解 三 角 形
正弦定理
要点1 正弦定理
在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝c
sinC
.
要点2 解三角形
三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题
1.已知两角及一边解三角形，只有一解.
2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.
方法1:计算法.
方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．
在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
要点3 正弦定理的变式
C
B A c b a sin :sin :sin ::)1(=R
A a
C B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )
2(==++++=++=++=++
A c C a
B c
C b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===
B C
b A C a
c A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======
（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===
要点5 常用结论
1．A ＋B ＋C ＝π.
2．在三角形中大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；
sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2
.
5．∠A >∠B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π 3]； 若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π 3 . 7.sin A ＝sin B ?A ＝B ； sin(A －B )＝0?A ＝B ； sin2A ＝sin2B ?A ＝B 或A ＋B ＝π 2 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a （角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(=== 要点4 三角形的面积公式 B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===? 题型一 解三角形 例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B. 例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ； (2)A ＝60°，a ＝2，b ＝23 3 ，求B ； (3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B. 题型二 判断三角形解的个数 (1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个 (2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定 (3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围 【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45° sin30° ＝10 2. B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)． 例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6× 2 2 2＝32 . 又0° bsinA a ＝233×3 2 2 ＝ 22.∵a ＝2＝323 >b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4× 3 23＝2 3 >1.∴这样的角B 不存在． 练习(1)A ． (2) B. (3)2 题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2 tanA ，试判断△ABC 的形状． (2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2 C ； (3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosC c . 【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2 sinA cosA .由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外 接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2 BsinA cosA .∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B. ∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π 2 .∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． (2)由已知a 2＝b 2＋c 2 .∴A ＝90°，C ＝90°－B. 由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝2 2 (负值舍去)． ∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形． (3)由已知，得cosA sinA ＝cosB sinB .∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB. ∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形． 题型四 正弦定理中的比例性质 例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC . (2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ． 【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC ＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ， 解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝3 2 k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3 题型五 三角形的面积公式 例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长． (3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos . (4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝25 5 ，求 △ABC 的面积S. 【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝2 3 .， ∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解． ①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2 C ＝53 ， sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝1 6 (5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×1 6(5＋23)＝5＋23； ②当角C 为钝角时，cosC ＝－ 53，sinB ＝sin(150°－C)＝1 6 (23－5)， ∴S △A B C ＝1 2 acsinB ＝23－ 5. 综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5. (2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝3 2 AC ＝3，∴AC ＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2. (3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝4 5 . 又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2 θ＝±35 . (4)因为cosB ＝2cos 2B 2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45 . 所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ? ????3π4－B ＝ 7210 . 由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝8 7 . 1．1.2 余 弦 定 理 要点1 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即： C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+= 要点2 余弦定理的推论 bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 2 22-+= ； ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状 是锐角三角形 是锐角是钝角三角形 是钝角是直角三角形 是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A c b a ???+???+>???+=<2222222 22 要点4 利用余弦定理可以解决的问题 （1）已知两边和夹角解三角形 （2）已知两边及一边的对角解三角形 （3）已知三边解三角形 题型一 已知两边和夹角解三角形 例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A. 【解析】 方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋2 4， sin15°＝sin(45°－30°)＝ 6－2 4 ， 由余弦定理，得c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角． 由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝1 2.∴A ＝30°. 方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝ 6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－2 4 ， 由余弦定理，得c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3 2 .又0° 题型二 已知两边及一边的对角解三角形 例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a. （2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形． 【解析】 （1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2 －2accosB ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2 －9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°. 当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinB b ＝6× 12 3＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°. 方法二：由b 2知本题有两解． 由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33× 1 2 3＝3 2 .∴C ＝60°或120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2 ＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3. （2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2 －22ccos45°， c 2 －2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3. cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3） ＝32. ∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 题型三 已知三边解三角形 例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC. 【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－7 2 2×3×5＝－12. 又∵0° 2. 由正弦定理，得sinC ＝ csinA a ＝5× 3 27＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314 . 题型四 判断三角形的形状 例4 （1）在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状． （2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC 的形状． 【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c . 又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ， ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2 .∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形． 方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC ，∴cosA ＝sinB sinC . ∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC. ∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． （2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝c b . 由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 2 2bc .即c 2＝b 2 ＋c 2－a 2 ，∴a ＝b. 又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2 ，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形． 方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)． 又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B. 又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2 ＋2ab ＝3ab. 即a 2＋b 2－c 2 ＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12 . 而0° 1．2 应用举例(第一课时) 解三角形的实际应用举例 要点1 基线 (1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线． (2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高． 要点2 仰角和俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角， 要点3 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α. 要点4 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°， 指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°； 正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向． 要点5 坡度 坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值. 