεε??I I
由于U V I 中的每一点都有一个球形邻域包含于U V I ，因此U V I 是一个开集．
（3）设A 是一个由X 中的开集构成的子集族．如果A x A ∈∈U A ，则存在0A ∈A 使得0x A ∈由于0A 是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于0A ，显然这个球形邻域也包含于A A ∈U A ．这证明A A ∈U A 是X 中的一个开集．
2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的
一个连通子集.
证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------???????=???=
所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集，此外
1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的
开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分