§2.9函数的应用
2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．
复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．
1．几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
2. 解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本
质．
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．
答案78℃
解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．
2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万
元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1
20
Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
答案 2 500
解析L(Q)＝40Q－1
20
Q2－10Q－2 000
＝－1
20
Q2＋30Q－2 000
＝－1
20
(Q－300)2＋2 500
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
3．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：
太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t
30
，其中M0为t＝0时铯137的含量．已
知t＝30时，铯137含量的变化率
．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
答案 D
解析∵M′(t)＝－1
30
M02－
t
30
·ln 2，
∴M′(30)＝－1
30×
1
2
M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.
∴M(t)＝600×2－t
30
，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．
4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是 ( ) A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
答案 B
解析设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，
∴x＝20%.
5．(2012·东莞一模)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 由题意得，y 1＝k 1
x
，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋4
5x ≥2
20x ·45x ＝8，当且仅当20x
＝4
5
x ， 即x ＝5时取等号，故选A.
题型一 二次函数模型
例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量
x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 2
5
－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最
大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？ 最大利润是多少？
思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值． 解 (1)每吨平均成本为y
x
(万元)．
则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000
x
－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000
x
，即x ＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 2
5＋48x －8 000
＝－x 2
5
＋88x －8 000
＝－15(x －220)2
＋1 680 (0≤x ≤210)．
∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，
R (x )有最大值为－15
(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
探究提高 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最 值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时， 一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最 值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间 的端点处取得．
某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －
0.1x 2
(0 )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销 售收 入 不 小 于 总 成 本 ) 的 最 低 产 量 是 ( ) A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 答案 C 解析 设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2) ＝0.1x 2 ＋5x －3 000 (0 )． 令f (x )≥0，得x ≥150， ∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型 例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把资金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N * )年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)． (1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式； (2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32) 思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型． 解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－1 2 f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12 f (2)·6.24% ＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2 ， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%) x －1 (x ∈N * )． (2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136， 故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·1 2f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比 少了 约14万美元，是假新闻． 探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长 率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律： θ＝m ·2 t ＋2 1－t (t ≥0，并且m >0)． (1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋2 1－t ＝2? ????2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52， 即2x 2 －5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2? ????12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0 )， 由于x －x 2 ≤14，∴m ≥12 . 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是???? ??12，＋∞. 