要点6 测量距离的基本类型及方案 类别两点间不可通 或不可视 两点间可视但 点不可达 两点都不可达 图形 方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB 结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinC sin（B＋C）①AC＝ asin∠ADC sin（∠ACD＋∠ADC） ②BC＝ asin∠BDC sin（∠BCD＋∠BDC） ③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB 要点7测量高度的基本类型及方案 类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形 方法先用正弦定理求出AC或AD， 再解直角三角形求出AB 在△BCD中先用正弦定理求出BC， 在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB 结论AB＝ a 1 tan∠ACB － 1 tan∠ADB AB＝ asin∠BDC×tan∠ACB sin（∠BCD＋∠BDC） 题型一 有关距离问题 例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离． 【解析】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝ 3sin75°sin60°＝6＋2 2 . 在△ABC 中，由余弦定理， 得AB 2 ＝(3)2 ＋? ?? ??6＋222 －2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km. 题型二 测量高度 例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】 如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45° sin15°＝800× 2 26－2 4＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m. 题型三 测量角度 例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． 【解析】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2 ＝AC 2 ＋BC 2 －2AC ·BCcos120°， 可得(103t)2 ＝102 ＋(10t)2 －2×10×10tcos120°，整理得2t 2 －t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－1 2(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10， 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120° AB ＝10× 32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°. 1．2 应用举例(第二课时) 题型一 有关面积问题 三角形面积公式 (1)S ＝1 2a ·h a (h a 表示a 边上的高)． (2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝1 2 ac sin B . (3)S ＝1 2·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )． (4),))()((c p b p a p p S ---= 其中2 c b a p ++= 例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝1 2 ，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积． （2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π 3. ①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积． 【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0 5. 又∵tanC ＝－2，∴π2 5. 则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×? ????－55＋255×255＝3 5 . ∵ a sinA ＝ b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35 b 2·25 5＝1. 解得b ＝ 153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝215 3 . ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2 ＝25π12 . （2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·3 2 ＝3，∴ab ＝4. ① ∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2 －12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a. 又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2 －3ab ＝4， ∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233 题型二 正余弦定理的综合问题 例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC. ①求A 的大小； ②求sinB ＋sinC 的最大值． (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2 －c 2 ＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b. 【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2 ＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2 －2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°. ②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋1 2 sinB ＝sin(60°＋B)． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1. (2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA. 由正弦定理，得sinB ＝b c sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4. 例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值； ②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝21 6 ，求BC 的长． (2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1 7 . ①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长． 【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2 2AC ·AD ， 故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427 ＝27 7. ②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－7 14， 所以sin ∠CAD ＝1－cos 2 ∠CAD ＝ 1－????2772＝217 ，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝ 1－????－7142 ＝32114 . 于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－? ???? －714×217＝32 . 在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin α sin ∠CBA ＝7×32 21 6＝3. (2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝43 7 . 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝33 14 . ②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8× 33 14 43 7 ＝3. 在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52 －2×8×5×12 ＝49.所以AC ＝7. 题型三 证明恒等式 例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2 －b 2 c 2＝sin （A －B ） sinC . (2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2 －b 2 c . (3)已知在△ABC 中，a 2 ＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B. 【证明】 (1)由余弦定理，得a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bccosA ，b 2 ＝c 2 ＋a 2 －2cacosB ， 两式相减，得a 2 －b 2 ＝b 2 －a 2 －2bccosA ＋2cacosB.∴a 2 －b 2 c 2＝acosB －bcosA c . 由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2 c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ） sinC . (2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2 ，运用余弦定理 进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2 ＋c 2 －b 2 2ac －b ·b 2 ＋c 2 －a 2 2bc ＝a 2 －b 2 c ＝右边． (3)方法一：∵a 2 ＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2 A ＝sinB(sin B ＋sinC)，即sin 2 A －sin 2 B ＝sinBsinC. ∴ cos2B －cos2A 2 ＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC. 又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2 ＋c 2 －b 2 2ac ＝b （c 2 ＋bc ）ac ＝b （b ＋c ） a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得 sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2 ＝b(b ＋c)，知a 2 ＝b 2 ＋c 2 . ∴B ＝C ＝π4，A ＝π 2 ，∴A ＝2B. 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理 ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b 第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , 实用标准 —tanC。 例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6 解三角形专题题型归纳 《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边； （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式 （1）高底??=?2 1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin : 解三角形知识点归纳总 结 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半 径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin( 欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 三角函数和解三角形知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点及原点重合，角的始边及x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α 为第几象限 角．第一象限角的集合为 {}360 36090,k k k αα?<，则，，． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11 、 角 三 角 函 数 的基本关系：()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-； z 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b < 第一章解三角形 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理a =sinA ； b =sin B ； a =sin A ：求出匕与。 b sin B c sin C c sin C ②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理生二业求出角B ,由A+B+C=180求出角C,再使用正弦定理弓二sinA b sin B 4. △ ABC 中，已知锐角A,边b,贝U ① a :: bsinA 时，B 无解； ② a = bsin A 或a _ b 时，B 有一个解; ③ bsin A ::: a ::: b 时，B 有两个解。 如：①已知A = 60 Y a = 2, b = 2 3 ,求B （有一个解） ②已知A = 60 Y b =2,a = 2、、3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。 二. 三角形面积 1 1 1 1. S ABC absi nC bcsi nA acsi nB 2 2 2 .正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 — b — =2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sin C abc 2.变形: 1) a b c a b sin A+si n E+si nC si n A si n E sinC 2）化边为角: a : b : c = sin A: sin B :sin C ； 7 a sin A ； b sin B a sin A b sin B c sin C ' c sin C ）化边为角: a = 2Rsin A, b=2Rsin B, c = 2RsinC ）化角为边: ）化角为边: sin A a ; ; sin B b sin A =— 2R si n B b si nA a sin C c sin C c ' si nB=2, si 门。=￡ 2R 2R 求 c sin C - 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 解三角形知识点归纳总结 Prepared on 22 November 2020 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于 外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半 径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用 正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
(完整版)解三角形知识点及题型总结
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
解三角形专题题型归纳
解三角形知识点归纳
三角函数及解三角形知识点总结
解三角形知识点归纳总结
三角函数与解三角形知识点总结
解三角形知识点归纳总结归纳
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点
三角函数和解三角形知识点
必修5_解三角形知识点归纳总结
解三角形知识点归纳总结归纳
高中数学必修五--第一章---解三角形知识点归纳
解三角形知识点归纳总结
相关主题
文本预览