当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模似的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。 蒙特卡罗模拟因摩纳哥著名的赌场而得名。它能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”, 而当一种模式足够精确时, 他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷: 如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数, 而却构成一些微妙的非随机模式, 那么整个的模拟(及其预测结果)都可能是错的。 最近, 由美国佐治亚大学的费伦博格博士作出的一分报告证明了最普遍用以产生随机数串 的计算机程序中有5个在用于一个简单的模拟磁性晶体中原子行为的数学模型时出现错误。科学家们发现, 出现这些错误的根源在于这5个程序产生的数串其实并不随机, 它们实际上隐藏了一些相互关系和样式, 这一点只是在这种微小的非随机性歪曲了晶体模型的已知特 性时才表露出来。贝尔实验室的里德博士告诫人们记住伟大的诺伊曼的忠告:“任何人如果相信计算机能够产生出真正的随机的数序组都是疯子。” 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样
系列一 蒙特卡洛随机模拟 实验目的：学会用计算机随机模拟方法来解决随机性问题 蒙特卡洛模拟法简介 蒙特卡洛(Monte Carlo)方法是一种应用随机数来进行计算机摸你的方法。此方法对研究对象进行随机抽样，通过对样本值的观察统计，求得所研究系统的某些参数。作为随机模拟方法，起源可追溯到18世纪下半叶蒲峰实验。 蒙特卡洛模拟法的应用领域 蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有： 1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。 2.蒙特卡洛积分:利用随机数列计算积分，维数越高，积分效率越高。 蒙特卡洛模拟法求解步骤 应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。解题步骤如下： 1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致 2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。 3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。 在可靠性分析和设计中，用蒙特卡洛模拟法可以确定复杂随机变量的概率分布和数字特征，可以通过随机模拟估算系统和零件的可靠度，也可以模拟随机过程、寻求系统最优参数等。 一. 预备知识: 随机数的产生 提示：均匀分布(0, 1)U 的随机数可由C 语言或Matlab 自动产生，在此基础上可产生其他分布的随机数. 1．逆变换法： 设随机变量U 服从(0，1)上的均匀分布，则)(1U F X -=的分布函数为)(x F . 步骤：(1) 产生)1,0(U 的随机数U ；(2) 计算)(1 U F X -=， 则X 服从)(x F 分布. 问题：练习用此方法产生常见分布随机数.例如“指数分布，均匀分布),(b a U ”.还有其它哪种常见分布的随机数可用此方法方便产生？
（定价策略）期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律： 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 显然，若是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。
中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设为独立同分布的随机变量序列，若 则有 其等价形式为。 ◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，若随机过程满足如下的随机微分方程
浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求
蒙特卡洛方法 1、蒙特卡洛方法的由来 蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。 第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。如今MC方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。 2、蒙特卡洛方法的核心—随机数 蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。
