复数的概念及向量表示
一. 教学内容： 复数
数的概念的发展 复数的有关概念 复数的向量表示
二. 重点、难点：
1. 数的概念的发展：
数的概念的产生、发展源自社会实践的需要，且经历了漫长的历程。最早，由于计数的需要，人们建立起了自然数的概念（自然数的全体构成了自然数集N ），为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们又引进了零以及负数。（此时，自然数被看成正整数，而把正整数、零、负整数合并在一起，构成了整数集Z ）
为了解决测量、分配中遇到的把某些量等分的问题，人们又引进了分数，即形如()m
n
n N m Z Q ∈∈，的数，人们把这样的数连同整数统称为有理数。（有理数的全体构成了有理数集。）
为了解决有些量与量之间的比值不能用分数（即有理数）来表示的矛盾，人们又引进了无理数。例如正方形的对角线与其边长之比为。而易证不是有理数。（反证法）。这样以来，数的概念又得到了发展，原有的有理数与新引进的无理数统称为实数。（而把实数的全集称为实数集）
2122:=R
数的概念的发展远未停止。 为了满足研究方程的需要，（数学的内部需要），人们又引进了一种新的数——虚数。事实上，解方程的需要也是促进数的概念不断发展的重要动力。例如，方程x+5=3在自然数集N 中无解，而在扩充后的整数集Z 中则有解；方程2x=5在整数集Z 中无解，而在扩充后的有理数集Q 中则有解；方程x 2 = 2在有理数集Q 中无解，但在实数集R 中则有解。
新的问题：x 2 + 1 = 0在实数集R 中无解，为解决这个方程有解的问题，人们引进了一个新数i ，（虚数单位），对i 作出如下规定： （1）i 2 = -1；（2）实数与i 可进行四则运算，且进行四则运算时，原有的加法，乘法算律仍然成立。如此以来，就出现了a ＋bi （a ，b ∈R ）的数。人们就把形如a ＋bi 的数叫做复数。而全体复数构成的集合称为复数集。记作C 。（英文Complex number 的第一个字母） 至此，复数的引入已很好地解决了实数集内一元二次方程无解的矛盾。 2. 复数的有关概念：
（1）a ＋bi （a ，b ∈R ）中，a 称为复数的实部，b 称为虚部。（注意：虚部所指的是一个实数，而非bi 。）
（2）a ＋bi （a ，b ∈R ）中，若b ≠0，则称数a ＋bi 为虚数；若b ＝０，则a bi a R a 0b 02i ＋＝就是实数；而若＝且≠，则称这样的数为纯虚数。如，，都是
∈-1
23i i 纯虚
数，其实部为0。
（3）复数相等：若两个复数的实数与虚部分别相等，则称这两个复数相等。即a ，b ，c ，d
∈R ，且a ＝c ，b ＝d ? a ＋bi ＝c ＋di 。
（既然规定了复数相等，那么自然会有两个复数不等的情形。容易想到实数集内不等的两个数是有大小关系的，那么在复数集C 中不等的两个复数是否也有大小关系呢？可惜的是在复数集内难以按照通常意义上的大小关系对两个复数作出规定，也就是说，在复数集内不能规定两个复数的大小，当然对复数集内的两个实数，是可以按照原有的实数的大小关系来进行比较的。）
（4）共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，则称它们互为共轭复数。如3＋i 与3－i 互为共轭复数。
特殊地，一个实数a 的共轭复数是它本身。如3的共轭复数为3。 （若一个复数的共轭复数是它本身，则这个数是否一定是实数呢？） （5）复数的表示方法：
（i ）把a ＋bi （a ，b ∈R ）称为复数的代数表示方法。
（ii ）注意到任何一个复数a ＋bi 都与一个有序数对（a ，b ）一一对应。而有序数对的集合M 在引进直角坐标系后，与平面上的点集之间也是一一对应的。这样以来，复数也可以用复平面上的点来表示。例如，复数z ＝3＋2i 可用复平面上的点Z （3，2）来表示，这种表示复数的方法称为复数的几何表示。（数形结合的基础） （iii ）复数的向量表示：
设复平面内的点Z （a ，b ）表示复数Z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），O 表示坐标原点，
连结OZ ，若把有向线段OZ （由O 指向Z ）看成是向量，记作OZ ，则复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量所成的集合是一一对应的。这样，就可用向量OZ 表示复数 z ＝a ＋bi 。
（）复数的模，即向量的模（即有向线段的长度）。6z a bi a b OZ =+=+22 复数的模的性质： （）i z z z z 1212?=?
