高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下
2016-01-20 07:29
解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧．
2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）：
如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（）
A．
B．
C．
D．
正确答案是 B．
解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．
先画出一个正方体，如图（1）：
第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．
第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．
第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．
最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可．
大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了．
注一此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合．注二参考文章：
下面给出一道练习．
如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为______．
答案是．
提示如图．
专题十二 三视图及空间几何体的计算问题 1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )． A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 答案：D [球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三 视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选 D.] 2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )． A ．28＋6 5 B ．30＋6 5 C ．56＋12 5 D ．60＋125 答案：B [该三棱锥的直观图，如图所示， 其中侧面P AC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC . 故S △P AC ＝12×5×4＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝12 ×4×5＝10；由于PB ＝PD 2＋BD 2＝16＋25＝41，而AB ＝52＋42＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边 AP 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥P A ，又AE ＝12 P A ＝5，所以BE ＝41－5＝6，所以S △P AB ＝12 ×25×6＝6 5.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.] 3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形， SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A. 26 B.36 C.23 D.22 答案：A [在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝ 4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ， 故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32 ，则△ABD 的面积为12×1×AD 2－????122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26 .] 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________． 解析 利用三视图得几何体，再求表面积．由三视图可知，该几何体是一个长方体中间
高考有方法--- 三视图解题超级策略 一、三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图?注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示, 不能看到的部分用虚线表示. (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图?先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式?当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合. (3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图. 二、还原三视图的常用方法 1、方体升点法； 2、方体去点法(方体切割法)； 3、三线交汇得顶点法 方法一方体升点法 例1 : (2015北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( ) A. 1 B. .2 C. .3 D. 2 答案C 解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V —ABCD，其中VB丄平面ABCD，且底 面ABCD是边长为1的正方形，VB = 1所以四棱锥中最长棱为VD?连接BD，易知BD = -, 2,在Rt△ VBD 中，VD = VB2+ BD2= .3. 跟踪训练1.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积 跟踪训练2.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积
跟踪训练3.如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积 方法二方体去点法 例2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形，求三棱锥的表面积或体积? 跟踪训练4.如图所示为三棱锥的三视图，主视图 形，求三棱锥的表面积或体积.
课题：29.2 三视图及其画法教师 教学目标： 1知识目标： 从投影的角度理解视图的概念；经历三视图的产生过程，探索三视图中三个视图间的位置关系和大小关系；会画简单几何体的三视图。 2能力目标： 培养学生一定的空间立体感，培养学生的探究能力、交流合作能力以及总结归纳能力。 3情感态度价值观： 生活中我们要从不同角度，多方面地去看待一件事物，分析一件事情。 教学重点、难点： 重点：从投影的角度对三视图的理解和会画简单的三视图 难点：对三视图概念理解的升华及正确画出圆柱三棱柱等几何体的三视图 教学方法： 直观演示、动手操作、小组合作 教具： 幻灯片、自制立体图形、实物 教学过程： 一、创设情境，引入新课 外星人朋友来到我们地球，他们觉得都很新奇，于是拿起相机拍了几张照片，你能说说他们拍摄的照片是哪一张吗？ 设计意图：激发学生学习的兴趣。 二新课 （一）认识视图 以九年级数学书为例让学生分别说出从前向后、从左向右、从上向下观察这本书（视线分别与前面、上面、左面垂直）所看到的平面图形，从而引出视图的定义。 1、视图：当我们从某一个角度观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图；也可以看成是物体在某一个光线下的正投影。 2、为了更好地反映物体的形状，我们来研究物体的三视图 首先回顾正投影的知识，然后从正投影的角度来认识三视图，并对三个方向做了更明确的规定。 设计意图：从学生熟悉的物体入手，让学生顺理成章的认识视图。
（二）：1、初步认识三视图 探究交流：长方体的三视图 我们把这个长方体放在三个互相垂直的平面中，我们用这三个互相垂直的（例如：墙角处的三面墙面）作为投影面，其中： 正对着我们的叫正面，正面下方的叫水平面， 右边的叫做侧面。 一个物体在三个投影面内同时进行正投影， 在正面得到的由前向后观察物体的视图， 叫主视图（从前面看）； 在水平面内得到的由上向下观察物体 的视图，叫俯视图（从上面看）； 在侧面内得到由左向右观察物体的视图， 叫左视图（从左面看） 如图(1) 设计意图：由动画演示，形象、生动、直观， 学生易于理解和掌握。 2、初步知道简单立体图形的三视图： （长方体、圆柱、圆锥、四棱锥、组合体） 设计意图：播放幻灯片动态演示过程，使学生 深刻体会几何体的三视图。 3、掌握三视图的位置要求： 将三个投影面展开在一个平面内，得到这 个物体的一张三视图 主视图要在左上边 下方应是俯视图 左视图坐落在右边 4、让学生亲自观察、分析、比较三视图 的长、宽、高与物体的长、宽、高之间的 关系（如图2） 之后总结： 主视图与俯视图长对正 主视图与左视图宽相等 左视图与俯视图高平齐 设计意图：学生通过动手操作，动脑思考， 能够更深刻理解三个视图之间的大小关系。 （三）、应用新知 例1画出下图所示的一些基本几何体的三视图. 设计意图：根据教材内容动手画图，提高学生画图能力、运用知道能力、合作交流能力，让学生来讲解，提高学生的语言表达能力。
高考有方法——三视图解题超级策略 一、三视图问题的常见类型及解题策略 (1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意 看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示． (2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、 推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． (3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确 三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 二、还原三视图的常用方法 1、方体升点法； 2、方体去点法（方体切割法）； 3、三线交汇得顶点法 方法一方体升点法 例 1：(2015·北京 ) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ( ) A．