在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。 实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。 无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。 人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。称这些序列为拟随机数序列。伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。 3、蒙特卡洛方法的原理 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等
蒙特卡洛习题 1.利用蒙特卡洛计算数值积分 () ()() 1280ln 1tan x x x xe dx +++? clear all ;clc;close all ; n=1000; count=0; x=0:0.01:1; y=log((1+x).^2+(tan(x).^8)+x.*exp(x)); plot(x,y,'linewidth',2) hold on for i=1:n x1=rand; y1=rand*y(end); plot(x1,y1,'g*') pause(0.01) if y1 2.分别用理论计算和计算机模拟计算，求连续掷两颗骰子，点数之和大于6且第一次掷出的点数大于第二次掷出点数的概率。 clear all;clc;close all; count=0; n=100000; for i=1:n x=floor(rand*6+1); y=ceil(rand*6); if x+y>6&&x>y count=count+1; end end P=count/n 3. clear all;clc;close all; count=0; n=2000; ezplot('x^2/9+y^2/36=1'); hold on ezplot('x^2/36+y^2=1'); hold on ezplot('(x-2)^2+(y+1)^2=9') for i=1:n x=rand*12-6; y=rand*12-6; plot(x,y,'gh','linewidth',2) pause(0.01) if x^2/9+y^2/36<1&&x^2/36+y^2<1&&(x-2)^2+(y+1)^2<9 :t s 表示t 时刻期货的价格 :i t s +表示t+i 时刻期货的价格 :u 表示期货日收益率的均值 :δ表示期货日收益率的标准差 :ε表示服从标准正态分布的随机变量 ①基于蒙特卡罗模拟的VaR 对香港恒生指数期货的实证研究 禾祺夫，董立娟 文章编号：1007-6921（2010）01-0013-03 ②应用蒙特卡罗模拟法计算VaR 的实证分析 摘要 模型三采用了蒙特拉罗模拟法来计算VAR ，选用了几何布朗运动作为反应上的随机模型，预测出明年这个时候的期货的单位价格，并且计算出相对应期货的该时间段的95%置信水平下的日VAR 。选取的对象是作为商品期货和金融期货代表的铜、玉米和五年期国债。 模型三 基于蒙特卡罗模拟的VAR 估计 3.1 名词解释 蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo Simulation ，简称MC)是一种随机模拟方法，它用根据市场数据估计的历史波动参数产生市场因子未来波动的大量可能路径(而历史模拟法只能根据市场因子的特定历史产生路径产生有限的未来波动情景)。与历史模拟法相比，它所需要的历史数据更少，而且计算精度和可靠性更高。另外，它是一种全值估计方法，无须假定市场因子服从正态分布，有效地解决了分析方法在处理非线性、非正态问题中遇到的困难，近年来，在国外的研究中已被广泛应用。但缺陷是计算复杂，因为多次重复可以提高衡量值的准确性，但也就使计算量增大。由于计算机技术的广泛应用，能够有效解决计算问题，故我们将采用基于蒙特卡罗模拟的VaR 方法对多种期货进行分析。 3.2 VAR 简介 在一本关于VaR 的开山之作中，菲利普·乔瑞（PhilippeJorion ）是这样定义VaR 的：“给定置信区间的一个持有期内的最坏的预期损失”。例如，在给定持有期为一个星期，给定的置信水平为99%，某投资组合的VaR 为1000 万人民币，就意味着在下一个星期有99%的概率该投资组合的最大损失不会超过1000 万人民币，或者说有1%的可能性该投资组合的损失将超过1000 万元人民币。根据Jorion 的定义，VaR 实际上是要估测“正常”情况下风险资产或风险资产组合的预期价值与在一定置信区间下的最低价值之差，即Jorion 所定义的可能最坏的预期损失。 用公式表示为： * )(1var)(W W E VAR c p P -=-=>?② 其中：E(W)为资产组合的预期价值 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 蒙特卡罗也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。 蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。 工作过程 在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作： 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。 