专题抽象函数的导数问题(教师)
https://www.doczj.com/doc/7c18912326.html,work Information Technology Company.2020YEAR
专题 抽象函数的导数问题
所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：
（1） 根据条件设法确定函数的单调性；
（2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的
函数，一方面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数
【求导的四则运算】
法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±.
法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+ .
法则3 2()'()()()'()[]()()
f x f x
g x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足
(1)'()0x f x -≥，则必有（ ）
A.(0)(2)2(1)f f f +<
B. (0)(2)2(1)f f f +≤
C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D . (0)(2)2(1)f f f +>
分析：这个题目的条件 (1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：
由(1)'()0x f x -≥得：
（1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增；
（2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减；
综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C
【典型构造】
若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增；
若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()x F x e f x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造()()n F x x f x =，则
1'()['()()]0n F x x xf x nf x -=+≥，若10n x ->，则()F x 单调递增；
例2、()f x 是R 上的可导函数，且'()+()0>f x f x ，21(0)1,(2)f f e
==
，求(1)f 的值 分析：构造()()x F x e f x =，则'()('()())0x F x e f x f x =+≥，所以()F x 单调递增或为常函数，而0(0)(0)1F e f ==，2(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1(1)(1)1F e f ==，得1(1)f e
= 例3、（07陕西理）()f x 是定义在(0)+∞，
上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）
A ．()()af b bf a ≤
B ．()()bf a af b ≤
C ．()()af a bf b ≤ ．()()bf b af a ≤ 分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1()()f x g x x =
或2()()g x xf x =，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件： 112()'()()()'()f x xf x f x g x g x x x -=?=，
因为()0f x ≥，()()0()()0xf x f x xf x f x ''+?≤-≤≤，得()0xf x '≤，则'()()0xf x f x -≤，故1'()0g x ≤，于是由a b <得()()f a f b a b
≥，即()()af b bf a ≤，选A
例3、定义在(0,)2
π上的函数()f x ，导数为'()f x ，且()'()tan f x f x x <，则下式恒成立的是（ ）
A.
()()43
ππ> B. (1)2()sin16f f π< C.
()()64
f ππ>
()()63f ππ< 解：因为()'()tan f x f x x <，所以sin ()'()
cos x f x f x x <，即'()sin ()cos 0f x x f x x ->， 构造()()sin f x F x x
=，则2'()sin ()cos '()0sin ()f x x f x x F x x -=>，所以()F x 单调递增，因63ππ<，所以()()63F F ππ<，即()()63sin sin 63f f ππ
ππ<
()()63f ππ<，选D 练习
1、已知函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上，'()f x x >，则不等式(2)()22f a f a a --≥-的解集为（ ）
A. [1,)+∞
B. (,1]-∞
C. (,2]-∞
D. [2,)+∞ 解析：构造21g()()2
x f x x =-，则2211g()()()()()022
x g x f x x f x x -+=---+-=，故g()x 为奇函数，且在(0,)+∞上，'()'()0g x f x x =->，故g()x 是增函数， 而2211(2)()22(2)(2)[()]22
f a f a a f a a f a a ---+=-----g(2)()a
g a =--，故只需2a a -≥，得1a ≤，选B
2、设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（ ）
.()()A f x g x > .()()B f x g x <
.()()()()C f x g a g x f a +>+ .()()()()D f x g b g x f b +>+
解析：构造函数()()()F x f x g x =-，则易知()F x 单调递增，于是