1 D ．2 答案 C 解析根据三视图，可知该几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ ABCD，其中 VB⊥平面 ABCD，且底面 ABCD是边长为1的正方形， VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD. 2 2 连接 BD，易知 BD＝2，在 Rt△VBD中，VD＝VB＋ BD＝ 3. 跟踪训练 1. 如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积. 跟踪训练 2. 如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积. 跟踪训练 3. 如图所示为三棱锥的三视图，求三棱锥的表面积或体积. 方法二方体去点法 例 2：如图所示为三棱锥的三视图，主视图、俯视图是直角边长为2 的等腰直角三 角形，求三棱锥的表面积或体积. 跟踪训练 4. 如图所示为三棱锥的三视图，主视图、侧视图是直 角边长为 4，宽为 3 的直角三角形，求三棱锥的表面积或体积 . 跟踪训练 5. 如图所示为三棱锥的三视图，三视图是直角边长为 4 等 腰直角三角形，虚线为中线，求三棱锥的表面积或体积 . 方法三三线交汇得顶点法
三视图画法的几点注意 了解物体的三视图，能正确地画出简单几何体的三视图是新课程的新 内容之一．如何正确地画出简单几何体的主视图、左视图和俯视图呢？注 意以下几点： 一、注意物体摆放的位置 物体的三视图与物体摆放的位置有着十分密切的关系，同一个物体， 摆放的位置不同，所得的三视图一般也不同．如图1的圆柱，它的主视图 和左视图都是矩形，俯视图是圆，而如果把它摆放成如图2，则它的左视 图就变成了圆，俯视图变成了矩形． 二、明确三种视图的形状 画简单几何体三视图时，首先要明确各种视图的形状，熟记一些常见几何体三视图的形状，例如在正常的放置下，球的三视图都是圆；圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆；正方体的三视图都是正方形；圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆及圆心等． 三、准确三种视图的大小 明确三种视图的形状后，在绘画时要注意各种视图的大小．视图的大小与几何体的大小有关，在不放大也不缩小的情况下，各种视图的大小应与几何体相应的大小相同．如果我们把几何体的大小分为长、宽和高，那么三视图中的主视图是由长和高组成的，其长和高分别与几何体的长和高相等；左视图是由高和宽组成的，其大小与几何体相应的大小一样；俯视图是由宽和长组成的，它的大小分别与几何体的宽和长相等．这些关系可概括为十五个字“主俯长对正，俯左宽相等，左主高平齐”．意思是说，主视图和俯视图的长与几何体的长相等，俯视图和左视图的宽与几何体的宽相等，左视图和主视图的高与几何体的高相等．大家可参见图3． 四、注意实线与虚线的用法 含有棱的几何体，它的棱在三视图中也要画出来．如果是看得见的棱，用实线画出，看不见的用虚线．如图4是一个正六棱柱，它的左视图是正六边形，其边长与底面的正六边形边长相等；主视图是一个长方形，长方形的长与六棱柱的长一样，高与六棱柱上下平行两面的距离相等，在主视图中我们还可以看到前面正中间一条棱和后面正中间一条棱，本来这两条棱都要画出，前者用实线，后者用虚线，但由于后面的棱与前面的棱在主视图中是重合的，故只须画出前面的这一条；俯视图也是长方形，长与主视图的长一样，宽是正六边形最长的对角线长，所看见的棱有两条，另两条看不见的棱在俯视图中与看得见的重合．因此，画出来的三视图如图5所示． 图１ 图2 图3 图4
三视图解题技巧
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备课资讯16 空间几何体与三视图问 题的解题思想 作为新课程中的新增内容，几何体与三视图必将成为今后高考考查的热点．本文以高考题为据，重在揭示解决此类问题的基本思想． 一、直观构造思想 【例1】(2008·山东)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )
A．9π B．10π C．11π D．12π 解析几何体为一个球与一个圆柱的组合体， S＝4π·12＋π·12·2＋2π·1·3＝12π. 二、内部构造思想 【例2】(2009·海南)一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为 ( ) A．48+12 2 B．48＋24 2 C．36＋12 2 D．36＋24 2
解析 该几何体是一个底面为直角 三角形的三棱锥，如图，SE =5，SD =4， AC =6 ，AB =BC =6， ∴S 全=S △ABC +2S △SAB +S △ASC 2. 212484262 1652126621+=??+???+??=【例3】 若某多面体的三视图(单位：cm)如下图所 示，则此多面体的体积是________ cm 3.