（）
ii z z z z 1
212=
（）iii z z = （）iv z z z ?=2
（）v z z z z z z 12
212
2
1
2
22
22++-=+
（）vi z z z z z z 121212-≤+≤+
通过学习，要了解引入虚数的原由，即数集扩充的必要性；要掌握复数的几种表示方法，
并能在此几者之间熟练转换；掌握复数的基本概念，对每一个新名词要切实理解其涵义，以保证今后能正确使用它进行表述。
【典型例题】
例1.
()()
()已知复数z m m m m i
m R =+-++-∈232222
根据下列条件，求m 值。 （1）z 是实数；（2）z 是虚线；（3）z 是纯虚数；（4）z ＝0。 解：
（）当，即或时，为实数；120122
m m m m z +-===- （）当，即且时，为虚数；220122
m m m m z +-≠≠≠-
（）当即时，为纯虚数。32320
201
2
22
m m m m m z +-=+-≠?????=
（）当即时，。
42320
202022
m m m m m z +-=+-=?????=-=
注：对于本题，只要概念清晰，就能顺利地列出以上各式，求出m 值。
例2.
()()已知，，且和是共轭复数，求复数和x y R x x y x i x y i z x yi z ∈+++-+=+2
2231 分析：
共轭复数的涵义是：实部相等，而虚部互为相反数的两个复数。解此题，首先确认给定两个复数的实部、虚部，再按照共轭复数的定义列出关于x 、y 的方程组，进而求得x 、y z ，从而及可得。z
解：
()依题意，得：或x x x
y x y x y x y 223210010+=+=+??????==???==??
? ∴=+=++=z x yi i i z i 0101或即或
∴=-z i 或1
例3.
()设复数，，且满足。
z a bi a b R z i =+∈-+=35
（1）求实数z ；（2）求纯虚数z 。 分析：
回想复数的模的定义及算法，以及纯虚数的涵义，则易列出关于确定复数z 的a ，b 的方程组，进而求出z 。
解：（）10 z R b ∈∴=
()() z i a i a -+=-+=-+=33315
22
∴=±=±a z 326326，即 （）为纯虚数，200 z a b ∴=≠
()()()() z i b i b -+=-++=-++=331315
22
∴=-=-b z i i 3535或，即或
例4. 已知，求复数。z z i z -=-+1
分析：
因为每一个复数z 都可表为a ＋bi 的形式（a ，b ∈R ）。欲求z ，只需求a 、b 。为此，把z ＝a ＋bi 代入已知等式中，便可根据复数相等的条件，列出关于a ，b 的方程组。 解：()设，，，则
z a bi a b R =+∈
a bi a bi i a a
b bi i +-+=-+-+?? ??
?+=-+1122，即
由复数相等，得：a a b b a b -+=-=??????==??
?22110
1 ∴=+=+?=z a bi i i 01
注：以上解法是利用复数相等的条件，把复数问题转化为实数问题求解的，也就是说，“复数相等”是“由虚化实”的桥梁。另外，注意到本题的条件式的特征，含有z 、|z|，其他项为已知数，若能求出|z|，代入已知等式，则也能求出z 。为此，需考虑复数模的性质作变形。 由得：，两边同时取模，得：z z i z z i -=-+=-+11
()z z i z z z =-+=
-+11122，即，解关于的方程，得：
z z i z i =-=-+∴=111，代入原等式，得：， （这是解决复数问题的一种基本方法。） 例 5.
()
已知，，对于任意实数，都有，试求实数z x x i z x a i x z z a
12222121=++=+>的
取值范围。 分析：
欲求a 的取值范围，则需利用条件|z 1| > |z 2|，列出关于a 的不等式，但不等式中除了含a 外，还含有x ，因此应消去x 。如何消x ？不妨先尝试把这之前的工作做一下，再结合当时情形选择方法。 解：
z x x z x a
142221=++=+，
z z 12> ∴++>+x x x a
4221
()
两边平方，得：，即
x x x a 4222
1++>+
()()121022-+->a x a
由题意可知，该不等式对任意实数x 都成立。
若，，此时有恒成立。
12012011402-==
?+-?
