湖南省常德市石门一中2014-2015学年高二下学期段考数学试卷（理科）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．集合A={y|y=，0≤x≤4}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2） C．?D．（1，2]
2．若执行如图的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是（）
A．k＜14？B．k＜15？C．k＜16？D．k＜17？
3．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）
A．B．C．+D．++1
4．函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象为（）
A．B．
C．D．
5．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
6．若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（）
A．B．C．D．
7．下列说法不正确的是（）
A．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）为0.3 B．已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a 必过点（，4）
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
C．对某班级50名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查，得到如下表所示：
数学成绩较好数学成绩一般合计
物理成绩较好18 7 25
物理成绩一般 6 19 25
合计24 26 50
经计算K2=≈11.5
P（K2≥k）0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是：在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“数学成绩与物理成绩无关”
D．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1：p2：p3，则p1=p2=p3
8．如图，用五种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共（）种．
A．1240 B．360 C．1920 D．264
9．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）
A．（，]B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）
=若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，则实数
t的取值范围是（）
A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞） C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．log3+lg25+lg4+7log72+（﹣9.8）0=．
12．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．
13．直线与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为．
14．给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作
{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是．
15．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足+=，则称a、b、c是调和的；若满足a+c=2b，
则称a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}?M．则：
（1）“好集”P中的元素最大值为；
（2）“好集”P的个数为．
三、解答题（6题，满分75分）
16．已知=40，设f（x）=（x﹣）n．
（1）求n的值；
（2）f（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；
（3）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．
17．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示．分组（单位：岁）频数频率
[20，25） 5 0.05
[25，30）①0.20
[30，35）35 ②
[35，40）30 0.30
[40，45]10 0.10
合计100 1.00
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求证：AB1⊥面A1BC；
（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．
19．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）
（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？
（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？
20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）若M（m，n）为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；
（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标．
21．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；
（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．
湖南省常德市石门一中2014-2015学年高二下学期段考数学试卷（理科）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．集合A={y|y=，0≤x≤4}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）
A．（﹣∞，1]∪（2，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，2） C．?D．（1，2]
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．
解答：解：由A中y=，0≤x≤4，得到0≤y≤2，即A=[0，2]，
由B中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，
解得：x＜0或x＞1，即B=（﹣∞，0）∪（1，+∞），
则A∩B=（1，2]，
故选：D．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．若执行如图的程序框图，输出S的值为4，则判断框中应填入的条件是（）
A．k＜14？B．k＜15？C．k＜16？D．k＜17？
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=4，可得判断框内应填入的条件．
解答：解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环log23 3 第二次循环log23?log34 4
第三次循环log23?log34?log45 5
第四次循环log23?log34?log45?log56 6
第五次循环log23?log34?log45?log56?log67 7
第六次循环log23?log34?log45?log56?log67?log78 8
第七次循环log23?log34?log45?log56?log67?log78?log89 9
…
第十三次循环log23?log34?log45?log56?…?log1415 15
第十四次循环log23?log34?log45?log56??…?log1415?log1516=log216=4 16
故如果输出S=4，那么只能进行十四次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．
故选：C．
点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属基础题．
3．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）
A．B．C．+D．++1
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．据此可计算出表面积．
解答：解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，
其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，
边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．
于是此几何体的表面积
S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．
故选：D
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
4．函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象为（）
A．B．
C．D．
考点：指数函数的图像变换．
专题：计算题．
分析：根据偶函数的对称性排除B、D，再由图象过点（0，1），故排除C，从而得出结论．解答：解：由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．
再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，
从而得到应选A，
故选A．
点评：本题主要考查判断函数的奇偶性，函数的图象特征，用排除法、特殊值法解选择题，属于中档题．