题型三 分段函数模型 例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关， 新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝ ????? 13x 3 －80x 2 ＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2 －200x ＋80 000，x ∈[144，500]， 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的 化工产 品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿． (1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利， 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量 的关系也是分段函数关系． 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ， 则S ＝200x －? ?? ??12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12 (x －400)2 ， 所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000， 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝ ????? 1 3x 2 －80x ＋5 040，x ∈[120，144.12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]. ①当x ∈[120,144)时，y x ＝13 x 2 －80x ＋5 040 ＝13 (x －120)2 ＋240， 所以当x ＝120时，y x 取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时， y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000 x －200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200. 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理 的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然 后将这些区间内的最值进行比较确定最值． (2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分 钟) 为f (x )＝????? c x ，x A ，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟， 组装 第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 ( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16 答案 D 解析 由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为c A ＝15，故组装第4件产品 所需时间为 c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入c A ＝15，得A ＝16. 3.函数建模问题 典例：(12分) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖 店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定 从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后， 逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元． (1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法． 规范解答 解 设该店月利润余额为L ， 则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝???? ? －2P ＋50 14≤P ≤20，－3 2P ＋40 20 代入①式得 L ＝???? ? －2P ＋50P －14×100－5 600 14≤P ≤20，? ???? －32P ＋40P －14×100－5 600 20 (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分] (2)设可在n 年后脱贫， 依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．[12分] 解函数应用题的一般程序： 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知 识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义． 第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解， 必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 温馨提醒 (1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q 与P 的函数关系；②建立利润 余额函数；③建立脱贫不等式． (2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛． (3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误. 方法与技巧 (1)认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础； (2)实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、 基本不等式等来得到最值． 失误与防范 1． 函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型． 2． 要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 3． 注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． (时间：60分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1. 有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 (如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ( ) A ．1 000 m 2 B ．2 000 m 2 C ．2 500 m 2 D ．3 000 m 2 答案 C 解析 设围成的场地宽为x m ，面积为y m 2 ， 则y ＝3x (200－4x )×13 ＝－4x 2 ＋200x (0 当x ＝25时，y max ＝25×100＝2 500. ∴围成的矩形场地的最大面积为2 500 m 2 . 2． (2011·湖北改编)里氏震级M 的计算公式：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震 曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的_______ 倍． ( ) A ．6 1 000 B ．4 1 000 C ．6 10 000 D ．4 10 000 答案 C 解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级． 设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2 ＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.∴A 1A 2 ＝104 ＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍． 3． 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差 ( ) A ．10元 B ．20元 C ．30元 D.403元 答案 A 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ， 当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝1 5 ， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15 －20＝10. 