? ???>a a x
()()
若，则有120120
0412*******-≠->=---
a a a a a ?
可见的取值范围为a a a a a a a =
?
?????-<
?????=-<≤?
??
???12112112
例6. ()设，在复平面上画出满足下列条件的点的集合所表示的图形。z x yi x y R Z =+∈,
（），且；（）且；（）且12402322x R y R x y z x y ∈∈≤<<≤+=+
|||||| 解：（）1 ∴点Z
（）2 ||x
一. 选择题。
1. 若C 、R 、I 分别表示复数集、实数集、纯虚数集（C 为全集），则下列各式正确的是（ ） A. C R I =
B. {}R I =0
C. R C I =
D. R I =?
2. 在复平面内，与z i =--1的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若x y R ，∈，则“x =0”是“x yi +是纯虚数”的（ ）条件 A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
4. 设
()
z a bi a b R =+∈，，当a =0时，复平面内与复数z 对应的点Z 的轨迹为（ ）
A. 实轴
B. 虚轴
C. 原点
D. 虚轴与原点
5. 复数
()
z a bi a b R =+∈，为零的充要条件是（ ）
A. a b ?=0
B. a b 220+=
C. a b 220-=
D. a b =≠0
二. 填空题。
6. 若x yi -+2与3x i +互为共轭复数(
)
x y R ，∈，则x=_______，y=________。
7. 若log 345x i +=，则实数x=________。
8. 若复数()()z x x i =-+-121的模小于10，则实数x 的取值范围为_________。 9. 若虚数()()x yi x y R -+∈2，的模为
3，则
y
x 的最大值为__________。
三. 解答题。
10. 已知z z i -=-+274，求复数z 。 11. 求实数θ，使复数
(
)z i tg tg =+--cos22
2θθθ是：（1）实数；（2）纯虚数。
12. 已知|z|=2，求z i -的最大值，以及取最大值时的z 。
13. 设复数z 满足z i +-=123，复数ω=?-+41z i ，求ω在复平面上对应的点P 的轨迹。
【试题答案】
一. 选择题。 1. D 2. B 3. B
4. D
5. B
二. 填空题。
6. x y =-=-11， （由x x -=23且y =-1可解得）
7.
x =27127或
（由
log 3
22
45x +=解得log 33x =±进而求出x =27或1
27）
8.
x ∈-?? ???452， （由
()()x x -+-<12110
22
解得）
9. 最大值为3
（代数法可解，但若采取几何法则更为简明：
由已知，得
()x y -+=2322
，它表示复平面上以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，而
y x y x =
--0
0，则表示圆上的点与原点连线的斜率，画图，易解。）
三. 解答题。 1. 解法一：设
()z a bi
a b R =+∈，，由已知，得：
()a bi a b i +-?+=-+27422
由复数相等的条件，得：a a b b -+=-=??
???27422 解得：
a b a b ==???=
=?
????34534或
∴=+=
+z i z i 345
34或
解法二：由已知，得：()z z i
=-+274，两边取模，得：
()z z z =
-+27162，解关于的方程，得：||
||||||z z z z i ==
=-+513
3274或代入，得：
z i z i =+=
+345
34或
2. 解：（1）若z R tg tg ∈--=，则2
20θθ
解得：tg tg θθ=-=12或
()
∴=-
=+∈θππ
θπk k a r c t g k Z 42或
（2）若z 为纯虚数，则
()
c o s 202024422
θθθθππθππθπ=--≠????=+≠-≠+∈???????tg tg k k k arctg k Z 且
()
?=+
∈θππ
k k Z 4
3. 解法一：设()z x yi
x y R =+∈，
z x y =∴+=2422
()()()()
z i x yi i x y i x y y y y
-=+-=+-=+-=
-+-=-11415222
2
2
注意到y x y 22
4422=-≤-≤≤，从而
可知当y =-2时，52-y 取最大值9，从而52-y 取最大值3 此时x z i ==-02，即
∴=--当时，取最大值z i z i 23
解法二：类比实数绝对值的几何意义，可知，方程|z|=2表示以原点为圆心，以2为半径的
4. 解：设z a bi x yi a b x y R =+=+∈，（，，，）ω
由()()()ω=-++=+-+=++-41414141z i x yi a bi i a b i ，得：
由复数相等，可得x a y b a x b y =+=-????=-=+??