用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。 计算步骤 使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的： ① 使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。 ②对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。 ③计算新的分子构型的能量。 ④比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼常数，同时产生一个随机数。 蒙特卡罗方法及应用 实验讲义 东华理工大学核工系 2016.8 实验一 蒙特卡罗方法基本思想 一、实验目的 1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想； 2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法； 3、掌握由已知分布的随机抽样方法。 二、实验原理 Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。 如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。 由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。具体方法很多，详见教材第三章。 三、实验内容 1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）； 2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数 3、求解下列问题： 3.0、蒲丰氏投针求圆周率。 3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积； 3.2 、计算1z z ?≥??≤??所围体积 其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。 4、对以下已知分布进行随机抽样： 期权定价中的蒙特卡洛模拟方法 期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。 蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。 §1. 预备知识 ◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。 大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov 强大数定律： 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 [],1,2,k E k ξμ=<∞=L 则有1 1(lim )1n k n k p n ξμ→∞===∑ 显然，若12,,,n ξξξL 是由同一总体中得到的抽样，那么由 此大数定律可知样本均值1 1n k k n ξ=∑当 n 很大时以概率1收敛于 总体均值μ。 中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。 设12,,ξξL 为独立同分布的随机变量序列，若 2 [],[],1,2,k k E D k ξμξσ=<∞=<∞=L (0,1)n k d n N ξ μ -??→∑ 其等价形式为2 1 1lim ()exp(),2n x k k n t n P x dt x ξμσ =→∞ -∞ -≤= --∞<<∞∑?。 ◆Black-Scholes 期权定价模型 模型的假设条件： 1、标的证券的价格遵循几何布朗运动 dS dt dW S μσ=+ 其中，标的资产的价格S 是时间t 的函数，μ为标的资产 的瞬时期望收益率，σ为标的资产的波动率，dW 是维纳过程。 2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r 为一个固定的常数。 下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。 蒙特卡罗随机模拟投点法在数字积分中的 应用 数学与应用数学0901班：张瑞宸 指导老师：任明慧 摘要：本文首先介绍了蒙特卡罗方法的产生和发展，然后分析了蒙特卡罗方法计算数值积分的理论原理，最后给出了蒙特卡罗方法计算数值积分的MATLAB编程实现，全文主要是讨论了蒙特卡罗方法在定积分计算的应用。而蒙特卡罗的优点：可以计算被积函数非常复杂的定积分、重积分，并且维数没有限制，这是别的数值积分方法还未达到的。蒙特卡罗的缺点：收敛速度慢，误差一般较大，且是概率的误差，不是真正的误差。 