4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运 多少年时，其营运的平均利润最大 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C 解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2 ＋11， 则营运的年平均利润y x ＝－x －25 x ＋12， ∵x ∈N * ，∴y x ≤－2 x ·25 x ＋12＝2， 当且仅当x ＝25 x ，即x ＝5时取“＝”． ∴x ＝5时营运的平均利润最大． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5. 如图，书的一页的面积为600 cm 2 ，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都 空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为____________． 答案 30 cm 、20 cm 解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600， 则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2) ＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486， 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486. 6． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付 费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9 解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝???? ? 9，0 8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8 由y ＝22.6，解得x ＝9. 7． (2012·绍兴模拟)2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%， 则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1) 答案 2037 解析 由已知条件：14(1＋1.25%) x －2 008 >20， x －2 008>lg 10 7lg 8180＝1－lg 7 4lg 3－3lg 2－1＝28.7， 则x >2 036.7，即x ＝2 037. 三、解答题(共25分) 8． (12分 ) 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a >b )．在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积． 解 设四边形EFGH 的面积为S ， 由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12 x 2 ， S △BEF ＝S △DHG ＝12 (a －x )·(b －x )． 由此得S ＝ab －2???? ??12 x 2＋1 2a －x b －x ＝－2x 2 ＋(a ＋b )x ＝－2? ?? ??x － a ＋ b 42＋a ＋b 2 8. 函数的定义域为{x |0 a ＋b 2 . 若a ＋b 4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b 4时面积S 取得最大值 a ＋ b 2 8 ； 若a ＋b 4>b ，即a >3b 时，函数S ＝－2? ????x －a ＋b 42＋a ＋b 2 8在(0，b ]上是增函数，因此， 当x ＝b 时，面积S 取得最大值ab －b 2 . 综上可知，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b 4时，四边形EFGH 的面积取得最大值 a ＋ b 2 8；若a >3b ， 当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2 . 9． (13分)某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万 件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(k －b )2 ，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75% 时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应 量约为2万件． (1)试确定k ，b 的值； (2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x ，当p ＝q 时，市场 价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 解 (1)由已知??? ?? 1＝21－0.75k 5－b 22＝21－0.75k 7－b 2 ， ?????? 1－0.75k 5－b 2＝01－0.75k 7－b 2 ＝1 . 解得b ＝5，k ＝1. (2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2 ＝2－x ， ∴(1－t )(x －5)2 ＝－x ?t ＝1＋ x x －52 ＝1＋ 1 x ＋25x －10 而f (x )＝x ＋25 x 在(0,4]上单调递减， ∴当x ＝4时，f (x )有最小值41 4， 故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2 和 L 2 ＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( ) A ．45.606万元 B ．45.6万元 C ．45.56万元 D ．45.51万元 答案 B 解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2 ＋2(15－x )＝－0.15x 2 ＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2 ＋0.15×10.22 ＋30 (x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)． 2． 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些 边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x 、y 应为 ( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14 答案 A 解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )， ∴S ＝xy ＝－54 (y －12)2 ＋180， ∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 3． (2012·江西)如图， 已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0 数 y ＝V (x )的图象大致为 ( ) 答案 A 解析 “分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象． 当0 2 时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝2 2 ， 取MN 的中点O ， 易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形， 则V S －AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2 ， 此时V (x )＝V S －ABCD －V S －AMN －V S －EQNMP ＝ 26－23x 2－13 ×(22x －32x 2 )x ＝2x 3 －2x 2 ＋ 26? ? ? ??0 当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝ 2 4 . 当12 ??? 1－x 122?S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝ 23 (1－x )3?V ′＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B. 方法二 二、填空题(每小题4分，共12分) 4． 某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月 份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________． 