5．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a∥b，a∥c，则b∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
解答：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，
①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；
②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；
③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；
故选：D．
点评：本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．
6．若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合”．在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为（）
A．B．C．D．
考点：元素与集合关系的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题可先对集合M的所有非空子集的个数，再研究出符合条件的“伙伴关系集合”的个数，从而求出本题的概率，得到本题结论．
解答：解：∵集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}，
∴集合M的所有非空子集的个数为：29﹣1=511．
∵若x∈A，且∈A，则称A是“伙伴关系集合，
∴若﹣1∈A，则∈A；
若1∈A，则∈A；
若2∈A，则∈A，2与一起成对出现；
若3∈A，则∈A，3与一起成对出现；
若4∈A，则∈A，4与一起成对出现．
∴集合M的所有非空子集中，“伙伴关系集合”可能有：25﹣1=31个．
∴在集合M={﹣1，0，，，，1，2，3，4}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为：．
故选C．
点评：本题考查了集合的子集个数和新定义的概念，本题难度不大，属于基础题．
7．下列说法不正确的是（）
A．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）为0.3 B．已知研究x与y之间关系的一组数据如下表所示，则y对x的回归直线方程=bx+a
必过点（，4）
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
C．对某班级50名学生学习数学与学习物理的成绩进行调查，得到如下表所示：
数学成绩较好数学成绩一般合计
物理成绩较好18 7 25
物理成绩一般 6 19 25
合计24 26 50
经计算K2=≈11.5
P（K2≥k）0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是：在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“数学成绩与物理成绩无关”
D．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1：p2：p3，则p1=p2=p3
考点：命题的真假判断与应用；独立性检验的应用．
专题：概率与统计；简易逻辑．
分析：A．根据正态分布的对称性进行判断．
B．根据线性回归方程的性质进行判断．
C．根据独立性检验的性质进行判断．
D．根据抽样的定义进行判断即可．
解答：解：A．∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），
∴对称轴为ξ=1，
若P（ξ＜2）=0.8，则P（ξ≥2）=P（ξ≤0）=1﹣0.8=0.2，
即P（0＜ξ＜2）=1﹣P（ξ≥2）﹣P（ξ≤0）=1﹣0.2﹣0.2=0.6，
则P（0＜ξ＜1）=P（0＜ξ＜2）=0.6=0.3，故A正确，
B.=（0+1+2+3）=，=（1+3+5+7）=4，则y对x的回归直线方程=bx+a必过点（，4），故B正确，
C．∵K2=≈11.5，P（K2≥10.828）=0.001=0.1%，即在犯错误的概
率不超过0.1%的前提下，认为“数学成绩与物理成绩有关”，故C错误，
D．无论采取哪种抽样，总体中每个个体被抽中的概率都相当，即p1=p2=p3，故D正确，
故错误的是C，
故选：C
点评：本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点有正态分布，线性回归，独立性检验以及抽样的性质，综合性较强．
8．如图，用五种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共（）种．
A．1240 B．360 C．1920 D．264
考点：计数原理的应用．
专题：概率与统计．
分析：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．然后分①若5种颜色都用上；②若5种颜色只用4种；③若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，再相加，即得所求．解答：解：分两步来进行，先涂A、B、C，再涂D、E、F．
①若5种颜色都用上，先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的两个点，方法有种，
最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有??2=720种．
②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有种；
先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F中的1个点，方法有3种，
最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有??3?3=1080种．
③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有种；
先涂A、B、C，方法有种；再涂D、E、F，方法有2种，
故此时方法共有??2=120 种．
综上可得，不同涂色方案共有720+1080+120=1920 种，
故选C．
点评：本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题．近两年天津卷中的排列、组合问题均处理
压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练．
9．曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）
A．（，]B．（，+∞）C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
考点：直线与圆相交的性质．
专题：直线与圆．
分析：根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得到结论．利用数形结合作出图象进行研究即可．
解答：解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+
（y﹣1）2=4，
则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．
当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时1=﹣2k+4﹣2k，
解得k=，
当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，
解得k=，
要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，
则直线l夹在两条直线之间，
因此＜k≤，
故选：A．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）
=若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，则实数
t的取值范围是（）
A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞） C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]
考点：分段函数的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：若若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，等价为﹣≥f min（x），根据条件求出f min（x），即可得到结论．
解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]
当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=f（x+2），
当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣，
当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣，
若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≤﹣有解，
∴即﹣≥f min（x）=﹣，
即4t（t+2）（t﹣1）≥0且t≠0
解得：t∈[﹣2，0）∪[1，+∞），
故选：B．
点评：本题主要考查分段函数的应用，根据条件转化为﹣≥f min（x），是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大有一定的难度．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．log3+lg25+lg4+7log72+（﹣9.8）0=．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：变根式为分数指数幂，化0指数幂为1，然后利用对数的运算性质求解．
解答：解：log3+lg25+lg4+7log72+（﹣9.8）0
=
=
=
=．
故答案为．
点评：本题考查了对数的运算性质，关键是熟记有关性质，是基础题．