?????414114
1
4
()()又，，把，代入得：
z i a b a b +-=∴
++-=12312322
()()x y x y -+??
?
??++-?? ???=++-=141142937362
2
22，整理，得：
即ω在复平面上对应的点P 的轨迹方程为()()x y ++-=373622
它表示以()
-37，为圆心，以6为半径的圆。
1. 【2016高考新课标1文数】设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a=（ ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 考点：复数的概念及复数的乘法运算 【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 2.【2016高考新课标2文数】设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ ） （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C 【解析】 试题分析：由3z i i +=-得，32z i =-，所以32z i =+，故选C. 考点： 复数的运算，共轭复数. 【名师点睛】复数(,R)a bi a b +∈的共轭复数是(,R)a bi a b -∈，两个复数
是共轭复数，其模相等. 3. [2016高考新课标Ⅲ文数]若43i z =+，则 || z z ＝（ ） （A ）1 （B ）1- （C ）43i 55 + （D ） 43i 55 - 【答案】D 【解析】 试题分析： 43i ||55 z z ==-，故选D ． 考点：1、复数的运算；2、共轭复数；3、复数的模． 【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 4.【2016高考四川文科】设i 为虚数单位，则复数2(1)i +=( ) (A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意，22(1)122i i i i +=++=，故选C. 考点：复数的运算. 【名师点睛】本题考查复数的运算．数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可． 5.【2016高考北京文数】复数 122i i +=-（ ） A.i B.1i + C.i - D.1i -
高考复习试卷含答案 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．(2017·山东)复数3－i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 答案：C 解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C. 2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 答案：D 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i. 3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋2 1－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 答案：D 解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴ z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i) ＝2－a ＋(a ＋2)i 2， 则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D. 4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 答案：B 解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B. 5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－3 2 i ，它对应的点在第四象限，故选D. 6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.1 2 答案：A 解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为－2，故选A. 7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B 解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝1 4 －3i ，故选B. 8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6
向量的概念及表示 主备人：陈广军 【学习目标】 1. 了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。 2. 通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。 3. 体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。 【明标自学】 一、情景活动 活动1 南辕北辙：战国时，有个北方人要到南方的楚国去他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！” 结果 原因 . 活动2 老鼠由A 向东北逃窜，猫在B 处向东追去。猫能否追到老鼠？ ◆结论：猫 追上老鼠。猫的速度再快也没用，因为 错了。 活动3 请同学们到我家来做客! 如果要找一个物理量来刻画从学校到老师家的位置变化，应该用哪个量，位移还是路程，这两个物理量的区别在哪？ 二、数学建构（阅读教材第59、60页，完成表格） 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小 叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 与非零向量a r 共线的单位向量为a a ±r r 平行（共线）向量 方向 或 的非零向量 0r 与任一向量 或共线 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0r 的相反向量为 039
判断： 1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量. 2.坐标平面上的x 轴和y 轴是向量. 【自学检测】 判断： 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合吗？ 2、向量AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上吗？ 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ 4、若四边形ABCD 是平行四边形，则有=吗? 5、已知b a ρρ,为不共线的非零向量，且存在向量c ρ ，使得//,//，则=c . 6、与非零向量平行的向量中，不相等的单位向量有 个. 【典型例题】 例1 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与,,相等的向量. O C