答案 20 解析 由题意得， 3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2 ]×2≥7 000， 化简得(x %)2 ＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20. 5． 某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20% 销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为______________． 答案 y ＝a 4 x (x ∈N * ) 解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54 a .∴y ＝ b ·20%·x ＝54 a ·20%·x ，即y ＝a 4 x (x ∈N *)． 6． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时， 有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个． 答案 4 解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求， 则???? ? N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③ 由①②，得??? ?? K ＝2.5M ，N ＝60M ， 代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求． 三、解答题(13分) 7． (2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下， 大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式； (2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ， 再由已知得? ?? ?? 200a ＋b ＝0， 20a ＋b ＝60， 解得????? a ＝－1 3 ，b ＝200 3. 故函数v (x )的表达式为 v (x )＝???? ? 60， 0≤x ≤20，1 3200－x ， 20 (2)依题意并由(1)可得 f (x )＝???? ? 60x ， 0≤x ≤20，1 3x 200－x ， 20 当0≤x ≤20时，f (x )为增函数， 故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20 3 x (200－x ) ≤13???? ??x ＋200－x 22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 000 3 . 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 000 3 ≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 第1页 共64页 高考数学总复习教案 第一章-集合 考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件． 考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． （2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义． §01. 集合与简易逻辑 知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 2.全称量词和存在量词 3.全称命题和特称命题 4.含有一个量词的命题的否定 【知识拓展】 1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 (1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假； (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × ) (6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × ) 1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对 称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C 解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π 2不是y ＝cos x 的对称 轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 綈p 为真知p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( ) 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； §2.9 函数的应用 2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值． 复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合． 1． 几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝k x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞)上的 增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为 与y 轴平行 随x 的增大逐渐表现为 与x 轴平行 随n 值变化而各有不同 值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： [难点正本疑点清源] 1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决函数应用问题重点解决以下问题 (1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关 系，数据的单位等等； (2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函 数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域； (3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的 特殊值等，注意发挥函数图像的作用； (4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来． 1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________． 答案78℃ 解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)． 2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又 知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－1 20 Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 答案 2 500 解析L(Q)＝40Q－1 20 Q2－10Q－2 000 第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 两个原理 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理． (2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． 知识点两个原理 1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋n种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 易误提醒(1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． (2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步与步之间是相关联的． [自测练习] 1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30 B．20 C．10 D．6 解析：从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．答案：D 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)， ∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B 考点一分类加法计数原理| 第15讲基因的自由组合定律 [考纲要求] 1.