解析 通过对三视图的观察，三视图 对应几何体为正四棱锥P —ABC D .在 正四棱锥P —ABC D 中间构筑底面的垂 面△PEF 为投影面，侧视图即为△PEF ， 从而求出该几何体的高度 PO = . 3 .33 43431=??=-ABCD P V 故点评例2、例3在几何体内部构造投影面，通过该投影面观察几何体的侧视图，就将问题化繁为简．投影面的构造需要垂直于几何体的下底面和后投影面． 三、外部补形思想 【例4】 (2008·海南，12)某几何体的一条棱长为 7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为 ( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5
三视图的画法及技巧 贵州省遵义市新蒲新区虾子镇中学：康成舜（563125） 三视图：我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的 图形。其中，把从正面看到的图叫做正视图，从左面看到的图叫做侧 视图，从上面看到的图叫做俯视图。三者统称三视图。本节内容是学 生从平面图形过渡到立体图形的一个关键之处。从概念上看很简单, 但让学生动手操作，学生就感到为难了，现在就本人从事数学科教学 十几年的经验与大家一起分享。 一、三视图分为主视图、左视图、俯视图 从上面看到的图 从正面看到的图 从左边看到的图 体的三视图时 左视图侧视图，俯视俯所画1的位
如图所示,且要符合如下原则： 主俯长对正、主左咼齐平、左俯宽相等 长对正 J 咼 1 k A F 1 _____________ 1 :正视冬 : : 侧视图 1 正视图方向 宽相等 俯视图方向 侧视图方向 f / ---- 长
三、作图步骤 俯视图方向 侧视图方向 正视图方向 1.确定正视图方向 2. 布置视图 3. 先画出能反映物体真实形状的一个视图（一般为正视图） 4. 运用长对正、高平齐、宽相等1 原则画出其它视图 5.检查 要求：俯视图安排在正视图的正侧视图安排在正视图的正右方。
正视图 侧视图 俯视图 四、例题解析。 例1由一些大小相同的小正方体组成简单的几何体的主视图和俯视图(1)请画出这几何体一种左视图, (2)若组成这个几何体的小正方体的块数为n,请写出n的 所有可能值。 ①左视图有五种情况 例2、如图是小正方体搭成的几何体俯视图，小正方形中的数字
表示该小正方体的个数，请画出它的主视图和左视图。 例 3、已知某棱柱的俯视图如图所示，请试着画出它的主视图和 本文都是教学中的一些经验之谈，在具体的解题过程中，还需 要同学习视具体情况而定。只要同学们在学习过程中多动手、勤动脑, 就没有做不好的题目。一定要相信自己哦。 2 4 1 2 3 左视图。 （左视图）
高中数学三视图知识点总结及解题技巧专题汇总1、三视图的概念 （1）正投影的概念：正投影是指投影线互相平行，并都垂直于投影面的投影。 （2）三视图：物体向投影面投影所得到的图形，称为视图。将物体在三个相互垂直的平面内作垂直投影所得的三个图形，称为三视图。分别为主视图（正）、俯视图和侧（左）视图。
2、识图技巧 （1）试图位置 一般三视图的放置方式是按下图所示的标准位置，如果题目中给出的不是，那么为了解题的需要，可以把它们摆放为标准位置，便于尺寸的对应； （2）侧面与试图的关系 当几何体的侧面与投影面不平行的时候，这个角度的视图的形状就不是该侧面的形状，只有当侧面与投影面平行的时候，视图才能真实地反映几何体侧面的形状。
（3）看图要领： 主、俯视图长对正； 主、侧视图高平齐； 俯、侧视图宽相等； （4）三视图考题中选取的几何体一般有三种 （I）一些常见的几何体，如长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等等，熟悉这些几何体的三视图是个基础。 （II）上述几何体被平面截取后得到的几何体，比如将正方体消去一个角后的几何体； （III）2个几何体的组合体，比如把一个球放在一个长方体上面；
3、解题要领 （1）先确定底面——大多数试题中下，俯视图的图形都是几何体底面的真实形状； （2）找视图中有线线垂直的地方，这些关键线往往对应着几何体中线面垂直、面面垂直的地方，几何体的高很多情况就是视图平面图形的高，求几何体的体积时这一点显得尤为重要； （3）注意三视图与几何体的摆放位置直接相关，同样一个几何体若摆放位置不同，那么三视图的形状也会有变化； 4、典型例题讲解 例题1：某几何体的三视图如下，确定它的形状； 分析： （1）看俯视图，可知底面是直角三角形； （2）主视图中，SA那里是直角，而俯视图中，与SA对应的是点S，这样可以确定SA在几何体中是一条与底面垂直的棱， （3）结合以上画出直观图；
2020年国家公务员考试行测《三视图》考点解题技巧三视图就是从正面、上面、左面看到的图形视图。 主视图（从正面看）：从物体的前面向后面所看到的视图称为主视图——能够反映物体前面的形状。 俯视图（从上往下看）：从物体上边向下作正投影得到的视图。 左视图（从左侧看）：从物体左边向右作正投影得到的视图。 有几点需要注意： ①三视图一定是平面图，不可能出现立体图形。 ②有些曲线从一些角度看是直线，比如圆柱从正面、侧面看，都是矩形。 ③三视图不仅要表现出物体的外部轮廊，还要体现其细节特征。 三视图在图形推理中一般有两种考法，一种是间接考法，一种是直接考法。 1、间接考法 间接考法就是它的考点是隐藏的，需要你自己思考发现。 常见的是下面这种题型： 【例1】（2018年江苏B类）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（） 【解析】C。题干图形均由小正方体叠加而成，考虑三视图。观察发现，题干图形的左视图均相同，对比选项，只有C项的左视图与题干相同，当选。 【例2】（2019安徽）从所给四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（） 【解析】C。观察第一组图形可以看出，第二个和第三个图形分别是第一个图形的主视图和俯视图。第二组图形同样的规律，问号出应该是立体图形的俯视图，从上往下看可以看到两个小圆和一个矩形面。因此本题选C。 2、直接考法
