7.分式和分式方程(八上第十五章)
知识回顾
1．分式有意义的条件是分母不为0；分式的值等于零的条件是分式的分子等于0且分母不等于0．
2．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．分式的符号变化法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式
的值不变，用式子表示是：－a b ＝－a b ＝a －b
. 4．分式的运算法则：
(1)同分母相加减：分母不变，分子相加减．
异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最简公分母，再按同分母相加减法则运算；
(2)两分式相乘：分子与分子相乘，分母与分母相乘；
(3)分式A ÷B ＝A ·1B
，然后用分式乘法进行运算； (4)分式的乘方等于分子、分母分别乘方．
5．零次幂与负整数次幂：
(1)a 0＝1(a ≠0)；(2)a －p ＝1(a ≠0，p 为整数)． 6．解分式方程的一般步骤是：①去分母，将分式方程化为整式方程；②解这个整式方程，得未知数的值；③检验． 7．用分式方程解决实际问题时，要注意以下几点：①明确题目中的等量关系，一般会出现“某某相等”或是“某某相差多少”等等，可以根据这些等量关系列出方程；②分式方程的检验，除了要检验它的解是否是分式方程的解，还要看它的解是否符合实际意义．
达标练习
1．若分式x －3x ＋4
的值为0，则x 的值是(A) A ．x ＝3
B ．x ＝0
C ．x ＝－3
D ．x ＝－4
2．(富顺县校级模拟)若分式
3x －y 3x 2y
的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值(C) A ．不变
B ．缩小到原分式值的110
C．缩小到原分式值的1
100
D．缩小到原分式值的1
1 000 3．下列等式正确的是(B) A．(－1)－3＝1
B ．(－4)0＝1
C ．(－2)2×(－2)3＝－26
D ．(－5)4÷(－5)2＝－52
4．下列运算错误的是(D)
A.（a －b ）2
（b －a ）2
＝1 B.－a －b a ＋b
＝－1 C.0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b
D.a －b a ＋b ＝b －a b ＋a
5．计算2x －2－x x －2
的结果是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．x
6．(绥化中考)石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度是0.000 000 000 34 m ，这个数用科学记数法表示正确的是(C)
A ．3.4×10－9
B ．0.34×10－9
C ．3.4×10－10
D ．3.4×10－11
7．分式方程1x ＝2x ＋1
的解为(C) A ．x ＝3
B ．x ＝2
C ．x ＝1
D ．x ＝－1
8．(常德中考)分式方程2x －2＋3x 2－x
＝1的解为(A) A ．x ＝1 B ．x ＝2 C ．x ＝13 D ．x ＝0
9．已知1a －1b ＝12，则ab a －b
的值是(D) A.12 B ．－12 C ．2
D ．－2
10．(荆州中考)若关于x 的分式方程m －1x －1
＝2的解为非负数，则m 的取值范围是(D) A ．m ＞－1
B ．m ≥－1
C ．m ＞－1且m ≠1
D ．m ≥－1且m ≠1
11．杭州到北京的铁路长1 487千米，动车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加
了70千米/时，使由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为1 487x －1 487x ＋70
＝3．
12．化简：(a －1a )÷a 2－2a ＋1a
. 解：原式＝a 2－1a ·a （a －1）2
＝（a ＋1）（a －1）（a －1）2
＝a ＋1a －1
.
13．解方程：x x 2－4＋2x ＋2＝1x －2
. 解：方程两边都乘(x ＋2)(x －2)，得
x ＋2(x －2)＝x ＋2.
解得x ＝3.
经检验，x ＝3是原方程的解．
14．(恩施中考)先化简，再求值：
x －4x 2－1·x 2－2x ＋1x －4－x x ＋1
，其中x ＝22－1. 解：原式＝x －4（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x －4－x x ＋1
＝x －1x ＋1－x x ＋1
＝－1x ＋1
， 当x ＝22－1时，原式＝－1
22－1＋1
＝－24.
15．(牡丹江中考)先化简：(x －4－x x －1)÷x 2－4x ＋4x －1
，其中的x 选一个适当的数代入求值． 解：原式＝(x 2－x x －1－4－x x －1)·x －1（x －2）2
＝x 2－4x －1·x －1（x －2）2
＝x ＋2x －2
. 当x ＝0时，原式＝0＋20－2
＝－1.(注意：x 不要取1，2)
16．(随州中考)端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子与咸鸭蛋的价格各为多少？
解：设咸鸭蛋的价格为x 元，则粽子的价格为(x ＋1.8)元，根据题意，得
30x ＋1.8＝12x
. 解得x ＝1.2.
经检验，x ＝1.2是分式方程的解，且符合题意．
故x ＋1.8＝1.2＋1.8＝3.
答：咸鸭蛋的价格为1.2元，粽子的价格为3元．
17．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2 000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．
(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(2)若购买的两种球拍数一样，求x 的值．
解：(1)2 000＋(2 000＋25x)＝(4 000＋25x)元．
(2)根据题意，得
2 000x ＝2 000＋25x x ＋20
.解得x ＝±40. 经检验，x ＝±40都是原方程的解，但x ＝－40不合题意，应舍去，故只取x ＝40. ∴x 的值为40.
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