基因的自由组合定律(Ⅱ)。2.孟德尔遗传实验的科学方法(Ⅱ)。 1．两对相对性状的杂交实验——发现问题 (1)实验过程 (2)结果及结论 结果结论 F1全为黄色圆粒说明黄色和圆粒为显性性状F2中圆粒∶皱粒＝3∶1 说明种子粒形的遗传遵循分离定律 F2中黄色∶绿色＝3∶1 说明种子粒色的遗传遵循分离定律 F2中出现两种亲本类型(黄色圆粒、绿色皱粒)和两 说明不同性状之间进行了自由组合种新类型(绿色圆粒、黄色皱粒) (3)问题提出 ①为什么会出现新的性状组合呢？②这与一对相对性状实验中F2的3∶1的数量比有联系吗？2．对自由组合现象的解释——提出假说 (1)理论解释(提出假设) ①两对相对性状分别由两对遗传因子控制。 ②F1产生配子时，每对遗传因子彼此分离，不同对的遗传因子可以自由组合。 ③F1产生的雌配子和雄配子各有4种，且数量比相等。 ④受精时，雌雄配子的结合是随机的。 (2)遗传图解(棋盘格式) 3．对自由组合现象的验证——演绎推理、验证假说 (1)演绎推理图解 (2)实施实验结果：实验结果与演绎结果相符，则假说成立。 黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的测交实验结果如下： 表现型 项目 黄色圆粒黄色皱粒绿色圆粒绿色皱粒 实际子粒数F1作母本31 27 26 26 F1作父本24 22 25 26 不同性状的数量比 1 ∶ 1 ∶ 1 ∶ 1 4．自由组合定律 (1)实质与各种比例的关系 (2)细胞学基础 (3)研究对象：位于非同源染色体上的非等位基因。 (4)发生时间：减数第一次分裂后期。 (5)适用范围 5．自由组合定律的应用 (1)指导杂交育种：把优良性状结合在一起。 不同优良性状亲本――→杂交F 1――→自交F 2(选育符合要求个体)――→连续 自交 纯合子 (2)指导医学实践：为遗传病的预测和诊断提供理论依据。分析两种或两种以上遗传病的传递规律，推测基因型和表现型的比例及群体发病率。 6．孟德尔获得成功的原因 教材拾遗 (1)F 2中出现与亲本不同的性状类型，称为重组类型，重组类型是黄色皱粒和绿色圆粒，重组类型所占比例是3 8 。(P 9) (2)对于两对相对性状的遗传结果，如果对每一对性状单独进行分析，其性状的数量比都是3∶1，即每对性状的遗传都遵循了分离定律。两对相对性状的遗传结果可以表示为它们各自遗传结果的乘积，即9∶3∶3∶1来自(3∶1)2。(P 10) 2014届高三数学总复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存 1. (选修11P 20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b 2 ”的逆否命题是________________________________________________________________________． 答案：若ac≠b 2 ，则a 、b 、c 不成等比数列 2. (选修11P 20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________． 答案：互为逆命题 3. (选修11P 20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件． 答案：必要不充分 4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题． 否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题． 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题． 5. 下列命题中的真命题有________．(填序号) ①$ x ∈R ，x ＋1 x ＝2； ② $x ∈R ，sinx ＝－1； ③ "x ∈R ，x 2 >0； ④ "x ∈R ，2x >0. 答案：①②④ 解析：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π 2 时，sinx ＝－1，正确； 对于③，x ＝0时，x 2 ＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确． 6. 命题p ：有的三角形是等边三角形．命题綈p ：____________________________． 答案：所有的三角形都不是等边三角形 1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题 天印中学2010届高三数学第一轮复习教学案 主备人：李松 2009-12-1立体几何2） 课题：线面平行与面面平行（B 级） 【教学目标】 1. 掌握直线与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题； 2. 掌握平面与平面平行，判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题。 〖走进课本〗——知识整理 1.直线与平面的位置关系有 ; ; 三种 2.直线与平面平行的判定定理： 用符号表示为 3.直线与平面平行的性质定理： 用符号表示为 4.两个平面平行的判定定理 有符号表示为 5.两个平面平行的性质定理 有符号表示为 〖基础训练〗——提神醒脑 1.直线a ⊥平面α，直线α||b ，则a 与b 的关系是（ ） A.b a || B. b a ⊥ C. b a ,一定异面 D. b a ,一定相交 2.如果直线a 平行于平面α，则（ ） A.平面α内有且只有一条直线与a 平行； B. 平面α内无数条直线与a 平行； C. 平面α内不存在与a 垂直的直线； D. 平面α内有且只有一条直线与a 垂直； 3.若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是（ ） A.α||a B. α?a C.α||a 或α?a D. α?a 4.已知直线b a ,和平面α，那么b a ||的一个必要不充分的条件是（ ） A.α||a ，α||b B. α⊥a ，α⊥b C. α?b 且α||a D. b a ,与α成等角 5.以下六个命题：其中正确命题的序号是 ①两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一平面的两个平面平行； ④一个平面内的两相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，则这两个平面平行； ⑤与同一条直线成等角的两个平面平行； ⑥一个平面上不共线三点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行； 高三数学第二轮复习教案 第2讲 数列问题的题型与方法 一、考试容 数列；等差数列及其通项公式，等差数列前n 项和公式；等比数列及其通项公式，等比数列前n 项和公式。 二、考试要求 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。 三、复习目标 1． 能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和； 3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题； 4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力． 5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力． 6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法． 四、双基透视 1． 可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若 ，则{}n a 为等比数列。 (3)中项公式法：验证 都成立。 实验基础知识 一、螺旋测微器的使用 1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度． 图1 2．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5 mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01 mm，即螺旋测微器的精确度为0.01 mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺． 3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)． 如图2所示，固定刻度示数为2.0 mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为15.0，最后的读数为：2.0 mm＋15.0×0.01 mm＝2.150 mm. 图2 二、游标卡尺 1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示) 图3 2．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径． 