直接考法就是题目中的问题直接体现为三视图，这种考法难度会低一些。 常见的是下面这种题型： 【例1】（2018国考省级以上）左图为给定的多面体，从任一角度观看，下面哪一项不可能是该多面体的视图（） 【解析】D。如下图所示，A项为从多面体正面看过去得到的；B项为从多面体底面向上看得到的；C项为从多面体右侧看过去得到的。因此D项不能得到，当选。 【例2】（2019河北县级）下面三个三视图依次与三个几何体相对应，三个几何体的正确对应顺序是（） A. ②①③ B. ②③① C. ①③② D. ③①② 【解析】A。先看第一幅图形，从正视图可以明显看出对应②，再看第二幅图形的正视图，可以得到第二幅图对应①，剩下的第三幅图对应③。因此本题选A。
明伦堂教育 通过三视图求立体图形的表面积和体积 1、主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等 2、即： 3、主视图和俯视图的长要相等 4、主视图和左视图的高要相等 5、左视图和俯视图的宽要相等。 首先要注意三视图的一些性质 6、主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。还有两种特殊的情况：1、是棱锥和 半圆锥的组合体。2、就是半圆锥。到底如何如确定就是通过俯视图观察。 （1）若俯视图是三角形时，就是三棱锥。 （2）若俯视图是多边形时，就是多棱锥。 （3）若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体。 （4）若俯视图是半圆时，就是半圆锥。 （5）注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的。 7、三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的，并且肯定是立体图形 的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑。 （1）如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公式。 （2）如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可。 （3）如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可。 3、三视图求表面积的时候解题步骤 （1）先利用原先判定的方法来判定立体几何图形到底是什么形状的，注意：如果是组合体的时候一定不要你忘了组合体重合的部分是要去掉的。 （2）关键就是考到棱锥时候怎么还原棱锥的图。 1.首先俯视图肯定是底面图形，关键是找到顶点在哪里 2.若底面图形内部有一条实线，则顶点投影一定在实线与底面图形边的交点上。 3.若底面图形内部有多条实线，则顶点投影一定是几个实线的交点，根据投影点找出顶点即可，图 形完成。 4.若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在地面图形的边上面，具体在哪里结合主视图和左视 图即可。 5.若底面图形内部没有实线，则顶点的投影就在地面图形的边上面，并且主视图和侧视图都是直角 三角形时候，则顶点的投影一定在底面图形的端点位置。 4、三视图中的小正方体计数问题 口诀：主俯看列，俯左看行，主左看层。 1 / 1 为理想而奋斗！
立体几何三视图处理方法 1.由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图． 2.由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示． 3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． 4.有很多“三视图”的问题，可以看成由长方体（或正方体）切割而截成的，大家可以由长方体或正方体图形来思考用什么线段或截面截成的（这种思维方法给我们明确提供了一个解题的思考方向！） 【例1】将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
从三视图的知识来看，原几何体应当是由直四棱柱截成的几何体，用图1中的左图尝试知，则该几何体的侧视图为B. 解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B. 【例2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) 从三视图的知识来看，原几何体应当是由正方体截成的几何体，用图2中的左图尝试知，则该几何体的原图形应为图2的右边图形的三棱锥.