12．如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部
分）内”，则P（B|A）=．
考点：条件概率与独立事件．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．
解答：解：根据题意，得
P（AB）===
∵P（A）==
∴P（B|A）==
故答案为：
点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．
13．直线与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最大值为．
考点：直线与圆相交的性质．
专题：计算题；转化思想．
分析：根据AOB是直角三角形推断出该三角形为直角三角形，进而可求得心到直线的距离利用点到直线的距离求得a和b的关系，可推断出点P的轨迹为椭圆，进而可推断出当P在椭圆的下顶点时距离最大．
解答：解：∵△AOB是直角三角形
∴圆心到直线的距离d=，即=，整理得a2+=1，
∴P点的轨迹为椭圆，
当P在椭圆的下顶点时点p到（0，1）的距离最大为+1
故答案为：+1
点评：本题主要考查了直线与圆的相交的性质．考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想的应用．
14．给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作
{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在上是增函数．
其中正确的命题的序号是①②③．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题为新定义问题，因为m为整数，故可取m为几个特殊的整数进行研究，进而得到函数的图象的草图，结合图象分析得到答案．
解答：解：由题意x﹣{x}=x﹣m，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|，
m=0时，﹣＜x≤，f（x）=|x|，
m=1时，1﹣＜x≤1+，f（x）=|x﹣1|，
m=2时，2﹣＜x≤2+，f（x）=|x﹣2|，
…
画出函数的图象如图所示，由图象可知正确命题为①②③，
故答案为：①②③
点评：本题是新定义问题，考查函数的性质，可结合图象进行研究，体现数形结合思想．15．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足+=，则称a、b、c是调和的；若满足a+c=2b，
则称a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}?M．则：
（1）“好集”P中的元素最大值为2012；
（2）“好集”P的个数为1006．
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题；集合．
分析：（1）根据“好集”的定义，可解关于a，b，c的方程组，用b把另外两个元素表示出来，再根据“集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}?M”构造出关于b的不等式，求出P中最大的元素．
（2）结合第一问的结果，因为b是整数，可以求出b的最大值，从而确定p的个数．
解答：解：（1）∵+=，且a+c=2b，
∴（a﹣b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=﹣2b，∴c=4b，
令﹣2014≤4b≤2014，得﹣503≤b≤503，
∴P中最大元素为4b=4×503=2012；
（2）由（1）知P={﹣2b，b，4b}
且﹣503≤b≤503，
∴“好集”P的个数为2×503=1006．
故答案为（1）2012，（2）1006．
点评：这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．
三、解答题（6题，满分75分）
16．已知=40，设f（x）=（x﹣）n．
（1）求n的值；
（2）f（x）的展开式中的哪几项是有理项（回答项数即可）；
（3）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．
考点：二项式定理的应用．
专题：二项式定理．
分析：（1）直接由已知=40，利用排列数公式、组合数公式求得n的值．
（2）根据f（x）=（x﹣）7 的展开式的通项公式，可得r=0，3，6 时为有理项，从而得出结论．
（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为?（﹣1）r，可得展开式中系数最大的项和
系数最小的项．
解答：解：（1）由已知=40，可得n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）
=40?，求得n=7．
（2）f（x）=（x﹣）7 的展开式的通项公式为T r+1=?（﹣1）r?，
令7﹣为整数，可得r=0，3，6，故第一项、第4项、第7项为有理项．
（3）由于f（x）的展开式中第r+1项的系数为?（﹣1）r，故当r=4时，即第五项的系数
最大；故当r=3时，即第4项的系数最小．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
17．为增强市民交通规范意识，我市面向全市征召劝导员志愿者，分布于各候车亭或十字路口处．现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如表所示．分组（单位：岁）频数频率
[20，25） 5 0.05
[25，30）①0.20
[30，35）35 ②
[35，40）30 0.30
[40，45]10 0.10
合计100 1.00
（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加“规范摩的司机的交通意识”培训活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）利用频率=，能求出频率分布表中的①、②位置应填什么数据，
并能在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图能估计出这500名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．
解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵[25，30）对应的频率为0.20，∴[25，30）对应的频数为0.20×100=20，∴①处填20，
∵[30，35）对应的频数为35，∴[30，35）对应的频率为=0.35，∴②处填0.35．
补全频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30，35）的人数为500×0.35=175．…（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．
由题意知，X的可能取值为0，1，2，且
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）===．
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P
∴E（X）=0×+1×+2×=．…
点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的性质和排列组合知识的合理运用．
18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3
（1）求证：AB1⊥面A1BC；
（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；
（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．
解答：（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，
所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，
又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，
因为AB∩BB1=B，
所以CB⊥平面AA1B1B，
又因为AB1?平面AA1B1B，
所以CB⊥AB1，
又因为四边形A1ABB1为菱形，
所以AB1⊥A1B，
因为CB∩A1B=B
所以AB1⊥面A1BC；
（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD
因为CB⊥平面AA1B1B，
所以CB⊥AA1，
因为CB∩BD=B，
所以AA1⊥面BCD，
又因为CD?面BCD，
所以AA1⊥CD，
所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．
在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2
在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，
所以cos∠CDB==．
点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．
19．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉价格为1800元，面粉的保管费为平均每天每6吨18元（从面粉进厂起开始收保管费，不足6 吨按6 吨算），购面粉每次需要支付运费900元，设该厂每x天购买一次面粉．（注：该厂每次购买的面粉都能保证使用整数天）
（Ⅰ）计算每次所购买的面粉需支付的保管费是多少？
（Ⅱ）试求x值，使平均每天所支付总费用最少？并计算每天最少费用是多少？
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则应用等差数列前n项和公式求得保管费为18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1）；
（Ⅱ）设平均每天支付的总费用是y，则y=[9x（x+1）+900]+6×1800=+9x+10809；应用
基本不等式即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意，每次购进6x吨面粉，则保管费为
18x+18（x﹣1）+…+18=9x（x+1），