3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成． 不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表： 刻度格数(分度)刻度总长度每小格与1 mm的差值精确度(可精确到) 109 mm0.1 mm0.1 mm 2019 mm0.05 mm0.05 mm 5049 mm0.02 mm0.02 mm 4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm. 三、常用电表的读数 对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可． (1)0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1 V和0.1 A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位． (2)对于0～15 V量程的电压表，精确度是0.5 V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到0.1 V. (3)对于0～0.6 A量程的电流表，精确度是0.02 A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01 A. 导数的应用 一、结合函数的单调性 1、求函数的单调区间 步骤：①先明确函数的定义域 ②求出函数)(x f 的导数)(x f ' ③求单调增区间时令0)(>'x f ,求单调减区间时令0)(<'x f 例1、求下列函数的单调区间： ⑴52)(24--=x x x f ⑵nx x x f 12)(2-= ⑶ex e x f x -=)( 例2、已知函数nx ax x f 1)(2+=，求函数)(x f 的单调区间 2、已知函数的单调性或单调区间，求字母参数的取值范围 若)(x f 在某区间I 上单调递增，则0)(≥'x f ()x I ∈恒成立 若)(x f 在某区间I 上单调递减，则0)(≤'x f ()x I ∈恒成立 注意：在利用0)(≥'x f 或0)(≤'x f 取等号时，函数)(x f 是否会为常数函数，如果是，则不能取等号，即0)(>'x f 或0)(<'x f 例1、 函数12)(23+++=x x ax x f 是R 上的增函数，求实数a 的取值范 例2、 已知函数)0(ln 22)(2>++-=a x x ax x f 在定义域上是单调增函数，求实数a 的取 值范围 例3、 已知函数()2ln b f x ax x x =--，()10f =.)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； 例4、 若函数3211()(1)132 f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围。 例5、已知32()1,f x x ax x a R =+++∈ （1）讨论()f x 的单调区间 （2）讨论函数()f x 在区间21(,)33 --内是减函数，求a 的取值范围 新修订高中阶段原创精品配套教材 高三数学第一轮复习讲义 教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Lecture notes for the first round of senior high school mathematics 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育 高三数学第一轮复习讲义 高三数学第一轮复习讲义空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离：． 2．直线到平面的距离：． 3．两个平面的距离：． 4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（） 2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（） 3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为． 四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长． 例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．例3．已知正四棱柱, 点为的中点，点为的中点，（1）证明：为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离． 五．课后作业：班级学号姓名1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（） 2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离． 7．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的 2009届高三数学二轮专题复习教案――函数 一、本章知识结构： 二、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程． 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。 三、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一 区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和 运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思 想方法解决问题的能力． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函 数图像要注意以下方面。 1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法． 2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题． 3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题． 4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力． 例1、（2008广东汕头二模）设集合A={x|x<-1或x>1}，B={x|log2x>0}，则A∩B=( ) A．{x| x>1} B．{x|x>0} C．{x|x<-1} D．{x|x<-1或x>1} 【解析】:由集合B得x>1 , A∩B={x| x>1}，故选（A）。 ［点评］本题主要考查对数函数图象的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础 题。 例2、（2008广东惠州一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢 爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶， 但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时 间，则下图与故事情节相吻合的是（） A B C D 【解析】：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。 盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值； 连贯 1．填入下面横线处的句子，与上下文前后连贯、音节和谐的一组是 ( ) 埋伏和照应需要惨淡经营。埋伏处要能轻轻一笔，若不经意；________。要使读者看不出斧凿痕迹，只觉得________，如一丛花，如一棵菜。虽由人力，却似天成。如果看出来这里是埋伏，那里是照应，________。 ①照应处要顺理成章，水到渠成②照应处要水到渠成，顺理成章③清清爽爽，简简 单单④自自然然，完完整整⑤便成死症⑥便太浅显 A．①③⑥ B．①④⑤ C．②③⑤ D．②④⑥ 答案 B [本题重点考查语言的连贯。从前后连贯的角度看，③④句中，句③不能和“如一丛花，如一棵菜”相衔接。从音节和谐的角度看，句⑤中的“症”能和“却似天成” 句中的“成”、首句的“营”、句①中的“成”、句④中的“整”押韵。] 2.依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是 ( ) 中国古典美学讲和谐。，可高度概括为阴阳统一，刚柔统一。，而强调你中有我、我中有你的交感统一。，所以又称之为“中和”，。 ，孔子观东流之水，喟然长叹“逝者如斯夫，不舍昼夜”。 ①这种和谐由于做到恰到好处 ②“中”，恰当之谓也 ③和谐不是同一重复，而是众多因素对立的统一 ④中华民族十分重视天人合一之美 ⑤这种统一不强调部分与部分或部分与整体之间的统一 A.③④⑤②① B.④①②③⑤ C.④⑤③②① D.