复数的向量表示(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义． 2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质． 内容分析 1．如图5－1，复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi．其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时用大写． 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特点之外，其他与直角坐标系是一样的．比如它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等． 因为任何一个复数z＝a＋bi，都是由一个有序实数对(a，b)唯一确定，所以复数集与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．比如点(a，0)与实数a对应，点(0，b) 与纯虚数bi对应，点(a，b)与复数a＋bi对应． 2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭复数有许多有用的性质，随着后续学习，我们会逐步体会到应用这些性质来解题的优越性． 由共轭复数的定义，我们可以得到： (4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称． 3．本课补充了三道例题．例1是为巩固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计的．例2涉及复数的几何表示及解析几何等有关知识，其难点是解一元二次不等式组．估计部分学生会有些困难，教学中，教师要根据实际情况对学生进行启发和指导．例3涉及共轭复数的性质及解析几何中曲线与方程等有关知识，解题的关键是将问题化归成学生熟悉的问题——解析几何中动点轨迹问题． 教学过程 1．复习提问 (1)虚数单位i的两个规定的内容是什么？ (2)填空： 复数z的代数形式是________；当________时，z为实数；当________时，z为虚数；当________时，z为纯虚数；z的实部为________；虚部为________．
利用多出来的一个月，多多练习，提升自己，加油！ 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.如果复数2i 1i 2+-b （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互 为相反数，那么b 等于 A.2 B. 3 2 C.－3 2 D.2 解析：2i 1i 2+-b =5 2i)-i)(12(b -=5 i )4(22+--b b ∴2－2b =b +4，b =－3 2. 答案：C 2.当3 2＜m ＜1时，复数z =(3m －2)+(m －1)i 在复平面上对应的 点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：z 对应的点为(3m －2，m －1)， ∵3 2＜m ＜1， ∴0＜3m －2＜1，－3 1＜m －1＜0. 答案：D 3.在下列命题中，正确命题的个数为 ①两个复数不能比较大小; ②z 1、z 2、z 3∈C ，若(z 1－z 2)2+(z 2－z 3)2=0，则z 1=z 3; ③若(x 2－1)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数，则实数x =±1; ④z 为虚数的一个充要条件是z +z ∈R ;
⑤若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )+(a +b )i 是纯虚数; ⑥复数z ∈R 的一个充要条件是z =z . A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①错，两个复数如果都是实数则可比较大小;②错，当z 1、 z 2、z 3不全是实数时不成立，如z 1=i ，z 2=1+i ，z 3=1时满足条件， 但z 1≠z 3;③错，当x =－1时，虚部也为零，原数是实数;④错，此条件是必要非充分条件;⑤错，当a =b =0时，原数是实数;⑥对. 答案：B 4.设f (n )=(i 1i 1-+)n +(i 1i 1+-)n (n ∈Z )，则集合｛x ｜x =f (n )｝中元素的 个数是 A.1 B.2 C.3 D.无穷多个 解析：∵f (n )=i n +(－i)n ， ∴f (0)=2，f (1)=i －i=0，f (2)=－1－1=－2，f (3)=－i+i=0. ∴｛x ｜x =f (n )｝=｛－2，0，2｝. 答案：C 5.已知复平面内的圆M ：|z －2|=1，若1 1+-p p 为纯虚数，则与复数 p 对应的点P A.必在圆M 上 B.必在圆M 内 C.必在圆M 外 D.不能确定
向量的概念及运算知识点与例题讲解 【基础知识回顾】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向 是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 21y y x x 。 2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定： （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 A B C a b
复数的向量表示 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教学目标 掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量； 理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系； 掌握复数的模的定义及其几何意义； 通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想； 通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法． 教学建议 一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式． 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
三、教学建议 1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视． 2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与
高考数学复数知识点总结及解题思路方法 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． §15. 复数知识要点 1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即1 =. i2- ⑵复数及其相关概念： ①复数—形如a + b i的数（其中R ，）； b a∈ ②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a； ③虚数—当0≠b时的复数a + b i； ④纯虚数—当a = 0且0≠b时的复数a + b i，即b i. ⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意 a，b都是实数） ⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示. ⑶两个复数相等的定义：
00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数] 2若21z z ，则021 z z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件. （当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0 z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程： ） （00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②2 1 z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③21212 1202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为 a 的椭 圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）. ④ ）， （2121202z z a a z z z z =---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的 双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）. ⑶绝对值不等式： 设21z z ，是不等于零的复数，则 ① 2 12121z z z z z z +≤+≤-.