【例3】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积是多少？
从三视图的知识来看，原几何体应当是由正方体截成的几何体，用图3中的右图尝试知，则该几何体的原图形应为图3的右边图形的三棱锥A-BCD. 下面，我们来列举一些考试中经常用到的“三视图”的典型例子（以图形的形式给出）
高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧． 2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）： 如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ） A ．26 B ．6 C ．24 D ．4 正确答案是 B ． 解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为 ，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原． 先画出一个正方体，如图（1）：
第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的． 第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可．
高考三视图解题技巧 一、三视图的一些性质 1、 主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。还有两种特殊 的情况：1、是棱锥和半圆锥的组合体。2、就是半圆锥。到底如何如确定就是通过俯视图观察。 （1） 若俯视图是三角形时，就是三棱锥。 （2） 若俯视图是多边形时，就是多棱锥。 （3） 若俯视图是半圆和三角形时，就是是棱锥和半圆锥的组合体。 （4） 若俯视图是半圆时，就是半圆锥。 （5） 注意虚线和实线的意义，虚线代表的是看不到的线，实线代表的是能看的见得都是一种 平行投影所创造出来的。 2、 三视图求体积时候，先观察主视图和侧视图，注意主视图和侧视图的高一定都是一样的， 并且肯定是立体图形的高，先通过观察判定图形到底是什么立体图形，看看到底是棱锥，棱柱，还是组合体，通常的组合体都是较为简单的组合体，无需过多考虑。 （1） 如果是棱锥的话，就看俯视图是什么图形，判定后算出俯视图的面积即可，应用体积公 式。 （2） 如果是棱柱的话，同样看俯视图的图形，求出面积，应用公式即可。 （3） 如果是组合体，要分辨出是哪两种规则图形的组合，分别算出体积相加即可。 1、如图，三个直角三角形是一个体积为20cm 2的几何体的三视图，则h = cm 2、设图１是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为 A ．942π+ Ｂ．3618π+ Ｃ．9122π+ Ｄ．9182 π+ 正视图 侧视图 俯视图 图1
3、某几何体的三视图如图所示， 则它的体积是 A． 2 8 3 π - B． 8 3 π - C．82π -D． 2 3 π 4、如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是 矩形，则该几何体的体积为 A．B．C．D． 5、如图，某某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A．3 4B．4 C．3 2D．2 6.一个几何体的三视图如下图所示（单位：m），则该几何体的体积为 __________3 m
高中数学三视图技巧 篇一:三视图还原技巧 核心内容: 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤: (1)先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状; (2)依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升)，由高平齐确定其长短; (3)将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 (1)将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤: 1 ?依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图; ?依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置;如图 ?将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示: 经典题型:
例题1:若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于( )cm3。 解答:(24) 例题2:一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( ) 答案:21+ 计算过程: 步骤如下: 第一步:在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图; 第二步:依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不 可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和 左视图中高度及节点确定点G,G',B',D',E',F'地位置如图; 2 第三步:由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将G'与点 E'、F'分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3:如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是( ) 答案:(6) 还原图形方法一: 若由主视图引发，具体步骤如下: (1)依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图: (2)依据俯视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C出不可能 有垂直向前拉升的线条，而在M出必有垂直向前拉升的线条MD，由俯视图和侧视 图中长度，确定点D的位置如图: (3)将点D与A、B、C分别连接，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体D—ABC如图所示:
1.【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π 【答案】B 【考点】三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 2.【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A）60 （B）30 （C）20 （D）10
【答案】D 【解析】 试题分析：该几何体是三棱锥，如图： 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是11 5341032 V =????=，故选D. 【考点】1.三视图；2.几何体的体积. 【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法: 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.@网 3.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 【答案】D