③⑤①②④ 答案 D [③句中的“和谐不是”与上文句尾的“和谐”相接；⑤句中的“不强调”与下句“强调”衔接；只有④句能引出文段末句“孔子”例；由此推出前后衔接最恰当的排序是③⑤①②④。] 3．依次填入下面一段文字横线处的语句，衔接最恰当的一组是( ) 我国是食品生产和消费大国，________，________，________，________，________，________。这样才能有效解决食品安全领域损害群众利益的突出问题，切实增强消费安全感。 ①强化执法措施，严惩违法犯罪分子 ②食品产业涉及环节多，哪一环出现漏洞都会给食品安全带来严重威胁 ③创新食品安全监管机制 ④坚决淘汰劣质企业，以震慑所有企业使之不敢越雷池半步 ⑤保障食品安全需要生产经营者诚信自律，更需要严格的法律制度约束和有效监管 ⑥因此，必须保持严厉打击违法违规行为的态势，及时消除各环节的隐患 A．②⑥①③④⑤ B．②⑤⑥①④③ C．⑤②⑥③①④ D．⑤⑥②④③① 答案 C [②句说食品产业环节多，容易出问题，⑥句说必须严厉打击违法违规行为， 2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I) 函数的单调性有广泛的应用，利用它可以解方程与不等式，求最值，求参数的取值范围。也可以证明等式与不等式等问题，其中有些问题的解法巧妙、简捷。现举例如下：1．比较大小 例1．比较与的大小： 解：， 由于及0 证：（反证法）。 令f(x)=x3+x+1，则原方程写为f(x)=0. 设f(x)=0至少有两个实根x1,x2，且x2>x1, ∴ f(x1)=f(x2)=0 (1) ∵ f(x)=x3+x+1在R上是增函数， 又∵ x2>x1, ∴ f(x2)>f(x1) (2) 由(1),(2)知，两者矛盾， 故方程x3+x+1=0至多有一个实根。 4．解不等式 例4．解不等式(2x-1)5+2x-1 课题：二次函数(1) 一、知识梳理 二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题． 二次函数研究就应从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法． 1、二次函数解析式的三种形式 一般式：()()02≠++=a c bx ax x f 顶点式：()()2()0f x a x h k a =-+≠ 零点式：()()02≠++=a c bx ax x f 存在零点21,x x ， 则有()()12()()0f x a x x x x a =--≠ 2、二次函数的图象和性质 （1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线 的对称轴是 ，顶点的坐标 ，因此对任意的实数x ，都有 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最小值 。 当 时，抛物线开中方向 ，在区间 上是递增，在区间 上 ，是递减，因此抛物线在 处，取得最大值 。 （2）、二次函数的图象与x 轴的位置关系：由判别式判定 3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系 一般地，设二次函数，二次方程的根的差别式 ，我们可以利用二次方程的根求出不等式,或,解集，它们的关系如下表： 二次函数（）的图象 Y X Y X Y X 二次方程 的根 == 没有实数根 （）的解集 (-) R （）的解集 (,) 二、题型探究 湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：一元一次不等式 教材：复习一元一次不等式 目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有 参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。 过程： 一、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式 板演：1．解不等式：12 732)1(2->-++x x x )2( 若)1(-->a a 即2 1> a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,2 1 若)1(--1 例三、关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->- 第十一章计数原理、随机变量及分布列第５课时独立性及二项分布（对应学生用书（理）１7４～ １76页） 考情分析考点新知 相互独立事件，n次独立重复试验，二项 分布是高考的一个重要考点．相互独立事 件因其重要性，成为高考常考内容之一． １了解两个事件相互独立的概念，会求独立事件 的概率． ２理解二项分布X～B（n，p）的特点，会计算 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概 率，并能解决一些简单的实际问题. １．（选修２３P５9练习２改编）省工商局于３月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙３人聚会，选用6瓶x饮料，并限定每人喝２瓶．则甲喝２瓶合格的x饮料的概率是________． 答案：0．6４ 解析：记“第一瓶x饮料合格”为事件A１，“第二瓶x饮料合格”为事件A２，A１与A２是相互独立事件，“甲喝２瓶x饮料都合格就是事件A１、A２同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得P（A１·A ２ ）＝P（A１）·P（A２）＝0．8×0．8＝0．6４． ２．（选修２３P6３练习２改编）某人射击一次击中目标的概率为0．6，经过３次射击，此人恰有两次击中目标的概率为________． 答案：错误! 解析：本题符合独立重复试验，是二项分布问题，所以此人恰有两次击中目标的概率为C错误!（0．6） ２·（１—0．6）＝错误!. ３．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报记录知，一年中下雨天甲市占２0%，乙市占１8%，假定在这段时间内两市是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两市同时下雨的概率为________．答案：0．0３6 解析：设甲市下雨为事件A，乙市下雨为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）＝0．２，P（B）＝0．１8，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0．２×0．１8＝0．0３6． ４．（选修２３P6３练习２改编）某单位组织４个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界３个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则３个景区都有部门选择的概率是________． 答案：错误! 解析：某单位的４个部门选择３个景区可能出现的结果数为３４.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.３个景区都有部门选择可能出现的结果数为C错误!·３！（从４个部门中任选２个作为１组，另外２个部门各作为１组，共３组，共有C错误!＝6种分法，每组选择不同的景区，共有３！种选法），记“３个景区都有部门选择”为事件A１，那么事件A１的概率为P（A１）＝错误!＝错误!. ５．在４次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生１次的概率是错误!，则事件A 在一次试验中出现的概率是________． 答案：错误! 解析：设A发生概率为P，１—（１—P）４＝错误!，P＝错误!. １．相互独立事件 （１）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B相互独立． （２）若A与B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）． （３）若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．高三数学第一轮复习教案(1)
求数列通项专题高三数学复习教学设计
2018版步步高《大一轮复习讲义》人教A版(理)第一章 1.3
湖南省师范大学附属中学高三数学总复习 极限的概念教案
步步高大一轮复习讲义
高考理科数学第一轮复习教案
第五单元 第15讲 【高三一轮复习系列2021版步步高生物《大一轮复习讲义》】(001)
2014届高三数学总复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 新人教A版
高三数学第一轮复习教学案
高三数学第二轮复习教案
物理步步高大一轮复习讲义答案
高三导数总复习教案
高三数学第一轮复习讲义教学设计
高三数学二轮专题复习教案――函数
(完整版)高中数学一轮复习《1集合与充要条件》教学案
【步步高】高考语文大一轮复习讲义 连贯 新人教版
2019-2020年高三数学总复习教案新课标人教版(I)
高三数学第一轮复习二次函数(1)教案文
高三数学总复习 一元一次不等式教案
高考高三数学总复习教案：独立性及二项分布
相关主题
文本预览