关键词：蒙特卡罗方法，均值估计法，数值积分，Matlab编程 Abstract：This paper first introduces the emergence and development of the Monte Carlo method, and then analyze the theoretical principles of Monte Carlo numerical integration method, Full-text mainly discussed the application of the Monte Carlo method in the definite integral. The advantages of Monte Carlo: can be calculated the integrable functions very complex definite integral, Multiple integrals, and dimension no limit, other numerical integration methods have not yet reached. Monte Carlo Disadvantages: slow convergence speed, error generally higher, and the probability of error, not a real error. Keywords: Monte Carlo method，Mean estimation method，numerical integral，Matlab programming 0 引言 历史上有记载的蒙特卡罗试验始于十八世纪末期（约1777年），当时布丰（Buffon）为了计算圆周率，设计了一个“投针试验”，后文会给出。虽然方法已经存在了200多年，此方法命名为蒙特卡罗则是在二十世纪四十年，美国原子弹计划的一个子项目需要使用蒙特卡罗方法模拟中子对某种特殊材料的穿透作用。出于保密缘故，每个项目都要一个代号，传闻命名代号时，项目负责人之一von Neumann灵犀一点选择摩洛哥著名赌城蒙特卡罗（Monte Carlo）作为该项目名称，自此这种方法也就被命名为Monte Carlo方法广为流传。 蒙特卡罗方法，又名随机模拟法或统计实验法它是以概率统计理论为基础，依据大数定律（样本均值替代总体均值）利用电子计算机数字模拟技术，解 运用蒙特卡罗模拟进行风险分析 蒙特卡罗模拟由著名的摩纳哥赌城而得名，他是一种非常强有力的方法学。对专业人员来说，这种模拟为方便的解决困难而复杂的实际问题开启了一扇大门。估计蒙特卡罗模拟最著名的早期使用是诺贝尔奖物理学家Enrico Fermi（有时也说是原子弹之父）在1930年的应用，那时他用一种随机方法来计算刚发现的中子的性质。蒙特卡罗模拟是曼哈顿计划所用到的模拟的核心部分，在20世纪50年代蒙特卡罗模拟就用在Los Alamos国家实验室发展氢弹的早期工作中，并流行于物理学和运筹学研究领域。兰德公司和美国空军是这个时期主要的两个负责资助和传播蒙特卡罗方法的组织，今天蒙特卡罗模拟也被广泛应用于不同的领域，包括工程，物理学，研发，商业和金融。 简而言之，蒙特卡罗模拟创造了一种假设的未来，它是通过产生数以千计甚至成千上万的样本结果并分析他们的共性实现的。在实践中，蒙特卡罗模拟法用于风险分析，风险鉴定，敏感度分析和预测。模拟的一个替代方法是极其复杂的随机闭合数学模型。对一个公司的分析，使用研究生层次的高等数学和统计学显然不合逻辑和实际。一个出色的分析家会使用所有他或她可得的工具以最简单和最实际的方式去得到相同的结果。任何情况下，建模正确时，蒙特卡罗模拟可以提供与更完美的数学方法相似的答案。此外，有许多实际生活应用中不存在闭合模型并且唯一的途径就是应用模拟法。那么，到底什么是蒙特卡罗模拟以及它是怎么工作的？ 什么是蒙特卡罗模拟？ 今天，高速计算机使许多过去看来棘手的复杂计算成为可能。对科学家，工程师，统计学家，管理者，商业分析家和其他人来说，计算机使创建一个模拟现实的模型成为可能，这有助于做出预测，其中一种方法应用于模拟真实系统，它通过调查数以百计甚至数以千计的可能情况来解释随机性和未来不确定性。结果通过编译后用于决策。这就是蒙特卡罗模拟的全部内容。 形式最简单的蒙特卡罗模拟是一个随机数字生成器，它对预测，估计和风险分析都很有用。一个模拟计算模型的许多情况，这通过反复地从预先定义的特定变量概率分布中采集数据并将之应用于模型来实现。因为所有的情况都产生相应的结果，每种情况都可以蕴含一种预测。预测的是你定义为重要模型结果的事项（通常含有公式或函数）。 将蒙特卡罗模拟法想象为从一个大篮子里可放回的反复拿出高尔夫球。拦在的大小和形 蒙特卡洛模拟法对项目投资的风险分析蒙特卡洛模拟法对项目投资风险分析的模型建立 (2)A21中输入第一年销售量的随机数： =RANDBETWEEN(0,99) 分别复制到C21, F21, H21, K21, M21 中 (3)输入销售量的可能值查找公式 B21: =VLOOKUP(A21,$D$8:$E$11,2) G21: =VLOOKUP(F21,$H$8:$I$11,2) L21: =VLOOKUP(K21,$L$8:$M$11,2) (4)输入单位变动成本的可能值查找公式 D21: =VLOOKUP(C21,$D$12:$E$15,2) 121: =VLOOKUP(H21,$H$12:$I$15,2) N21: =VLOOKUP(M21,$L$12:$M$15,2) (5)输入现金流模拟计算公式 E21:=(B21*($l$4-D21)/10000-$l$3)*(1-$I$2)+($D$2-$D$4)/$D$3*$I$2 J21:=(G21*($l$4-l21)/10000-$l$3)*(1-$I$2)+($D$2-$D$4)/$D$3*$I$2 O21:=(L21*($I$4-I21)/10000-$I$3)*(1-$I$2)+($D$2-$D$4)/$D$3*$I$2 (6)在P21中输入计算公式，对净现值进行第一次模拟。 =NPV($D$5,E21,J21,O21)-$D$2 (7)选取A21: P21单元格区域，一直复制到A120: P120,即进行100次模拟计算。 (8)在单元格区域T18: T22中输入计算公式： 净现值期望(万元)：=AVERAGE(P21:P121) 净现值标准差(万元)：=STDEV(P21:P121) 净现值最小值(万元)：=MIN(P21:P121) 净现值为负的概率：=COUNTIF((P21:P121),"<0")/100 （9）选取单元格区域S26:T36输入下面的公式，得到不同区间的净现值概率分布。 =FREQUENCY（P21:P121,R26:R36）/100 同时按住CTRL+SHIFT+ENTER 蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间范围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断， Monte Carlo Methods in Parallel Computing Chuanyi Ding ding@https://www.doczj.com/doc/7c8436636.html, Eric Haskin haskin@https://www.doczj.com/doc/7c8436636.html, Copyright by UNM/ARC November 1995 Outline What Is Monte Carlo? Example 1 - Monte Carlo Integration To Estimate Pi Example 2 - Monte Carlo solutions of Poisson's Equation Example 3 - Monte Carlo Estimates of Thermodynamic Properties General Remarks on Parallel Monte Carlo What is Monte Carlo? ? A powerful method that can be applied to otherwise intractable problems ? A game of chance devised so that the outcome from a large number of plays is the value of the quantity sought ?On computers random number generators let us play the game ?The game of chance can be a direct analog of the process being studied or artificial ?Different games can often be devised to solve the same problem ?The art of Monte Carlo is in devising a suitably efficient game. 例在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。 使用蒙特卡洛方法模拟50次打击结果： function [out1 out2 out3 out4]=Msc(N) % N开炮次数 % out1射中概率 % out2平均每次击中次数 % out3击中敌人一门火炮的射击总数 % out4击中敌人2门火炮的射击总数 k1=0; k2=0; k3=0; for i=1:N x0=randperm(2)-1; y0=x0(1); if y0==1 fprintf('第%d次：指示正确||',i); x1=randperm(6); y1=x1(1); if y1==1|y1==2|y1==3 fprintf('第%d次：击中0炮||',i); k1=k1+1; elseif y1==4|y1==5 fprintf('第%d次：击中1炮||',i); k2=k2+1; else fprintf('第%d次：击中2炮||',i); k3=k3+1; end else fprintf('第%d次：指示错误，击中0炮||',i); k1+1; end fprintf('\n'); end out1=(k2+k3)/N; out2=(0*k1+k2+2*k3)/20; out3=k2/N; out4=k3/N; 运行： 1.[out1 out2 out3 out4]=Msc(50) 结果： 1.第1次：指示正确||第1次：击中2炮|| 2.第2次：指示错误，击中0炮|| 3.第3次：指示错误，击中0炮|| 4.第4次：指示正确||第4次：击中0炮|| 5.第5次：指示错误，击中0炮|| 6.第6次：指示正确||第6次：击中1炮|| 7.