【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积. 【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型. 4.【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的 正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（） 【答案】B 考点：三视图 【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/7c5790579.html, 关于三视图问题的几个解题技巧 作者：李新卫 来源：《教学管理与教育研究》2016年第16期 摘要：求解有关三视图的问题，要抓住三视图上关键点的投影点。对于通过整体观察不易解决的问题，可运用补形的方法，得到一个比较规正的几何体，在这样的几何体中，通过削割的方法，或由原三视图上关键点的投影点，得到原三视图所对应的几何体。 关键词：关键点投影点补形削割构造性求解 在《从三视图到几何体》一文中，我们介绍了由已知几何体的三视图作出其直观图的一些主要问题，包括分解组合体，辨识图形特征，注意垂直与平行关系等。在实际解题过程中，难点在于观察发现平行与垂直关系。这里我们通过一些特殊技巧解决这样的难点问题。 一、抓关键点对应的投影点 例1 如图1，已知一三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图为（） 思路：由俯视图，知三棱锥的底面为正三角形ABC，且前边线BC为横向的；由侧视图的右边线为竖直线，知三棱锥的顶点P （关键点）在底面的投影为BC的右端点C，即侧棱 PC⊥底面ABC。这样，原三棱锥的直观图如图2，则正视图外轮廓是前面△PBC投影成的直角三角形，从正面看，后侧棱PA不可视，则其在正视图上的投影线应为虚线。故选C。 例2 已知三棱锥的三视图如图3所示，求其外接球的表面积。 思路：由俯视图，三棱锥的底面为两直角边长分别为1、3的直角三角形ABC；三棱锥的顶点对应正视图和侧视图中两个等腰三角形的顶点及俯视图中直角三角形斜边中点，因而三棱锥的顶点P在底面的投影为底面直角三角形斜边BC的中点D，这样，原三棱锥的直观图如图4，三棱锥的高PD=1。由此，底面斜边中点D到该多面体各顶点的距离均为1，它就是三棱锥外接球的球心，则外接球半径R为1，表面积S=4πR2=4π。 二、将三视图补形，在补形后的三视图所对应的几何体中，抓关键点对应的投影点 例3 某几何体的三视图如图5所示，求该几何体的表面积。 思路：如图6，将三个视图均补形为矩形，作出其对应的长方体ABCD-A1B1C1D1 （图7），其中AB=5，AD=AA1=4，则正视图上的点M、侧视图上的点N及俯视图上的点R，共同对应于长方体棱C1D1上的点E，同时，由俯视图上的点R在矩形的边ST上，得其对应于
2017高考数学立体几何解题技巧 高考数学立体几何解题技巧 1平行、垂直位置关系的论证的策略: (1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 (2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。 (3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。 2空间角的计算方法与技巧: 主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。 (1)两条异面直线所成的角： ①平移法：②补形法：③向量法： (2)直线和平面所成的角 ①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。 ②用公式计算. (3)二面角： ①平面角的作法： (i)定义法; (ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法： (i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算; (ii)射影面积法; (iii)向量夹角公式. 3空间距离的计算方法与技巧: (1)求点到直线的距离： 经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。 (2)求两条异面直线间距离： 一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。 (3)求点到平面的距离： 一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用三棱锥体积法直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而转移到另一点上去求点到平面的距离。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。 4熟记一些常用的小结论 诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式; 立平斜关系式最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。 5平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题
专题十二三视图及空间几何体的计算问题 1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球B．三棱锥 C．正方体D．圆柱 答案：D[球的三视图都是圆；三棱锥的三视图可以都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故应选D.] 2．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()． A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋125 答案：B[该三棱锥的直观图，如图所示，
其中侧面P AC ⊥底面ABC ，PD ⊥AC ，AC ⊥BC ，可得BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC .故S △P AC ＝12×5×4＝10；S △ABC ＝12×5×4＝10；PC ＝5，所以S △PBC ＝1 2×4×5＝10；由于PB ＝ PD 2＋BD 2＝ 16＋25＝41，而AB ＝ 52＋42＝41，故△BAP 为等腰三角形，取底边 AP 的中点E ，连接BE ，则BE ⊥P A ，又AE ＝1 2 P A ＝5，所以BE ＝ 41－5＝6，所以S △P AB ＝1 2 ×25×6＝6 5.所以所求三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋6 5.] 3．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A.2 6 B.36 C.2 3 D.22 答案：A [在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝ 4－1＝3； 同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故AD ＝12SA ＝32，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD 2－????122＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝2 6 .] 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．