复数的向量表示数学教案 教学目标 (1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量; (2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系; (3)掌握复数的模的定义及其几何意义; (4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想; (5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法. 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式. 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离. 三、教学建议 1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视. 2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成―一对应关系，而点又与复平面的向量构成―一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形
高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1
高考专题：复 数 1、 已知0 向量的概念及表示 执教:张亮点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究看下面哪些量是与众不同的： （1）线段的长度（2）物体的质量 （3）物体的体积（4）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向） 【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动，感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书向量的二要素大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？ 2．向量的表示方法 ①几何表示法——向量常用有向线段表示 师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？ 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A为起点、B为终点的向量记为：。大小记为：││ 板书有向线段的三要素起点、终点、长度。 ②字母表示法：可表示为 练习1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 2．向量和同一个向量吗？为什么？ 师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量是有向线段吗？ 【点评】 重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一 复数商与内积的联系 复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=, 高考复习试卷(附参考答案) 一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．(2013·山东)复数3－i 1－i 等于 ( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i 答案：C 解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2 ＝2＋i.故选C. 2．(2013·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝ ( ) A ．0 B ．2 C ．－2i D ．2i 答案：D 解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13 ＝i ＋i ＝2i. 3．(2013·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋2 1－i 是实数，那么z 等于 ( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 答案：D 解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i 2 ， 则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D. 4．(2013·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2 ＋x －1，则f (i)＝ ( ) A ．2i B ．0 C ．－2i D ．－2 答案：B 解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2 ＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B. 5．(2013·北京朝阳4月)复数z ＝2－i 1＋i (i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－3 2 i ，它对应的点在第四象限，故选D. 6．(2013·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为 ( ) A ．－2 B ．－1 2 C ．2 答案：A 解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a 的值为－2，故选A. 7．(2013·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2 等于 ( ) －3i －3i ＋3i ＋3i 答案：B 复数的各类表达形式 一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形 式z＝rexp (iθ) 。 向量 在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 复数的向量表示及复数的三角形式 基础概念 一、基础知识概述 由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义． 二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示： 复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明： （1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数； （2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即2 2||||b a r bi a Z += =+=． 2、复数的三角形式及运算： （1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明： 不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中02 2 ≥+= b a r ，r a = θcos ，r b = θsin ． 说明： 任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． （3）复数的三角形式的运算： 设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=?i r r Z Z ； 一、复数的概念 1.虚数单位i: (1)它的平方等于1-，即2i 1=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. (3)i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i. (4)i 的周期性： 41i i n +=, 42i 1n +=-, 43i i n +=-, 4i 1n =. 2．数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0) a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠??+≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3.复数的定义： 形如i(,)a b a b +∈R 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫 做复数集，用字母C 表示 4.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式. 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数 z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0 知识内容 复数 6.复数集与其它数集之间的关系： N Z Q R C 苘苘 7.两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ， c ， d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =,b d = 二、复数的几何意义 1.复平面、实轴、虚轴： 复数i(,)z a b a b =+∈R 与有序实数对(),a b 是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i(,)z a b a b =+∈R 可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数. 2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()0,0，它所确定的复数是 00i 0z =+=表示是实数. 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 3. 复数z a bi =+←??? →一一对应 复平面内的点(,)Z a b . 三、复数的四则运算 1.复数1z 与2z 的和的定义： 12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++ 2.复数1z 与2z 的差的定义： 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+- 3.复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+ 向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020 平面向量的概念及其线性运算 数学：安送杰 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。 二、重点与难点： 三、教学设计： 1、知识点回顾： （1）、向量的概念及表示； （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量； ④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示： ①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。 ◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法： A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度； B 、字母表示法：手写使用→AB 或 → →→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→ AB 的大小，记作： → AB ，向量的模可以比较大小； ②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作： 0，其方向是任意的； ③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； ④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量； ⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量； ⑥、一个规定：零向量与任一向量平行； 习题一： 1、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若两向量|a|＝|b|，则a＝b； ③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC； ⑤若向量m=n，n=p，则m=p； ⑥若向量a//b，b//c，则a//c； 其中错误的命题为：（①②③⑥） 解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定； 对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样； 对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行； 对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立； 2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）向量的概念及表示优秀教案培训资料
复数与向量的关系
人教版最新高考数学复数习题及答案Word版
复数的各类表达形式
【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式
高考数学讲义复数.教师版
向量的概念及其线性运算
相关主题
文本预览