()()()F a F x F b <<，()()()()f x g x f a g a ->-，选C
3、（2011高考辽宁）函数的定义域为R ,(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）
A. (1,1)-
B.(1,)-+∞
C. (,1)-∞-
D. (,)-∞+∞
解析：构造函数()()24F x f x x =--，则'()'()2220F x f x =->-=，所以()F x 在R 上单调递增，又因为(1)(1)2(1)40F f -=----=，则
()24()240()0f x x f x x F x >+?-->?>，于是的1x >-，选B
4、已知函数()f x 满足(1)1f =，导函数1'()2f x <
，则不等式2()1f x x <+的解集为（ ）
A. (1,1)-
B. (,1)-∞-
C. (,1)(1,)-∞-+∞
D. (1,)+∞
解析：构造函数()2()1F x f x x =--，则1'()2'()12102
F x f x =-<-=，所以函数()F x 单调递减，而(1)0F =，2()1f x x <+等价于()0F x <，得1x >，选D;
5、()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0xf x f x '+>．对任意正数a b ，，若a b >，则必有（ ）
A ．()()af b bf a >
B ．()()af a bf b >
C ．()()af a bf b <
D ．()()af b bf a < 解析：构造()()F x xf x =，可知()F x 递增，故选B ；
6. (2009天津) 设()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()()f x xf x x '+>，则下面
的不等式在R 上恒成立的有（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ． ()f x x >
D ． ()f x x < 解析：构造函数2()()F x x f x =，则'()[2()'()]F x x f x xf x =+，
当0x =时，由22()()f x xf x x '+>，得(0)0f >；
当0x >时，22()()f x xf x x '+>，得2'()[2()'()]0F x x f x xf x x x =+>>，于是()F x 在(0,)+∞上单调递增，故2()()(0)0F x x f x F =>=，则()0f x >；
当0x <时，22()()f x xf x x '+>，得
2'()[2()'()]0F x x f x xf x x x =+<<，则()F x 在(0,)+∞上单调递减，故2()()0F x x f x =>，则()0f x >；
综上可知()0f x > 选A
7、()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'()()f x f x >，且0a >，则下面的不等式成立的有（ ）
A ．()(0)a f a e f >
B ．()(0)a f a e f <
C ．()(0)f a f >
D ． ()(0)f a f < 解析：构造()()x f x F x e =，'()()'()0x f x f x F x e
-=>，则()F x 单调递增，则0()(0)()(0)a f a f F a F e e
>?>，即()(0)a f a e f >，故选A 8、函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的实数x ，都有2'()()f x f x >成立，则（ ）
A ．()()af b bf a >
B ．()()af a bf b >
C ．()()af a bf b <
D ．()()af b bf a < 解析：构造12
()()x f x F x e =，1122112221'()()2'()()2'()0()2x x x x f x e f x e f x f x F x e e --==>， 则()F x 单调递增，则(2ln 2)(2ln3)F F <，即
ln 2ln3(2ln 2)(2ln3)(2ln 2)(2ln3)3(2ln 2)2(2ln3)23
f f f f f f e e
9、设函数()f x 满足()()2
2x e x f x xf x x '+=，()2
28e f =，则当0x >时，()f x （ ）
A ．有极大值,无极小值
B ．有极小值,无极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也无极小值
解析：由已知得()232()'x e x f x f x x -=，设
2()2()x g x e x f x =-， 求导得22'()2'()4()e (2)x x
x x
e e g x e x
f x xf x x x x =--=-=-，易得()g(2)0
g x >=在0x >且2x ≠是恒成立，因此()232()'0x e x f x f x x ->=在0x >且2x ≠是恒成
立，而'(2)0f =，说明 ()f x 在0x >时没有极大值也没有极小值 选D
10、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足
()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A ．11f k k ??< ???
B ．111
f k k ??> ?-?? C ．1111f k k ??< ?--??
D ． 111k f k k ??> ?--?? 【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1
g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11
f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k
->-，11()1f k k
>-，选项A,B 无法判断，故选C ．
x>时，
11、设函数'()
f x是奇函数()()
f-=，当0
∈的导函数，(1)0
f x x R
'()()0
-<，则使得()0
xf x f x
f x>成立的x的取值范围是（）
A．(,1)(0,1)
-+∞
-∞-B．(1,0)(1,)
C．(,1)(1,0)
+∞
-∞--D．(0,1)(1,)