第7次：指示正确||第7次：击中0炮|| 8.第8次：指示错误，击中0炮|| 9.第9次：指示正确||第9次：击中2炮|| 10.第10次：指示正确||第10次：击中1炮|| 11.第11次：指示正确||第11次：击中1炮|| 12.第12次：指示正确||第12次：击中2炮|| 13.第13次：指示错误，击中0炮|| 14.第14次：指示正确||第14次：击中1炮|| 15.第15次：指示错误，击中0炮|| 16.第16次：指示错误，击中0炮|| 17.第17次：指示正确||第17次：击中0炮|| 18.第18次：指示错误，击中0炮|| 产业与科技论坛2012年第11卷第17期 2012.（11）.17 Industrial &Science Tribune 蒙特卡罗仿真的原理及应用 □戚苇苇 【内容摘要】蒙特卡罗法又称随机抽样技巧法或统计试验法，在目前结构可靠度计算中，它被认为是一种相对精确法，具有在计 算机上实现蒙特卡罗计算时程序结构清晰简单，便于编制和调试的特点。【关键词】通信技术；蒙特卡罗法；仿真；误码率 【作者单位】戚苇苇，江苏省扬州技师学院 一、通信仿真概述 （一）通信的基本概念以及分类。通信是通过某种媒体进行的信息传递。古代，人们通过驿站、飞鸽传书、烽火报警 等方式进行信息传递。今天， 随着科学水平的飞速发展，相继出现了无线电，固话，手机，互联网甚至可视电话等各种通 信方式。对于点到点之间的通信， 按消息传送的方向与时间的关系，通信方式可分为：单工通信、半双工通信、全双工通 信。数字通信中，按照数字信号码元排列方法不同，通信方式可分为：串行传输和并行传输。 （二）通信系统的组成。 1．信息源。信源是发出信息的源，其作用是把各种可能消息转换成原始电信号。信源可分为模拟信源和数字信源。模拟信源（如电话机、电视摄像机）输出连续幅度的模拟信号；数字信源（如电传机、计算机等各种数字终端设备）输出 离散的数字信号。 2．变换器。因语声、图像等原始的消息不能以电磁波来传送，所以需要通过变换器将原始的非电消息变换成电信号，并再对这种电信号进一步转换，使其变换成适合某种具体信道传输的电信号。这种电信号同样载有原有的信息。例如电话机的送话器，就是将语声变换成幅度连续变化的电话信号，再进一步转换后送到信道上去。 3．信道。信道是指传输信号的通道，可以是有线的，也可以是无线的，有线和无线均有多种传输媒质。信道既给信号以通路，也对信号产生各种干扰和噪声。传输媒质的固有特性和干扰直接关系到通信的质量。 4．反变换器。反变换器的基本功能是完成变换器的反继续提升水头，管涌便不断向上游发展直至达到临界坡降，此时管涌通道便不能趋于稳定，不断有砂粒起动运移一直到与上游连通，连通的管涌水流强力冲刷堤基并最终导致堤基整体破坏和溃堤。 产生上述现象的原因是：孔口处出现沙沸使地基砂体液化，继续增加水头，砂粒便会从沙沸处向外涌出形成砂环，由于堤基砂层的水平破坏坡降比垂直破坏坡降要小得多，因此地基便会有砂粒从沙沸处涌出形成管涌通道，在未达到临界坡降前管涌通道最终趋于稳定，这是由于砂粒向沙沸处输送，积聚在孔口附近具有了一定的反滤作用，从而加大了局部水头损失，还有管涌通道中的砂粒被水流带出堆积在沙沸处形成砂环，从而抬升了水位降低了有效作用水头。由于地基砂粒的离散性具有随机性，因此这种稳定需要很长时间，条件的微小改变就有可能打破这种稳定，因此时间是影响管涌破坏发生与否非常重要的因素。 （三）管涌破坏位置分析。管涌产生的位置都是发生在强弱透水层接触面的浅层，对深层地基的渗流并无影响，其主要原因是：一是堤基砂层顶面的渗径最短因此此处水平水力坡降最大；二是堤基砂层的水平破坏坡降比垂直破坏坡降要小得多。 三、结语 堤基管涌发展的原因主要是在水平渗透力作用下的水平向浅层破坏。因此，垂直防渗是在发生管涌后地基渗透破 坏治理的优选方法。堤基管涌通道能否趋于稳定与管涌口是否涌砂有很大关系。所以，反滤压盖阻止堤基管涌通道内的砂粒持续涌出应当作为抗洪抢险时的首选。管涌通道趋于稳定的主要原因是：管涌通道的发展使管涌通道前端堤基砂层的水平渗透比降逐渐降低，和管涌口垂直破坏坡降不断增大，直至等于砂层的局部破坏比降。【参考文献】1．刘忠玉，乐金朝，苗天德．无黏性土中管涌的毛管模型及其应用［ J ］．岩石力学与工程学报，20042．毛昶熙，段祥宝，蔡金傍，茹建辉．堤基渗流管涌发展的理论分析［J ］．水利学报，20043．李广信，周晓杰．堤基管涌发生发展过程的试验模拟［J ］．水利水电科技进展，20054．姚秋玲，丁留谦．单层和双层堤基管涌砂槽模型试验研究［J ］．水利水电技术，2007 5．陈建生，李兴文，赵维炳．堤防管涌产生集中渗漏通道机理与探测方法研究［J ］．水利学报，20006．朱伟，山村和也．日本阿武隈川的洪水灾害及其综合治理［J ］．河海大学学报，2000 7．郭书亮．堤基管涌模型试验及形成机理研究［D ］．河北工程大学， 2012· 67·基于蒙特卡罗模拟的VAR估计
蒙特卡罗方法学习总结
蒙特卡罗也称统计模拟方法
蒙特卡罗方法及应用实验讲义2016资料
(定价策略)期权定价中的蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡罗随机模拟投点法
运用蒙特卡罗模拟进行风险分析
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